1、2021 年黑龙江省齐齐哈尔克东县中考数学二模试卷年黑龙江省齐齐哈尔克东县中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12021 的倒数（ ） A2021 B2021 C D 2下面四个符号中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列计算正确的是（ ） A3ab3ba B3p2p33p6 C （2m3n2）36m9n6 D2 4 在一次青年歌手演唱比赛中， 评分办法采用 7 位评委现场打分 已知 7 位评委给某位歌手的打分是： 9.5、 9.4、9.8、9.3、8.8、9.6、9.2这组数据的中位数是（ ） A9.8 B9.3 C9.4 D9.2 5将一副三角板按照
2、如图所示的位置摆放在直尺上，则1 的度数为（ ） A105 B115 C120 D135 6星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公 园的路程 y 与时间 x 的关系的大致图象是（ ） A B C D 7由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的 小正方体的个数至少为（ ） A5 B6 C7 D8 8一个不透明的袋子中装有 3 个红球，6 个黄球，这些球除颜色外无其它差别从中随机摸出一个球，已 知摸出这种颜色球的概率是，然后将袋子中剩余的球摇匀，再随机摸出一个，则第二次摸出的球是红 球的概率是（
3、） A B C D 9喜迎建党 100 周年，某校将举办以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛计划用 80 元钱购买甲、乙两种笔 记本作为奖品（两种笔记本都买） 已知甲种笔记本每本 8 元，乙种笔记本每本 12 元，则购买笔记本的 方案共有（ ） A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于（2，0） ， （x1，0） ，其中1x10有下列 五个结论：abc0；ab+c0；2ac0；（ab） （3ab）0；若 m，n（mn）为关于 x 的一元二次方程 a（x+2） （xx1）+10 的两个根，则3m+n2你认为其中正确的有（ ） A4 个 B
4、3 个 C2 个 D1 个 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11截止到 2021 年 3 月 16 日，我国新冠疫苗累计接种 6498 万人次6498 万用科学记数法表示 为 12如图，在矩形 ABCD 中，点 M、N 分别在 BC、AD 上，AMMC若添加一个条件： ，则 四边形 AMCN 是菱形 13把一个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的主视图是腰长为 4，底边长为 2 的等腰三角形，则这个扇 形的圆心角为 14关于 x 的分式方程 2+的解为非负数，则 a 的取值范围为 15如图，把一块等腰直角三角板 ABC 放在平面直角坐标系的第二象限内，CAB90，ABAC，OA 2，
5、OB1将ABC 沿 x 轴正方向平移 m 个单位长度至第一象限内的DEF 位置，若 B、C 两点的对 应点 E、F 都在反比例函数 y的图象上，则反比例函数解析式为 16在 RtABC 中，C90，有一个锐角为 30，AB6若点 E 在直线 BC 上（不与点 B、C 重合） ， 且CAE30，则 BE 的长为 17如图，边长为 1 的正方形 OAPB 的顶点 P 在第一象限，以 OP 长为边长所作的正方形 OA1P1B1的顶点 P1在第二象限，以 OP1长为边长所作的正方形 OA2P2B2的顶点 P2在第三象限，以 OP2长为边长所作的 正方形OA3P3B3的顶点P3在第四象限 按此方式依次作
6、下去， 则点P2021的坐标是 三解答题三解答题 18 计算： （1）0+（） 2+2sin60| 2| 19 分解因式：xy2+xy+x 20 解方程：3（y3）22（3y） 21 齐齐哈尔市某初中开展“学宪法，讲宪法”知识竞赛活动赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按 得分划为 A、B、C、D 四个等级A：90S100，B：80S90，C：70S80，D：S70绘制成 如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图请根据图表中所给出的信息解答下列问题： 组别 成绩 S（单位：分） 人数 A 90S100 4 B 80S90 a C 70S80 b D S70 1 （1）频数分布表中，a ，b ；
7、 （2）扇形统计图中，m ，D 等级所占扇形的圆心角度数为 ； （3）若该校共有 300 名学生参加“学宪法，讲宪法”知识竞赛活动，那么比赛成绩大于 80 分的学生大 约有多少人？ 22 如图，在 RtABC 中，C90，点 O 在 AB 上，过点 B 的O 分别交 AB、AC 于 D，E，且 BE 平分 ABC （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 AD4，tanABC，求 OD 的长 23 某机器人小组分别对甲、乙两机器人进行“行走性能试验” 在一条笔直的试验赛道上依次有 A、B、C 三点甲、乙两机器人分别从 A、B 两点同时同向出发，历时 6 分钟同时到达 C 点，甲机器人前 3
8、分钟 以 a 米/分钟的速度行走，乙机器人始终以 60 米/分钟的速度行走甲、乙两机器人之间的距离 y 与行走 时间 x 之间的函数关系如图所示，FGx 轴请结合图象回答下列问题： （1）A、B 两点之间的距离是 米，a 米/分钟； （2）求图中线段 EF 所在直线的函数解析式； （3）当 3x4 时，甲机器人的速度为 米/分钟； （4）两机器人出发 分钟相距 15 米 24 综合与实践 动手操作 利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法 如图 1，将等腰直角三角形 ABC 的 AB 边绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 AB，ACB90，AC1， 连接 AC，过点 A做 AHC
9、B 交 CB 延长线于点 H 思考探索 （1）在图 1 中： 求证：ABCABH； ABC 的面积为 ； tanACB 拓展延伸 （2）如图 2，若ABC 为任意直角三角形，ACB90BC、AC、AB 分别用 a、b、c 表示请用 a、 b、c 表示： ABC 的面积： ； AC 的长： ； （3）如图 3，在ABC 中，ABAC，ABAB，AB10，BC12，AB5，连接 AC ABC 的面积为 ； 点 D 是 BC 边的高上的一点，当 AD 时，AD+DB 有最小值 25 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，对称轴为 x2 的抛物线 yax24x+c 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴
10、负半 轴交于点 C，OA3，cosACO，点 D 为此抛物线的顶点，连接 AC、AD、DC （1）求抛物线的 解析式； （2）求证：ADAC； （3）点 E（m，n）在第三象限的抛物线上，点 E 到 x 轴的距离不小于 8，则 m 的取值范围为 ；当 时，mn 有最小值 ； （4）点 F 在抛物线的对称轴上，平面内存在点 G 使以点 A、C、F、G 为顶点的四边形为矩形，请直接 写出点 G 坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12021 的倒数（ ） A2021 B2021 C D 【分析】直接根据倒数的概念即可得到答案 【解答】解：202
11、1 的倒数为： 故选：C 2下面四个符号中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解把一个图形绕某一点旋转 180，如果 旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 【解答】解：选项 A、C、D 中的图象都不能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转 180后与原 来的图形重合，所以它们都不是中心对称图形； 选项 B 能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重合，所以它是中心对称 图形； 故选：B 3下列计算正确的是（ ） A3ab3ba B3p2p33p6 C （2m3n
12、2）36m9n6 D2 【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、积的乘方与幂的乘方的运算法则、平方根 的定义解答即可 【解答】解：A、3ab 与 3b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、3p2p33p5，原计算错误，故此选项不符合题意； C、 （2m3n2）38m9n6，原计算错误，故此选项不符合题意； D、2，原计算正确，故此选项符合题意 故选：D 4 在一次青年歌手演唱比赛中， 评分办法采用 7 位评委现场打分 已知 7 位评委给某位歌手的打分是： 9.5、 9.4、9.8、9.3、8.8、9.6、9.2这组数据的中位数是（ ） A9.8 B9.3
13、C9.4 D9.2 【分析】根据中位数的意义求解即可 【解答】解：将这 7 位评委的评分从小到大排列后，处在中间位置的一个数是 9.4，因此中位数是 9.4， 故选：C 5将一副三角板按照如图所示的位置摆放在直尺上，则1 的度数为（ ） A105 B115 C120 D135 【分析】 由平角等于 180结合三角板各角的度数， 可求出2 的度数， 由直尺的上下两边平行， 利用 “两 直线平行，同位角相等”可得出1 的度数 【解答】解：2+30+45180， 2105 直尺的上下两边平行， 12105 故选：A 6星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，
14、小明离公 园的路程 y 与时间 x 的关系的大致图象是（ ） A B C D 【分析】根据在每段中，离公园的距离随时间的变化情况即可进行判断 【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增 大而减小； 第二阶段：在公园停留了一段时间，这一阶段离公园的距离为 0故选项 A、C、D 不合题意； 第三阶段：沿原路匀速步行回家，这一阶段，离公园的距离随时间的增大而增大，故选项 B 符合题意 故选：B 7由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的 小正方体的个数至少为（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】易得这
15、个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层正方体的 可能的最少的个数，相加即可 【解答】解：由俯视图易得最底层有 3 个正方体，由主视图第二层最少有 2 个正方体， 那么最少有 3+25 个立方体 故选：A 8一个不透明的袋子中装有 3 个红球，6 个黄球，这些球除颜色外无其它差别从中随机摸出一个球，已 知摸出这种颜色球的概率是，然后将袋子中剩余的球摇匀，再随机摸出一个，则第二次摸出的球是红 球的概率是（ ） A B C D 【分析】根据已知条件得到共有 3+69 个，求得摸出的是黄球，根据概率公式计算即可 【解答】解：一个不透明的袋子中装有 3 个红球，6 个黄
16、球， 共有 3+69 个， 从袋中随机摸出一个球是红球的概率为， 从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为， 已知摸出这种颜色球的概率是， 摸出的是黄球， 第二次摸出的球是红球的概率是， 故选：D 9喜迎建党 100 周年，某校将举办以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛计划用 80 元钱购买甲、乙两种笔 记本作为奖品（两种笔记本都买） 已知甲种笔记本每本 8 元，乙种笔记本每本 12 元，则购买笔记本的 方案共有（ ） A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 【分析】设可以购进甲种笔记本 x 本，乙种笔记本 y 本，利用总价单价数量，即可得出关于 x，y 的 二元一次方程，结合 x，y 均为正整数，即可得
17、出购买方案的个数 【解答】解：设可以购进甲种笔记本 x 本，乙种笔记本 y 本， 依题意得：8x+12y80， x10y 又x，y 均为正整数， 或或， 共有 3 种购买方案 故选：A 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于（2，0） ， （x1，0） ，其中1x10有下列 五个结论：abc0；ab+c0；2ac0；（ab） （3ab）0；若 m，n（mn）为关于 x 的一元二次方程 a（x+2） （xx1）+10 的两个根，则3m+n2你认为其中正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】由图象可知，a0，c0，由对称轴可知得出 b0，故判断；由
18、 x1 时，y0 可以判断 ； 由当 x2 时， y0 和当 x1 时， y0 可以判断； 由当 x1 时， ab+c0 和， 可以判断；yax2+bx+ca（x+2） （xx1）向上平移 1 个单位得到，对称轴不变，可以判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 1x10，32+x12， 1，即1， b0， 又抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， abc0， 故错误； 由图象知，当 x1 时，y0， ab+c0， 故错误； 当 x2 时，y0，即 4a2b+c0， 当 x1 时，y0，即 ab+c0， 由得，2b4a+c， 把 2b4a+c 代入2 得，2a（4a+c）+2c0，
19、整理得：2ac0， 故正确； 当 x1 时，ab+c0， abc0， 又， 3ab0， （ab） （3ab）0， 故错误； a（x+2） （xx1）+10， 令 y即为 yax2+bx+ca（x+2） （xx1）向上平移 1 个单位得到， m2，nx1， 1， 3m+n2， 故正确 故选：C 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11截止到 2021 年 3 月 16 日，我国新冠疫苗累计接种 6498 万人次6498 万用科学记数法表示为 6.498 107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点
20、移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：6498 万649800006.498107 故答案是：6.498107 12如图，在矩形 ABCD 中，点 M、N 分别在 BC、AD 上，AMMC若添加一个条件： AMAN ，则 四边形 AMCN 是菱形 【分析】根据矩形的性质得到 ADBC，即 ANCM，推出四边形 AMCN 是平行四边形，根据菱形的判 定定理即可得到结论 【解答】解：这个条件可以是 AMAN， 理由：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， 即 ANCM， AMANCM， 四边形 AMCN
21、是平行四边形， AMMC， 四边形 AMCN 是菱形， 故答案为：AMAN 13把一个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的主视图是腰长为 4，底边长为 2 的等腰三角形，则这个扇 形的圆心角为 90 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥 的母线长，结合圆锥的主视图得出，圆锥底面圆的直径为 2， 扇形的半径 r4，根据弧长公式列出方程， 求解即可 【解答】解：由题意可知，圆锥底面圆的直径为 2，扇形的半径 r4， 设这个扇形的圆心角为 n，21， 解得 n90 故答案为：90 14关于 x 的分式方程 2+的解为非负数，则 a 的取值范围为 a
22、2 且 a1 【分析】先去分母，将方程可化为 2（x2）+1ax1，解方程，根据方程的解为非负数，且分母不 为 0，可以求得 a 的取值范围 【解答】解：2+， 方程两边同乘以 x2，得 2（x2）+1ax1， 去括号移项，得 2x4+1ax+10， 合并同类项，得 （2a）x2， x， 关于 x 的分式方程 2+的解为非负数， ， 解得，a2 且 a1 故答案为：a2 且 a1 15如图，把一块等腰直角三角板 ABC 放在平面直角坐标系的第二象限内，CAB90，ABAC，OA 2，OB1将ABC 沿 x 轴正方向平移 m 个单位长度至第一象限内的DEF 位置，若 B、C 两点的对 应点 E、
23、F 都在反比例函数 y的图象上，则反比例函数解析式为 y 【分析】 作 CNx 轴于点 N， 根据 HL 证明 RtCANRtAOB， 求出 NO 的长度， 进而求出 C 的坐标， 根据平移的性质得出 F（3+m，2） ，则 E（m，1） ，根据两点都在反比例函数图象上，求出 k 的值 【解答】解：作 CNx 轴于点 N， 在 RtCAN 和 RtAOB 中， ， RtCANRtAOB（HL） ， ANBO1，CNAO2，NONA+AO3， 又点 C 在第二象限， C（3，2） ， 将ABC 沿 x 轴正方向平移 m 个单位长度至第一象限内的DEF 位置， F（3+m，2） ，则 E（m，1）
24、 点 E、F 都在反比例函数 y的图象上， k（3+m）2m1， 解得 m6， k616， 反比例函数解析式为 y， 故答案为 y 16在 RtABC 中，C90，有一个锐角为 30，AB6若点 E 在直线 BC 上（不与点 B、C 重合） ， 且CAE30，则 BE 的长为 或或 6 【分析】 可分三种情况： 当 E 点在线段 BC 上时， 如图， 则B30； 当 E 点在 BC 延长线上时， 如图， 则B30；当 E 点在 BC 延长线上时，如图，则B60，利用含 30角的直角三角形的性质及等 边三角形的平行于性质分别计算可求解 【解答】解：当 E 点在线段 BC 上时，如图，则B30，
25、C90，AB6， BAC60，ACAB3， BC， CAE30， AE2CE，BAE30， BBAE， BE2CE； 当 E 点在 BC 延长线上时，如图，则B30， ACB90，AB6， BAC60，ACAB3， BC， CAE30，ACE90， CE， BEBC+CE； 当 E 点在 BC 延长线上时，如图，则B60， ACB90，AB6， BAC30， CAE30， BAEBAC+CAE60， ABE 为等边三角形， AB6， BEAB6， 综上，BE 的长为或或 6 故答案为或或 6 17如图，边长为 1 的正方形 OAPB 的顶点 P 在第一象限，以 OP 长为边长所作的正方形 OA
26、1P1B1的顶点 P1在第二象限，以 OP1长为边长所作的正方形 OA2P2B2的顶点 P2在第三象限，以 OP2长为边长所作的 正方形 OA3P3B3的顶点 P3在第四象限按此方式依次作下去，则点 P2021的坐标是 （）2021， （）2021） 【分析】先根据点 P 坐标为（1，1） ，点 P1坐标为（，） ，点 P2坐标（2，2）（） 2，（ ） 2） ，点 P3 坐标为（2，2）（ （） 3，（ ） 3） ，点 P4 坐标为（4，4）（ （） 4， （ ）4） 找到规律，再判断 P2021所在象限，从而得出结论 【解答】解：根据题意得：点 P 坐标为（1，1） ，点 P1坐标为（，）
27、 ，点 P2坐标（2，2） （）2，（）2） ，点 P3坐标为（2，2）（ （）3，（）3） ，点 P4坐标为 （4，4）（ （）4， （）4） ， 20214505 1， 点 P2021在第二象限， 点 P2021坐标为（）2021， （）2021） ， 故答案为： （）2021， （）2021） 三解答题三解答题 18 计算： （1）0+（） 2+2sin60| 2| 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值菁优网版权所有 【专题】实数；运算能力 【答案】2+8 【分析】 直接利用负整数指数幂的性质和绝对值的性质、 特殊角的三角函数值分别化简， 然后先算乘法， 再算加
28、减得出答案 【解答】解：原式1+9+2（2） 1+9+2+ 2+8 19 分解因式：xy2+xy+x 【考点】因式分解提公因式法菁优网版权所有 【专题】整式；符号意识 【答案】x（y+）2 【分析】直接提取公因式 x，再利用完全平方公式分解因式即可 【解答】解：xy2+xy+x x（y2+y+） x（y+）2 20 解方程：3（y3）22（3y） 【考点】解一元二次方程因式分解法菁优网版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【答案】y13，y2 【分析】先移项，再利用因式分解的提公因式法求解 【解答】解：3（y3）22（3y） ， 3（3y）22（3y）0， （3y）3（3y）20，
29、即（3y） （73y）0， 所以 3y0 或 73y0 解得 y13，y2 21 齐齐哈尔市某初中开展“学宪法，讲宪法”知识竞赛活动赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按 得分划为 A、B、C、D 四个等级A：90S100，B：80S90，C：70S80，D：S70绘制成 如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图请根据图表中所给出的信息解答下列问题： 组别 成绩 S（单位：分） 人数 A 90S100 4 B 80S90 a C 70S80 b D S70 1 （1）频数分布表中，a ，b ； （2）扇形统计图中，m ，D 等级所占扇形的圆心角度数为 ； （3）若该校共有 300 名学生参加“
30、学宪法，讲宪法”知识竞赛活动，那么比赛成绩大于 80 分的学生大 约有多少人？ 【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图菁优网版权所有 【专题】统计的应用；数据分析观念 【答案】 （1）14、1； （2）70、18； （3）270 【分析】 （1）由 A 组人数及其所占百分比求出样本容量，样本容量乘以 C 对应百分比即可求得 b，再由 四组人数之和等于总人数可得 a 的值； （2）用 B 组人数除以总人数可得 m 的值，用 360乘以 D 组人数所占比例可得答案； （3）总人数乘以样本中 A、B 组人数和所占比例即可 【解答】解： （1）样本容量为 420%20， b205%1，
31、则 a20（4+1+1）14， 故答案为：14、1； （2）m%100%70%，即 m70， D 等级所占扇形的圆心角度数为 36018； 故答案为：70、18； （3）比赛成绩大于 80 分的学生大约有 300270（人） 22 如图，在 RtABC 中，C90，点 O 在 AB 上，过点 B 的O 分别交 AB、AC 于 D，E，且 BE 平分 ABC （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 AD4，tanABC，求 OD 的长 【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形菁优网版权所有 【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力 【答案】 （1）见解析； （2）
32、6 【分析】 （1）连接 OE，根据角平分线的定义得到CBEABE，根据等腰三角形的性质得到OBE OEB，等量代换得到CBEOEB，得到 OEBC，根据平行线的性质得到 OEAC，于是得到 AC 是O 的切线； （2）根据平行线的性质得到ABCAOE，设 AE4x，OEOD3x，根据勾股定理得到 OA5x， 解方程即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OE， BE 平分ABC， CBEABE， OBOE， OBEOEB， CBEOEB， OEBC， OEAC90， OEAC， AC 是O 的切线； （2）解：OEBC， ABCAOE， tanABCtanAOE， 设 AE4x，OEOD3
33、x， OA5x， AD4， 3x+45x， x2， OD6 23 某机器人小组分别对甲、乙两机器人进行“行走性能试验” 在一条笔直的试验赛道上依次有 A、B、C 三点甲、乙两机器人分别从 A、B 两点同时同向出发，历时 6 分钟同时到达 C 点，甲机器人前 3 分钟 以 a 米/分钟的速度行走，乙机器人始终以 60 米/分钟的速度行走甲、乙两机器人之间的距离 y 与行走 时间 x 之间的函数关系如图所示，FGx 轴请结合图象回答下列问题： （1）A、B 两点之间的距离是 米，a 米/分钟； （2）求图中线段 EF 所在直线的函数解析式； （3）当 3x4 时，甲机器人的速度为 米/分钟； （4
34、）两机器人出发 分钟相距 15 米 【考点】一次函数的应用菁优网版权所有 【专题】一次函数及其应用；应用意识 【答案】 （1）60，420； （2）y30 x60； （3）60； （4）1.5 或 2.5 或 5 【分析】 （1）x0 时，y60，即 AB 的距离为 60m，在点 E 处甲追上已，则 2a60+260，解得：a 90，即可求解； （2）求出点 F（3，30） ，将点 E、F 的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （3）FG 段甲乙的距离不变，故速度相等，即可求解； （4）分别求出线段 GH 所在直线的函数表达式以及点 E 前的函数表达式，再将 y15，分别代入相关函 数关系式即
35、可求解 【解答】解： （1）x0 时，y60，即 AB 的距离为 60m， 在点 E 处甲追上乙，则 2a60+260，解得：a90， 已知 7 分钟到达点 C，则 BC660360，则 AC 的距离为 360+60420， 故答案为：60，420； （2）当 x3 时，3906060330（km） ，故点 F（3，30） ， 设直线 EF 的表达式为 yk1x+b， 则， 解得， 直线 EF 的表达式为 y30 x60； （3）FG 段甲乙的距离不变，故速度相等，则甲的速度也为 60， 故答案为：60； （4）由题意得：点 G（4，30） ， 设线段 GH 所在直线的函数表达式：yk2x+m
36、，根据题意得： ， 解得， 线段 GH 所在直线的函数表达式：y15x+90； 设点 E 前的函数表达式为 yk3x+n，根据题意得： ， 解得 k330， 点 E 前的函数表达式为 y30 x+60； 当两机器人相距 15 米时，30 x6015 或15x+9015 或30 x+6015， 解得 x2.5 或 5 或 1.5， 故两机器人出发 1.5 或 2.5 或 5 分钟相距 15 米 故答案为：1.5 或 2.5 或 5 24 综合与实践 动手操作 利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法 如图 1，将等腰直角三角形 ABC 的 AB 边绕点 B 顺时针旋转 90得到线段
37、 AB，ACB90，AC1， 连接 AC，过点 A做 AHCB 交 CB 延长线于点 H 思考探索 （1）在图 1 中： 求证：ABCABH； ABC 的面积为 ； tanACB 拓展延伸 （2）如图 2，若ABC 为任意直角三角形，ACB90BC、AC、AB 分别用 a、b、c 表示请用 a、 b、c 表示： ABC 的面积： ； AC 的长： ； （3）如图 3，在ABC 中，ABAC，ABAB，AB10，BC12，AB5，连接 AC ABC 的面积为 ； 点 D 是 BC 边的高上的一点，当 AD 时，AD+DB 有最小值 【考点】几何变换综合题菁优网版权所有 【专题】图形的全等；等腰三
38、角形与直角三角形；推理能力 【答案】 （1）见解答过程，； （2）a2，； （3）18， 【分析】 （1）直角通过 ASA 证明ABCABH；由 ACBC1，ACB90，得 SABC； 由全等可得 CH2，AH1，则 tanACB； （2）过点 A作 AHCB，交 CB 延长线于 H，通过 AAS 可证明ABCBAH，得 BHACb，AH BCa，即可求出面积；在 RtACH 中，利用勾股定理即可； （3） ）过 A 作 AGBC，AHBC，交 CB 延长线于 H，在 RtABG 中，由勾股定理得：AG8，由 （2）同理可得AGBBHA，求出 BHAH 的即可；由 AD+DBAD+CD，则当
39、D 点在线段 AC 上时，AD+DB 取得最小值为 AC 的长，利用勾股定理求 AC 的长即可 【解答】解： （1）ABC 是等腰直角三角形， ACBC，ABCA45， 将 AB 边绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 AB， ABAB，ABA90， ABH45， AHCB， AHB90， BAH45， 在ABC 和ABH 中， ， ABCABH（ASA） ， ACBC1，ACB90， SABC， 故答案为：； ABCABH， AHAC1，BHBC1， CH2， tanACB， 故答案为：； （2）过点 A作 AHCB，交 CB 延长线于 H， 将 AB 边绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 A
40、B， ABAB，ABA90， ABC+ABH90， ABC+A90， ABHA， 在ABC 和BAH 中， ， ABCBAH（AAS） ， BHACb，AHBCa， SABCBCAHa2， 故答案为：a2， 在 RtACH 中，由勾股定理得： AC， 故答案为：； （3）过 A 作 AGBC，AHBC，交 CB 延长线于 H， ABAC，ACBC， BC6， 在 RtABG 中，由勾股定理得：AG8， 由（2）同理可得AGBBHA， ， ， AH3，BH4， SABCBCAH12318， 故答案为：18； AG 是 BC 的垂直平分线， BDCD， AD+DBAD+CD， 当 D 点在线段 A
41、C 上时，AD+DB 取得最小值为 AC 的长， 在 RtACH 中，由勾股定理得： AC， DGAH， CDGCAH， ， ， DG， AD8， AD时，AD+DB 取得最小值， 故答案为：， 25 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，对称轴为 x2 的抛物线 yax24x+c 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴负半 轴交于点 C，OA3，cosACO，点 D 为此抛物线的顶点，连接 AC、AD、DC （1）求抛物线的 解析式； （2）求证：ADAC； （3）点 E（m，n）在第三象限的抛物线上，点 E 到 x 轴的距离不小于 8，则 m 的取值范围为 ；当 时，mn 有最小值 ； （4
42、）点 F 在抛物线的对称轴上，平面内存在点 G 使以点 A、C、F、G 为顶点的四边形为矩形，请直接 写出点 G 坐标 【考点】二次函数综合题菁优网版权所有 【专题】待定系数法；函数的综合应用；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力 【答案】 （1）抛物线 yx24x3： （2）见解答过程； （3）x5，5，3； （4）G1（1，2） ，G2（52） ，G3（1，） ，G4（1，） 【分析】 （1）根据对称轴求出 a 的值，根据 cosACO，得到点 C 坐标为（0，3） ，代入抛物线 即得到表达式； （2）利用顶点式得到 D 点坐标，再结合两点间距离公式和勾股定理求证； （3）点 E 在第
43、三象限，到 x 轴的距离不小于 8，得到（m24m3）8，解不等式得到答案，将 m n 化为（m+）2进行求最值； （4）根据题意，作出满足条件的所有点 G，借助三角形全等、两点间距离公式、勾股定理进行求解 【解答】解： （1）抛物线 yax24x+c 对称轴为 x2， 解得 a1， cosACO， ACO45， OCOA3， 点 C 坐标为（0，3） ， 将点 C 代入抛物线得，c3， 抛物线 yx24x3： （2）抛物线 yx24x3（x+2）2+1， 点 D 坐标（2，1） ， 点 A（3，0） ，点 C（0，3） ， AD2（3+2）2+（01）22，AC2（30）2+（0+3）218
44、，CD2（0+2）2+（31）2 20， AD2+AC2CD2， ACD 是以 CD 为斜边的直角三角形， ADAC； （3）点 E 在抛物线上， 点 E 坐标（m，m24m3） ， 点 E 在第三象限，到 x 轴的距离不小于 8， 即（m24m3）8， 解得 x5 或 x1（舍去） ， mnm（m24m3）m2+5m+3（m+）2，m5， 当 m5 时，mn 有最小值 3， 故答案为 x5，5，3； （4）当 AC 为矩形边时，如图， 点 A、C、F、G 为顶点的四边形为矩形，OACOCA45， AED，CHG1，AIG2，CF2均为等腰直角三角形， ADCG1，AG2CF2， AEDCHG1（AAS） ，AIG2CF2（AAS） ， CHHG1AE1，AIIG2F2L2， 故点 G1（1，2） ，G2（52） ； 当 AC 为矩形对角线时，如图， 同理可证 RtAEF3RtG3MC，RtAF4ERtG4CN， AEG3M1，AEG4N1， 设点 G3和 G4坐标为（1，m） ，点 A（3，0） ，C（0，3） ， AG3（AG4），CG3（CG4），AC， 根据勾股定理可得，+CG AC2， 解得 m1，m2， 故点 G3（1，） ，G4（1，） ； 综合上述，G1（1，2） ，G2（52） ，G3（1，） ，G4（1，）
