1、八年级数学八年级数学下册册期末复习资料：重要知识点记忆下册册期末复习资料：重要知识点记忆 要求：阅读记忆，请同学们近两周到小组长那里接受至少 40 个知识点测评，老师将抽测. 几何部分几何部分 1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边为c；那么 222 abc. 23 P C90 （见右图示） 222 abc 222 acb, 222 bca 22 cab, 22 acb, 22 bcb. 2.勾股定理证法精选： （据说证法达几百种，本题目赵爽弦图法要求掌握，后面两种了解） .东汉末年赵爽弦图证法： （图中拼接的均为两直角边为a,b，斜边为c的全等直角三角形） 24 P 证
2、法一.（见图 1 和图 2） 222 abc . 证法二.（见图 2） 2 2 1 4ababc 2 222 2aba2ab bc 222 abc .传说中的古希腊毕达哥拉斯的拼图证法： （图中拼接的均为两直角边为a,b， 斜边为c的全等直角三角形） 30 P = 2 1 1 S4abc 2 , = 22 2 1 S4abab 2 且两个正方形边长均为ab 222 11 4abc4abab 22 222 abc .美国第 20 届总统加菲尔德的梯形面积证法： （图中拼接的两个直 角三角形均为两直角边为a,b，斜边为c的全等直角三角形） 30 P 直角梯形的面积=两个直角边为a,b面积+一个直角
3、边均为c的直角 图1 c c b a b b a c c b a a 图2 a b a b c c b a b b a b a a a b a c c b 朱实 黄实 c a-b b a 图2 b c a-b b a 图1 三角形的面积 2 2 111 ab2abc 222 即 222 111 abc 222 222 abc 3. 勾股定理：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c满足 222 abc；那么这个三角形是直角三角形. 31 P 222 abc （见右图示） C90 BCA为直角三角形 4.勾股数： （本概念属补充，作为了解） .定义：如果一个三角形的三边长a,b,c均为正整数，且满
4、足 222 abc，则这三边长的数据称为勾股数. 。常用勾股数：3, 4, 5; 5 , 1 2 , 1 3 ; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 9, 40, 41; .；以及这些数据成整 数倍关系的数组都是勾股数.如：6, 8, 10; 9, 12, 15; 10, 24, 26; . 注：若三角形最短边为n为n3的奇数，则三边是满足 22 n1n1 n, 22 是勾股数. 5.逆命题、逆定理： .逆命题： 31 P 如果两个命题的题设和结论正好相反，那么我们把这两个命题称为互逆命题；其中一个叫 原命题，另一个叫它的逆命题. .逆定理： 32 P 如果一个定理的逆命题是真命题，且
5、可以作为其他命题推理的依据，我们把这个逆命题叫 原定理的逆定理；这两个定理是互逆的. 注：写一个命题的逆命题的关键是先分清原命题的题设和结论. 6.拓展：在平面直角坐标系xOy中任意一点P a,b到坐标原点的距离为 22 OPab ，任意两点 AA A x ,y, BB B x ,y两点间的距离为: 22 ABAB ABxxyy .（要求掌握 7. 平行四边形： .定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 41 P .性质： 41 44 P .平行四边形的两组对边分别平行； .平行四边形的两组对边分别相等； .平行四边形的两组对角分别相等； .平行四边形的对角线互相平分； .拓展：平行线
6、间的平行线段相等；平行线间的距离处处相等；平行四边形是中心对称图形等. a c b B C A O D B C A 请同学们根据上面的示意图进行性质推理格式训练. .判定： 45 46 P .两组对边分别平行的四边形是平行四边形； .两组对边分别相等的四边形是平行四边形； .一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； .两组对角分别相等的四边形是平行四边形； .对角线互相平分的四边形是平行四边形. .其他： .平行线间的距离：两条平行线间垂线段的长度就是两平行线间的距离. 41 P .三角形的中位线： a.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 47 P b.三角形的中位线定理： 4
7、7 P 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 请同学们根据上面的示意图进行性质推理格式训练. .平行四边形的周长：C2 a b（这里a,b是两邻边 ） .平行四边形的面积： 平行四边形=底 高= Sah . .拓展延伸： （作为了解） 关于中点四边形： a.定义：顺次连接四边形四边中点的四边形称为中点四边形. b.原四边形的对角线即不相等也不垂直时中点四边形是平行四边形；原四边形的对角线相等但不垂直时中 点四边形是菱形；原四边形的对角垂直但不相等时的中点四边形是矩形；原四边形的对角线即垂直且相等 时中点四边形是正方形.依次见下面的示意图： 8. 矩形： .定义：有一个角为
8、直角的平行四边形是矩形. 52 P .性质： 52 53 P .矩形的两组对边分别平行且相等； .矩形的四个角都是直角； .矩形的对角线互相平分且相等； O D B C A F E D A BC O D B C A O B C A .拓展延伸： a.矩形既是轴对称图形又是中心对称图形. b.推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（要求掌握证明方法） 53 P 请同学们根据上面的示意图进行性质推理格式训练. .判定： 53 54 P .有一个角为直角的平行四边形是矩形； .三个角是直角的四边形是矩形； .对角线相等的平行四边形是矩形. 请同学们根据上面的示意图进行性质推理格式训练. .其他
9、： 矩形=长 宽= Sab.周长C2 a b（这里a,b是长方形的长与宽） 9. 菱形： .定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 55 P .性质： 56 57 P .菱形的两组对边分别平行，四边相等； .菱形的两组对角分别相等； .菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每条对角线平分一组对角； .拓展延伸：菱形既是轴对称图形又是中心对称图形. .判定： 58 P .有一组邻边的平行四边形是菱形； .四边都相等的四边形是菱形； .对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 请同学们根据上面的示意图进行性质推理格式训练. .其他： 菱形=底 高= Sah， 菱形=两对角线乘积的一半= 1 Smn 2
10、（注：m,n为两对角线长） 周长C4a（这里a是菱形的边长） 10. 正方形： .定义：有一个角为直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形. 58 P .性质： 58 P .正方形的两组对边分别平行，四边相等； .正方形的四个角都是直角； .矩形的对角线互相平分、互相垂直且相等，并且每条对角线平分一组对角； O D B C A C O BD A C O BD A O DA BC .拓展延伸：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形. 请同学们根据上面的示意图进行性质推理格式训练. .判定： 58 P .有一个角为直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.； .有一个角是直角的菱形是正方形； .有一
11、组邻边相等的矩形是正方形； .既是矩形又是菱形的四边形是正方形. 请同学们根据上面的示意图进行性质推理格式训练. .其他： . 正方形= 2 Sa （这里a是正方形的边长） ； 菱形=两对角线乘积的一半= 22 11 Smn 22 （注：m,n为两 对角线长） ；周长C4a（这里a是正方形的边长） ； .正方形连接构成的三角形都是等腰直角三角形。角度是 45和 90两种. 代数代数部分部分 1. 二次根式的定义：形如a a0的式子叫做二次根式. 2 P 常见考查形式：.识别；.有意义的条件；. a a0的双重非负数性. 2.二次根式的性质： .a a0的双重非负数性 ，即 a0 a a0 .
12、3 P 题型举例： 例 1.若 ab 1与 2a b4互为相反数，求 2021 a b 的值； 例 2.若x,y满足x24xy3，求 y x 的值. . 2 aa a0 3 P 逆用： 2 aaa0. 题型举例： 例 1.计算：. 2 3 5 ；. 2 3 7；. 2 5 11 11 . 例 2.在实数范围内分解因式：. 4 x9 ；. 2 x2 3x3 ；. 2 x6x 1. O DA BC . 2 a a0 aa0 a0 a a0 或记成 2 a a0 aa a a0 4 P .abab a0,b0.（注；非负数积的算术平方根，乘法法则逆用. 6 P） . aa a0,b0 bb .（注：
13、非负数商的算术平方根，除法法则逆用. 8 P） 题型举例： 例 1.计算或化简： . 1 9 27 ；. 2 21 4322 8 ；. 1 m m ；. 2 x1 x x . 例 2. .已知实数a,b,c在术后走上的对应点位置如图所示，请化简： 2 2 aaccbb 例 3. 若有 2 a2a1 1 1a ，请化简 2 44aaa. 3. 2 aa0与 2 a的区别与联系： .平方的位置不同； .意义不一样： 2 aa0是非负数a的算术平方根的平方， 2 a是实数a的二次幂的算术平方根； .运算结果不一定相同： 2 aa a0；而 2 aa，当a0时， 2 aa； .联系：当a0时， 2 2
14、 aaa a0. 4.代数式 .定义；用基本的运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接 而成的式子. 4 P .了解代数式的分类.（略） 5.二次根式的乘除法： .二次根式乘法法则：abab a0,b0 ，逆用：abab a0,b0. 6 P .二次根式除法法则： aa a0,b0 bb ，逆用： aa a0,b0 bb . 8 P 注：二次根式的乘除法和积商的算术平方根是互逆的 e. 0b ac 题型举例： 例 1.化简： .27；. 7 1 9 ；. 3 28 a a ；. 3 a ；. 22 xyx2xyy xyxy （xy0 ）. 例 2.计算： .
15、 1 xy y ；. 113 21 235 ；. 11 1 26 ；. 2 a aba b （a0,b0 ）. 例 3.计算： . 421 1821 933 ；. 1121 1884 43632 ；. b1 ab aab . 6.二次根式的加减法： 12 P .合并被开方数相同的二次根式（合并同类二次根式）法则：一相加，两不变.即根号外面的因数或者因式 不变，二次根号和被开方数不变. .二次根式的加减法法则：二次根式相加时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并. 题型举例： 例 1.计算： . 1 81282 2 ；. 186 270.5 33 ；. 11 2
16、46 28 . 例 2.计算： . 3 a3b 2ba b4a9 ab baa ；. , xyyx 2xyx0 y0 yxxy 7.二次根式的混合运算法： 14 P 先乘方开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的；能够用公式、法则和运算律进行简便运算的，尽量 不按顺序用简便运算. 题型举例： 例 1.计算： . 0 11 24412 38 ；. +2- 2 2 32012553. 例 2,.计算： . 123123；. 2 123； 22 123123. 8. 二次根式的应用题型举例： 例 1. 若一个矩形的的周长为 10832 cm， 一边长为 318 cm， 求另一边长和此矩形的面积？ 例
17、 2. 星期天，小明的妈妈和小刚作了一个小游戏.小明的妈妈说： “你现在学习了二次根式，若x表示10 的整数部分，y表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是 10 xy元，你猜一下这个钱包的钱数是 多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小明获得支配权吗？ 9.二次根式部分的其它方面：二次根式部分的其它方面： .二次根式的运算的关联概念： .最简二次根式：a.被开方数不含分母；b.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 9 P 注： 化简二次根式要注意分解质因数和分解因式，关键是能开方的因数或因式部分转化为 2 a的形式，然后利 用 2 aa来外移开出来. .同类二次根式：几个
18、二次根式化简后，若被开方数相同，则为同类二次根式. 注： 1.判断方法：.直接判断；.间接判断. 2.合并同类二次根式：.定义；.法则：一相加，两不变. 3.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式. . 关于分母有理化： .定义：将分母中根号化去，即分母化为有理数或化成有理式的过程； .两种形式：其一.分母为单项根式；其二.分母为多项根式（主要是二项根式）. .方法： 方法一.分子、分母同乘以分母的有理化因式； （有理化因式使分母有理化的因式，不止一个） 方法二.分子“分解因式” ，然后采用约分的办法达到分母有理化的目的. . .含二次根式式子值得大小比较 .平方法；.作商法；.作差法；.倒数
19、法；.近似数比较法； .海伦公式：Sp papbpc 16 P 注：这里的a,b,c 为一个三角形的三边，p为三角形之半周长，即 1 pabc 2 . .（篇幅有限，不再归纳拓展延伸部分） 10.常量与变量： 71 P .定义：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. .辨识：关键是看某一变化过程中该量是否可以取不同的值. 11.函数： 73 P .定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯唯 一确定一确定 的值与其对应，那么我们把x叫自变量，y是x的函数. 注： .两个变量有主次之分：变量x是主动的，称之为自变量
20、；变量y是被动的，称之为因变量；.函数不 是数，函数的实质是两个变量的关系； .“唯一确定” 是“有且只有”即存在性，唯一性的意思. .辨识： 给定的是.式子：关键是看自变量取值后，函数值是否为“唯一确定”.如： yx， 22 yx4等均不 属于函数关系； .给定的是图象：在平面直角坐标系中的任意一处作x的垂线，若垂线与图象的交点是唯一的，则图象能 反应函数关系，若有两个及以上的交点则不是. 12.关于函数自变量的的取值范围以及函数值问题： 73 P .求函数自变量取值范围： .整式给定为全体实数；.分式给定的满足分母不为 0；. 二次根式给定的，被开方数为非负数；. 综合式要满足式子每部分的
21、要求；.实际问题的函数要符合实际意义. .求函数值以及自变量的的方法： .求函数值就是代入自变量的值求代数式的值； .求自变量的值就是已知函数值建立方程解方程 ，对应的自变量的值可以不止一个. 13.函数的解析式： 74 P .定义：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式. .特点：.是等式；.指明谁是自变量，谁是函数；.书写函数的解析式是有顺序的. 14.函数的图象： 75 81 P .定义：一般地。对于一个函数，如果把自变量和函数的对应值分别作为点的横、纵坐标自变量和函数的对应值分别作为点的横、纵坐标 ，那么在平面内 由这些点组成的图象就是这个函数的图象
22、. .函数图象的画法步骤： .列表：给出函数的一些自变量和函数的对应值； .以各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的对应点（就是作垂线找交点） ； .按照自变量由小到大的顺序，把各点用平滑的曲线依次连接起来. 注意：.尽可能多选几个点；.注意取值范围. .函数的三种表示法以及优缺点： .解析法：优点是能准确反映整个变化过程中自变量和函数的对应关系，缺点是不直观，而且有些函数不 能用解析式表示出来. .列表法：优点是对应值一目了然，缺点是列出的对应值有限，而且有的还很难看出规律. .图象法：优点是形象直观反映变化趋势，从自变量的值难以找到函数的准确值. .利用函数的表示方法表示实际问题. 15
23、.正比例函数： 87 89 P .定义： 一般地， 形如ykx（k是常数， 且k0 ） 的函数， 叫做正比例函数， 其中k叫比例系数. （注： 正比例函数是一次函数的特例） .辨识： .所给的等式形如ykx，两个变量x和y的次数都是 1； .两个变量的商是个定值，即 y k x 一定（k0 ）. .正比例函数的图象以及性质： .图象形状：过原点的一直线，称为直线ykx. .图象位置：k0，直线 ykx过一、三象限；k0，直线 ykx过二、四象限. .增减性：当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小.、 .倾斜程度（作为了解） ：k越大，直线ykx k0越靠近y轴， k越小，直
24、线ykx k0越靠 近x轴（注：k称为斜率，反映直线的倾斜程度）. .求成正比例关系的函数关系式问题： 设成ykx的形式 代入函数的对应值列成方程 解出k值 返回写出函数关系式. .正比例函数的实际应用. 列出函数关系式，写出取值范围，画出图象（可能是一条射线或线段） ，解决问题. 16.一次函数： 89 95 P .定义：一般地，形如ykxb（k,b是常数，且k0 ）的函数，叫做一次函数 .一次函数和正比例函数的的关系 .正比例函数ykx（k0）是一次函数ykxb（k0 ） ，即正比例函数都是一次函数，但一次函 数不一定是正比例函数. .若y与x成正比例， 则可设成 ykx（k0） ； 若y
25、是x的一次函数， 则可设成ykxb（k0 ） . .一次函数的图象及其性质： x y O ykx k0 x y O ykx k0 .图象形状：过0,b 和 b ,0 k 的一直线，称为直线ykxb. .图象位置：k0，直线 ykxb必过一、三象限；k0，直线 ykxb必过二、四象限.加上b 的情况细分为如下几种情况（见示意图和说明） ： 图 1：k0,b0 ，过一、二、三象限；图 2：k0,b0 ，过一、三、四象限； 图 3：k0,b0 ，过一、三象限； 图 4：k0,b0 ，过一、二、四象限； 图 5：k0,b0 ，过二、三、四象限；图 6：k0,b0 ，过二、四象限. 注：注： 由于直线y
26、kxb与y轴的交点为0,b .所以b0，直线ykxb交y轴于正半轴； b0，直线 ykxb交y轴于负半轴；b0，直线ykxb过原点. .增减性：当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小.、 .倾斜程度（作为了解） ：k越大，直线ykx k0越靠近y轴， k越小，直线ykx k0越靠 近x轴（注：k称为斜率，反映直线的倾斜程度）. .同一坐标系内一次函数图象的平移关系： .直线ykxb（k0）可以看作是由正比例函数直线ykx（k0）平移而来的：左右平移，在自 变量部分“左加右减左加右减” ；上下平移，函数值即在常数b部分“上加下减上加下减” ； .直线ykxb（k0）沿x轴左右
27、平移通过自变量部分“左加右减左加右减”得到：如直线y2x3向左平 移 2 个单位为 y2 x23，向右平移 2 个单位为 y2 x23；直线ykxb（k0）沿y 轴左右平移通过常数部分“上加下减上加下减”得到：如直线y2x3向上平移 2 个单位为 y2x32，向 下平移 2 个单位为 y2x32； 注：注： .在同一坐标系内，两直线平行，则比例系数k相同；两直线交于y轴同一点，则常数b相同； .直线xm（m为常数）平行于y轴，直线yn（n为常数）平行于x轴；直线x0与y轴重合， 直线y0与x轴重合. 17.待定系数法求一次函数的解析式： 94 P .待定系数法求解析式的一般步骤：设设出函数解析
28、式额一般形式 代代入函数的对应值列成方程或房出租 x y O 图 4图 3 x y O 图 2 x y Ox y O 图 1图 5 x y Ox y O 图 6 解解出待定系数k,b值 返回写写出函数关系式. .求一次函数解析式的常见形式： .两点式：通过两个点的坐标代入所设列成方程组解决问题； .“11”模式：通过 1 个点的坐标再加上一个其它条件解决问题，比如： “1平行的条件” 、 “1垂直的 条件” ， “1几何图形面积的条件”等等. 18.一次函数与方程（组）和不等式（组） ： 96 98 P . 一次函数与方程（组） ：一元一次方程的解可以转化为一次函数图象上点的横坐标求出；二元一
29、次方程 组的解可以转化为两个一次函数图象交点的坐标求出；反过来亦然！ .一次函数与不等式（组） ：一元一次不等式的解集可以转化为一次函数图象上满足条件点的横坐标范围求 出；一元一次不等式组解集可以转化为两个一次函数图象满足条件交点的横坐标范围求出；反过来亦然！ 19.一次函数实际应用： 94 95,102 104 P .数学建模思想；.分段函数分类讨论问题；.方案设计和优选问题. 20.平均数： 111 113 P .平均数的一般计算公式： 12n 1 xxxx n ； .平均数的简易计算公式：xxa； （简易计算公式适用于数据波动较小的一组数据；这里a为集中波 动时的所确定的常数，为 x是偏
30、差的平均数） .加权平均数： 一组数据，若 1 x出现了 1 f次， 2 x出现了 2 f次， k x出现了 k f次,（这里的 12k fffn）则n个数 的平均数为： 1 122kk x fx fx f x n . 注： , 12k fff分别叫数据, 12k x xx的权；权也叫权重，是在一组数据重要程度；权可以是该数据 在一组数据中出现的次数或所占比例等. 21.中位数： 116 P 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为 这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称处于中间两个数的平均数为这组数据的中位数. 注： 确定中位数要注意
31、几点：其一.首先按大小顺序排序；其二，注意数据个数是奇数个还是偶数个.；另外提 供数据方式要留心，比如有时数据是表格给出的，有时是统计图给出的，要能准确读出图表的信息. 22.众数： 118 P 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 注: 一组数据可以有多个众数，当所有数据出现的次数一样时，则该组数据中没有众数 23.方差： 125,126 P .我门把一组数据中每个数据与该组数据平均数差的平方的平均数，叫这组数据的方差. .方差的计算公式： . 222 2 12n 1 sxxxxxx n （适用于所有情况） ； . 22222 12n 1 sxxxnx n （适用于数据小且均为整
32、数的情况，比如数据均为个位数的情况用 本公式比较简单） ； . 222 2 12n 1 sxxxxxx n （适用于数据大但波动不大的一组数据。这里的 , 12n xxx是每一个数据与同一个常数a的的偏差） ； . 22222 12n 1 sxxxnx n （适用于数据大但波动不大的一组数据。这里的, 12n xxx 是每一个数据与同一个常数a的的偏差）. .方差的性质： 方差越大， 数据的波动较大； 方差越小， 数据的波动越小. （要注意在同样的条件的前提下） .拓展延伸： .标准差 130 P：方差的算术平方根叫这组数据的标准差；即 2 2 1 1 ssxx n . .平均差 129 P：即每个数据与其平均数差的绝对值的平均数. 12n xxxxxx n . . 极差 129 P：一组数据中最大值与最小值的差，叫这组数据的极差；极差可反映一组数据波动的范围. .一组数据的每个数据同时加上或减去同一个数，方差不变；一组数据的每个数据同时扩大或缩小为原数 据的n倍，则方差为原数据方差的 2 n倍或 2 1 n 倍.
