1、2021 年浙江省温州市龙湾区中考数学质检试卷（年浙江省温州市龙湾区中考数学质检试卷（3 月份）月份） 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选， 均不给分）均不给分） 1 （4 分）下列函数中，是二次函数的是（ ） Ay6x2+1 By6x+1 Cy Dy+1 2 （4 分）一个不透明的袋子中只装有 5 个红球，从中随机摸出一个球是黑球（ ） A属于随机事件 B可能性大小为 C属于不可能事件 D是必然事件 3 （4 分）抛物线 y2x2+4 与
2、 y 轴的交点坐标是（ ） A （0，2） B （0，2） C （0，4） D （0，4） 4 （4 分）已知如图O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ） A4 B6 C7 D8 5 （4 分）如图，一架长 2.5 米的梯子 AB 斜靠在墙上，已知梯子底端 B 到墙角 C 的距离为 1.5 米，设梯子 与地面所夹的锐角为 ，则 cos 的值为（ ） A B C D 6（4 分） 如图， ABC 中， P 为边 AB 上一点， 下列选项中的条件， 不能说明ACP 与ACB 相似的是 （ ） AACPB BAPCACB CAC2APAB DABC
3、PAPAC 7 （4 分） 如图是一张矩形纸板， 顺次连接各边中点得到菱形， 再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形 将 一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A B C D 8 （4 分）如图，正方形 ABCD 边 AB1，和都是以 1 为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为 S1 和 S2，则 S1S2等于（ ） A1 B1 C1 D1 9 （4 分）如图 1，RtABC 中，BC2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上，C、D 两点不 重合，设 CD 的长度为 x，ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，已知 y 与 x 之间的函
4、数关系如图 2 所示，则 a 的值是（ ） A B1 C D 10 （4 分）如图，抛物线 yx+2 交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C，当ABC 纸片上的点 C 沿着 此抛物线运动时，则ABC 纸片随之也跟着水平移动，设纸片上 BC 的中点 M 坐标为（m，n） ，在此运 动过程中，n 与 m 的关系式是（ ） An（m）2 Bn（m）2 Cn（m）2 Dn（m）2 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）已知线段 a2cm，b8cm，线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，线段 c cm 12 （5 分
5、）小亮在投篮训练中，对多次投篮的数据进行记录得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 160 200 投中次数 15 33 49 63 97 128 160 投中的频 率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.8 0.8 估计小亮投一次篮，投中的概率是 13 （5 分）已知一个扇形的半径为 4cm，面积是 20cm2，则它的弧长为 cm 14 （5 分） “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的 面积为 4， 大正方形的面积为 100， 直角三角形中较小的锐角为 ， 则 tan 的值等于 15 （5 分）如图，在直角A
6、BC 中，A90，ABAC6，点 E 为 AC 的中点，点 F 在底边 BC 上， 且 FEBE，则 CF 长为 16 （5 分） 图 1 是某小型汽车的侧面示意图， 其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱， 在打开后备箱的过程中， 箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针旋转， 当旋转角度为 60时， 箱盖 ADE 落在 ADE的位置 （如图 2 所示） 已 知 AD80 厘米，DE25 厘米，EC35 厘米则点 D到 BC 的距离是 厘米；点 E 和 E两点的距离是 厘米 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，满分题，满分 80 分）分） 17 （10 分） （1）计算：2sin60+（1）0（）
7、 1； （2）已知，且 a+b20，求 a，b 的值 18 （8 分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者 服务队” ，设立四个“服务监督岗” ：洗手监督岗，戴口罩监督岗，就餐监督岗，操场活动监督 岗李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗 （1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ； （2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率 19 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为（0，3） ， （1，4） ， （4，3） （1）在图中画出点 P，使点 P 到 A
8、，B，C 三点的距离都相等； （2）在图中画出点 D，使点 D 在格点上，且ADBACB （画出一种情况即可） 20 （8 分）如图，小叶与小高欲测量公园内一棵树 DE 的高度他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 A 处测得树顶端 D 仰角为 30， 朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处， 测得树顶端 D 的仰角为 60 已 知 A 点的高度 AB 为 3 米，台阶 AC 的坡比为 1：（即 AB：BC1：） ，且 B、C、E 三点在同一条 直线上 （1）求出台阶 AC 的长； （2）求出树 DE 的高度 21 （10 分）如图，ABC 中，点 P、E 分别在边 AB、BC 上，点 E 为边
9、 BC 的中点，点 Q 在线段 CA 的延 长线上，且BPEQC45 （1）求证：BPECEQ； （2）若 BP2，CQ25，求 PQ 的长 22 （10 分）如图，点 A、B、C、D 在O 上，ABAC，BDAC，垂足为 E （1）求证：ADOC； （2）连接 AO 并延长交O 于点 M，若 DC2，AB4，求 AM 的长 23 （12 分） “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐某网店专售一款休闲裤，其成本为每条 40 元， 当售价为每条 80 元时， 每月可销售 100 条 为了吸引更多顾客， 该网店采取降价措施 据市场调查反映： 销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条设每条裤子
10、的售价为 x 元（x 为正整数且 x80） ，每月的销 售量为 y 条 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）设该店每月所获利润为 w 元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出 5 元资助贫困学生总捐款额不低于 750 元，求捐款后每月最大利润 24 （14 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC6，E 是线段 AB 上的一个动点，经过 A，D，E 三点的 O 交线段 AC 于点 K，交线段 CD 于点 H，连接 DE 交线段 AC 于点 F （1）求证：AEDH； （2）连接 DK，当 DE
11、 平分ADK 时，求线段 DE 的长； （3）连接 HK，KE，在点 E 的运动过程中，当线段 DH，HK，KE 中满足某两条线段相等时，求出所有 满足条件的 AE 的长 2021 年浙江省温州市龙湾区中考数学质检试卷（年浙江省温州市龙湾区中考数学质检试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选， 均不给分）均不给分） 1 （4 分）下列函数中，是二次函数的是（ ） Ay6x2+1 By6
12、x+1 Cy Dy+1 【解答】解：A是二次函数，故本选项符合题意； B是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A 2 （4 分）一个不透明的袋子中只装有 5 个红球，从中随机摸出一个球是黑球（ ） A属于随机事件 B可能性大小为 C属于不可能事件 D是必然事件 【解答】解：一个不透明的袋子中只装有 5 个红球，从中随机摸出一个球是黑球属于不可能事件； 故选：C 3 （4 分）抛物线 y2x2+4 与 y 轴的交点坐标是（ ） A （0，2） B （0，2） C
13、（0，4） D （0，4） 【解答】解：把 x0 代入抛物线 y2x2+4 中， 解得：y4， 则抛物线 y2x2+4 与 y 轴的交点坐标是（0，4） 故选：C 4 （4 分）已知如图O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ） A4 B6 C7 D8 【解答】解：连接 OA， O 的直径为 10， OA5， 圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3， 由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点，AMAB， 由勾股定理可得，AM4，所以 AB8 故选：D 5 （4 分）如图，一架长 2.5 米的梯子 AB 斜靠在墙上，已知梯子底端 B 到墙角
14、 C 的距离为 1.5 米，设梯子 与地面所夹的锐角为 ，则 cos 的值为（ ） A B C D 【解答】解：在 RtBAC 中，ACB90，AB2.5m，BC1.5m， coscosB 故选：A 6（4 分） 如图， ABC 中， P 为边 AB 上一点， 下列选项中的条件， 不能说明ACP 与ACB 相似的是 （ ） AACPB BAPCACB CAC2APAB DABCPAPAC 【解答】解：A、当ACPB，AA 时，APCACB，故本选项不符合题意； B、当APCACB，AA 时，APCACB，故本选项不符合题意； C、当 AC2APAB，即 AC：ABAP：AC 时，结合AA 可以
15、判定APCACB，故本选项不符 合题意； D、当 ABCPAPAC 时，不能判断APC 和ACB 相似 故选：D 7 （4 分） 如图是一张矩形纸板， 顺次连接各边中点得到菱形， 再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形 将 一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A B C D 【解答】解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的， 飞镖落在阴影区域的概率是， 故选：B 8 （4 分）如图，正方形 ABCD 边 AB1，和都是以 1 为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为 S1 和 S2，则 S1S2等于（ ） A1 B1 C1 D1 【解答】解：如图：正方形的面积S1+S
16、2+S3+S4； 两个扇形的面积2S1+S3+S4； ，得：S1S22S扇形S正方形11 故选：A 9 （4 分）如图 1，RtABC 中，BC2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上，C、D 两点不 重合，设 CD 的长度为 x，ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，已知 y 与 x 之间的函数关系如图 2 所示，则 a 的值是（ ） A B1 C D 【解答】解：由图象得，y4 为三角形 ABC 的面积 SABCACBC4， BC2， AC4， 如图，xa 时，点 E 落在 AB 上， EDBCEFAC， BFEEDABCA， ， 即， 解得 a 故选：C
17、 10 （4 分）如图，抛物线 yx+2 交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C，当ABC 纸片上的点 C 沿着 此抛物线运动时，则ABC 纸片随之也跟着水平移动，设纸片上 BC 的中点 M 坐标为（m，n） ，在此运 动过程中，n 与 m 的关系式是（ ） An（m）2 Bn（m）2 Cn（m）2 Dn（m）2 【解答】解：抛物线 yx+2 交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C， 点 B 的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（0，2） ， BC 的中点 M 坐标为（，） ，即点 M 坐标为（2，1） 点 C 沿着此抛物线运动，点 M 也随之运动，点 M 的运动轨迹是抛物线，且经过
18、（2，1） ， （6，1） 设抛物线的解析式为 yx2+bx+c， 则有，解得 m，n 满足，nm2m+8（m）2， 故选：D 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）已知线段 a2cm，b8cm，线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，线段 c 4 cm 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积 即 c2ab，则 c228， 解得 c4， （线段是正数，负值舍去） 故答案为：4 12 （5 分）小亮在投篮训练中，对多次投篮的数据进行记录得到如下频数表： 投篮次数 20
19、40 60 80 120 160 200 投中次数 15 33 49 63 97 128 160 投中的频 率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.8 0.8 估计小亮投一次篮，投中的概率是 0.8 【解答】解： 0.750.8，0.830.8，0.820.8，0.790.8， 可以看出小亮投中的频率大都稳定在 0.8 左右， 估计小亮投一次篮，投中的概率是 0.8， 故答案为：0.8 13 （5 分）已知一个扇形的半径为 4cm，面积是 20cm2，则它的弧长为 10 cm 【解答】解：设弧长为 L，则 20L4，解得 L10（cm） ， 故答案为：10 14 （5 分）
20、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的 面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为 ，则 tan 的值等于 【解答】解：由题意知，小正方形的边长为 2，大正方形的边长为 10 设直角三角形中较小边长为 x， 则有（x+2）2+x2102， 解得，x6 较长边的边长为 x+28 tan短边：长边6：8 15 （5 分）如图，在直角ABC 中，A90，ABAC6，点 E 为 AC 的中点，点 F 在底边 BC 上， 且 FEBE，则 CF 长为 2 【解答】解：作 EHBC 于 H，如图， A90，ABAC6， BCAB12，C45，
21、 点 E 为 AC 的中点， AECE3， CEH 为等腰直角三角形， EHCH3， BH1239， 在 RtABE 中，BE3， EHBF， BE2BHBF， 即 BF10， CFBCBF12102， 故答案为 2 16 （5 分） 图 1 是某小型汽车的侧面示意图， 其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱， 在打开后备箱的过程中， 箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针旋转， 当旋转角度为 60时， 箱盖 ADE 落在 ADE的位置 （如图 2 所示） 已 知 AD80 厘米，DE25 厘米，EC35 厘米则点 D到 BC 的距离是 （40+60） 厘米；点 E 和 E两点的距离是 5 厘米 【
22、解答】解：过点 D作 DHBC，垂足为点 H，交 AD 于点 F，如图 3 所示 由题意，得：ADAD80 厘米，DAD60 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AFDBHD90 在 RtADF 中，DFADsinDAD80sin6040（厘米） 又CE35 厘米，DE25 厘米， FHDCDE+CE60 厘米， DHDF+FH（40+60）厘米 点 D到 BC 的距离为（40+60）厘米 连接 AE，AE，EE，如图 4 所示 由题意，得：AEAE，EAE60， AEE是等边三角形， EEAE 四边形 ABCD 是矩形， ADE90 在 RtADE 中，AD80 厘米，DE25 厘米，
23、AE5（厘米） ， EE5厘米 故答案为： （40+60） ，5 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，满分题，满分 80 分）分） 17 （10 分） （1）计算：2sin60+（1）0（） 1； （2）已知，且 a+b20，求 a，b 的值 【解答】解： （1）原式22+13 2+13 2； （2）， ab， a+b20， b+b20， 解得：b12， 则 a8 18 （8 分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者 服务队” ，设立四个“服务监督岗” ：洗手监督岗，戴口罩监督岗，就餐监督岗，操场活动监督 岗李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作
24、，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗 （1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ； （2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率 【解答】解： （1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为 4， 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率 19 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为（0，3） ， （1，4） ， （4，3） （1）在图中画出点 P，使点 P 到 A，B，C 三点的距离都相等； （2）在图中画出点 D，使点 D
25、 在格点上，且ADBACB （画出一种情况即可） 【解答】解： （1）如图，点 P 为所作； （2）如图，点 D 为所作 20 （8 分）如图，小叶与小高欲测量公园内一棵树 DE 的高度他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 A 处测得树顶端 D 仰角为 30， 朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处， 测得树顶端 D 的仰角为 60 已 知 A 点的高度 AB 为 3 米，台阶 AC 的坡比为 1：（即 AB：BC1：） ，且 B、C、E 三点在同一条 直线上 （1）求出台阶 AC 的长； （2）求出树 DE 的高度 【解答】解： （1）在 RtABC 中， tanACB， ACB30， AB
26、3 米， AC2AB6（米） ， （2）如图，过点 A 作 AFDE 于 F， 则四边形 ABEF 为矩形， AFBE，EFAB3（米） ， 设 DEx 米， 在 RtCDE 中，CEx， 在 RtABC 中，BC3（米） ， 在 RtAFD 中，DFDEEFx3， AF（x3） ， AFBEBC+CE， （x3）3+x， 解得 x9 DE9 米 答：树高为 9 米 21 （10 分）如图，ABC 中，点 P、E 分别在边 AB、BC 上，点 E 为边 BC 的中点，点 Q 在线段 CA 的延 长线上，且BPEQC45 （1）求证：BPECEQ； （2）若 BP2，CQ25，求 PQ 的长 【
27、解答】 （1）证明：连接 AE， BC45， ABAC，BAC90， 点 E 为边 BC 的中点， AEB90，BECE，CAEBAC45， AQE+AEQCAE45， PEQ45， AEQ+PEB45， PEBAQE， BPECEQ； （2）解：BPECEQ， ， BECE， BE2PBCQ， BP2，CQ25， BE5， BC45， BAC90，ABC 为等腰直角三角形 E 为 BC 中点， 由三线合一知 CEAB，且 AECEBE5 ACAB10， AQCQAC251015 又 APABBP1028，且QAP90， PQ17 22 （10 分）如图，点 A、B、C、D 在O 上，ABAC
28、，BDAC，垂足为 E （1）求证：ADOC； （2）连接 AO 并延长交O 于点 M，若 DC2，AB4，求 AM 的长 【解答】 （1）证明：连接 AO 并延长交 BC 于 N，交O 于 M，连接 OB， ACAB，OCOB， 点 A，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上， ANBC， CANBANBAC， BEAC， BECANC90， ACB+CANACB+CBE90， CANCBD， COD2CBD， BACCOD； （2）解：DCAABD，CDEBAE， CEDBEA， ， DC2，AB4， ， AM 是O 的直径， ACM90， BECACM， CAMCBE， ACMBEC， 2
29、， ACAB4， CM2， AM2 23 （12 分） “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐某网店专售一款休闲裤，其成本为每条 40 元， 当售价为每条 80 元时， 每月可销售 100 条 为了吸引更多顾客， 该网店采取降价措施 据市场调查反映： 销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条设每条裤子的售价为 x 元（x 为正整数且 x80） ，每月的销 售量为 y 条 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）设该店每月所获利润为 w 元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出 5 元资助贫困学生
30、总捐款额不低于 750 元，求捐款后每月最大利润 【解答】解： （1）由题意可得：y100+5（80 x） ， 整理得 y5x+500（x 为正整数且 x80） ； （2）由题意，得： w（x40） （5x+500） 5x2+700 x20000 5（x70）2+4500， a50， w 有最大值， 即当 x70 时，w最大值4500， 应降价 807010（元） ， 答：当降价 10 元时，每月获得最大利润为 4500 元； （3）由题意，得：w（x405） （5x+500） 5（x72.5）2+3781.25， 由题意得， 解得 x70， 50， x72.5 时，w 随 x 的增大而减小，
31、 x70 时，w最大值5（x72.5）2+3781.253750， 答：捐款后每月最大利润是 3750 元 24 （14 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC6，E 是线段 AB 上的一个动点，经过 A，D，E 三点的 O 交线段 AC 于点 K，交线段 CD 于点 H，连接 DE 交线段 AC 于点 F （1）求证：AEDH； （2）连接 DK，当 DE 平分ADK 时，求线段 DE 的长； （3）连接 HK，KE，在点 E 的运动过程中，当线段 DH，HK，KE 中满足某两条线段相等时，求出所有 满足条件的 AE 的长 【解答】 （1）证明：连接 HE，如图 1 所示： 矩形 AB
32、CD， DABADC90， DE 为O 直径， DHE90， 四边形 ADHE 是矩形， AEDH； （2）解：如图 2 所示： 四边形 ABCD 是矩形， BADC90，ADBC6，ABCD， AC10， DE 平分ADK， ADEEDK， DE 为O 直径， DEAC， ADECAB， cosADEcosCAB，即， DE； （3）若 HKKE 时，过 K 作 MNCD，交 CD 于 M，交 AB 于 N，如图 3 所示： 则，MNBC6， EDKMDKCABDCA， ADC90， DKAKCK， ABCD， KMKN3，ANCMDM4， DE 为O 直径， DKE90， tanEKNtanMDK， NE， AEANNE4； 若 DHKE 时， ， tanADEtanCAB，即， AE； 若 DHHK 时， ADC90， AKH90， 设：DHHK3x， sinACD， CH5x， DH+CHCD， 5x+3x8， x1， DHAE3； 综合上述可得 AE 的长为或或 3
