1、第七章第七章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1某人进行射击，共有 5 发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 X，则 “X5” 表示的试验结果是( ) A第 5 次击中目标 B第 5 次未击中目标 C前 4 次未击中目标 D第 4 次击中目标 解析 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 X5，则说明前 4 次均未击 中目标 答案 C 2 4 个高尔夫球中有 3 个合格、1 个不合格，每次任取一个，不放回地取两次若 第一
2、次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( ) A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.4 5 解析 法一 记事件 A 为“第一次取到的是合格高尔夫球”， 事件 B 为“第二次 取到的是合格高尔夫球” 由题意可得 P(AB)32 43 1 2，P(A) 33 43 3 4， 所以 P(B|A)P（AB） P（A） 1 2 3 4 2 3. 法二 记事件 A 为“第一次取到的是合格高尔夫球”， 事件 B 为“第二次取到的是合格高尔夫球” 由题意可得事件 AB 发生所包含的样本点数 n(AB)326，事件 A 发生所包含 的样本点数 n(A)339， 所以 P(B|A)n（AB） n
3、（A） 6 9 2 3. 答案 B 3设随机变量 X 的分布列为 P(Xi)a 1 3 i (i1，2，3)，则 a 的值为( ) A1 B. 9 13 C.11 13 D.27 13 解析 因为 P(X1)a 3，P(X2) a 9，P(X3) a 27，所以 a 3 a 9 a 271，所以 a 27 13. 答案 D 4已知某一随机变量 X 的概率分布列如下，且 E(X)6.3，则 a 的值为( ) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B6 C7 D8 解析 由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4. E(X)40.5a 0.190.46.3，a7. 答案 C 5若随机变量
4、 X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是 10，1 2 ，则该 随机变量的方差等于( ) A10 B100 C.2 D. 2 解析 由正态分布密度曲线上的最高点为 10，1 2 知 1 2 1 2，即 2 ，D(X) 22 . 答案 C 6设随机变量 XB(2，p)，随机变量 YB(3，p)，若 P(X1)5 9，则 D(3Y1) ( ) A2 B3 C6 D7 解析 由题意得 P(X1)P(X1)P(X2) C12p(1p)C22p25 9， 所以 p1 3 p5 3舍去 ，则 YB 3，1 3 ， 故 D(Y)31 3 11 3 2 3， 所以 D(3Y1)9D(Y)92 36.
5、答案 C 7 如果正态分布总体的数据落在(3， 1)内的概率和落在(3， 5)内的概率相等， 那么这个正态分布总体的数学期望是( ) A0 B1 C2 D3 解析 正态分布总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上 位于正态曲线下方的面积相等，区间(3，1)和(3，5)的长度相等，说明正态曲 线在这两个区间上是对称的因为正态曲线关于直线 x 对称， 的意义就是期 望，而区间(3，1)和(3，5)关于 x1 对称，所以正态分布总体的数学期望是 1. 答案 B 8若同时抛掷两枚骰子，当至少有 5 点或 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 3 次试验中至少有 1 次成功的概率是( )
6、 A.125 729 B. 80 243 C.665 729 D.100 243 解析 一次试验中，至少有 5 点或 6 点出现的概率为 1 11 3 11 3 14 9 5 9， 设 X 为 3 次试验中成功的次数，则 XB 3，5 9 ， 故所求概率 P(X1)1P(X0)1C03 5 9 0 4 9 3 665 729. 答案 C 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 得 0 分) 9已知离散型随机变量 X 的分布列如下： X 0 1 2 P a 4a 5a 下列
7、选项中正确的是( ) Aa 的值为 0.1 BE(X)0.44 CE(X) 1.4 DD(X)1.4 解析 由离散型随机变量的性质知 a4a5a1， a0.1.P(X0)0.1， P(X 1)0.4， P(X2)0.5，均值 E(X)00.110.420.51.4；方差 D(X) (01.4)20.1(11.4)20.4(21.4)20.50.1960.0640.180.44. 答案 AC 10已知随机变量 XB(n，p)，若 E(X)4，Y2X3，D(Y)3.2，则下列结论 正确的是( ) An4 Bn5 Cp0.8 DP(X2) 32 625 解析 由已知 np4，4np(1p)3.2，n
8、5，p0.8，P(X2)C25p2(1p)3 32 625. 答案 BCD 11某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费 1 000 元，便可以获得奖券 1 张，每张奖券中奖的概率为1 5，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金 1 000 元小 王购买一套价格为 2 400 元的西服，只能得到 2 张奖券，于是小王补偿 50 元给一 同事购买了一件价格为 600 元的便服，这样小王就得到了 3 张奖券设小王这次 消费的实际支出为 X(元)，则下列说法正确的是( ) AX 的可能取值为 2 450，1 450，450，550 BP(X2 450) 1 125 CP(X550) 1 125 DE(X)
9、1 850 解析 根据题意知，X 的可能取值为 2 450，1 450，450，550，且 P(X2 450) 4 5 3 64 125，P(X1 450)C 1 3 1 5 1 4 5 2 48 125，P(X450)C 2 3 1 5 2 4 5 1 12 125，P(X 550)C33 1 5 3 1 125， E(X)2 450 64 1251 450 48 125450 12 125(550) 1 1251 850. 答案 ACD 12 某校高三年级要从 5 名男生和 2 名女生中任选 3 名代表参加数学竞赛(每人被 选中的机会均等)，记 A 为“男生甲被选中”，B 为“男生乙和女生
10、丙至少一个被 选中”，则下列结论中正确的是( ) AP(A)3 7 BP(B)2 7 CP(AB) 9 35 DP(B|A)3 5 解析 由题意，得 P(A)C 2 6 C37 3 7，P(AB) C14C141 C37 9 35，P(B)1 C35 C37 5 7， 由条件概率公式可得 P(B|A)P（AB） P（A） 3 5.故选 ACD. 答案 ACD 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上) 13袋中有 4 只红球、3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取 到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量 X，则 P(X6)
11、_ 解析 P(X6)P(X4)P(X6) C 4 4C34C13 C47 13 35. 答案 13 35 14设一次试验成功的概率为 p，进行 100 重伯努利试验，则当 p_ 时，成功次数的方差的值最大，其最大值为_(本题第一空 3 分，第二 空 2 分) 解析 成功次数 XB(100，p)， 所以 D(X)100p(1p)100 p1p 2 2 25， 当且仅当 p1p，即 p1 2时，成功次数的方差最大， 其最大值为 25. 答案 1 2 25 15已知随机变量 X 的分布列如下表： X a 2 3 4 P 1 3 b 1 6 1 4 若 E(X)2，则 D(X)_ 解析 由分布列得1
12、3b 1 6 1 41， 解得 b 1 4， 则 E(X) 1 3a2 1 43 1 64 1 4 2，解得 a0，则 D(X)(02)21 3(22) 21 4(32) 21 6(42) 21 4 5 2. 答案 5 2 16一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利 50 元，生产一件乙等品 可获利 30 元，生产一件次品，要赔 20 元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品 和次品的概率分别为 0.6，0.3 和 0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利 _元 解析 设生产一件该产品可获利 X 元，则随机变量 X 的取值可以是20，30，50. 依题意，X 的分布列为 X 20 30
13、 50 P 0.1 0.3 0.6 故 E(X)200.10.330500.637(元) 答案 37 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 17(本小题满分 10 分)某工厂有 4 条流水线生产同一种产品，4 条流水线的产量 分别占总产量的 15%，20%，30%，35%，且这 4 条流水线的不合格品率依次为 0.05，0.04，0.03，0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多 少？ 解 设事件 Bi为“任取一件产品，恰好抽到第 i 条流水线的产品”，i1，2，3， 4，事件 A 为“任取一件产品，抽到合格品”，则 P(
14、A) 4 i1P(B i)P(A|Bi) 4 i1P(B i)1P(A |Bi) 0.15(10.05)0.20(10.04)0.30(10.03)0.35(10.02) 0.150.950.200.960.300.970.350.98 0.9685. 18(本小题满分 12 分)摇奖器中有 10 个小球，其中 8 个小球上标有数字 2，2 个 小球上标有数字 5，现摇出 3 个小球，规定所得奖金(元)为这些小球上记号之和， 如果参加此次摇奖，求获得所有可能的奖金数及相应的概率 解 设此次摇奖的奖金数为 X 元， 当摇出的 3 个小球均标有数字 2 时，X6； 当摇出的 3 个小球中有 2 个
15、标有数字 2，1 个标有数字 5 时，X9； 当摇出的 3 个小球有 1 个标有数字 2，2 个标有数字 5 时，X12. 所以所有奖金数有 6，9，12. 所以 P(X6) C38 C310 7 15， P(X9)C 2 8C12 C310 7 15， P(X12)C 1 8C22 C310 1 15. 19(本小题满分 12 分)某校从学生会宣传部 6 名成员(其中男生 4 人，女生 2 人) 中，任选 3 人参加某省举办的演讲比赛活动 (1)设所选 3 人中女生人数为 X，求 X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率； (3)设“男生甲被选中”为事件 A， “女生乙被选中”为事
16、件 B， 求 P(B)和 P(B|A) 解 (1)X 的所有可能取值为 0，1，2， 依题意得 P(X0)C 3 4 C36 1 5， P(X1)C 2 4C12 C36 3 5， P(X2)C 1 4C22 C36 1 5. X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 (2)设“甲、乙都不被选中”为事件 C， 则 P(C)C 3 4 C36 4 20 1 5. 所求概率为 P(C )1P(C)11 5 4 5. (3)P(B)C 2 5 C36 10 20 1 2；P(B|A) C14 C25 4 10 2 5. 20(本小题满分 12 分)袋中装着标有数字 1，2，3，4，
17、5 的小球各 2 个，从袋中 任取 3 个小球，若每个小球被取出的可能性都相等，X 表示取出的 3 个小球上的 最大数字，求： (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 X 的分布列及均值 E(X) 解 (1)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A， 则 P(A)C 3 5C12C12C12 C310 2 3. (2)由题意，X 所有可能的取值为 2，3，4，5. P(X2)C 2 2C12C12C22 C310 1 30； P(X3)C 2 4C12C14C22 C310 2 15； P(X4)C 2 6C12C16C22 C310 3 10； P(
18、X5)C 2 8C12C18C22 C310 8 15. 所以随机变量 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 1 30 2 15 3 10 8 15 E(X)2 1 303 2 154 3 105 8 15 13 3 . 21(本小题满分 12 分)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处 罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了 200 人进行调查，得 到如下数据： 处罚金额 x(单位：元) 0 5 10 15 20 会闯红灯的人数 y 80 50 40 20 10 (1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚 10 元时与处罚 20 元时，行人会闯红 灯的概率的差是多
19、少？ (2)若从这 5 种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试 验 求这两种金额之和不低于 20 元的概率； 若用 X 表示这两种金额之和，求 X 的分布列和数学期望 解 (1)由条件可知，处罚 10 元会闯红灯的概率与处罚 20 元会闯红灯的概率的差 是 40 200 10 200 3 20. (2)设“两种金额之和不低于 20 元”的事件为 A， 从 5 种金额中随机抽取 2 种， 总的抽选方法共有 C2510(种)， 其中满足金额之和不低于 20 元的有 6 种， 故所求 概率为 P(A) 6 10 3 5. 根据条件，X 的可能取值为 5，10，15，20，2
20、5，30，35，分布列为 X 5 10 15 20 25 30 35 P 1 10 1 10 1 5 1 5 1 5 1 10 1 10 故 E(X)5 1 1010 1 1015 1 520 1 525 1 530 1 1035 1 1020(元) 22(本小题满分 12 分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名 专业老师投票决定是否获奖 甲、 乙、 丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰” 三类票各一张每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每 人投三类票中的任何一类票的概率都为1 3， 且三人投票相互没有影响 若投票结果 中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终
21、获一等奖；否则，该节目不能获一 等奖 (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和 X 的分布列及数 学期望 解 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为 A，则事件 A 包括： 该节目可以获 2 张“获奖”票，或者获 3 张“获奖”票 因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的 概率都为1 3，且三人投票相互没有影响，所以 P(A)C 2 3 1 3 2 2 3 1 C33 1 3 3 7 27. (2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和 X 的可能取值为 0，1，2，3. P(X0)C03 1 3 3 1 27， P(X1)C13 2 3 1 3 2 6 27 2 9， P(X2)C23 2 3 2 1 3 12 27 4 9， P(X3)C33 2 3 3 8 27， 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 所以 X 的数学期望为 E(X)0 1 271 2 92 4 93 8 272. 或由XB 3，2 3 得E（X）32 32
