1、2019 年浙江省温州市龙湾区中考数学一模试卷一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1若实数 a、b 互为相反数，则下列等式中成立的是（ ）Aab0 Ba+b0 Cab1 Dab12以下由两个全等的 30直角三角板拼成的图形中，属于中心对称图形的是（ ）A BC D3某班 5 位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：50、45、36、48、50则这组数据的众数是（ ）A36 B45 C48 D504一个 n 边形的内角和为 540，则 n 的值为（ ）A4 B5 C6 D75若分式 的值为 0，则 x 的值是（ ）A2 B0 C2 D36小敏的讲义夹里放了大小相同的
2、试卷共 12 页，其中语文 2 页、数学 4 页、英语 6 页，他随机地从讲义夹中抽出 1 页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（ ）A B C D7如图，小刚从山脚 A 出发，沿坡角为 的山坡向上走了 300 米到达 B 点，则小刚上升了（ ）A300sin 米 B300cos 米 C300tan 米 D 米8元宵节又称灯节，我国各地都有挂灯笼的习俗灯笼又分为宫灯，纱灯、吊灯等若购买 1 个宫灯和 1 个纱灯共需 75 元，小田用 690 元购买了 6 个同样的宫灯和 10 个纱灯若设每个宫灯x 元，每个纱灯为 y 元，由题可列二元一次方程组得（ ）A BC D9如图，点 A 是射线 y （
3、x0）上一点，过点 A 作 ABx 轴于点 B，以 AB 为边在其右侧作正方形 ABCD，过点 A 的双曲线 y 交 CD 边于点 E，则 的值为（ ）A B C D110如图，BC 是O 直径，A 是圆周上一点，把ABC 绕点 C 顺时针旋转得EDC，连结 BD，当 BD AC 时，记旋转角为 x 度，若ABCy 度，则 y 与 x 之间满足的函数关系式为（ ）Ay1802x By x+90 Cy2x Dy x二填空题（共 6 小题，满分 30 分，每小题 5 分）11因式分解：3x+9y 12已知 18的圆心角所对的弧长是 cm，则此弧所在圆的半径是 cm13不等式组 的解集是 14如图，
4、ACD 是ABC 的外角，CE 平分ACD，若A50，B35，则ECD 等于 15如果抛物线 L：yax 2+bx+c（其中 a、b、c 是常数，且 a0）与直线 l 都经过 y 轴上的同一点，且抛物线的顶点 P 在直线 l 上，那么称该直线 l 是抛物线 L 的“梦想直线”如果直线l：ynx +1（n 是常数）是抛物线 L：yx 22x+m （m 是常数）的 “梦想直线”，那么 m+n 的值是 16如图，已知正方形 ABCD 的边长是O 半径的 4 倍，圆心 O 是正方形 ABCD 的中心，将纸片按图示方式折叠，使 EA恰好与O 相切于点 A，则 tan AFE 的值为 三解答题（共 8 小
5、题，满分 80 分，每小题 10 分）17计算：（1） ；（2）化简：（a3）（a+3）+a（6a）18如图，在ABC 中，过点 C 作 CDAB，E 是 AC 的中点，连接DE 并延长，交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，连接 AD，CF（1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形（2）若 GB3，BC6，BF ，求 AB 的长19全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目：A：健身房运动；B：跳广场舞；C：参加暴走团；D：散步；E：不运动以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分运动形式 A B C D E人数
6、 12 30 m 54 9请你根据以上信息，回答下列问题：（1）接受问卷调查的共有 人，图表中的 m ，n ；（2）统计图中，A 类所对应的扇形圆心角的度数为 ；（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是 ，不运动的市民所占的百分比是 ；（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有 1500 人，那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人？20在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点都叫做格点已知ABC 的三个顶点都在格点上：（1）按下列要求画图：过点 B 和一格点 D 画 AC 的平行线 BD；过点 C
7、 和一格点 E 画 AB 的垂线 CE；在图中标出格点 D 和点 E（2）求ABC 的面积21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B，与 y 轴交于点 C （0，2）（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点 D 的坐标；（2）若点 E 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，求 tanCEB 的值22如图，已知 AB 是O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，PC 切 O 于点 C，CG 是 O 的弦，CGAB ，垂足为 D（1）求证：PCAABC（2）过点 A 作 AEPC 交O 于点 E，交 CD 于点 F，连接 BE，若 co
8、sP ，CF10，求BE 的长23中考前，某校文具店以每套 5 元购进若干套考试用具，为让利考生，该店决定售价不超过 7 元，在几天的销售中发现每天的销售数量 y（套）和售价 x（元）之间存在一次函数关系，绘制图象如图（1）y 与 x 的函数关系式为 （并写出 x 的取值范围）；（2）若该文具店每天要获得利润 80 元，则该套文具的售价为多少元？（3）设销售该套文具每天获利 w 元，则销售单价应为多少元时，才能使文具店每天的获利最大？最大利润是多少？24如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，过点 B 作 BDAB，点 C，D 都在 AB 上方，AD 交 BCD 的外接圆O 于点 E（1
9、）求证：CABAEC（2）若 BC3EC BD，求 AE 的长若 BDC 为直角三角形，求所有满足条件的 BD 的长（3）若 BCEC ，则 （直接写出结果即可）2019 年浙江省温州市龙湾区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答【解答】解：实数 a、b 互为相反数，a+b0故选：B【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键2【分析】根据中心对称图形的概念求解【解答】解：A此图案是轴对称图形，不符合题意；B此图案不是中心对称图形，不符合题意；C此图案是轴对称图形，不符合题
10、意；D此图案是中心对称图形，符合题意；故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3【分析】根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即可求出答案【解答】解：在这组数据 50、45、36、48、50 中，50 出现了 2 次，出现的次数最多，则这组数据的众数是 50，故选：D【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数4【分析】本题可利用多边形的内角和为（n2）180解决问题【解答】解：根据题意，得（n2）180540，解得：n5故选：B【点评】考查了多边形内角与外角，本题需仔细分析题意，利
11、用多边形的内角和公式结合方程即可解决问题5【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案【解答】解：由题意可知： ，解得：x2，故选：A【点评】本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型6【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数二者的比值就是其发生的概率的大小【解答】解：相同的试卷共 12 页，其中语文 2 页、数学 4 页、英语 6 页，他随机地从讲义夹中抽出 1 页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ；故选：D【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
12、事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 7【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度【解答】解：在 RtAOB 中，AOB90，AB300 米，BOABsin 300sin米故选：A【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出 AB，BO 的关系是解题关键8【分析】设每个宫灯 x 元，每个纱灯 y 元，根据“购买 1 个宫灯和 1 个纱灯共需 75 元，购买 6个宫灯和 10 个纱灯共需 690 元”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解【解答】解：设每个宫灯 x 元，每个纱灯 y 元，依题意，得： 故选：
13、B【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键9【分析】设点 A 的横坐标为 m（m 0），则点 B 的坐标为（ m，0），把 xm 代入 y x 得到点 A 的坐标，结合正方形的性质，得到点 C，点 D 和点 E 的横坐标，把点 A 的坐标代入反比例函数 y ，得到关于 m 的 k 的值，把点 E 的横坐标代入反比例函数的解析式，得到点 E 的纵坐标，求出线段 DE 和线段 EC 的长度，即可得到答案【解答】解：设点 A 的横坐标为 m（m 0），则点 B 的坐标为（ m，0），把 xm 代入 y x 得：y m，则点 A 的坐标为：（m
14、， m），线段 AB 的长度为 m，点 D 的纵坐标为 m，点 A 在反比例函数 y 上，k m2，即反比例函数的解析式为：y ，四边形 ABCD 为正方形，四边形的边长为 m，点 C，点 D 和点 E 的横坐标为 m+ m m，把 x m 代入 y 得：y m，即点 E 的纵坐标为 m，则 EC m，DE m m m， ，故选：A【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征和正方形的性质，正确掌握代入法和正方形的性质是解题的关键10【分析】根据圆周角性质和平行线性质得ABDBAC90，由旋转性质得CBDCDB90y 度，最后由三角形内角和定理可得 x、y 关系【解答】解：BC 是O 的直
15、径，BAC90，又BDAC，ABD BAC90，ABCy，CBD90y，由旋转性质可知，CBDCDB90y，在BCD 中，BCD180（CBD+CDB），即：x1802（90y ），整理，得：y 故选：D【点评】本题主要考查圆周角性质、平行线性质及旋转的性质，将ABC 通过运用几何性质与旋转角联系到一起是解题的通法二填空题（共 6 小题，满分 30 分，每小题 5 分）11【分析】通过提取公因式 3 进行因式分解即可【解答】解：原式3（x+3y）故答案是：3（x+3y ）【点评】考查了因式分解提取公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式
16、，这种分解因式的方法叫做提公因式法12【分析】设此弧所在圆的半径为 Rcm，根据弧长公式列式计算即可【解答】解：设此弧所在圆的半径为 Rcm，则 ，解得，R2（cm），故答案为：2【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式 l 是解题的关键13【分析】首先计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集【解答】解： ，由得： x4，由得： x6，不等式组的解集为：4x6，故答案为 4x6【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到14【分析】利用三角形的外角的性质求出ACD 即可【解答】解：ACDA+B50
17、+3585，又CE 平分ACD，ECD ACD42.5，故答案为 42.5【点评】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型15【分析】由直线可求得与 y 轴的交点坐标，代入抛物线可求得 n 的值，再由抛物线解析式可求得其顶点坐标，代入直线解析式可求得 m 的值【解答】解：在 ynx +1 中，令 x0 可求得 y1，在 yx 22x+m 中，令 x0 可得 ym，直线与抛物线都经过 y 轴上的一点，m1，抛物线解析式为 yx 22x+1（x1） 2，抛物线顶点坐标为（1，0），抛物线顶点在直线上，0n+1，解得 n1，m+ n 0，故答案
18、为：0【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，理解题目中“梦想直线”的定义是解题的关键16【分析】在 RtFMO 中利用勾股定理得出 AF 与 r 的关系，设 r6a，则x7a，AMMO12a， FM5a，AF FA7a，利用 ANOM 得到 求出AN，NA，再证明1 2 即可解决问题【解答】解：如图，连接 AA，EO，作 OMAB ，AN AB，垂足分别为 M、N设 O 的半径为 r，则 AMMO2r，设 AFFAx，在 Rt FMO 中，FO 2FM 2+MO2，（r+x） 2（2rx） 2+（2r） 2，7r6x，设 r6a 则 x7a，
19、AM MO12a，FM5a，AFFA 17a，ANOM， ， ，AN a，FN a，AN a，1+490，4+ 390，23，132，tan2tan1 tanAFE 故答案为 【点评】本题考查正方形的性质、圆的有关知识、勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，用设未知数列方程的数学思想是解决问题的关键三解答题（共 8 小题，满分 80 分，每小题 10 分）17【分析】（1）先算平方、二次根式、零指数幂，再算加减法即可求解；（2）先根据平方差公式，单项式乘多项式的计算法则计算，再合并同类项即可求解【解答】解：（1）1+3 13 ；（2）（a3）（a+3）+ a（6a）a 296aa 26a9【
20、点评】考查了实数的运算，平方差公式，单项式乘多项式，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算18【分析】（1）由 E 是 AC 的中点知 AECE ，由 ABCD 知AFECDE，据此根据“AAS”即可证 AEFCED，从而得 AFCD，结合 ABCD 即可得证；（2）证GBFGCD 得 ，据此求得 CD ，由 AFCD 及 ABAF+BF 可得答案【解答】解：（1）E 是 AC 的中点，AECE，ABCD，AFE CDE，在AEF 和CED 中， ，AEF CED（AAS），AFCD，又 ABCD，即 AFCD ，四边形 AFCD 是平行四边形；（2）ABCD，GBFGCD， ，即 ，解得：CD
21、，四边形 AFCD 是平行四边形，AFCD ，ABAF+BF + 6【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形、相似三角形及平行四边形的判定与性质19【分析】（1）由 B 项目的人数及其百分比求得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得m45，再用 D 项目人数除以总人数可得 n 的值；（2）360乘以 A 项目人数占总人数的比例可得；（3）由表可知样本中散步人数最多，据此可得，再用 E 项目人数除以总人数可得；（4）总人数乘以样本中 C 人数所占比例【解答】解：（1）接受问卷调查的共有 3020%150 人，m 150（12+30+54+9 ）45，n% 100%
22、36%，n36，故答案为：150、45、36；（2）A 类所对应的扇形圆心角的度数为 360 28.8，故答案为：28.8；（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是散步，不运动的市民所占的百分比是100%6%，故答案为：散步、6%；（4）1500 450（人），答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有 450 人【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20【分析】（1）根据平行线和垂线的定义，结合网格作图即可得；（2）利用割补法求解可得【解答】解：（1）如图所示，直线 BD 即为
23、所求；如图所示，射线 CE 即为所求；点 D 与点 E 即为所求（2）ABC 的面积为 34 13 14 23 【点评】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、垂线的定义及割补法求三角形的面积21【分析】（1）根据抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B，与 y 轴交于点C （0，2），可以得到抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点 D 的坐标；（2）根据题意，可以求得点 E 的坐标，从而可以求得直线 EB 的函数解析式，进而求得与 y 轴的交点，从而可以求得 tanCEB 的值【解答】解：（1）抛物线 y x2+bx+c 与
24、 x 轴交于点 A（3，0）和点 B，与 y 轴交于点C （0，2）， ，得 ，y x2 +2 ，抛物线顶点 D 的坐标为（ 1， ），即该抛物线的解析式为 y x2 +2，顶点 D 的坐标为（1， ）；（2）y ，该抛物线的对称轴为直线 x1，点 E 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，点 C（0，2），点 E 的坐标为（2，2），当 y0 时，0 ，得 x13，x 21，点 B 的坐标为（1，0），设直线 BE 的函数解析式为 ykx+n，得 ，直线 BE 的函数解析式为 y ，当 x0 时，y ，设直线 BE 与 y 轴交于点 F，则点 F 的坐标为（0， ），OF ，点 C（0，2），
25、点 E（2 ，2），OC2，CE2，CF2 ，tanCEF ，即 tanCEB 的值是 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答22【分析】（1）连接半径 OC，根据切线的性质得：OCPC，由圆周角定理得：ACB 90，所以PCAOCB，再由同圆的半径相等可得： OCBABC，从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法一：先证明CAFACF，则 AFCF 10，根据 cosPcosFAD ，可得AD8，FD 6，得 CDCF +FD16，设 OCr，ODr8，根据勾股定理列方
26、程可得 r 的值，再由三角函数 cosEAB ，可得 AE 的长，从而计算 BE 的长；方法二：根据平行线的性质得：OCAE，PEAO，由垂直的定义得：OCDEAO P ，同理利用三角函数求得：CH8 ，并设 AO5x，AH4x，表示OH3x，OC 3x 8，由 OCOA 列式可得 x 的值，最后同理得结论【解答】证明：（1）连接 OC，交 AE 于 H，PC 是O 的切线，OCPC，PCO90，PCA+ ACO90，（ 1 分）AB 是O 的直径，ACB90，（2 分）ACO+OCB90，PCAOCB，（3 分）OCOB，OCBABC，PCAABC；（2）方法一：AEPC，CAFPCA，AB
27、CG， ，ACFABC，ABCPCA，CAFACF，AFCF10 ，（6 分）AEPC，PFAD ，cosP cosFAD ，在 Rt AFD 中，cosFAD ，AF10，AD8，（7 分）FD 6，CDCF+FD16，在 Rt OCD 中，设 OCr，ODr 8，r2（r8） 2+162，r20，AB2r 40，AB 是直径，AEB 90，在 Rt AEB 中，cos EAB ，AB 40，AE32，BE 24（9 分）方法二：AEPC，OCPC，OCAE ，PEAO ，EAO+COA90，ABCG，OCD+COA90，OCDEAO P ，（6 分）在 Rt CFH 中， cosHCF ，
28、CF10，CH8，（7 分）在 Rt OHA 中，cosOAH ，设 AO5x，AH4x，OH3x，OC3x +8，由 OCOA 得：3x+8 5x，x4，AO20，AB40，在 Rt ABE 中，cos EAB ，AB 40，AE32，BE 24（9 分）【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接 OC 构造直角三角形是解题的关键23【分析】（1）设 y 与 x 的函数关系式为：y kx+ b，把（ 5.5，90）和（6，80）代入 ykx+b即可得到结论；（2）根据题意得方程即可得到结论；（3）根据题意得二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论【解
29、答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为：y kx+ b，把（5.5，90）和（6，80）代入 ykx+b 得， ，解得： ，y 与 x 的函数关系式为：y 20x+200（5x7）；故答案为：y20x +200；（2）根据题意得，（x5）（20x+200）80，解得：x 16，x 29（不合题意舍去），答：该套文具的售价为 6 元；（3）根据题意得，w（x 5）（20x+200）20x 2+300x1000，当 x 7.5，7.57，当 x7 时，文具店每天的获利最大，最大利润是（75）（207+200）120（元），答：销售单价应为 7 元时，才能使文具店每天的获利最大，最大利润是 1
30、20 元【点评】本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式二次函数的关系式的求解，比较简单，根据获利每件商品的利润销售量是解题的关键24【分析】（1）利用圆的内接四边形的性质以及等角的余角相等的性质易证明出结论成立；（2）延长 AC 交 BD 于点 F，利用平行线等分线段和相似三角形对应边成比例求解即可；（3）利用勾股定理和相似三角形分别求出 AE 和 BD 的长，依据对应边等高三角形的面积比是对应边之比，进而求解；【解答】证明：（1）四边形 BCED 内接于OAECDBC又DBABABC+ DBC90又ACB90在 RtABC 中，CAB+ABC90DBCCABCABAE
31、C（2） 如图 1 延长 AC 交 BD 于点 F，延长 EC 交 AB 于点 G在 RtABC 中，AB5，BC 3由勾股定理得，AC4又BCAF， ABBFAFB BFCRtAFBRtBFC BC 2CFAC即 9CF4，解得，CF又ECBDCGABABCGACBC即 5CG43，解得，CG又在 RtACG 中，AGAG 又ECDBAECADB由（1）得，CABAECADBCAB又ACBDBA90RtABCRtDBA 即 ，解得 AD又EGBD 即 ，解得 AE当 BDC 是直角三角形时，如图二所示BCD90BD 为 O 直径又ACB90A、C、D 三点共线即 BCAD 时垂足为 C，此时
32、 C 点与 E 点重合又DABBAC ，ACB ABD 90RtACBRtABD 即 ，解得 AD又在 RtABD 中，BDBD 如图三，由 B、C、E 都在 O 上，且 BCCE ADCBDC即 DC 平分ADB过 C 作 CMBD，CNAD ，CHAB 垂足分别为 M、N，H在 RtACB 中 AB5，BC AC2又在 RtACB 中 CHABABCHACBC即 5CH2 解得，CH2MB2又DC 平分ADBCMCN又在 RtCHB 中 BC5，CH2HB1CMCN1又在DCN 与DCM 中DCN 与DCM（AAS ）DNDM设 DNDMx则 BDx+2 ，ADx +在 Rt ABD 中由 AB2+BD2AD 2 得，25+（x+2） 2（x+ ） 2解得，xBDBM+ MD2+ 又由（1）得CABAEC，且ENC ACBENC ACB 2NE2又在 RtCAN 中 CN1，AC 2AN AEAN+NE +2又S BCD BDCM，S ACE AECN，CMCN 故 【点评】本题综合考察了圆内接四边形的性质，以及等弧对等弦，等弧所对的圆周角相等与相似三角形的判定，勾股定理的运用，全等三角形的证明等多个知识点，需要认真分析，属于偏难题型
