1、南京市南京市 2022 届高三年级零模考前复习卷届高三年级零模考前复习卷 数学数学 202108 第卷（选择题 共 60 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分） 1已知复数1iz ，设复数 2 2z w z ，则w的虚部是（ ） A1 B1 Ci Di 2已知a，b为非零实数，则“ab”是“ ab ba ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件 3在ABC中，BDDC，OA OBOCOM，AMOD，则（ ） A 1 2 B1 C2 D3 4棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，点E，F，G分别为棱AB，
2、1 CC， 11 C D的中点，则过E， F，G三点的平面截正方体所得截面面积为（ ） A 2 3 4 a B 2 3 2 a C 2 3 3 4 a D 2 3 3 2 a 5若为锐角， 2 cos 410 ，则 1 tan tan （ ） A 12 25 B 25 12 C 24 7 D 7 24 6将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有1 12，2 6，3 4三种，其中3 4是这三种分解中两数差 的绝对值最小的，我们称3 4为 12 的最佳分解当,pq p qN 是正整数n的最佳分解时，我们定义 函数 f npq，例如12431f，则 2021 1 2i i f （ ） A 1011
3、21 B 1011 2 C 1010 21 D 1010 2 7 过点,0M p作倾斜角为 150的直线与抛物线C： 2 20ypx p交于两点A，B， 若21 0AB ， 则AMBM的值为（ ） A4 B4 2 C2 10 D4 5 8已知1a ，1b，且 1 1 1 ab ee ab ，则下列结论一定正确的是（ ） Aln2ab Bln0ab C 1 22 ab D 3 222 ab 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分每题全选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选 错的得 0 分） 9已知函数 2sinf xx， （0，0 ）图象的一条对称轴为 2 3 x
4、，3 4 f ， 且 f x在 2 , 43 内单调递减，则以下说法正确的是（ ） A 7 ,0 12 是其中一个对称中心 B 14 5 C f x在 5 ,0 12 单增 D1 6 f 10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 2 C ，将ABC分别绕边a，b，c 所在的直线旋转一周， 形成的几何体的体积分别记为 a V， b V， c V， 侧面积分别记为 a S， b S， c S， 则 （ ） A2 abc VVV B2 abc SSS C 222 111 abc VVV D 222 111 abc SSS 11设集合S，T，SN，TN，S，T中至少有两个元素，且S，T
5、满足： 对于任意x，yS，若xy，都有xyT 对于任意x，yS，若xy，则 y x S； 下列情况中可能出现的有（ ） AS有 4 个元素，ST有 7 个元素 BS有 4 个元素，ST有 6 个元素 CS有 3 个元素，ST有 5 个元素 DS有 3 个元素，ST有 4 个元素 12甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n nN 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 1 2 如果 某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为 P n，则（ ） A 1 2 8 P B 11 3 32 P C 2 2 1 1 22 n n n C P n D P n的最大值为 1 4 第卷（非选择题
6、 共 90 分） 三、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13已知 tan6 xx f xxee， 8f t ，则ft_ 14根据下面的数据： x 1 2 3 4 y 32 48 72 88 求得y关于x的回归直线方程为19.212yx， 则这组数据相对于所求的回归直线方程的 4 个残差的方差 为_ （注：残差是指实际观察值与估计值之间的差） 15 斜率为 1 3 的直线l与椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 相交于A，B两点， 线段AB的中点坐标为1,1， 则椭圆C的离心率等于_ 16 “韩信点兵”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称，如“物不知数”鬼谷算”
7、 “隔墙算” “大衍求 一术”等，其中孙子算经中“物不知数”问题的解法直至 1852 年传由传教士传入至欧洲，后验证符合 由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理” 原文如下： “今有物不知 其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是一个已知某数被 3 除余 2，被 5 除 余 3，被 7 除余 2，求此数的问题满足条件的数中最小的正整数是_；1 至 2021 这 2021 个数中满 足条件的数的个数是_ 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17 （本题满分 10 分） ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 15 sin 8
8、 A ， 11 cos 16 B （1）证明：: :2:3:4a b c； （2）若 AC+CB=8，求ABC 的周长 18 （本题满分 12 分） 设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 3a ，且 53 45Sa （1）求 n a和 n S； （2）是否存在等差数列 n b，使得 12 122311 nn nnn SSSnb a aa aa aa 对nN 成立？并证明你的结论 19 （本题满分 12 分） 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于 2021 年 1 月 15 日下发关于加强中小学生手机管理工作的通知 ，对中小学生的手
9、机使用和管理作出了相关的 规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响” ，现对我校 80 名学生调查得到统 计数据如下表， 记A为事件： “学习成绩优秀且不使用手机” ；B为事件： “学习成绩不优秀且不使用手机” ， 且已知事件A的频率是事件B的频率的 2 倍 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 a 12 学习成绩不优秀人数 b 26 合计 （1）运用独立性检验思想，判断是否有 99.5%的把握为中学生使用手机对学习成绩有影响？ （2）采用分层抽样的方法从这 80 名学生中抽出 6 名学生，并安排其中 3 人做书面发言，记做书面发言的 成绩优秀的学生数为X，求X的分
10、布列和数学期望 参考数据： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 2 0 P Kk 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20 （本题满分 12 分） 如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中，面 11 ABB A 面ABCD，面 11 ADD A 面ABCD，点E、M、N分 别是棱 1 AA、BC、CD的中点 （1）证明： 1 AA 面ABCD （2） 若四边形ABCD是边长为 2 的正方形， 且 1 AAAD， 面E M N面 11 ADD A 直线l， 求直线l与 1 BC
11、所成角的余弦值 21 （本题满分 12 分） 已知双曲线E： 22 22 1 xy ab （0a ，0b）过点3,1D，且该双曲线的虚轴端点与两顶点 1 A， 2 A的 张角为 120 （1）求双曲线E的方程； （2） 过点0,4B的直线l与双曲线E左支相交于点M，N， 直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点， 求BPBQ的取值范围. 22 （本题满分 12 分） 已知函数 11 x f xxae在1x 处的切线方程为11yex， （1）求a的值； （2）若方程 f xb有两个不同实根 1 x、 2 x，证明： 12 1 1 eb xx e 南京市南京市 2022 届高三年级零模考前复习卷答案届
12、高三年级零模考前复习卷答案 数学数学 2021.08 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C C B A A B 二、多项选择题 9 10 11 12 AD ABC ACD BC 三、填空题 134 143.2 15 6 3 1623，20 四、解答题 17 （1）由 11 cos 16 B ，可得 2 3 15 sin1cossin 16 BBA， 所以AB，所以A为锐角， 2 7 cos1 sin 8 AA， 所以 151173 1515 sinsin 8168164 CAB， 由正弦定理可得 15 3 1515 : :sin:sin:sin:2:3:4 864 a b
13、 cABC （2）由（1）知 1 coscos 4 CAB ， 所以 222 2222 22cos64 2 ab ACCBACCBAC CBbaabCba， 设2at，3bt，4ct，则 22222 94364 2 ab battt，解得2t ， 所以ABC的周长为918t 18解： （1）设数列 n a的公差为d，则 21 11 3 510425 aad adad ， 解得 1 1a ，2d ，21 n an，nN ， 21 2 n n n aa Sn ； （2）设 12 12231 n n nn SSS T a aa aa a ，由 1 1 33 b 可得 1 1b ， 由 22 142
14、3155 Tb，可得 2 3 2 b ， 故存在等差数列 n b满足条件，其中 1 2 n n b ，nN ， 下面用数学归纳法证明：当 1 2 n n b 时， 1 n n n nb T a 对nN 成立， 当1n 时，由上面过程可知，等式成立， 假设nk时等式成立，即 1 1 2 21 k k k k kkb T ak ， 则当1nk时， 2 1 1 12 1232111 2 2121 232 21 23 k kk kk kkkkk kk S TT aakkkkk ， 2 1 2 1252 1221121 2 21232 21232 23 k k kkk kkkkkkb kkkkka ，
15、即当1nk时等式成立， 由可知 12 122311 nn nnn SSSnb a aa aa aa ， （其中 1 2 n n b ）对nN 成立 19 （1）由己知得 122680, 2 ab ab 解得 28, 14, a b 补全表中所缺数据如下： 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 28 12 40 学习成绩不优秀人数 14 26 40 合计 42 38 80 根据题意计算观测值为 2 2 8028 26 14 12 9.8257.879 42 38 40 40 K ， 所以有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响 （2）根据题意由分层抽样方法可知，抽取成绩优秀的学
16、生 3 名，成绩不优秀的学生 3 名 从而x的所有可能取值为 0，1，2，3， 且 03 33 3 6 1 0 20 C C P x C ， 12 33 3 6 9 1 20 C C P x C ， 21 33 3 6 9 2 20 C C P x C ， 30 33 3 6 1 3 20 C C P x C ， 所以x的分布列为 x 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 x的数学期望为 19913 0123 202020202 E x 20 （1）如图所示，在底面ABCD中，过点C分别作CPAB，CQAD 因为平面 11 ABB A 平面面ABCD， 11 ABB AA
17、BCDAB，且CP平面ABCD， 由面面垂直的性质定理，可得CP 平面 11 ABB A， 又由 1 AA 平面 11 ABB A，所以 1 AACP， 同理可证： 1 AACQ， 又因为CPCQC，且CP，CQ 平面ABCD，所以 1 AA 平面ABCD （2）因为四边形ABCD是边长为 2 的正方形，且 1 AAAD， 可得四棱柱 1111 ABCDABC D为棱长为 2 的正方体， 延长MN交AD于点H，连接EH，即为平面EMN 平面 11 ADD AEH， 则直线l与 1 BC所成角即为直线EH与 1 BC所成的角， 取AD的中点F，连接EF，可得 1 /EF BC， 则异面直线EH与
18、 1 BC所成的角即为EF与 1 BC所成的角，设为，其中0, 2 ， 在直角EAH中，可得 22 10EHAEAH， 在EFH中，可得 222 10242 5 cos 252 102 EHEFFH EH EF ， 即直线l与 1 BC所成角的余弦值为 2 5 5 21 （1）由已知 22 222 3 91 1 ab ab cab 2 2 6 2 a b 22 1 62 xy （2）设直线方程为4ykx， 11 ,M x y， 11 ,N x y， 直线DM的方程为 1 1 1 13 3 y yx x ，可得 1 1 31 0,1 3 y P x 直线DN的方程为 2 2 1 13 3 y y
19、x x ，可得 2 2 31 0,1 3 y Q x 联立 22 4 1 62 ykx xy ，消去y，整理得 22 1324540kxkx 222 12 2 12 2 2441 3540 24 0 1 3 54 0 1 3 kk k xx k x x k 可得 3 3 3 k 12 12 3131 446 33 MN yy BPBQyy xx 1221 12 1313 63 33 yxyx xx 1221 12 3333 63 33 kxxkxx xx 1212 1212 23218 63 39 kx xkxx x xxx 22 22 5424 23318 1 31 3 63 5424 39
20、 1 31 3 k kk kk k kk 2 2 24603624364 8 3853535 kkk kkkk 又 3 3 3 k，所以BPBQ的范围是 782 3 ,186 3 11 22 （1） 11 xx fxaexae ， 111kfaee ，1a ； （2）由（1）得 1 x fxxe，又 010 f ， 110fe ，且 1 x fxxe 在0,1上单调递增 所以 10 x fxxe 有唯一实根 0 0,1x ， 0 ,xx 时， 0fx， f x递减， 0, xx时， 0fx， f x递增， 故两根分别在 0 ,x与 0, x 内，无妨设 12 xx， 设 11g xf xex， 0, xx，则 x g xx ee， 0,1 xx时， 0g x， g x递减，1,x时， 0g x， g x递增， g x有最小值 10g，即 11f xex恒成立， 22 11bf xex， 2 1 1 b x e ，又因为函数 f x在0 x处的切线方程为yx ， 所以 f xx 恒成立 11 bf xx ， 1 xb ，于是 12 11 11 beb xxb ee
