1、 1 / 15 第第 1 章章 二次函数单元测试二次函数单元测试(A 卷基础篇）卷基础篇） 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） （2019 秋丽水期末）下列函数是二次函数的是（ ） Ay2x B Cyx+5 Dy（x+1） （x3） 【思路点拨】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案 【答案】解：A、y2x，是一次函数，故此选项错误； B、y+x，不是整式方程，故此选项错误； C、yx+5，是一次函数，故此选项错误； D、y（x+1） （x3） ，是二次函数，故此选项正确 故选：D 【点睛】
2、此题主要考查了二次函数的定义，正确把握函数的定义是解题关键 2 （3 分） （2019 秋海曙区期末）对于二次函数 y（x1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ） A开口向下 B当 x1 时，y 有最大值是 2 C对称轴是 x1 D顶点坐标是（1，2） 【思路点拨】根据二次函数的性质对各选项进行判断 【答案】解：二次函数 y（x1）2+2 的图象的开口向上，故 A 错误； 当 x1 时，函数有最小值 2，故 B 错误； 对称轴为直线 x1，故 C 错误； 顶点坐标为（1，2） ，故 D 正确 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，）
3、， 对称轴直线 x， 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象具有如下性质： 当 a0 时， 抛物线 yax2+bx+c （a0） 的开口向上， x时， y 随 x 的增大而减小； x时， y 随 x 的增大而增大； x时， y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当 a0 时，抛物线 yax2+bx+c（a0）的开口向 2 / 15 下，x时，y 随 x 的增大而增大；x时，y 随 x 的增大而减小；x时，y 取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点 3 （3 分） （2020衢州）二次函数 yx2的图象平移后经过点（2，0） ，则下列平移方法正确的是（ ） A向左平移 2 个单位，向下平移
4、 2 个单位 B向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位 【思路点拨】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可 【答案】解：A、平移后的解析式为 y（x+2）22，当 x2 时，y14，本选项不符合题意 B、平移后的解析式为 y（x+1）2+2，当 x2 时，y11，本选项不符合题意 C、平移后的解析式为 y（x1）21，当 x2 时，y0，函数图象经过（2，0） ，本选项符合题意 D、平移后的解析式为 y（x2）2+1，当 x2 时，y1，本选项不符合题意 故选：C 【点睛】本题考查二
5、次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型 4 （3 分） （2020温州）已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是抛物线 y3x212x+m 上的点，则（ ） Ay3y2y1 By3y1y2 Cy2y3y1 Dy1y3y2 【思路点拨】求出抛物线的对称轴为直线 x2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可 【答案】解：抛物线的对称轴为直线 x2， a30， x2 时，函数值最大， 又3 到2 的距离比 1 到2 的距离小， y3y1y2 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称
6、性，求出对称 轴是解题的关键 5 （3 分） （2019 秋瑞安市期中）已知二次函数 yx26x+1，关于该函数在1x4 的取值范围内，下 列说法正确的是（ ） A有最大值 8，最小值8 B有最大值 8，最小值7 C有最大值7，最小值8 D有最大值 1，最小值7 3 / 15 【思路点拨】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答 【答案】解：yx26x+1（x3）28， 在1x4 的取值范围内，当 x3 时，有最小值8， 当 x1 时，有最大值为 y1688 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键 6 （3 分） （
7、2020西湖区一模）反比例函数（k0）图象在二、四象限，则二次函数 ykx22x 的大 致图象是（ ） AB C D 【思路点拨】首先根据反比例函数所在象限确定 k0，再根据 k0 确定抛物线的开口方向和对称轴，即 可选出答案 【答案】解：反比例函数（k0）图象在二、四象限， k0， 二次函数 ykx22x 的图象开口向下， 对称轴， k0， 0， 对称轴在 x 轴的负半轴， 故选：A 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的 性质确定 k 的正负 7 （3 分） （2020杭州）设函数 ya（xh）2+k（a，h，k 是实数，a0） ，当 x
8、1 时，y1；当 x8 时， y8， （ ） A若 h4，则 a0 B若 h5，则 a0 4 / 15 C若 h6，则 a0 D若 h7，则 a0 【思路点拨】当 x1 时，y1；当 x8 时，y8；代入函数式整理得 a（92h）1，将 h 的值分别代 入即可得出结果 【答案】解：当 x1 时，y1；当 x8 时，y8；代入函数式得：， a（8h）2a（1h）27， 整理得：a（92h）1， 若 h4，则 a1，故 A 错误； 若 h5，则 a1，故 B 错误； 若 h6，则 a，故 C 正确； 若 h7，则 a，故 D 错误； 故选：C 【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟
9、练掌握待定系数法是解题的关键 8 （3 分） （2019 秋萧山区期末）已知点（x1，y1） ， （x2，y2）是某函数图象上的相异两点，给出下列函数： yx24x+2 （x1） ； y2x24x+5 （x0） ； y12x， 则一定能使成立的是 （ ） A B C D 【思路点拨】根据函数的性质即可判断 【答案】解：由yx24x+2（x1）可知抛物线开口向上，对称轴为直线 x2，当 x1 时，无法确 定 y1，y2的大小，则无法确定使一定成立； 由y2x24x+5（x0）可知抛物线开口向下，对称轴为直线 x1，当 x0 时，y 随 x 的增大而 减小， 若 x1x2，则 y1y2， 一定能使
10、成立； 由y12x 可知函数 y 随 x 的增大而减小， 若 x1x2，则 y1y2， 5 / 15 一定能使成立； 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数的性 质是解题的关键 9 （3 分） （2019 秋临海市期末）若抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点，且过点 A（m，n） ，B（m 8，n） ，则 n 的值为（ ） A8 B12 C15 D16 【思路点拨】由题意 b24c0，得 b24c，又抛物线过点 A（m，n） ，B（m8，n） ，可知 A、B 关于 直线 x对称，所以 A（+4，n） ，B（4，n） ，把点
11、 A 坐标代入 yx2+bx+c，化简整理即 可解决问题 【答案】解：由题意 b24c0， b24c， 又抛物线过点 A（m，n） ，B（m8，n） ， A、B 关于直线 x对称， A（+4，n） ，B（4，n） ， 把点 A 坐标代入 yx2+bx+c， n（+4）2+b（+4）+cb2+16+c， b24c， n16 故选：D 【点睛】本题考查抛物线与 x 轴的交点，待定系数法等知识，解题的关键是记住b24ac0 时，抛 物线与 x 轴有 2 个交点，b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点，b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点，属于中考常考题型 10 （3 分） （2019
12、 秋下城区期末）已知二次函数 y（x+m2） （xm）+2，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x1x2）是其图象上两点， （ ） A若 x1+x22，则 y1y2 B若 x1+x22，则 y1y2 C若 x1+x22，则 y1y2 D若 x1+x22，则 y1y2 6 / 15 【思路点拨】首先确定抛物线的对称轴 x1，当 x1+x22 时，点 A 与点 B 在对称轴的左侧或点 A 在对 称轴的左侧，点 B 在对称轴的右侧，且点 A 离对称轴的距离比点 B 离对称轴的距离大，利用图象法即可 判断 【答案】解：如图， 当 xm 或 xm+2 时，y2， 抛物线的对称轴 x1， 当 x1
13、+x22 时，点 A 与点 B 在对称轴的左侧或点 A 在对称轴的左侧，点 B 在对称轴的右侧，且点 A 离对称轴的距离比点 B 离对称轴的距离大， 观察图象可知，此时 y1y2， 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压 轴题 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分） （2020黄岩区模拟）二次函数 yx21 图象的顶点坐标是 （0，1） 【思路点拨】根据二次函数的性质，利用顶点式直接得出顶点坐标即可 【答案】解：二次函数 yx21 图象的顶点坐标是： （0，1） 故
14、答案为： （0，1） 【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌 握 12 （4 分） （2020襄城区模拟）若二次函数 yax2+bx+a24（a0，a、b 为常数）的图象如图所示，则 a 的值为 2 7 / 15 【思路点拨】由于抛物线经过原点，则把点（0，0）代入 yax2+bx+a24 可计算出 a12，a22， 然后根据抛物线开口方向确定 a 的值 【答案】解：把原点（0，0）代入 yax2+bx+a24 得 a240， 解得 a12，a22， 因为抛物线开口向下， 所以 a2 故答案为2 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：
15、二次函数 yax2+bx+c（a0）图象上点的坐标满足 其解析式 13 （4 分） （2020浙江自主招生）在平面直角坐标系中，先将抛物线 yx2+x2 关于 x 轴作轴对称变换， 再将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 y x2+x+2 【思路点拨】根据平面直角坐标系中，二次函数关于 x 轴、y 轴轴对称的特点得出答案 【答案】解：先将抛物线 yx2+x2 关于 x 轴作轴对称变换，可得新抛物线为 yx2x+2；再将所得 的抛物线 yx2x+2 关于 y 轴作轴对称变换，可得新抛物线为 yx2+x+2 故答案为：yx2+x+2 【点睛】本题考查的是
16、二次函数的图象与几何变换，熟知关于 x 轴、y 对称的点的坐标特点是解答此题的 关键 14 （4 分） （2020东阳市模拟）如图，抛物线 yax2+c 与直线 ymx+n 交于两点 A（2，p） ，B（5，q） ， 则不等式 ax2+mx+cn 的解集是 5x2 8 / 15 【思路点拨】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解 【答案】解：抛物线 yax2+c 与直线 ymx+n 交于 A（2，p） ，B（5，q）两点， 2m+np，5m+nq， 抛物线 yax2+c 与直线 ymx+n 交于 P（2，p） ，Q（5，q）两点， 观察函数图象可知：当5x2 时， 直线 ymx+n 在抛物
17、线 yax2+c 的上方， 不等式 ax2+mx+cn 的解集是5x2 故答案为5x2 【点睛】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决 问题 15 （4 分） （2019 秋嘉兴期末）定义符号 maxa，b的含义为：当 ab 时，maxa，ba；当 ab 时， maxa，bb如 max1，31，则 maxx2+2x+3，2x+8的最小值是 6 【思路点拨】根据题意，利用分类讨论的方法、二次函数的性质和一次函数的性质可以求得各段对应的 最小值，从而可以解答本题 【答案】解：（x2+2x+3）（2x+8）x2+4x5（x+5） （x1） ， 当 x5 或
18、 x1 时， （x2+2x+3）（2x+8）0， 当 x1 时，maxx2+2x+3，2x+8x2+2x+3（x+1）2+26， 当 x5 时，maxx2+2x+3，2x+8x2+2x+3（x+1）2+218， 当5x1 时，maxx2+2x+3，2x+82x+86， 由上可得，maxx2+2x+3，2x+8的最小值是 6， 故答案为：6 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性 质和分类讨论的方法解答 16 （4 分） （2019 秋萧山区期末）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，则称 a 是这个函 9 / 15 数
19、的不动点 已知二次函数 yx2+2x+m （1）若 3 是此函数的不动点，则 m 的值为 12 （2）若此函数有两个相异的不动点 a，b，且 a1b，则 m 的取值范围为 m2 【思路点拨】 （1）由函数的不动点概念得出 332+23+m，解得即可； （2） 由函数的不动点概念得出a、 b是方程x2+2x+mx的两个实数根， 由x11x2知0， 令yx2+x+m， 则 x1 时 y0，据此得，解之可得 【答案】解： （1）由题意得 332+23+m， 解得 m12， 故答案为12； （2） 由题意知二次函数 yx2+2x+m 有两个相异的不动点 a， b 是方程 x2+2x+mx 的两个不相等
20、实数根， 且 a1b， 整理，得：x2+x+m0， 由 x2+x+m0 有两个不相等的实数根，且 a1b，知0， 令 yx2+x+m，画出该二次函数的草图如下： 则， 解得 m2， 故答案 m2 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得 出关于 m 的不等式 10 / 15 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分） （2019 春西湖区校级月考）已知函数 y（m2+2m）x2+mx+m+1， （1）当 m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当 m 为何值时，此函数是二次函数？ 【思路点拨】 （1）直接利
21、用一次函数的定义进而分析得出答案； （2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案 【答案】解： （1）函数 y（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数， m2+2m0，m0， 解得：m2； （2） ）函数 y（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数， m2+2m0， 解得：m2 且 m0 【点睛】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握次数与系数的值是解题关键 18 （8 分） （2019 秋临安区期末）已知抛物线 y2x2+8x6 （1）用配方法求其顶点坐标，对称轴； （2）x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 【思路点拨】 （1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式
22、，求其顶点坐标，对称轴； （2）关键二次函数的性质解答 【答案】解： （1）y2x2+8x62（x2）2+2， 则顶点坐标为（2，2） ，对称轴为直线 x2； （2）当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 【点睛】本题考查的是二次函数的性质、二次函数的三种形式的转化，掌握配方法把二次函数的一般式 化为顶点式是解题的关键 19 （8 分） （2020温州）已知抛物线 yax2+bx+1 经过点（1，2） ， （2，13） （1）求 a，b 的值 （2）若（5，y1） ， （m，y2）是抛物线上不同的两点，且 y212y1，求 m 的值 【思路点拨】 （1）把点（1，2） ， （2，13）代入 y
23、ax2+bx+1 解方程组即可得到结论； （2）把 x5 代入 yx24x+1 得到 y16，于是得到 y1y2，即可得到结论 【答案】解： （1）把点（1，2） ， （2，13）代入 yax2+bx+1 得， 11 / 15 解得：； （2）由（1）得函数解析式为 yx24x+1， 把 x5 代入 yx24x+1 得，y16， y212y16， y1y2，且对称轴为 x2， m451 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解方程组，正确的理解题意是解题的关键 20 （10 分） （2020宁波模拟）如图，抛物线 yx2+bx+c 过点 C（1，m）和 D（5，m） ，A（4，1） 求
24、： （1）抛物线的对称轴； （2）抛物线的函数表达式和顶点 B 的坐标； （3）直线 AB 的函数表达式 【思路点拨】 （1）利用 C 点和 D 点为对称点确定抛物线的对称轴； （2）利用对称轴方程得到2，则可求出 b，再把 A 点坐标代入 yx2x+c 中求出 c 得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到顶点坐标； （3）利用待定系数法求直线 AB 的解析式 【答案】解： （1）点 C（1，m）和 D（5，m） ， 点 C 和点 D 为抛物线上的对称点， 抛物线的对称轴为直线 x2； （2）2， b， 把 A（4，1）代入 yx2x+c 得+c1，解得 c1， 12 / 15 抛物线解析
25、式为 yx2x1； yx2x1（x2）2， 顶点 B 的坐标为（2，） ； （3）设直线 AB 的解析式为 ypx+q， 把 A（4，1） ，B（2，）代入得，解得， 直线 AB 的解析式为 yx 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据 题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时， 常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析 式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解 21 （10 分） （2020兰溪市模拟）
26、2020 年 4 月，我市某药店销售一种疫情防控物品，进价为 50 元/瓶售价 为 60 元/瓶时，当天的销售量为 100 瓶在销售过程中发现：售价每上涨 5 元，当天的销售量就减少 5 瓶设当天销售单价统一为 x 元/瓶（x60，且 x 是按 5 元的倍数上涨） ，当天销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2）要使当天销售利润不低于 2400 元，求当天销售单价所在的范围； （3）若每瓶物品的利润不超过 80%，要想当天获得利润最大，每瓶物品售价应定为多少元？当天的最大 利润为多少元？ 【思路点拨】 （1）按照当天销售利润等于每件的利润乘
27、以销售量列出函数关系式并化简即可； （2）先求得利润等于 2400 元时的售价，再根据二次函数的性质得出当天销售单价所在的范围； （3）根据每瓶防控物品利润不超过 80%，列出关于 x 的不等式，解得单价的范围，再根据二次函数的性 质得出当天获得利润最大时的售价即可 【答案】解： （1）由题意得： y（x50） （1005） x2+210 x8000 y 与 x 的函数关系式为：yx2+210 x8000 （2）要使当天利润不低于 2400 元，则 y2400， 13 / 15 由 yx2+210 x80002400 解得，x180，x2130， 抛物线的开口向下， 当天销售单价所在的范围为
28、80 x130 （3）每瓶防控物品利润不超过 80%， 0.8， 解得 x90， 销售单价为 60 x90， 由（1）得 yx2+210 x8000 对称轴为 x105， 60 x90 在对称轴的左侧，且 y 随着 x 的增大而增大， 当 x90 时，取得最大值，此时 y902+2109080002800 每瓶物品售价为 90 元时，当天获得利润最大，最大利润为 2800 元 【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的 关键 22 （12 分） （2020下城区一模）设一次函数 y1x+a+b 和二次函数 y2x（x+a）+b （1）若 y1，
29、y2的图象都经过点（2，1） ，求这两个函数的表达式； （2）求证：y1，y2的图象必有交点； （3）若 a0，y1，y2的图象交于点（x1，m） ， （x2，n） （x1x2） ，设（x3，n）为 y2图象上一点（x3x2） ， 求 x3x1的值 【思路点拨】 （1）把已知点坐标代入两个代数式中建立方程组进行解答便可； （2）转化证明 y1y2时，方程 x+a+bx（x+a）+b 有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非 负便可； （3）由 y1y2，求出 x1与 x2，进而求得 n，由 n 的值，求得 x3的值，进而得 x3x1的值 【答案】解： （1）把（2，1）代入一次函数 y1x
30、+a+b 和二次函数 y2x（x+a）+b，得 ， 解得， 一次函数为 y1x+3， 二次函数 y2x2+2x+1， 14 / 15 （2）当 y1y2时，得 x+a+bx（x+a）+b， 化简为：x2+（a1）xa0， （a1）2+4a（a+1）20， 方程 x+a+bx（x+a）+b 有解， y1，y2的图象必有交点； （3）当 y1y2时，x+a+bx（x+a）+b， 化简为：x2+（a1）xa0， （x+a） （x1）0， a0，x1x2， x1a，x21， n1+a+b， 当 y1+a+b 时，y2x（x+a）+b1+a+b， 化简为：x2+axa10， （x+a+1） （x1）0，
31、 解得，x1（等于 x2） ，或 xa1， x3a1， x3x1a1（a）1 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，第（2）题关键 转化证明一元二次方程根的判别式的正负，第（3）题关键求得 x2的值 23 （12 分） （2020杭州模拟）关于 x 的二次函数 y1kx2+（2k1）x2（k 为常数）和一次函数 y2x+2 （1）求证：函数 y1kx2+（2k1）x2 的图象与 x 轴有交点 （2）已知函数 y1的图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 3， 试求此时 k 的值； 若 y1y2，试求 x 的取值范围 【思路点拨】 （1）证明b24ac0，便
32、可得结论； （2） 函数 y1的图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 3， 根据根与系数的关系列出 k 的方程， 便可求解； 分 k1 和 k两种情况，依据 y1y2列出关于 x 的不等式，解之可得 【答案】解： （1）（2k1）2+8k4k24k+1+8k4k2+4k+1（2k+1）20， 函数 y1kx2+（2k1）x2 的图象与 x 轴有交点； 15 / 15 （2）设 kx2+（2k1）x20 的两根为 x1，x2，则， ， 函数 y1的图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 3， |x1x2|3， ， 解得，k1 或 k； 当 k1 时，y1（x+2） （x1） ，y2x+2 y1y2， （x+2） （x1）x+2，即（x+2） （x2）0， 解得：x2 或 x2； 当 k时， y1y2， （x+2） （x+5）x+2，即（x+2） （x+10）0， 解得：10 x2 【点睛】本题主要考查二次函数与不等式组及二次函数与 x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质 是解题的关键
