1、2021 年山东省潍坊市寒亭区、奎文区、潍城区、坊子区、高新区、滨海区中考一模数学试题年山东省潍坊市寒亭区、奎文区、潍城区、坊子区、高新区、滨海区中考一模数学试题 一、单选题（本题共 8 小题，共 24 分、在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的， 请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，错选、不选或选出的答案超过一个均记 0 分.） 1.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba6a 2a4 C （2a+b）24a2+b2 D （2ab2）38a3b6 3 新冠疫情在我国得到了很好地控制， 可至今仍在海
2、外肆虐， 截止到 2021 年 3 月底， 海外累计确诊 128924229 人，128924229 用科学记数法可表示为（精确到千万位） （ ） A0.13109 B1.3108 C1.29108 D12.9107 4 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立 方块的个数，则该几何体的左视图为（ ） A B C D 5 下列命题为真命题的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B相似三角形面积之比等于相似比 C顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是正方形 D两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 6 已知 Mt2，Nt2t（t 为任意实
3、数） ，则 M，N 的大小关系为（ ） AMN BMN CMN D不能确定 7 关于 x 的分式方程1 有增根，则它的增根是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 或 x1 Dx3 8 如图，RtABC 中，C90，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BEBD；分别以 D，E 为圆心， 以大于DE 的长为半径作弧， 两弧在CBA 内交于点 F； 作射线 BF， 点 P， G 分别为射线 BF， 线段 BC 上的动点，若 AB2，BC1，则 CP+GP 的最小值为（ ） A B1 C D 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分；在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要
4、求，全部选对的得 3 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分） 9 如图，在ABC 中，C90，设A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 AacsinA BbccosB CabtanA DabtanB 10 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价水价分档递增，计划使第一档、第二 档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的 80%，15%和 5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了 该市 5 万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3） ，绘制了统计表 用水量（xm3） 频数（万户） 30 x60 0.25 60 x90 0.75 90 x120 1.5 120 x150
5、 1.0 150 x180 0.5 180 x210 0.4 210 x240 0.25 240 x270 0.15 270 x300 0.15 300 x330 0.05 如表所示，下面四个推断合理的是 A年用水量少于 180m3的该市居民家庭按第一档水价交费 B年用水量超过 180m3但不超过 240m3的该市居民家庭按第二档水价交费 C年用水量超过 240m3的该市居民家庭按第三档水价交费 D该市居民家庭年用水量的中位数在 120150 之间 11 如图，AB 是O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连接 AD，DE，AE 与 BD 相交于点 C，若添加一个 条件使ADC 与ABD 相似
6、，则可添加下列条件中的 A BADDE CABDE DAD2BDCD 12 如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和 B，与 y 轴交于点 C下列结论正确的 是 Aabc0 B.2a+b0 C.4a+2b+c0 D.3a+c0 三、填空题（本题共 6 小题，共 18 分只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分.） 13 分解因式：x34x 14|+（1）0+2cos30 15 如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，点 E，F 分别是 AB，AC 边的中点，若要使四边形 AEDF 是菱形， 则需添加的一个条件是 （不添加辅助线，写出一个答案即可） 16 如图，在
7、ABCD 中，ABC 的平分线 BE 与 AD 交于点 E，BED 的平分线 EF 与 DC 交于点 F，若 AB 8，DE2，DF2FC，则 BE 17 如图，直线 AB 与反比例函数 y（x0）的图象交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为（6，1） ，AOB 的面积为 8，则点 B 的坐标为 18用大小相同的圆点摆成如图所示的图案， 按照这样的规律摆放， 则第12个图案中共有圆点的个数为 四、解答题（本题共 7 小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.） 19 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 总有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若该方程有两个相等
8、的实数根，求该方程的根 20 如图，某通讯公司大楼 AB 顶部有一根天线 BC，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点 A，E，D，在点 E 处测得天线顶端 C 的仰角为 60，从点 E 走到点 D，测得 DE5 米，从点 D 测得天 线底端 B 的仰角为 45，已知 A，B，C 在同一条垂直于地面的直线上，AB30 米求天线 BC 的高度 21 如图是某剧场第一排座位分布图甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为 5 张，4 张，3 张，2 张、每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自已所选的座位号之和最小 （1）如果按 “甲、 乙、丙、 丁” 的先后顺序购票，那么他
9、们 4 人是否都能购买到满足条件的票？如果能， 请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由 （2）若乙第一个购票，要使其他 3 人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写 出所有符合要求的购票顺序 22 如图，ABC 内接于O，CAB60， CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 M，交O 于点 D， 连接 CD， 过点 C 作 CEBD，交 BD 的延长线于点 E （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若 AM5，DM4，求 CE 的长 23 某宾馆客房部有 50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以住满每个房间每 天的定价每增加 10 元时
10、，就会有一个房间空闲设每个房间每天的定价增加 x 元 （1）求房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式； （2）某一天，该宾馆客房部的总收入为 12000 元，问这天每个房间的定价是多少元？ （3）若对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用求该宾馆客房部每天的利 润 w （元） 关于 x （元） 的函数关系式； 当每个房间的定价为每天多少元时， w 有最大值？最大值是多少？ 24（1）问题发现： 如图 1，在 RtABC 中，ABAC，BAC90，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF， 点 E 与点 A 重合，已知ACFBCE请直接写
11、出线段 BE 与 AF 的数量关系； （2）实验研究： 在（1）的条件下，将正方形 CDEF 绕点 C 旋转至如图 2 所示的位置，连接 BE，CE，AF请猜想线段 BE 和 AF 的数量关系，并证明你的结论； （3）结论运用： 在（1） （2）的条件下，若ABC 的面积为 8，当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时，请求出线 段 AF 的长 25 如图，在平面直角坐标系中，直线 y2x6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经 过 A，B 两点点 P 是位于直线 AB 下方抛物线上的一个动点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点 P 到 AB
12、 的距离最大时，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 M 是 x 轴上一点，点 N 是抛物线上一动点，是否存在点 N，使得以点 B，P， M，N 为顶点，以 BP 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由 2021 年山东省潍坊市寒亭区、奎文区、潍城区、坊子区、高新区、滨海区中考一模数学试题年山东省潍坊市寒亭区、奎文区、潍城区、坊子区、高新区、滨海区中考一模数学试题 一、单选题（本题共 8 小题，共 24 分、在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的， 请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，错选、不选或选出的答案超过一个均记 0 分.
13、） 1.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形；中心对称图形 【专题】平移、旋转与对称；几何直观 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：C 2 下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba6a 2a4 C （2a+b）24a2+b2 D （2ab2）38a3b6
14、【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式；负整数指数幂 【专题】整式；运算能力 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方以及幂的乘方解决此题 【解答】解：A由 a2a3a5，故 A 不合题意 B由 a6a 2a6（2）a8，故 B 不符合题意 C由（2a+b）24a2+b2+4ab，故 C 不符合题意 D由（2ab2）38a3b6，故 D 符合题意 故选：D 3 新冠疫情在我国得到了很好地控制， 可至今仍在海外肆虐， 截止到 2021 年 3 月底， 海外累计确诊 128924229 人，128924229 用科学记数法可表
15、示为（精确到千万位） （ ） A0.13109 B1.3108 C1.29108 D12.9107 【考点】科学记数法与有效数字 【专题】实数；数感 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的 整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：128924229130000000，用科学记数法表示为：1.3108 故选：B 4 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立 方块的个数，则该几何体的左视图为（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体 【专
16、题】投影与视图；几何直观 【答案】A 【分析】由已知条件可知，左视图有 3 列，每列小正方形数目分别为 2，4，3据此可作出判断 【解答】解：从左面看所得到的图形， 故选：A 5 下列命题为真命题的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B相似三角形面积之比等于相似比 C顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是正方形 D两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【考点】命题与定理 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；矩形 菱形 正方形；应用意识 【答案】D 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例等知识，一一判断即可 【解答】解：A、对角线相等的四边形是矩形，错误，是假
17、命题，本选项不符合题意 B、相似三角形面积之比等于相似比，错误，是假命题，本选项不符合题意 C、顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是正方形，错误，是假命题，本选项不符合题意 D、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，正确，是真命题，本选项符合题意 故选：D 6 已知 Mt2，Nt2t（t 为任意实数） ，则 M，N 的大小关系为（ ） AMN BMN CMN D不能确定 【考点】非负数的性质：偶次方；配方法的应用 【专题】整式；运算能力 【答案】B 【分析】利用配方法把 NM 的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可 【解答】解：NM（t2t）（t2）t22t+2（t1）2+10，
18、MN， 故选：B 7 关于 x 的分式方程1 有增根，则它的增根是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 或 x1 Dx3 【考点】分式方程的增根 【专题】分式方程及应用；运算能力 【答案】A 【分析】本题依据增根的定义，使最简公分母（x+1） （x1）0，且能够使整式方程成立，即可求出原 方程的增根 【解答】解：去分母得 6m（x+1）（x+1） （x1） ， 分式方程有增根，最简公分母（x+1） （x1）0， 解得 x11，x21 当 x1 时，得 60，此式不成立 故 x1 不是原分式方程的增根 原分式方程的增根为 1 故选：A 8 如图，RtABC 中，C90，利用尺规在 BC，BA 上分别截
19、取 BE，BD，使 BEBD；分别以 D，E 为圆心， 以大于DE 的长为半径作弧， 两弧在CBA 内交于点 F； 作射线 BF， 点 P， G 分别为射线 BF， 线段 BC 上的动点，若 AB2，BC1，则 CP+GP 的最小值为（ ） A B1 C D 【考点】角平分线的性质；勾股定理；作图复杂作图；轴对称最短路线问题 【专题】作图题；平移、旋转与对称；应用意识 【答案】C 【分析】如图，故点 C 作 CHAB 于 H，作点 G 关于 BP 的对称点 G，连接 PG解直角三角形求出 CH，证明 PC+PGPC+PGCH，可得结论 【解答】解：如图，故点 C 作 CHAB 于 H，作点 G
20、 关于 BP 的对称点 G，连接 PG G，G关于 BP 对称， PGPG， PC+PGPC+PG， CHAB， PC+PGCH， PC+PG 的最小值为线段 CH 的长， ACB90，AB2，BC1， AB2BC， A30，ABC60， CHBCsin60， PC+PG 的最小值为 故选：C 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分；在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 3 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分） 9 如图，在ABC 中，C90，设A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 AacsinA BbccosB CabtanA Dabt
21、anB 【考点】锐角三角函数的定义 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力 【答案】A、C 【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可 【解答】解：A、sinA，则 acsinA，本选项说法正确； B、cosB，则 accosB，本选项说法错误； C、tanA，则 abtanA，本选项说法正确； D、tanB，则 batanB，本选项说法错误； 故答案为：A、C 10 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价水价分档递增，计划使第一档、第二 档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的 80%，15%和 5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了 该市 5 万户居民家庭上一年的年用水
22、量（单位：m3） ，绘制了统计表 用水量（xm3） 频数（万户） 30 x60 0.25 60 x90 0.75 90 x120 1.5 120 x150 1.0 150 x180 0.5 180 x210 0.4 210 x240 0.25 240 x270 0.15 270 x300 0.15 300 x330 0.05 如表所示，下面四个推断合理的是 A年用水量少于 180m3的该市居民家庭按第一档水价交费 B年用水量超过 180m3但不超过 240m3的该市居民家庭按第二档水价交费 C年用水量超过 240m3的该市居民家庭按第三档水价交费 D该市居民家庭年用水量的中位数在 120150
23、 之间 【考点】频数（率）分布表；中位数 【专题】统计的应用；应用意识 【答案】AB 【分析】 由统计表中的频数可知约有4 万户， 约为样本的 80%， 可判断选项A； 由， 可判断选项 B；由年用水量超过 240m3的用户所占比例可知还有一部分按第二档交费，可判断选项 C； 由中位数的定义可判断中位数不一定在 120150 之间，可判断选项 D 【解答】解：从统计表可知年用水量少于 180m3的用户共有 0.25+0.75+1.5+1+0.54（万户） ，580% 4（万户） ， 选项 A 符合题意； 年用水量超过 180m3但小于 270m3的用户共有 0.4+0.250.65（万户） ，
24、 年用水量超过 180m3但不超过 240m3的用户一定在第二档中，选项 B 符合题意； 年用水量超过 240m3的用户所占比例为 100%80%13%7%5%， 年用水量超过 240m3的用户中还有一部分按第二档交费，选项 C 不符合题意； 中位数应为第 25000 户和第 25001 户的平均数， 第 25000 户的用水量在 90 x120 之间，第 25001 户的用水量在 120 x150 之间， 两者的平均数不一定在 120150 之间，选项 D 不符合题意； 故答案为：AB 11 如图，AB 是O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连接 AD，DE，AE 与 BD 相交于点 C，
25、若添加一个 条件使ADC 与ABD 相似，则可添加下列条件中的 A BADDE CABDE DAD2BDCD 【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；点与圆的位置关系；平行线分线段成比例；相似三角形 的判定 【专题】图形的相似；推理能力 【答案】B，D 【分析】根据相似三角形的判定方法可知，只要添加 B，D，两三角形就相似 【解答】解：在ADC 和ADB 中，当 ADDE 时，ADCBDA， ADCBDC， ADCBDA， 另外当 AD2BDCD 时，则有， ADCADB， ADCBDA， 故答案为：B，D 12 如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和 B，
26、与 y 轴交于点 C下列结论正确的 是 Aabc0 B.2a+b0 C.4a+2b+c0 D.3a+c0 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识 【答案】B、D 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴求出 2a 与 b 的关系 【解答】解：由抛物线的开口向上知 a0， 对称轴位于 y 轴的右侧， b0 抛物线与 y 轴交于负半轴， c0， abc0； 故 A 错误； 对称轴为 x1，得 2ab，即 2a+b0， 故 B 正确； 对称轴的位置不一定， 当 x2
27、 时，y 可能大于 0 也可能小于 0， 4a+2b+c0 不能确定， 故 C 错误； 当 x1 时，y0， 0ab+ca+2a+c3a+c，即 3a+c0 故 D 正确 故答案为：B、D 三、填空题（本题共 6 小题，共 18 分只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分.） 13 分解因式：x34x 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】因式分解 【答案】见试题解答内容 【分析】应先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：x34x， x（x24） ， x（x+2） （x2） 故答案为：x（x+2） （x2） 14|+（1）0+2cos30 【考点】实数的运
28、算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】实数；运算能力 【答案】1 【分析】利用实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值等运算法则对式子进行运算即可 【解答】解：|+（1）0+2cos30 +12+2 +12+ 1 故答案为：1 15 如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，点 E，F 分别是 AB，AC 边的中点，若要使四边形 AEDF 是菱形， 则需添加的一个条件是 （不添加辅助线，写出一个答案即可） 【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的判定 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力 【答案】ABAC（答案不唯一） 【分析】由直角三角形斜边上的中线
29、性质得出 DEABAE，DFACAF，再由 ABAC，得 DE DFAEAF，即可得出结论 【解答】解：添加条件：ABAC理由如下： ADBC， ADBADC90， 点 E，F 分别是 AB，AC 边的中点， DEABAE，DFACAF， ABAC， DEDFAEAF， 四边形 AEDF 是菱形； 故答案为：ABAC（答案不唯一） 16 如图，在ABCD 中，ABC 的平分线 BE 与 AD 交于点 E，BED 的平分线 EF 与 DC 交于点 F，若 AB 8，DE2，DF2FC，则 BE 【考点】平行四边形的性质 【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力 【答案】11 【分析】先延
30、长 EF 和 BC，交于点 G，根据条件判断三角形 BEG 为等腰三角形，最后根据EFD GFC 得出 CG 与 DE 的倍数关系，并根据 BGBC+CG 进行计算即可 【解答】解：延长 EF 和 BC，交于点 G， 在ABCD 中，ABC 的平分线 BE 与 AD 交于点 E， ABECEB，ADBC， AEBEBC， ABEAEB， ABAE8， ADBC8+210， 又BED 的角平分线 EF 与 DC 交于点 F， BEGDEF， ADBC， GDEF， BEGG， BGBE， GDEF，EFDGFC， EFDGFC， ， CG1， BEBG10+111 故答案为：11 17 如图，直
31、线 AB 与反比例函数 y（x0）的图象交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为（6，1） ，AOB 的面积为 8，则点 B 的坐标为 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力 【答案】 （2，3） 【分析】将点 A 坐标（6，1）代入反比例函数解析式 y，根据待定系数法求得反比例函数的解析式， 过点 A 作 ACx 轴于点 C，过 B 作 BDy 轴于 D，延长 CA，DB 交于点 E，则四边形 ODEC 是矩形， 设 B（m，n） ，根据AOB 的面积为 8，得 3nm8，得方程 3n28n30，解出可得 B 的坐标 【解答】
32、解：将点 A 坐标（6，1）代入反比例函数解析式 y， 得 k166， 则 y， 过点 A 作 ACx 轴于点 C，过 B 作 BDy 轴于 D，延长 CA，DB 交于点 E，则四边形 ODEC 是矩形， 设 B（m，n） ， mn6， BEDEBD6m，AECEACn1， SABE， A、B 两点均在反比例函数 y（x0）的图象上， SBODSAOC3， SAOBS矩形ODECSAOCSBODSABE6n333nm， AOB 的面积为 8， 3nm8， m6n16， mn6， 3n28n30， 解得：n3 或（舍） ， m2， B（2，3） ， 故答案为（2，3） 18用大小相同的圆点摆成如
33、图所示的图案， 按照这样的规律摆放， 则第12个图案中共有圆点的个数为 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】规律型；数感；运算能力 【答案】90 个 【分析】观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一个图案基础上有 规律地增加圆点数，即在前一个图案的基础上增加比图案序号数多一个的圆点数，从而解决该题 【解答】解：当 n1 时，第 1 个图案的圆点的个数是 y13+25（个） 当 n2 时，第 2 个图案的圆点的个数是 y2y1+33+2+37（个） 当 n3 时，第 3 个图案的圆点的个数是 y3y2+53+2+3+412（个） 当 n4 时，第 4 个图案的圆点的
34、个数是 y4y3+73+2+3+4+519（个） . 以此类推，第 n 个图案的圆点的个数是 yn3+2+3+4+.+（n+1）3+3+（个） ， 当 n12 时，第 12 个图案的圆点的个数是 3+90（个） 故答案为：90 个 四、解答题（本题共 7 小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.） 19 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 总有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根 【考点】解一元二次方程公式法；根的判别式 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【答案】 （1）k7； （2）x1x2 【分析】 （1） 根据
35、一元二次方程 ax2+bx+c0 （a0） 的根的判别式b24ac 的意义得到 +4k0，解不等式可求出 k 的取值范围； （2）根据0 求出 k7，代入方程再解方程可得出答案 【解答】解： （1）一元二次方程 x2+2xk0 总有实数根， +4k0， 解得 k7， k 的取值范围是 k7； （2）方程有两个相等的实数根， +4k0， k7， 代入方程得，x2+2x+70， 解得 x1x2 20 如图，某通讯公司大楼 AB 顶部有一根天线 BC，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点 A，E，D，在点 E 处测得天线顶端 C 的仰角为 60，从点 E 走到点 D，测得 DE5 米，从
36、点 D 测得天 线底端 B 的仰角为 45，已知 A，B，C 在同一条垂直于地面的直线上，AB30 米求天线 BC 的高度 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识 【答案】 （2530）米 【分析】证ABD 是等腰直角三角形，得 ADAB30 米，则 AEADDE25（米） ，再由锐角三角 函数定义求出 AC25tan6025（米） ，即可求解 【解答】解：在 RtABD 中，ADB45， ABD 是等腰直角三角形， ADAB30 米， AEADDE30525（米） ， 在 RtACE 中AEC60，AE25
37、米， AC25tan6025（米） ， BCACAB25米30 米（2530）米 21 如图是某剧场第一排座位分布图甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为 5 张，4 张，3 张，2 张、每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自已所选的座位号之和最小 （1）如果按 “甲、 乙、丙、 丁” 的先后顺序购票，那么他们 4 人是否都能购买到满足条件的票？如果能， 请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由 （2）若乙第一个购票，要使其他 3 人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写 出所有符合要求的购票顺序 【考点】推理与论证 【专题】分类讨论；推理能力 【答案
38、】 （1）能，甲购买的座位号为：5，3，1，2，4；乙购买的座位号为：6，8，10，12；丙购买的座 位号为：7，9，11；丁购买的座位号为：13，15； （2）甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙 【分析】 （1）由所选的座位号之和最小和购票的先后顺序即可推理 （2）根据题意可确定乙的购票结果再结合所选的座位号之和最小并利用分类讨论的思想确定甲、丙、 丁的购票顺序即可得出结果 【解答】解： （1）能， 甲购买的座位号为：5，3，1，2，4， 乙购买的座位号为：6，8，10，12， 丙购买的座位号为：7，9，11， 丁购买的座位号为：13，15； （2）根据题意可确定乙选的座位号为
39、3，1，2，4 若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为 13，11，9，7，5 若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为 6，8，10 此时丁可选的座位号为 12，14 即在乙选完之后的顺序为：甲、丙、丁 若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为 6，8 此时丙可选的座位号为 10，12，14 即在乙选完之后的顺序为：甲、丙 若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为 9，7，5 若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为 6，8，10，12，14 此时丁可选的座位号为 13，11 即在乙选完之后的顺序为：丙、甲、丁 若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为 6，8 此时没有 5 个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不
40、成立 若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为 7，5 若甲在丁 选完之后选，则甲可选的座位号为 6，8，10，12，14 此时丙可选的座位号为 13，11，9 即在乙选完之后的顺序为：丁、甲、丙 若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为 6，8，12 此时没有 5 个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立 综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为：甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙 22 如图，ABC 内接于O，CAB60， CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 M，交O 于点 D， 连接 CD， 过点 C 作 CEBD，交 BD 的延长线于点 E （1）求证：CE 是O 的切线； （2）
41、若 AM5，DM4，求 CE 的长 【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质 【专题】图形的相似；应用意识 【答案】 （1）证明见解析； （2）3 【分析】 （1）连接 OC、OD，由CAB60，AD 为CAB 的平分线，可得COD60，由 OC OD，得OCD60，等量代换得OCDCDE，由内错角相等两直线平行得到 OCBE，由 CE BD，故 CEOC，即可得证； （2）由两个角分别相等的三角形是相似三角形可证得MDCCDA，由相似三角形是对应边成比例 可得，可得 CD6，在 RtCDE 中利用余弦求 CE 长即可 【解答】解： （1）连接 OC、
42、OD， CAB60，AD 为CAB 的平分线， DABDAC30，CDE60， COD60， OCOD， OCD60， OCDCDE， OCBE， CEBD， CEOC， CE 是O 的切线； （2）DABDAC，DABDCB， DACDCB， MDCCDA， MDCCDA， ， CDMDAD， AM5，DM4， ADAM+DM5+49， CD4936， CD6， CDE60，CEBD， CECDsin6063 23 某宾馆客房部有 50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以住满每个房间每 天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲设每个房间每天的定价增加 x
43、元 （1）求房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式； （2）某一天，该宾馆客房部的总收入为 12000 元，问这天每个房间的定价是多少元？ （3）若对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用求该宾馆客房部每天的利 润 w （元） 关于 x （元） 的函数关系式； 当每个房间的定价为每天多少元时， w 有最大值？最大值是多少？ 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用 【专题】二次函数的应用；应用意识 【答案】 （1）y 关于 x 的函数关系式为 y50； （2）每个房间的定价是 300 元或 400 元； （3）w +32x+9000，当每个房间定价为每天
44、 360 元时，w 有最大值，最大值是 11560 元 【分析】 （1）根据每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲列出函数关系式； （2）根据客房部的总收入为 12000 元列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据题意列出函数关系式，根据函数的性质求最值 【解答】解： （1）宾馆客房部有 50 个房间供游客居住，每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有 一个房间空闲， 房间每天的入住量 y 关于 x 的函数关系式为 y50； （2）当客房部的总收入为 12000 元时，有 （50） （200+x）1200， 解得：x1100，x2200， 200+100300（元） ，
45、200+200400（元） ， 每个房间的定价是 300 元或 400 元； （3）根据题意，得 w（200+x20） （50）+32x+9000+11560， 0， 当 x160 时，wmax11560， 此时定价为 160+200360（元） ， 当每个房间定价为每天 360 元时，w 有最大值，最大值是 11560 元 24（1）问题发现： 如图 1，在 RtABC 中，ABAC，BAC90，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF， 点 E 与点 A 重合，已知ACFBCE请直接写出线段 BE 与 AF 的数量关系； （2）实验研究： 在（1）的条件下，将正方形 C
46、DEF 绕点 C 旋转至如图 2 所示的位置，连接 BE，CE，AF请猜想线段 BE 和 AF 的数量关系，并证明你的结论； （3）结论运用： 在（1） （2）的条件下，若ABC 的面积为 8，当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时，请求出线 段 AF 的长 【考点】相似形综合题 【专题】几何综合题；推理能力 【答案】 （1）BEAF； （2）BEAF，证明过程见解答； （3） 【分析】（1） 当点 E 与点 A 重合时， 证明ACF 和BCE 都是等腰直角三角形， 所以它们的对应角相等， 可得ACFBCE，可推出 BEAF； （2） 由FEC 和ABC 都是等腰直角三角形可得，
47、再由ACFBCE45ACE， 可证明ACFBCE，可推出 BEAF 仍然成立； （3）由 B、E、F 三点共线得BFC90，根据图 1，由ABC 的面积为 8，可求出 AD，BC ， 且 EFCFDEAD， 在BCF 中由勾股定理求出 BF 的长， 再求 BE 的长， 再由 BE AF 求出 AF 的长 【解答】解： （1）如图 1，ABAC，BAC90， BACB45， 四边形 CDEF 是正方形， EFCF，F90， FECFCE45， FECB，FCEACB， 点 E 与点 A 重合， FECFACB，FCEFCAACB，ABBE， ACFBCE； ， sinBsin45， ， BEAF
48、 （2）BEAF 证明：如图 2，由（1）得，sinBsin45， 四边形 CDEF 是正方形， EFCF，EFC90， FECFCE45， sinFECsin45， ， ACFBCE45ACE， ACFBCE， ， BEAF （3）如图 1，ABAC，BAC90，点 D 为 BC 的中点， ADBC，ADBC， BC2AD， ABC 的面积为 8， BCAD8， AD28， AD， BC， 点 E 与点 A 重合，四边形 CDEF 是正方形， EFCFDEAD； 如图 2，B、E、F 三点共线， BFC90； BF， BEBFEF， BEAF AF， AF 25 如图，在平面直角坐标系中，直
49、线 y2x6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经 过 A，B 两点点 P 是位于直线 AB 下方抛物线上的一个动点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点 P 到 AB 的距离最大时，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 M 是 x 轴上一点，点 N 是抛物线上一动点，是否存在点 N，使得以点 B，P， M，N 为顶点，以 BP 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由 【考点】二次函数综合题 【专题】待定系数法；函数的综合应用；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；应用意识 【答案】 （1）yx2+
50、x6； （2） （，） ； （3）N（，）或（，）或（，）或（，） 【分析】 （1）由 y2x6 求出 A（3，0） ，B（0，6） ，用待定系数法即得抛物线的函数表达式为： yx2+x6； （2） 过 P 作 PHAB 于 H， 过 P 作 PDx 轴于 D， 交 AB 于 Q， 证明PHQAOB， 可得 PHPQ， 即知当 PQ 最大时，PH 最大，设 P（t，t2+t6） ，则 Q（t，2t6） ，PQ（t+）2+，即得 P 坐 标为（，） ； （3）设 M（m，0） ，N（n，n2+n6） ，而 B（0，6） ，P 坐标为（，） ，若以 MN、BP 为对 角线，则 MN 的中点即是 B
