1、2021 年浙江省绍兴市中考数学第一次质检试卷年浙江省绍兴市中考数学第一次质检试卷 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题分，共 40 分请选出每小题中一个最符合题意的选 项，不选、多选、错选，均不给分） 1.如图是一个由 5 个小正方体和 1 个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ） A B C D 2 已知在 RtABC 中，C90，B，AC2，那么 AB 的长等于（ ） A B2sin C D2cos 3 已知ABC 是锐角三角形，若 ABAC，则（ ） AsinAsinB BsinBsinC CsinAsinC DsinCsinA 4 如图，点 B 在A 上，点 C 在A
2、外，以下条件不能判定 BC 是A 切线的是（ ） AA50，C40 BBCA CAB2+BC2AC2 DA 与 AC 的交点是 AC 中点 5 如图，这个圆锥的主（正）视图是一个边长为 4 的等边三角形，则这个圆锥的俯视图的面积为（ ） A4 B8 C D 6 如图， 等边三角形的边长为 a， 高为 h， 内切圆、 外接圆的半径分别为 r， R， 则下列结论不正确的是 （ ） AhR+r BR2r Cra DRa 7 由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示， 俯视图的方格中的字母和数字表 示该位置上小立方体的个数，则以下说法正确的是（ ） Ax1 或 2，y3 Bx1
3、或 2，y1 或 3 Cx1，y1 或 3 Dx2，y1 或 3 8 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交 于点 P，则 tanAPD（ ） A B3 C D2 9 如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE，则 sin CBE（ ） A B C D 10 已知在ABC 中，BAC90，M 是边 BC 的中点，BC 的延长线上的点 N 满足 AMANABC 的 内切圆与边 AB、AC 的切点分别为 E、F，延长 EF 分别与 AN、BC 的延长线交于 P、Q，则（ ）
4、 A1 B0.5 C2 D1.5 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11 如图，有一个小山坡 AB，坡比 i已知小山坡的水平距离 AC60m，则小山坡的高度 BC 是 12 圆的直径为 10cm，若圆心到某直线的距离是 6cm，则直线与圆的位置关系为 13 如图， 一个圆球放置在 V 形架中， 图是它的平面示意图， CA 和 CB 都是O 的切线， 切点分别是 A， B如果O 的半径为 2cm，且 AB6cm，那么ACB 14 同一平面内有 A，B，C 三点，A，B 两点之间的距离为 5cm，点 C 到直线 AB 的距离为 2cm，且ABC 为直角三角形，则满足上
5、述条件的点 C 有 个 15 如图，在ABC 中，MNBC 交 AB，AC 于点 M，N，MN 与ABC 的内切圆相切若ABC 的周长为 12，则 MN 的最大值为 16 如图，直线 l：ykx+6（k0）与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，以 OA 为直径的P 交 l 于另一点 D， 把弧 AD 沿直线 l 翻转后与 OA 交于点 E （1）当 OE2 时，DE ； （2）若翻转后所得的弧与 OA 相切，则此时 k 的值为 三、解答题（本大题有 8 小题，第 1720 小题每小题 8 分，第 21 小题 10 分，第 22，23 小题每小题 8 分，第 24 小题 14 分，共 80
6、 分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证 明过程） 17 计算：tan60（4）0+2cos30+（） 1 18 如图，已知圆柱底面的直径 BC8，圆柱的高 AB10，在圆柱的侧面上，过点 A，C 嵌有一圈长度最短 的金属丝 （1）现将圆柱侧面沿 AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是 （2）求该长度最短的金属丝的长 19 如图，以ABC 的边 BC 为直径的O，交 AB 边于点 D，D 为 AB 的中点，DEAC 于点 E （1）求证：ACBC （2）求证：DE 是O 的切线 20 某校为检测师生体温，在校门口安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”的截面示意图身高 1.6 米的小聪做了如下实
7、验：当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A 的仰 角为 30； 当他在地面 N 处时， “测温门” 停止显示额头温度， 此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 53 如 果测得小聪的有效测温区间 MN 的长度是 0.98米， 那么测温门顶部 A处距地面的高度约为多少米？ （注： 额头到地面的距离以身高计，sin530.8，cos530.6，tan53，1.73 ） 21 如图，在 66 的正方形网格中，有部分网格线被擦去点 A，B，C 在格点（正方形网格的交点）上 （1）请用无刻度的直尺在图 1 中找到三角形 ABC 的外心 P； （2）请用无刻度的直尺在图
8、2 中找到三角形 ABC 的内心 Q 22 如图，ABC 中，ACBC，I 为ABC 的内心，O 为 BC 上一点，过 B、I 两点的O 交 BC 于 D 点，tan CBI，AB6 （1）求线段 BD 的长； （2）求线段 BC 的长 23 定义：我们把圆心在ABC 的边上，与ABC 的一边相切，且经过ABC 的一个顶点（非切点）的圆叫 做ABC 的伴切圆 （1）已知在ABC 中，ABAC10，BC12，P 是ABC 的伴切圆，且点 P 在 AC 上，求 PC 的长； （2）在平面直角坐标系中，直线 yx+b 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，半径为 3 的Q 是ABO 的伴
9、切圆且圆心 Q 在 AB 上，直接写出所有满足条件的 b 的值 24 如图，O 的半径是 3，点 P 是O 上一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 M 是弧上的任意一点（与 A、B 不重合） ，MNAB 于 N，以 M 为圆心，MN 为半径作M，分别过 A、B 作M 的切线，两切线交 于点 C （1）求弦 AB 的长； （2）求ACB 的大小； （3）设ABC 的面积为 S，若 S4MN2，求M 的半径 2021 年浙江省绍兴市中考数学第一次质检试卷年浙江省绍兴市中考数学第一次质检试卷 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题分，共 40 分请选出每小题中一个最符合题意的选 项，不选、多选、
10、错选，均不给分） 1.如图是一个由 5 个小正方体和 1 个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【专题】投影与视图；几何直观 【答案】C 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】解：从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最左边有一个正方形，右边是一个三角形 故选：C 2 已知在 RtABC 中，C90，B，AC2，那么 AB 的长等于（ ） A B2sin C D2cos 【考点】锐角三角函数的定义 【专题】解直角三角形及其应用；模型思想 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的意义即可得出
11、答案 【解答】解：sinBsin，AC2， AB， 故选：A 3 已知ABC 是锐角三角形，若 ABAC，则（ ） AsinAsinB BsinBsinC CsinAsinC DsinCsinA 【考点】锐角三角函数的增减性 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力 【答案】B 【分析】大边对大角，可得CB，当角度在 090间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小） 而增大（或减小） ；依此即可求解 【解答】解：ABC 是锐角三角形，若 ABAC， 则CB， 则 sinBsinC 故选：B 4 如图，点 B 在A 上，点 C 在A 外，以下条件不能判定 BC 是A 切线的是（ ） AA50，C40
12、 BBCA CAB2+BC2AC2 DA 与 AC 的交点是 AC 中点 【考点】圆周角定理；点与圆的位置关系；切线的判定 【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力 【答案】D 【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论 【解答】解：A、A50，C40， B180AC90， BCAB， 点 B 在A 上， AB 是A 的半径， BC 是A 切线； B、BCA， BA+C， A+B+C180， B90， BCAB， 点 B 在A 上， AB 是A 的半径， BC 是A 切线； C、AB2+BC2AC2， ABC 是直角三角形，B90， BCAB， 点 B 在A
13、 上， AB 是A 的半径， BC 是A 切线； D、A 与 AC 的交点是 AC 中点， ABAC，但不能证出B90， 不能判定 BC 是A 切线； 故选：D 5 如图，这个圆锥的主（正）视图是一个边长为 4 的等边三角形，则这个圆锥的俯视图的面积为（ ） A4 B8 C D 【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体 【专题】投影与视图；几何直观 【答案】A 【分析】圆锥的俯视图是一个带圆心的圆，根据主（正）视图是一个边长为 4 的等边三角形可知，该圆 半径为 2，进而得出这个圆锥的俯视图的面积 【解答】解：由题可得，圆锥的俯视图是一个带圆心的圆， 由圆锥的主（正）视图是一个边长为 4
14、 的等边三角形可知，该圆半径为 2， 故该圆的面积为 4 故选：A 6 如图， 等边三角形的边长为 a， 高为 h， 内切圆、 外接圆的半径分别为 r， R， 则下列结论不正确的是 （ ） AhR+r BR2r Cra DRa 【考点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心 【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；正多边形与圆；应用意识 【答案】C 【分析】根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为 O，根据 30角所对的直角边是斜边的 一半得：R2r；等边三角形的高是 R 与 r 的和，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：如图，ABC 是等边三角形，
15、 ABC 的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为 O， 设 OEr，AOR，ADh， hR+r，故 A 正确； ADBC， DACBAC6030， 在 RtAOE 中， R2r，故 B 正确； ODOEr， ABACBCa， AEACa， （a）2+r2（2r）2， （a）2+（R）2R2， r，Ra，故 C 错误，D 正确； 故选：C 7 由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示， 俯视图的方格中的字母和数字表 示该位置上小立方体的个数，则以下说法正确的是（ ） Ax1 或 2，y3 Bx1 或 2，y1 或 3 Cx1，y1 或 3 Dx2，y1 或 3 【考点】由三视图判
16、断几何体 【专题】投影与视图；空间观念 【答案】A 【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，结合主视图 2 列中的个数，分析其中的数字， 从而求 【解答】解：由俯视图可知，该组合体有两行两列， 左边一列前一行有两个正方体，结合主视图可知左边一列叠有 2 个正方体，故 x1 或 2； 由主视图右边一列可知，右边一列最高可以叠 3 个正方体，故 y3， 故选：A 8 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交 于点 P，则 tanAPD（ ） A B3 C D2 【考点】解直角三角形 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型
17、思想 【答案】B 【分析】根据网格，设出小正方形的边长为 1，表示出 ADDC，再根据平行线分线段成比例定理 可得出 DPDC，进而在 RtADP 中，由正切的意义求值即可 【解答】解：设小正方形的边长为 1， 由图形可知， ADC 是等腰直角三角形， ADDC ACBD， ， PC2DP， ADDC3DP， 故选：B 9 如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE，则 sin CBE（ ） A B C D 【考点】切线长定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【专题】计算题 【答案】D 【分析】取 BC 的中点 O，则
18、O 为圆心，连接 OE，AO，AO 与 BE 的交点是 F，则易证 AOBE，BOF AOB，则 sinCBE，求得 OF 的长即可求解 【解答】解：取 BC 的中点 O，则 O 为圆心，连接 OE，AO，AO 与 BE 的交点是 F AB，AE 都为圆的切线 AEAB OBOE，AOAO ABOAEO（SSS） OABOAE AOBE 在直角AOB 里 AO2OB2+AB2 OB1，AB3 AO 易证明BOFAOB BO：AOOF：OB 1：OF：1 OF sinCBE 故选：D 10 已知在ABC 中，BAC90，M 是边 BC 的中点，BC 的延长线上的点 N 满足 AMANABC 的
19、内切圆与边 AB、AC 的切点分别为 E、F，延长 EF 分别与 AN、BC 的延长线交于 P、Q，则（ ） A1 B0.5 C2 D1.5 【考点】圆的综合题 【专题】证明题 【答案】A 【分析】取ACB 的内切圆的圆心是 O，连接 OE、OF，得出正方形 AEOF，求出 AEAF，推出AEF AFECFQ，根据直角三角形斜边上中线性质求出 AMMC，推出MCAMAC，根据BAC MAGMAN90，求出GAEMACMCA，EAMCAP，根据三角形的外角性质得 出GAEAPE+AEP，MCAQ+CFQ，求出QNPQ，推出 PNNQ 即可 【解答】解：取ACB 的内切圆的圆心是 O，连接 OE、
20、OF，作 NA 的延长线 AG， 则 OEAB，OFAC，OEOF， BAC90， 四边形 AEOF 是正方形， AEAF， AEFAFE， BAC90，M 为斜边 BC 上中线， AMCMBM， MACMCA， BAC90，ANAM， BACMAGMAN90， GAE+EAM90，EAM+MAC90，MAC+CAN90， GAEMACMCA，EAMCAP， GAEAPE+AEP，MCAQ+CFQ， AEFAFECFQ，EPANPQ， QNPQ， PNQN， 1， 故选：A 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11 如图，有一个小山坡 AB，坡比 i已知小山坡的水平
21、距离 AC60m，则小山坡的高度 BC 是 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识 【答案】45m 【分析】直接利用坡度的定义进而得出 BC：AC3：4，求出答案即可 【解答】解：AB 的坡度为 i3：4，过 B 点作 BCAC，垂足为点 C，大厅水平距离 AC 的长为 60m， BC：AC3：4， 则 BC180445（m） 故答案为：45m 12 圆的直径为 10cm，若圆心到某直线的距离是 6cm，则直线与圆的位置关系为 【考点】直线与圆的位置关系 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力 【答案】相离 【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到
22、直线的距离 d，再与半径 r 进行比较若 dr， 则直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离 【解答】解：圆的直径为 10cm， 圆的半径为 5cm， 圆心到直线的距离 6cm， 圆的半径圆心到直线的距离， 直线于圆相离， 故答案为相离 13 如图， 一个圆球放置在 V 形架中， 图是它的平面示意图， CA 和 CB 都是O 的切线， 切点分别是 A， B如果O 的半径为 2cm，且 AB6cm，那么ACB 【考点】切线的性质 【答案】见试题解答内容 【分析】通过构建直角三角形，将数据转换到直角三角形中进行计算连接 OC 交 AB 于点 D，那么我们 不难得出 BD 是
23、 AB 的一半，CD 平分ACB，那么只要求出COB 的度数就能求出ACB 的度数，已知 了 OB 的长，BD（AB 的一半）的长，这样在直角三角形 ODB 中根据三角形函数我们不难得出DOB 的 值，也就能求出ACB 的度数了 【解答】解：如图， 连接 OC 交 AB 于点 D， CA、CB 分别是O 的切线 CACB，OC 平分ACB OCAB AB6 BD3 在 RtOBD 中 OB2， sinBOD， BOD60 B 是切点 OBBC OCB30 ACB60 14 同一平面内有 A，B，C 三点，A，B 两点之间的距离为 5cm，点 C 到直线 AB 的距离为 2cm，且ABC 为直角
24、三角形，则满足上述条件的点 C 有 个 【考点】点到直线的距离 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；应用意识 【答案】8 【分析】 该题存在两种情况（1） AB 为斜边，则C90； （2）AB 为直角边，AC2cm 或者 BC2cm 【解答】解： （1）当 AB 为斜边时，点 C 到 AB 的距离为 2cm，即 AB 边上的高为 2cm，符合要求的 C 点 有 4 个，如图； （2）当 AB 为直角边时，AC2cm 或者 BC2cm，符合要求的 C 点有 4 个，如图； 综上，符合要求的 C 点共 8 个 故答案为：8 15 如图，在ABC 中，MNBC 交 AB，AC
25、于点 M，N，MN 与ABC 的内切圆相切若ABC 的周长为 12，则 MN 的最大值为 【考点】平行线的性质；切线的性质；三角形的内切圆与内心 【专题】与圆有关的位置关系；应用意识 【答案】 【分析】设 BCx，由切线长性质可得 BEBG，GCCF，MEMH，NFHN，可得AMN 的周长 122x，由相似三角形的性质可得 y 与 x 的函数解析式，即可求得 MN 的最大值 【解答】解：如图，设切点分别为 E 点，H 点，F 点，G 点， BC，AB，AC，MN 都与ABC 内切圆相切， BEBG，GCCF，MEMH，NFHN， BE+CFBG+GCBCx，ME+NFMH+NHMNy， ABC
26、 周长为 12， AB+AC+BC12， AE+AF122x， AMN 的周长AM+AN+MNAM+MH+AN+NFAE+AF122x， MNBC， AMNABC， ， ， yx2+x（x26x+99）（x3）2+， 即 BC3 时，MN 的最大值为 故答案为： 16 如图，直线 l：ykx+6（k0）与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，以 OA 为直径的P 交 l 于另一点 D， 把弧 AD 沿直线 l 翻转后与 OA 交于点 E （1）当 OE2 时，DE ； （2）若翻转后所得的弧与 OA 相切，则此时 k 的值为 【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；
27、切线的性质；翻折变换（折叠 问题） 【专题】几何变换；推理能力 【答案】 （1）； （2）1 【分析】（1） 过点 D 作 DCx 轴于点 C， 根据圆周角与弧的关系可得DEOAOD， 可推出 ODDE， 再利用等腰三角形的性质求出 OC，最后根据相似三角形的判定与性质，即可求得结果； （2）根据翻转后所得的弧与 OA 相切，可得 A 与 E 重合，结合（1）所得的结论则 ODAD，利用圆的 性质得出ADO 是等腰直角三角形，可推出 D（3，3） ，把 D 点坐标代入解析式，即可求得 k 的值 【解答】解： （1）如图，过点 D 作 DCx 轴于点 C， EAD 的度数弧 DE 的度数，ADE
28、 的度数弧 AE 的度数，DEOEAD+ADE， DEO 的度数弧 AD 的度数， AOD弧 AD 的度数， DEOAOD， ODDE， DCOA， OCCEOE21， 直线 l：ykx+6 与 y 轴交于点 A， A（0，6） ， OA6， OA 为直径， ADO90， ADODCO90，DOCAOD， DOCAOD， ， DO2AOCO616， DEDO， 故答案为：； （2）把弧 AD 沿直线 l 翻转后与 OA 交于点 E，翻转后所得的弧与 OA 相切， 点 A 与点 E 重合， 由（1）可知，DODA， ADO90， OAD45， ADO 是等腰直角三角形，OA6， D（3，3） ，
29、 把 D（3，3）代入 ykx+6 得： 33k+6， k1， 故答案为：1 三、解答题（本大题有 8 小题，第 1720 小题每小题 8 分，第 21 小题 10 分，第 22，23 小题每小题 8 分，第 24 小题 14 分，共 80 分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证 明过程） 17 计算：tan60（4）0+2cos30+（） 1 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】实数；运算能力 【答案】2+3 【分析】利用特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂以及实数的运算的相应法则对式子进行运 算即可 【解答】解：tan60（4）0+2cos30+
30、（） 1 1+2+4 2+3 18 如图，已知圆柱底面的直径 BC8，圆柱的高 AB10，在圆柱的侧面上，过点 A，C 嵌有一圈长度最短 的金属丝 （1）现将圆柱侧面沿 AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是 （2）求该长度最短的金属丝的长 【考点】几何体的展开图；平面展开最短路径问题 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识 【答案】 （1）A； （2）4 【分析】 （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时， 根据勾股定理计算即可 【解答】解： （1）因圆柱的侧面展开面为长方形，AC 展开
31、应该是两线段，且有公共点 C 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为 2AC 的长度 圆柱底面的直径 BC8，圆柱的高 AB10， 该长度最短的金属丝的长为 2AC24 19 如图，以ABC 的边 BC 为直径的O，交 AB 边于点 D，D 为 AB 的中点，DEAC 于点 E （1）求证：ACBC （2）求证：DE 是O 的切线 【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定 【专题】证明题；与圆有关的位置关系；推理能力 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析 【分析】 （1）连接 CD，由圆周角定理可得出BDC90，则 CDAB，由中垂线
32、的性质得出结论； （2）连接 OD，再证明 ODDE 即可 【解答】证明： （1）如图，连接 CD， BC 是O 的直径 BDC90， CDAB， 又D 为 AB 的中点， ADBD， ACBC； （2）连接 OD， ADBD，OCOB， OD 是ABC 的中位线， DOAC， DEAC， DEOD， 又点 D 在O 上 DE 是O 的切线 20 某校为检测师生体温，在校门口安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”的截面示意图身高 1.6 米的小聪做了如下实验：当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A 的仰 角为 30； 当他在地面 N 处时， “测温门” 停
33、止显示额头温度， 此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 53 如 果测得小聪的有效测温区间 MN 的长度是 0.98米， 那么测温门顶部 A处距地面的高度约为多少米？ （注： 额头到地面的距离以身高计，sin530.8，cos530.6，tan53，1.73 ） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识 【答案】测温门顶部 A 处距地面的高度约为 2.6 米 【分析】延长 BC 交 AD 于点 E，构造直角ABE 和矩形 EDNB，设 AEx 米通过解直角三角形分别表 示出 BE、CE 的长度，根据 BCBECE 得到 1.73x0.75x0.98，解得即
34、可求得 AE 进而即可求得 【解答】解：延长 BC 交 AD 于点 E，设 AEx 米 tan53，tan30， CE0.75x，BE1.73x， BCBECE1.73x0.75x0.98 解得 x1， AE1， ADAE+ED1+1.62.6（米） 答：测温门顶部 A 处距地面的高度约为 2.6 米 21 如图，在 66 的正方形网格中，有部分网格线被擦去点 A，B，C 在格点（正方形网格的交点）上 （1）请用无刻度的直尺在图 1 中找到三角形 ABC 的外心 P； （2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形ABC的内心 Q 【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心 【专题】作图题；
35、圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；应用意识 【答案】见解答 【分析】 （1）根据三角形外心的概念，作直角三角形斜边中点即可； （2）根据三角形内心的概念，作三角形的两内角平分线交点即可 【解答】解： （1）如图，点 P 即为所求； （2）如图，点 Q 即为所求 22 如图，ABC 中，ACBC，I 为ABC 的内心，O 为 BC 上一点，过 B、I 两点的O 交 BC 于 D 点，tan CBI，AB6 （1）求线段 BD 的长； （2）求线段 BC 的长 【考点】三角形的内切圆与内心 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）连接 CI 并延长交 AB 于 E，由 I 是ABC 的内心，
36、得到 CI 平分ACB，根据三线合一得到 CE 垂直平分 AB，由相似三角形的性质得到比例式解出结果 （2）根据三角形的内心的性质得到 BI，CI 分别平分ABC，ACB，利用三角形的内角和得到IBC CID，证得BICIDC，得到比例式，求出结果 【解答】解： （1）如图连接 CI 并延长交 AB 于 E，连接 ID， I 是ABC 的内心， CI 平分ACB， ACBC， CE 垂直平分 AB， BEAB3，ABICBI， tanCBI， ， IE1， BI， BEIBID，EBIIBD， BEIBID， ， BD； （2）BI，CI 分别平分ABC，ACB， BIC90A9090+IBC
37、， IBCBIC90， CIDBIC90， IBCCID， ICDICD， BICIDC， ， CICEIE1， BC3（1） ， 解得：BC 23 定义：我们把圆心在ABC 的边上，与ABC 的一边相切，且经过ABC 的一个顶点（非切点）的圆叫 做ABC 的伴切圆 （1）已知在ABC 中，ABAC10，BC12，P 是ABC 的伴切圆，且点 P 在 AC 上，求 PC 的长； （2）在平面直角坐标系中，直线 yx+b 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，半径为 3 的Q 是ABO 的伴切圆且圆心 Q 在 AB 上，直接写出所有满足条件的 b 的值 【考点】一次函数综合题 【专题
38、】代数几何综合题；应用意识 【答案】 （1）或； （2）或 【分析】 （1）作 ADBC 于点 D，CEAB 于点 E，先用勾股定理求出高 AD 的长，再由面积等式列方程 求出 CE 的长，进而求出 sinACB 和 sinCAB 的值，再按P 与 BC 相切且经过点 A、P 与 AB 相切 且经过点 C 这两种情况分别求出对应的 PC 的长； （2） 由直线 yx+b 与 x 轴正半轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B， 可求出ABO 三边的比为 1： 3：， 类比第（1）小题的解法可求出 BO 的长，得到 b 的值 【解答】解： （1）如图 1，作 ADBC 于点 D，CEAB 于点 E，
39、则ADCAEC90， ABAC10，BC12， BDCDBC126， AD8， sinACB； 由ABCEBCADSABC得，10CE128， 解得，CE， sinCAB； 如图 2，P 与 BC 相切且经过点 A，设切点为 Q，连结 PQ，则 PAPQ， BCPQ， PQC90， sinACB， PAPC， PC+PC10， 解得，PC； 如图 3，P 与 AB 相切且经过点 C，设切点为 Q，连结 PQ，则 PQPC， ABPQ， PQA90， sinCAB， PAPC， PC+PC10， 解得，PC， 综上所述，PC 的长为或 （2）直线 yx+b 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴
40、交于点 B， A（3b，0） ，B（0，b） ，且 b0， ABb， 如图 4，Q 与 OB 相切且经过点 A，设切点为点 G，连结 QG，作 QFOA 于点 F，则 QAQG3， OBQG， BGQQFA90， QGAO， BQGBAO， ， BGQG31， ， QFQA3， QGOGOFOFQ90， 四边形 OGQF 是矩形， GOQF， bOBBG+GO； 如图 5，Q 与 OA 相切且经过点 B，设切点为点 L，连结 QL，作 QHOB 于点 H，则 QBQL3， 同理可得，BHQQLA90，BQHBAO，HOQL， 由，得 BHQB3， 同理可得，四边形 OHQL 是矩形， HOQL
41、3， bOBHO+BH 综上所述，b 的值为或 24 如图，O 的半径是 3，点 P 是O 上一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 M 是弧上的任意一点（与 A、B 不重合） ，MNAB 于 N，以 M 为圆心，MN 为半径作M，分别过 A、B 作M 的切线，两切线交 于点 C （1）求弦 AB 的长； （2）求ACB 的大小； （3）设ABC 的面积为 S，若 S4MN2，求M 的半径 【考点】圆的综合题 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）连接 OA，OP 与 AB 的交点为 Q，则OAQ 为直角三角形，且 OA3，OQ，借助勾 股定理可求得 AQ 的长； （2）判定CAB+ABC
42、的值是否是定值，由于M 是ABC 的内切圆，所以 AM 和 BM 分别为CAB 和ABC 的角平分线，因此只要MAN+MBA 是定值， 那么 CAB+ABC 就是定值，而MAN+MBA 等于弧 AB 所对的圆周角，这个值等于AOB 值的一半； （3）由题可知 SSABM+SACM+SBCM（6+2CE） ，结合圆 M 切线的性质推知ECMACB 30，在直角CEM 中，利用勾股定理求得 CE 的长度，则 CDCEMEMN由已知条件 S 4MN2推知 4MN2（6+2CE） MN，由此求得 MN 的值，即圆 M 的半径 【解答】解： （1）连接 OA，取 OP 与 AB 的交点为 Q，则有 OA
43、3 弦 AB 垂直平分线段 OP， OQOP，AQBQ， 在 RtOAF 中， AQ， AB2AQ3 （2）连接 AD、BD， 由（1） ，OQ，AQ， tanAOP， AOP60， AOB120， 点 M 为ABC 的内心， CAB2MAN，CBA2MBA， MAN+MBAAOM+MOBAOB60， CAB+CBA120， ACB60 （3）取 AC、BC 与圆 M 的切点分别是 D、E，连接 OM、MD、MC、ME，则有 MDMEMN，MD AC，MEMC， SSABM+SACM+SBCMABMN+BCME+ACMD（AB+BC+AC） MN（6+2CE） MN， DE、CD 是圆 M 的切线， ECMACB30， 在直角CEM 中，CEME， CDCEMEMN S4MN2， 4MN2（6+2CE） MN， MN1，即圆 M 的半径是 1
