1、目 录 目 录1第1关： 极值点偏移问题-对数不等式法2第2关： 参数范围问题常见解题6法6第3关： 数列求和问题解题策略8法9第4关： 绝对值不等式解法问题7大类型13第5关： 三角函数最值问题解题9法19第6关： 求轨迹方程问题6大常用方法24第7关： 参数方程与极坐标问题“考点”面面看37第8关： 均值不等式问题拼凑8法43第9关： 不等式恒成立问题8种解法探析49第10关： 圆锥曲线最值问题5大方面55第11关： 排列组合应用问题解题21法59第12关： 几何概型问题5类重要题型66第13关： 直线中的对称问题4类对称题型69第14关： 利用导数证明不等式问题4大解题技巧71第15关：
2、 函数中易混问题11对76第16关： 三项展开式问题破解“四法”82第17关： 由递推关系求数列通项问题“不动点”法83第18关： 类比推理问题高考命题新亮点87第19关： 函数定义域问题知识大盘点93第20关： 求函数值域问题7类题型16种方法100第21关： 求函数解析式问题7种求法121第22关：解答立体几何问题5大数学思想方法124第23关： 数列通项公式常见9种求法129第24关：导数应用问题9种错解剖析141第25关：三角函数与平面向量综合问题6种类型144第26关：概率题错解分类剖析7大类型150第27关：抽象函数问题分类解析153第28关：三次函数专题全解全析157第29关：二
3、次函数在闭区间上的最值问题大盘点169第30关：解析几何与向量综合问题知识点大扫描178第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇179第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”转化思想183第33关：函数零点问题求解策略194第34关：求离心率取值范围常见6法199第35关：高考数学选择题解题策略202第36关：高考数学填空题解题策略211 第1关： 极值点偏移问题-对数不等式法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式， 以下简单给出证明
4、：不妨设，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，A正确.有两个零点：，即：-得：根据对数平均值不等式：，而， B正确，C错误而+得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则， -得：，化简得： 而根据对数平均值不等式：等式代换到上述不等式根据
5、：（由得出）式变为： ，在函数单减区间中，即： 题目3：(2010天津理)已知函数 .如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，两边取对数-得： 根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数 ，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：-得：，即： 根据对数平均值不等式：，+得：根据均值不等式：函数在单调递减题目5：已知函数与直线交于两点.求证：【解析】由，可得：，-得： +得：根据对数平均值不等式利用式可得：由题于与交于不同两点，易得出则上式简化为: 第2关：
6、 参数范围问题常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px4x+p-3恒成立，求x的取值范围分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y0恒成立，求x的范围解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问
7、题可转化为在0,4内关于p的一次函数大于0恒成立的问题解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意由题设知当0时f(p)0恒成立，f(0)0,f(4)0即x2-4x+30且x2-10，解得x3或x3或x g(k) g(k) f(x) minf(x)g(k) f(x) maxg(k)f(x)g(k) f(x) max 0,a1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。 七 数形结合由于，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方
8、法求得。例9 求函数的最小值。分析 法一：将表达式改写成y可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。设过点A的切线与半圆相切与点B,则可求得所以y的最小值为（此时）.法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=（即引入辅助角法）和有界性来求解。 八 判别式法例10 求函数的最值。分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：时此时一元二次方程总有实数解由y=3，tanx=-1，由 九 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，
9、需要对参数进行讨论。例 11 设，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,则（1） 当，即在0，1上递增， （2） 当即时，在0，1上先增后减，（3） 当即在0，1上递减， 以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。第6关： 求轨迹方程问题6大常用方法 知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法
10、。 2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系xf（t），yg（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示
11、出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。（二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 来表示，若要
12、判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课前热身： 1. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹中点的轨迹方程为： （ ） A、 B、 C、 D、=1【答案】：B【解答】:令中点坐标为,则点P 的坐标为(代入椭圆方程得,选B2. 圆心在抛物线上，
13、并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）A B C D 【答案】：D【解答】:令圆心坐标为(,则由题意可得,解得,则圆的方程为,选D3: 一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【答案】：D【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。 4: 点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是 （ ）A.焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在X轴上的双曲线【答案】：A【解答】:令M的坐标为则代入圆的方程中得,选A【互动平台
14、】 一：用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2）
15、椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 到定点与定直线距离相等。【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。二：用直译法求曲线轨
16、迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？解 设M点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公
17、式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？【解答】|PA|=代入得化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3过点P（
18、2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y4k（x2），（k） M为AB的中点， 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论
19、呢？只需利用PAB为直角三角形的几何特性： 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB为直角三角形 化简，得x2y50，此即M的轨迹方程。分析3：设M（x，y），由已知l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设M（x，y），M为AB中点，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1l2 PAPB，从而kPAkPB1， 注意到l1x轴时，l2y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经
20、检验，它也满足方程x2y50 综上可知，点M的轨迹方程为x2y50。【点评】1） 解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPAkPB1，这些等量关系用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹 解法一：“几何法” 设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OMBC, 所以|OM | |
21、 | ， 即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16 化简得：（x2）2+ y2 =4. 由方程 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 （x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。 解法二：“参数法” 设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x4),由直线与圆的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0.(*),由点M为BC的中点，所以x=.(1) , 又OMBC，所以k=.(2)由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0
22、得k2 ,所以x1.所以点M的轨迹方程为（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。 四：用代入法等其它方法求轨迹方程 例4. 轨迹方程。 分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。 【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得 即点B坐标可表为（2x2a，2y） 【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆
23、x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方
24、程 【备选题】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：由条件知，设，解法一：（I）设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以 由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，
