1、1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 1.2 1.2 一定一定是直角三角形吗是直角三角形吗 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 小小明找来了长度分别为明找来了长度分别为12cm, ,40cm的两根线的两根线, ,利用利用 这两根线采用固定三边的办法画出了如图所示的两个图这两根线采用固定三边的办法画出了如图所示的两个图 形形, ,他画的是直角三角形吗他画的是直角三角形吗? ? 问题思考问题
2、思考 导入新知导入新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 1. 探索和掌握勾股定理的逆定理，并探索和掌握勾股定理的逆定理，并 能理解能理解勾股数的概念勾股数的概念. 2. 经历经历证明勾股定理的证明勾股定理的逆定理的过程逆定理的过程，能利，能利 用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角 三角形三角形. 素养目标素养目标 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 据说据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角古埃及人曾用如图所示的方法画直角. . 这种方法对吗？这种方法对吗？ 知识点 1 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理
3、 探究新知探究新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 3 4 5 三边分别为三边分别为3，4，5， 满足关系：满足关系：32+ +42= =52， 则该三角形是直角三角形则该三角形是直角三角形 探究新知探究新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 问题问题1 用用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 0 180 150 120 90 60 30 7 24 25 5 13 12 17 8 15 是是 做一做做一做 下列下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分 别以这些
4、数为边长画出三角形别以这些数为边长画出三角形( (单位：单位：cm).). 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17 探究新知探究新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 下面有三组数分别是一个三角形的三边长下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5, ,12, ,13; ; 7, ,24, ,25; ; 8, ,15, ,17. . 问题问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？这三组数在数量关系上有什么相同点？ 5, ,12, ,13满足满足52+ +122= =132, , 7, ,24, ,25满足满足72+ +242= =252, ,
5、8, ,15, ,17满足满足82+ +152= =172. 问题问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 因为因为32+ +42= =52，所以，所以满足满足. a2+ +b2= =c2 探究新知探究新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 我觉得这个猜我觉得这个猜 想不准确，因想不准确，因 为测量结果可为测量结果可 能有误差能有误差. . 我也觉得猜想不严我也觉得猜想不严 谨，前面我们只取谨，前面我们只取 了几组数据，不能了几组数据，不能 由部分代表整体由部分代表整体. . 问题问题4 据此你有什么猜想呢据此你有什么猜
6、想呢? 由上面几个例子，我们猜想：由上面几个例子，我们猜想： 如果如果三角形的三边长三角形的三边长a, ,b, ,c满足满足a2+ +b2= =c2, ,那么这那么这 个三角形是直角三角形个三角形是直角三角形. 探究新知探究新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 已知：如已知：如图，在图，在ABC中，中，AB= =c，BC= =a，CA= =b， 并且并且a2+ +b2= =c2. A B b c 证明：证明：作作A1B1C1 在在ABC和和A1B1C 1中，中， C a 求求证：证：C= =90. 使使C1= =90 根据根据勾股定理勾股定理，则，则有有 所以所以C
7、= =C1 = =90. B A B1C1= =a，C1A1= =b, , A1B1 2= =B1C1 2+ +C1A1 2= =a2+ +b2 因为因为a2+ +b2= =c2 所以所以A1B1 = =c， 所以所以AB= =A1B1 所以所以ABC A1B1C1， ， a b C1 A1 B1 BC= =B1C1 CA= =C1A1 AB= =A1B1 探究新知探究新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 符号语言：符号语言： 在在ABC中，中， 若若a2 + + b2 = = c2 则则ABC是是直角三角形直角三角形. . 提示提示：勾股定理的逆定理是直角三角形的
8、勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理判定定理，即已知三角，即已知三角 形的三边长，且满足两条形的三边长，且满足两条较小边较小边的平方和等于的平方和等于最长边最长边的平方，即的平方，即 可判断此三角形为直角三角形可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角最长边所对应的角为直角. . 如果如果三角形的三边长三角形的三边长a、b、c满足满足 a2 + + b2 = = c2，那么这个那么这个 三角形是直角三角形三角形是直角三角形. b c C a B A 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理： 探究新知探究新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 例例 下面下面以以a
9、, ,b, ,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是为边长的三角形是不是直角三角形？如果是, , 那么哪一个角是直角？那么哪一个角是直角？ ( (1) ) a= =15，b= =20，c= =25; ; 解解：( (1) )因为因为152+ +202= =625，252= =625，所以，所以152+ +202= =252，根据，根据勾勾 股定理的逆定理，股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且这个三角形是直角三角形，且C是直角是直角. . ( (2) ) a= =13 ，b= =14，c= =15. ( (2) )因为因为132+ +142= =365，152= =225，所以所以132
10、+ +142152，不符合，不符合 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理，所以所以这个这个三角形不是直角三角形三角形不是直角三角形. 素养考点素养考点 1 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 点拨点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三 角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. . 探究新知探究新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 下列各组线段中下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是，能够组成直角三角形
11、的一组是( )( ) A. 1, ,2, ,3 B. 2, ,3, ,4 C. 4, ,5, ,6 D. 6, ,10, ,8 D 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 一个零件的形状如下图一个零件的形状如下图( (左左) )所示所示, ,按规定这个零件按规定这个零件 中中A和和DBC都应为直角都应为直角. .工人师傅量得这个零件各工人师傅量得这个零件各 边尺寸如下图边尺寸如下图( (右右) )所示所示, ,这个零件符合要求吗这个零件符合要求吗? ? 勾勾股定股定理的逆定理的应用理的逆定理的应用 知识点 2 例例 探究新知探究新知 1.
12、2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 分分析析：如果三角形三边之间的关系存在着如果三角形三边之间的关系存在着a2+ +b2= =c2, ,那么就那么就 可以判定是直角三角形可以判定是直角三角形. 解解:在在ABD中中, ,AB2+ +AD2= =9+ +16= =25= =BD2, , 所以所以ABD是直角三角形是直角三角形, ,A是直角是直角. 在在BCD中中, ,BD2+ +BC2= =25+ +144= =169= =CD2, , 所以所以BCD是直角三角形是直角三角形, ,DBC是直角是直角. 因此因此, ,这个零件符合要求这个零件符合要求. 探究新知探究新知 1.2
13、 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 方法点拨方法点拨 勾股定理勾股定理与其逆定理的关系与其逆定理的关系: :勾股定理是已知直角勾股定理是已知直角 三角形三角形, ,得到三边长的关系得到三边长的关系, ,它是直角三角形的重要性质它是直角三角形的重要性质 之一之一; ;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判 断一个三角形是不是直角三角形断一个三角形是不是直角三角形, ,这是直角三角形的判这是直角三角形的判 定定, ,也是判断两直线是否垂直的方法之一也是判断两直线是否垂直的方法之一. .二者的二者的条件和条件和 结论刚好结论刚好相反相反
14、. . 探究新知探究新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / F E DA BC 如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，AB= =4，AE= =2，DF= =1，图中，图中 有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流交流. . 4 1 2 2 4 3 解解: :ABE，DEF，FCB 均均为为直角三角形直角三角形, , 由由勾股定理勾股定理知知 BE2= =22+ +42= =20，EF2= =22+ +12= =5， BF2= =32+ +42= =25, , 所以所以BE2+ +EF2= =BF2, , 所以所
15、以BEF是是直角三角形直角三角形. . 巩固练习巩固练习 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 知识点 3 勾股数勾股数 如果如果三角形的三边长三角形的三边长a，b，c满足满足a2+ +b2= =c2那么这个三角形那么这个三角形 是直角三角形是直角三角形. .满足满足a2+ +b2= =c2的三个的三个正整数正整数，称为，称为勾股数勾股数. . 常见勾股数：常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等等等. 勾股数拓展性质：勾股数拓展性质： 一一组勾股数，都扩大相同倍数组勾股数，
16、都扩大相同倍数k( (k为正整数为正整数) )，得到一组新，得到一组新 数，这组数同样是勾股数数，这组数同样是勾股数. . 探究新知探究新知 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 下列下列各组数是勾股数的是各组数是勾股数的是 ( ( ) ) A.3，4，6 B.6，7，8 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13 D 温馨提示：温馨提示：根据勾股数的定义，勾股数必须为根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数正整数，先排除，先排除 小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. . 巩固练习巩固练习 1.2 1.
17、2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 已知已知M、N是线段是线段AB上的两点上的两点，AM= =MN= =2，NB= =1，以点，以点A为圆为圆 心，心，AN长为半径画弧；再以点长为半径画弧；再以点B为圆心，为圆心，BM长为半径画弧，两长为半径画弧，两 弧交于点弧交于点C，连接连接AC，BC，则则ABC一定是（一定是（ ） A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D等腰三角形等腰三角形 B 连接中考连接中考 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 1.下列各组数是勾股数的是下列各组数是勾股数的是 ( )( ) A.3，4，7 B.5
18、，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数将直角三角形的三边长扩大同样的倍数, ,则得到的三角形则得到的三角形 ( ( ) ) A.是直角三角形是直角三角形 B.可能是锐角三角形可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形不可能是直角三角形 B A 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 3.若若ABC的三边的三边a, ,b, ,c满足满足 a:b: c= =3:4:5，试判，试判断断ABC的形状的形状. . 解：解：设设a= =3k,
19、 ,b= =4k, ,c= =5k( (k0),), 因为因为( (3k) )2+(+(4k) )2= =25k2,(,(5k) )2= =25k2, , 所以所以( (3k) )2+(+(4k) )2=(=(5k) )2, , 所以所以ABC是直角三角形，且是直角三角形，且C是是直角直角. 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / A, ,B, ,C三地的两两距离如图所示，三地的两两距离如图所示，A地在地在B地的正东方向，地的正东方向， C地在地在B地的什么方向？地的什么方向？ 解解：因为因为AB2+ +BC2= =1
20、22+ +52 = =144+ +25 = =169， AC2= =132= =169，所以所以AB2+ +BC2= =AC2， 所以所以ABC为直角三角形，且为直角三角形，且B= =90， 由于由于A地在地在B地的正东方向，所以地的正东方向，所以C地在地在B地的正北方向地的正北方向. . 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 如如图，在正方形图，在正方形ABCD中中，F是是CD的中点的中点，E为为BC上一点上一点， 且且CE= =1 4CB， ，试判断试判断AF与与EF的位置关系的位置关系，并说明理由并说明理由 拓
21、 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 解：解：AFEF.理由如下：理由如下： 设设正方形的边长为正方形的边长为4a, 则则EC= =a，BE= =3a，CF= =DF= =2a. 在在RtABE中，得中，得AE2= =AB2+ +BE2= =16a2+ +9a2= =25a2. . 在在RtCEF中，得中，得EF2= =CE2+ +CF2= =a2+ +4a2= =5a2. . 在在RtADF中，得中，得AF2= =AD2+ +DF2= =16a2+ +4a2= =20a2. . 在在AEF中，中，AE2= =EF2+
22、 +AF2，所以所以AEF为直角三角形为直角三角形， 且且AE为为斜边斜边所以所以AFE= =90， 即即AFEF. . 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 勾股定理勾股定理 的逆定理的逆定理 内容内容 作用作用 从从三边数量关系三边数量关系判定一个三角形是判定一个三角形是 否是直角形三角形否是直角形三角形. 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a 、b 、c满足满足 a2+ +b2= =c2，那么这个三角形是直角，那么这个三角形是直角 三角形三角形. 注意注意 最长边最长边不一定是不一定是c， C也不一定也不一定 是直角是直角. 勾股数一定是勾股数一定是正整数正整数 勾股数勾股数 课堂小结课堂小结 1.2 1.2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗/ / 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习 课后作业课后作业
