1、2020-2021 学年陕西省咸阳市武功县九年级（上）第一次月考数学试卷学年陕西省咸阳市武功县九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下面能够成直角三角形三边长的是（ ） A5，6，7 B5，12，13 C1，4，9 D5，11，12 2一元二次方程 x28x10 配方后可变形为（ ） A （x+4）217 B （x+4）215 C （x4）217 D （x4）215 3如图，在ABC 中，C90，AC2，BC4，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 90，使点 C 落在点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B、E 两点间的距离为（
2、 ） A B C3 D 4如图，菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BD 的中点，若 EF5，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A20 B30 C40 D50 5如图，四边形 OBCD 是正方形，O，D 两点的坐标分别是（0，0） ， （0，6） ，点 C 在第一象限，则点 C 的坐标是（ ） A （6，3） B （3，6） C （0，6） D （6，6） 6在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，若AOB 的面积为 2，则矩形 ABCD 的面积为（ ） A4 B6 C8 D10 7不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 8如图，直线 yx+2 与 yax+b（a0
3、且 a，b 为常数）的交点坐标为（3，1） ，则关于 x 的不等式 x+2ax+b 的解集为（ ） Ax1 Bx3 Cx1 Dx3 9如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 E 为 BC 的中点，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形 内点 F 处，连接 CF，则 CF 的长为（ ） A B C D 10 如图， 在菱形 ABCD 中， AB13， 对角线 AC10， 若过点 A 作 AEBC， 垂足为 E， 则 AE 的长为 （ ） A8 B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11若一元二次方程 ax2bx20200 有一根为 x1
4、，则 a+b 12关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 13如图所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，试添加一个条件： ，使得平行四 边形 ABCD 为菱形 14如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上一点，AE 的延长线交 CD 于点 F，连接 CE若BAE 56，则CEF 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 15 （5 分）用适当的方法解下列方程： （3x2）2x2 16 （5 分）解方程： 17 （5 分）已知三角形 ABC，用尺规求作一点 P 使 PBPC，且点 P 到 AB，BC 的距离
5、相等 （不写作法， 保留痕迹） 18 （5 分）先化简再求值（+），其中 a+2 19 （7 分）如图，在ABCD 中，BE 平分ABC 交 AD 于点 E，DF 平分ADC 交 BC 于点 F （1）求证：ABECDF； （2）若 BDEF，则判断四边形 EBFD 是什么特殊四边形，请证明你的结论 20 （7 分） “a20”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5 x2+4x+4+1（x+2）2+1，（x+2）20， （x+2）2+11，x2+4x+51试利用“配方法”解决下 列问题： （1） 填空： 因为x24x+6 （x ） 2+ ； 所以当x
6、 时， 代数式x24x+6有最 （填 “大”或“小” ）值，这个最值为 （2）比较代数式 x21 与 2x3 的大小 21 （7 分）如图，在矩形 ABCD 中，过对角线 BD 的中点 O 作 BD 的垂线 EF，分别交 AD，BC 于点 E，F （1）求证：DOEBOF； （2）若 AB6，AD8，连接 BE，DF，求四边形 BFDE 的周长 22 （7 分）某单位计划从商店购买同一种品牌的钢笔和笔记本，已知购买一支钢笔比购买一个笔记本多用 20 元，若用 1500 元购买钢笔和用 600 元购买笔记本，则购买钢笔的数量是购买笔记本数量的一半 （1）求购买一支钢笔、一个笔记本各需要多少元？
7、（2）经商谈，商店给予优惠，优惠方式是每购买一支钢笔赠送一个笔记本；如果此单位需要笔记本的数 量是钢笔数量的 3 倍还少 6 个， 且购买钢笔和笔记本的总费用不超过 1020 元， 那么最多可购买多少支钢 笔？ 23 （8 分）已知：如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的点，连接 AE、CE （1）求证：AECE； （2）若将ABE 沿 AB 翻折后得到ABF，当点 E 在 BD 的何处时，四边形 AFBE 是正方形？请证明你 的结论 24 （10 分）已知：关于 x 的方程 x2（k+2）x+2k0 （1）求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 ABC
8、 的一边长 a1，另两边长 b，c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长 25 （12 分）受气候的影响，某超市蔬菜供应紧张，需每天从外地调运蔬菜 1000 斤超市决定从甲、乙两 大型蔬菜棚调运蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可调出 800 斤，乙蔬菜棚每天最多可调运 600 斤，从两蔬 菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元/斤千米） 甲蔬菜棚 120 0.03 乙蔬菜棚 80 0.05 （1）若某天调运蔬菜的总运费为 3840 元，则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜？ （2）设从甲蔬菜棚调运蔬菜 x 斤，总运费为 W 元，试写出 W 与 x 的函数关系式，怎样
9、安排调运方案才 能使每天的总运费最省？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下面能够成直角三角形三边长的是（ ） A5，6，7 B5，12，13 C1，4，9 D5，11，12 【分析】判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可 【解答】解：A、52+6272，不是直角三角形，故此选项错误； B、52+122132，是直角三角形，故此选项正确； C、12+4292，不是直角三角形，故此选项错误； D、52+112122，不是直角三角形，故此选项错误 故选：B 2一元二次方程 x28
10、x10 配方后可变形为（ ） A （x+4）217 B （x+4）215 C （x4）217 D （x4）215 【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得 【解答】解：x28x1， x28x+161+16，即（x4）217， 故选：C 3如图，在ABC 中，C90，AC2，BC4，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 90，使点 C 落在点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B、E 两点间的距离为（ ） A B C3 D 【分析】延长 DE 交 BC 于 F，由旋转的性质可得 AEAC2，EAC90DEAACB，可得 AECB，ACEF，由平行线间的平行
11、线段相等，可得 CFEF2AC，EFC90，由勾股定理可 求解 【解答】解：如图，延长 DE 交 BC 于 F， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转 90， AEAC2，EAC90DEAACB， AECB，ACEF， CFEF2AC，EFC90， BF2， BE2， 故选：B 4如图，菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BD 的中点，若 EF5，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A20 B30 C40 D50 【分析】由三角形中位线定理可求 AB10，由菱形的性质即可求解 【解答】解：E，F 分别是 AD，BD 的中点， EF 是ABD 的中位线， EFAB5， AB10， 四边形 ABD
12、是菱形， ABBCCDAD10， 菱形 ABCD 的周长4AB40； 故选：C 5如图，四边形 OBCD 是正方形，O，D 两点的坐标分别是（0，0） ， （0，6） ，点 C 在第一象限，则点 C 的坐标是（ ） A （6，3） B （3，6） C （0，6） D （6，6） 【分析】利用正方形的性质求出 OB，BC，CD 即可 【解答】解：四边形 OBCD 是正方形， OBBCCDOD，CDOCBO90， O，D 两点的坐标分别是（0，0） ， （0，6） ， OD6， OBBCCD6， C（6，6） 故选：D 6在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，若AOB 的面积为 2，则矩
13、形 ABCD 的面积为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】根据矩形的性质得到 OAOBOCOD，推出 SADOSBCOSCDOSABO2，即可求出 矩形 ABCD 的面积 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O， ACBD，且 OAOBOCOD， SADOSBCOSCDOSABO2， 矩形 ABCD 的面积为 4SABO8， 故选：C 7不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 x+40，得：x4， 解不等式
14、 32x1，得：x2， 则不等式组的解集为4x2， 故选：A 8如图，直线 yx+2 与 yax+b（a0 且 a，b 为常数）的交点坐标为（3，1） ，则关于 x 的不等式 x+2ax+b 的解集为（ ） Ax1 Bx3 Cx1 Dx3 【分析】函数 yx+2 与 yax+b（a0 且 a，b 为常数）的交点坐标为（3，1） ，求不等式x+2 ax+b 的解集，就是看函数在什么范围内 yx+2 的图象对应的点在函数 yax+b 的图象上面 【解答】解：从图象得到，当 x3 时，yx+2 的图象对应的点在函数 yax+b 的图象上面， 不等式x+2ax+b 的解集为 x3 故选：D 9如图，在
15、矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 E 为 BC 的中点，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形 内点 F 处，连接 CF，则 CF 的长为（ ） A B C D 【分析】 连接 BF， 根据三角形的面积公式求出 BH， 得到 BF， 根据直角三角形的判定得到BFC90， 根据勾股定理求出答案 【解答】解：连接 BF， BC6，点 E 为 BC 的中点， BE3， 又AB4， AE5， 由折叠知，BFAE（对应点的连线必垂直于对称轴） BH， 则 BF， FEBEEC， BFC90， CF 故选：D 10 如图， 在菱形 ABCD 中， AB13， 对角线 AC10， 若过点 A 作
16、 AEBC， 垂足为 E， 则 AE 的长为 （ ） A8 B C D 【分析】连接对角线 BD，根据勾股定理求对角线 BD24，由菱形的面积列式得：S菱形ABCDBCAE ACBD，代入计算可求 AE 的长 【解答】解：连接 BD 交 AC 于 O， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OAAC105， AB13BC， 由勾股定瑆得：OB12， BD2OB24， AEBC， S菱形ABCDBCAEACBD， 13AE1024， AE， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11若一元二次方程 ax2bx20200 有一根为 x1，则 a+b 20
17、20 【分析】由方程有一根为1，将 x1 代入方程，整理后即可得到 a+b 的值 【解答】解：把 x1 代入一元二次方程 ax2bx20200 得：a+b20200， 即 a+b2020 故答案是：2020 12关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k1 【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于 k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论 【解答】解：由已知得：44k0， 解得：k1 故答案为：k1 13如图所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，试添加一个条件： ADDC ，使得 平行四边形 ABCD 为菱形 【分析】
18、根据菱形的定义得出答案即可 【解答】解：邻边相等的平行四边形是菱形， 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，试添加一个条件：可以为：ADDC； 故答案为：ADDC 14如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上一点，AE 的延长线交 CD 于点 F，连接 CE若BAE 56，则CEF 22 【分析】根据正方形的性质，即可得到DAF34，DFE56，依据全等三角形的对应角相等， 即可得到DCEDAF34，再根据三角形外角性质，即可得到CEF 的度数 【解答】解：正方形 ABCD 中，BADADF90，BAE56， DAF34，DFE56， ADCD，ADECDE，D
19、EDE， ADECDE（SAS） ， DCEDAF34， DFE 是CEF 的外角， CEFDFEDCE563422， 故答案为：22 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 15 （5 分）用适当的方法解下列方程： （3x2）2x2 【分析】利用平方差公式分解因式解一元二次方程得出即可 【解答】解： （3x2）2x2， （3x2）2x20， （3x2+x） （3x2x）0， 3x2+x0，3x2x0， 解得 x10.5，x21 16 （5 分）解方程： 【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可 【解答】解：去分母，得：2x5+3（x2）3x3， 去括号，得：
20、2x5+3x63x3， 移项，合并，得：2x8， 系数化为 1，得：x4， 经检验，当 x4 时，x20，即 x4 是原分式方程的解， 所以原方程的解是 x4 17 （5 分）已知三角形 ABC，用尺规求作一点 P 使 PBPC，且点 P 到 AB，BC 的距离相等 （不写作法， 保留痕迹） 【分析】作ABC 的平分线和 BC 的垂直平分线，它们的交点 P 满足条件 【解答】解：如图，点 P 为所作 18 （5 分）先化简再求值（+），其中 a+2 【分析】 根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子， 然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （+） ， 当 a+2 时，原式
21、 19 （7 分）如图，在ABCD 中，BE 平分ABC 交 AD 于点 E，DF 平分ADC 交 BC 于点 F （1）求证：ABECDF； （2）若 BDEF，则判断四边形 EBFD 是什么特殊四边形，请证明你的结论 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出 ABCD，ADCB，ADCB，AC，ABCADC，证 出ABECDF，由 ASA 即可得出ABECDF； （2）由全等三角形的性质得出 AECF，得出 DEBF，证明四边形 EBFD 是平行四边形，再由对角线 互相垂直即可得出四边形 EBFD 是菱形 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADCB，ADCB，
22、AC，ABCADC， BE 平分ABC，DF 平分ADC， ABEABC，CDFADC， ABECDF， 在ABE 和CDF 中， ， ABECDF（ASA） ； （2）解：四边形 EBFD 是菱形；理由如下： 由（1）得：ABECDF， AECF， DEBF， 又DEBF， 四边形 EBFD 是平行四边形， BDEF， 四边形 EBFD 是菱形 20 （7 分） “a20”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5 x2+4x+4+1（x+2）2+1，（x+2）20， （x+2）2+11，x2+4x+51试利用“配方法”解决下 列问题： （1）填空：
23、因为 x24x+6（x 2 ） 2+ 2 ； 所以当 x 2 时，代数式 x24x+6 有最 小 （填 “大”或“小” ）值，这个最值为 2 （2）比较代数式 x21 与 2x3 的大小 【分析】 （1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答； （2）利用求差法和配方法解答即可 【解答】解： （1）x24x+6（x2）2+2， 所以当 x2 时，代数式 x24x+6 有最小值，这个最值为 2， 故答案为：2；2；2；小；2； （2）x21（2x3） x22x+2； （x1）2+10， 则 x212x3 21 （7 分）如图，在矩形 ABCD 中，过对角线 B
24、D 的中点 O 作 BD 的垂线 EF，分别交 AD，BC 于点 E，F （1）求证：DOEBOF； （2）若 AB6，AD8，连接 BE，DF，求四边形 BFDE 的周长 【分析】 （1）根据矩形的性质可得 BODO，EODFOB，EDOFBO，即可证的两个三角形 全等； （2）设 AEx，根据已知条件可得 BEED8x，由（1）可推得EBOEDO，可得 EDEB，可 证得四边形 EBFD 是菱形，根据勾股定理可得 BE 的长，即可求得周长； 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，DOBO， EDOFBO， 又EFBD， EODFOB90， 在DOE 和BOF 中， ，
25、 DOEBOF（ASA） ； （2）解：由（1）可得，EDBF，EDBF， 四边形 BFDE 是平行四边形， EFBD， 四边形 BFDE 是菱形， 根据 AB6，AD8，设 AEx，可得 BEED8x， 在 RtABE 中，根据勾股定理可得：BE2AB2+AE2， 即（8x）2x2+62， 解得：， ， 四边形 BFDE 的周长 22 （7 分）某单位计划从商店购买同一种品牌的钢笔和笔记本，已知购买一支钢笔比购买一个笔记本多用 20 元，若用 1500 元购买钢笔和用 600 元购买笔记本，则购买钢笔的数量是购买笔记本数量的一半 （1）求购买一支钢笔、一个笔记本各需要多少元？ （2）经商谈，
26、商店给予优惠，优惠方式是每购买一支钢笔赠送一个笔记本；如果此单位需要笔记本的数 量是钢笔数量的 3 倍还少 6 个， 且购买钢笔和笔记本的总费用不超过 1020 元， 那么最多可购买多少支钢 笔？ 【分析】 （1）设购买一个笔记本需要 x 元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，根据数量总价单价结 合用 1500 元购买钢笔的数量是用 600 元购买笔记本数量的一半，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检 验后即可得出结论； （2）设购买 m 支钢笔，则购买（3m6）个笔记本，根据总价单价数量结合总费用不超过 1020 元， 即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论 【
27、解答】解： （1）设购买一个笔记本需要 x 元，则购买一支钢笔需要（x+20）元， 依题意，得：2， 解得：x5， 经检验，x5 是原分式方程的解，且符合题意， x+2025 答：购买一支钢笔需要 25 元，购买一个笔记本需要 5 元 （2）设购买 m 支钢笔，则购买（3m6）个笔记本， 依题意，得：25m+5（3m6m）1020， 解得：m30 答：最多可购买 30 支钢笔 23 （8 分）已知：如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的点，连接 AE、CE （1）求证：AECE； （2）若将ABE 沿 AB 翻折后得到ABF，当点 E 在 BD 的何处时，四边形 AFBE 是正方形
28、？请证明你 的结论 【分析】 （1）利用正方形的性质和 SAS 证明ABECBE 即可； （2）由折叠的性质得出FAEB，AFAE，BFBE，由直角三角形斜边上的中线性质得出 AE BDBEDE， 证出 AEBECEDEAFBF， 得出四边形 AFBE 是菱形， AEBD， 即可得出结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABCB，BADABC90，ABECBE45， 在ABE 和CBE 中， ， ABECBE（SAS） ， AECE （2）解：点 E 在 BD 的中点时，四边形 AFBE 是正方形；理由如下： 由折叠的性质得：FAEB，AFAE，BFBE， BAD90，E
29、是 BD 的中点， AEBDBEDE， AECE， AEBECEDEAFBF， 四边形 AFBE 是菱形，E 是正方形 ABCD 对角线的交点， AEBD， AEB90， 四边形 AFBE 是正方形 24 （10 分）已知：关于 x 的方程 x2（k+2）x+2k0 （1）求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a1，另两边长 b，c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长 【分析】 （1）先计算出（k+2）242k（k2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判 断方程根的情况； （2）分类讨论：当 bc 时，0，则 k2，再把 k 代入方
30、程，求出方程的解，然后计算三角形周长； 当 ba1 或 ca1 时，把 x1 代入方程解出 k1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边 的关系进行判断 【解答】 （1）证明：（k+2）242k（k2）2， （k2）20，即0， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当 bc 时，（k2）20，则 k2， 方程化为 x24x+40，解得 x1x22， ABC 的周长2+2+15； 当 ba1 或 ca1 时， 把 x1 代入方程得 1（k+2）+2k0，解得 k1， 方程化为 x23x+20，解得 x11，x22， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去， ABC 的周长为 5 25
31、（12 分）受气候的影响，某超市蔬菜供应紧张，需每天从外地调运蔬菜 1000 斤超市决定从甲、乙两 大型蔬菜棚调运蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可调出 800 斤，乙蔬菜棚每天最多可调运 600 斤，从两蔬 菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元/斤千米） 甲蔬菜棚 120 0.03 乙蔬菜棚 80 0.05 （1）若某天调运蔬菜的总运费为 3840 元，则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜？ （2）设从甲蔬菜棚调运蔬菜 x 斤，总运费为 W 元，试写出 W 与 x 的函数关系式，怎样安排调运方案才 能使每天的总运费最省？ 【分析】 （1）设从甲蔬菜棚调运蔬菜 x 斤
32、，则从乙蔬菜棚调运蔬菜（1000 x）斤，根据题意列方程解答 即可； （2 ）根据题意写出 W 与 x 的关系式以及 x 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可 【解答】解： （1）设从甲蔬菜棚调运蔬菜 x 斤，则从乙蔬菜棚调运蔬菜（1000 x）斤，得 1200.03x+800.05（1000 x）3840， 解得 x400， 乙蔬菜棚调运蔬菜：1000400600（斤） ， 答：从甲蔬菜棚调运了 400 斤、从乙蔬菜棚调运了 600 斤蔬菜； （2）W1200.03x+800.05（1000 x） ， 即 W0.4x+4000（400 x800） ， 0.40， W 随 x 的增大而减小， 当 x800 时，W 最小，W 最小值3680（元） ， 答：从甲蔬菜棚调运蔬菜 800 斤，从乙蔬菜棚调运蔬菜 200 斤总费用最省
