1、1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 1.1 1.1 探索探索勾股定理勾股定理 ( (第第2 2课时课时) ) 北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 1. .上上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问 勾股定理的内容是什么？勾股定理的内容是什么？ 2. .如何如何验证勾股定理呢验证勾股定理呢 ？ 据不完全统计，验证的方法有据不完全统计，验证的方法有400 多种，多种，你有自己你有自己的方法吗？的方法吗？ 导入新知导入新知 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 1. .掌握
2、用面积法如何验证掌握用面积法如何验证勾股定理勾股定理，并能应用勾股，并能应用勾股 定理解决一些定理解决一些实际问题实际问题 2. .经历经历勾股定理的勾股定理的验证过程验证过程，体会，体会数形结合数形结合的思想和的思想和 从特殊到一般的思想从特殊到一般的思想. . 素养目标素养目标 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 问题思考问题思考 分别以分别以直角三角形直角三角形的三条边的长度为边长向外作的三条边的长度为边长向外作 正方形正方形, ,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗? ?你你 是如何做的是如何做的? ?与同伴进行交流与同伴进行交流. .
3、知识点 1 勾股定理勾股定理的证明的证明 探究新知探究新知 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 小小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对 大正方形进行割补的？大正方形进行割补的？ 你你能将所有三角形和正方形的面积用能将所有三角形和正方形的面积用a, ,b, ,c的的 关系式表示出来吗？关系式表示出来吗？ 探究新知探究新知 A B C D 补补 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / a+ +b 大正方形大正方形ABCD的面积可以表示为：的面积可以表示为： 或者或者 _ 可得等式可得等式 方法方法一一 探究新知探究新知 ( (a+
4、+b) )2 41 2ab+ +c 2 41 2ab+ +c 2 =( =(a+ +b) )2 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 你能用右图验证勾股定理吗？你能用右图验证勾股定理吗？ 验证了勾验证了勾 股定理股定理 探究新知探究新知 = =c2 S正方形 正方形C 所以所以a2+ +b2= =c2 . . S正方形 正方形C =(=(a+ +b) )2- -1 2ab 4 = =a2+ +b2+ +2ab- -2ab = =a2+ +b2 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 小小正方形正方形ABCD的面积可以表示为：的面积可以表示为： 或者或者 _ 可得等式可得等式
5、方法方法二二 探究新知探究新知 c2 A B C D 41 2ab+ +（ （b- -a） 2 41 2ab+ +（ （b- -a） 2= =c2 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 你能用右图验证勾股定理吗？你能用右图验证勾股定理吗？ 也验证了也验证了 勾股定理勾股定理 探究新知探究新知 = =c2 S正方形 正方形ABCD 所以所以a2+ +b2= =c2 . . = =1 2ab 4+ +（b- -a）2 S正方形 正方形ABCD A B C D = =2ab+ +a2+ +b2- -2ab = =a2+ +b2 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 所以所以a2
6、+ + b2 = = c2 方法三方法三 c2 a b c a2 b2 探究新知探究新知 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / a b c 所以所以c2 = = b2 + + a2 方法四方法四 探究新知探究新知 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. . 探究新知探究新知 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / a a a a b b b b c c c 所以所以a2+ +b2+ +
7、2ab= =c2+ +2ab， 证明证明：因为因为S大正方形 大正方形=( =(a+ +b) )2= =a2+ +b2+ +2ab, , S大正方形 大正方形= =4S直角三角形直角三角形+ + S小正方形小正方形 = =4 1 2ab+ +c 2 = =c2+ +2ab， 探究新知探究新知 所以所以a2+ +b2= =c2 . . 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / a a b b c c 美国第二十任总统伽菲尔德的美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法总统证法”.”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：求证：a2+ +b2 = =
8、c2. . 探究新知探究新知 所以所以a2+ +b2= =c2 . . 证明：证明： 因为因为 S梯 梯形形= =1 2( (a+ +b)( )(a+ +b) ) S梯 梯形形= =1 2ab+ + 1 2ab+ + 1 2c 2 = =1 2( (a 2+ +b2+ +2ab) ) = =1 2 ( (2ab+ +c 2) ) 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / a b c A B C D E F O 意大利文艺复兴意大利文艺复兴 时代的著名画家时代的著名画家 达达芬奇的证法芬奇的证法 探究新知探究新知 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / A a B C b D E
9、F O A B C D E F 请请同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！ 证明：证明： 探究新知探究新知 所以所以a2+ +b2= =c2 . . S多边形 多边形ABCDEF = =a2+ +b2+ +21 2ab S多边形 多边形ABCDEF = =c2+ +21 2ab 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 归纳总结归纳总结 勾股定理的验证主要是通过勾股定理的验证主要是通过拼图法拼图法利用面积的关利用面积的关 系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图， 补拼是要求无重叠，叠合是要求
10、无空隙；而用补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法面积法验验 证的关键是要找到一些特殊图形证的关键是要找到一些特殊图形( (如直角三角形、正方如直角三角形、正方 形、梯形形、梯形) )的的面积之和面积之和等于整个图形的面积，从而达到等于整个图形的面积，从而达到 验证的目的验证的目的 探究新知探究新知 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 用用四个边长均为四个边长均为a，b，c的的直角三角板，拼成直角三角板，拼成如图如图所示的所示的 图形，则下列结论中正确的是图形，则下列结论中正确的是( ( ) ) Ac2= =a2+ +b2 Bc2= =a2+ +2ab+ +b2 Cc2=
11、=a2- -2ab+ +b2 Dc2= =( (a+ +b) )2 A 巩固练习巩固练习 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 例例 我方侦察员小王在距离东西向公路我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察处侦察, ,发现一发现一 辆敌方汽车在公路上疾驶辆敌方汽车在公路上疾驶. .他赶紧拿出红外测距仪他赶紧拿出红外测距仪, ,测得汽车测得汽车 与他相距与他相距400m, ,10s后后, ,汽车与他相距汽车与他相距500m, ,你能帮小王计算你能帮小王计算 敌方汽车的速度吗敌方汽车的速度吗? ? 分分析析： 勾勾股定股定理的应用理的应用 知识点 2 探究新知探究新知 点点A表示小表示
12、小 王的位置王的位置 点点C表示表示 汽车开始汽车开始 位置位置 点点B表示表示10s 后汽车距小后汽车距小 王王500m 小王距离公路小王距离公路 400m，所以，所以 C是直角是直角 点点A、B、 C构成直构成直 角三角形角三角形 A C 公路公路 400m B 500m 例 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 即它行驶的速度为即它行驶的速度为108 km/h. . 总结总结：在实际问题中，可以根在实际问题中，可以根据问据问题中的条件题中的条件构造构造 直角三角形直角三角形，从而利用，从而利用勾股定勾股定理理来解答来解答. . 解：解： 由勾股定理由勾股定理, ,可以得到可以得
13、到AB2= =BC2+ +AC2, , 也就是也就是5002= =BC2+ +4002, ,所以所以BC= =300. . 敌方汽车敌方汽车10s行驶了行驶了300m, ,那么它那么它1h行驶的距离为行驶的距离为 300660= =108000( (m) ), , 探究新知探究新知 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 飞机飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶 上方上方4km处，过了处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞，飞 机每小时飞行多少千米？机每小时飞行多少千米？ 4km A B C
14、在在RtABC中中，BC2= =AB2- -AC2. 解：解： 因为因为AB= =5，AC= =4, , 所以所以BC2= =52- -42. 所以所以BC2= =9, ,所以所以BC= =3， 因为因为20s= 1 180h, , 所以所以3 1 180= =540km. . 答：答：飞机每小时飞行飞机每小时飞行540km. . 巩固练习巩固练习 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 例例 等腰三角形等腰三角形底边上的高为底边上的高为8cm，周长为周长为32cm， 求这个三角形的求这个三角形的面积面积. . 8 x D A B C 解：解：设这个三角形为设这个三角形为ABC，高为，
15、高为AD，设，设BD为为xcm， 则则AB为（为（16- -x）cm， 由勾股定理得：由勾股定理得：x2+ +82=(=(16- -x) )2 即即x2+ +64= =256- -32x+ +x2 所以所以x= =6 素养考点素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题利用勾股定理解答面积问题 探究新知探究新知 方法点拨：方法点拨：利用勾股定理解答几何问题，经常用到设利用勾股定理解答几何问题，经常用到设 未知数未知数列方程列方程的思想的思想 答：答：这个这个三角形的三角形的面积为面积为48cm2. S ABC= =1 2BCAD= = 1 2 268= =48（cm2） 1.1 1.1 探索勾股定理
16、探索勾股定理/ / 下列下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积面积. . 15厘米厘米 17厘米厘米 解：解：设正方形的边长为设正方形的边长为x厘米厘米 , , 则则 x2 = =172- -152 = =64 答：答：正方形的面积是正方形的面积是64平方厘米平方厘米. . 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 议一议议一议 判断判断图中图中三角形的三边是否满足三角形的三边是否满足a2+b2=c2. 锐角三角形锐角三角形： a2+ +b2 c2 钝角三角形钝角三角形： a2+ +b2 c2 直角三角形直角三角形
17、： a2+ +b2= =c2 提示：提示：用用数格子的方法数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足判断图中三角形的三边长是否满足 a2+ +b2= =c2. 探究新知探究新知 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 勾股定理是勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股我国对勾股 定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他 用来证明勾股定理的图案被称为用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图赵爽弦图”.”.2002年在北京召年在北京召 开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是开的国际数学大会选
18、它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图赵爽弦图” 的是（的是（ ） A B C D B 连接中考连接中考 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 1如图，一个长为如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( ( ) ) A0.2 m B0.4 m C2 m D4 m C 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 2如图，在边长为如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网个单位长度的小正方形组成的网 格中，点格中，点A，B都是
19、格点，则线段都是格点，则线段AB的长度为的长度为( ( ) ) A5 B6 C7 D25 A 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 3如图，直线如图，直线l上有三个正方形上有三个正方形a，b，c，若若a，c的的 面积分别为面积分别为3和和4，则，则b的面积为的面积为( ( ) ) A16 B12 C9 D7 D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 4两棵树之间的距离为两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是，两棵树的高度分别是8 m，2 m， 一只小鸟从一棵
20、树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至 少要飞多少米？少要飞多少米？ 思路：思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角 三角形，再利用勾股定三角形，再利用勾股定理解答理解答 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 解：解：根据题意画出示意图，如图所示根据题意画出示意图，如图所示， 两两棵树的高度分别为棵树的高度分别为AB= =8 m，CD= =2 m， 两两棵树之间的距离棵树之间的距离BD= =8 m， 过过点点C作作CEAB，
21、垂足为垂足为E，连接连接AC. 则则BE= =CD= =2 m，EC= =BD= =8 m， AE= =AB- -BE= =8- -2= =6( (m) ) 在在RtACE中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得AC2= =AE2+ +EC2， 即即AC2= =62+ +82= =100，所以，所以AC= =10 m. 答答：这只小鸟至少要飞这只小鸟至少要飞10 m 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 知识点知识点 如如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两 个半圆的面积个半圆
22、的面积S1= =25 8 ， S2= =2，试求出，试求出S3的面积的面积. 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 解：解：如图，由圆的面积公式得如图，由圆的面积公式得 S1= =1 2 c 2 2 = =25 8 , , S2= =1 2 a 2 2 = =2 所以所以c2= =25，a2= =16. 根据勾股定理，得根据勾股定理，得b2= =c2- -a2= =9. . 所以所以S3= =1 2 b 2 2 = =1 8b 2= =9 8. 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 1.1 1.1 探索勾股定理
23、探索勾股定理/ / 一一艘快艇以每小时艘快艇以每小时12海里的速度离开海里的速度离开A地，向西北方向地，向西北方向 航行，另一小船以每小时航行，另一小船以每小时5海里的速度离开海里的速度离开A地，同时出发向地，同时出发向 西南方向航行，求西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离小时后快艇与小船之间的距离. . 思路提示：思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问解题的关键是要能够根据题意，将实际问 题抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解题抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解 决问题决问题. .或者说：画出图形，运用勾股定理或者说：画出图形，运用勾股定理. . 拓 广 探
24、 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 解：解：根据题意，如图，根据题意，如图，1小时后快艇在小时后快艇在B处，小船在处，小船在C处处. . 且且有有AB= =12海里，海里，AC= =5海里，海里，BAC= =90 A C B 由由勾股定理，可以得到勾股定理，可以得到AB2+ +AC2= =BC2 即即122+ +52= =BC2 所以所以BC= =13 （海里）（海里） 答：答： 1小时后快艇与小船之间的距离为小时后快艇与小船之间的距离为13海里海里. . 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 1.1 1.1 探索勾股
25、定理探索勾股定理/ / 验证验证 勾勾股股 定理定理 及应及应 用用 拼 图拼 图 验 证验 证 首先通过首先通过拼图拼图找出面积之间的相等关系，找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出代数变形即可推导出勾股定理勾股定理 应 用应 用 拼出拼出图形图形 写出图形面积的写出图形面积的表达式表达式 找出找出相等相等关系关系 步 骤步 骤 恒等恒等变形变形 导出导出勾股定理勾股定理 思 路思 路 课堂小结课堂小结 1.1 1.1 探索勾股定理探索勾股定理/ / 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习 课后作业课后作业
