§7.5正态分布 学案(含答案)2021-2022学年人教A版(2019)选择性必修第三册

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1、7.57.5 正态分布正态分布 学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量 落在区间,2,2,3,3内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题 知识点一 正态曲线与正态分布 1我们称 f(x) 1 2 2 2 () 2 e x ,xR,其中 R,0 为参数,为正态密度函数,称其图象为正态分布密 度曲线,简称正态曲线 2若随机变量 X 的概率密度函数为 f(x),则称随机变量 X 服从正态分布,记为 XN(,2)特别地,当 0,1 时,称随机变量 X 服从标准正态分布 3若 XN(,2),如图所示,X 取值不超过 x 的概率 P(Xx)为

2、图中区域 A 的面积,而 P(aXb)为区域 B 的面积 思考 1 正态曲线 f(x) 1 2 2 2 () 2 e x ,xR 中的参数 , 有何意义? 答案 可取任意实数,表示平均水平的特征数,E(X);0 表示标准差,D(X)2.一个正态密度函数 由 , 唯一确定, 和 e 为常数,x 为自变量,xR. 思考 2 若随机变量 XN(,2),则 X 是离散型随机变量吗? 答案 若 XN(,2),则 X 不是离散型随机变量,由正态分布的定义:P(a0,它的图象在 x 轴的上方 2曲线与 x 轴之间的面积为 1. 3曲线是单峰的,它关于直线 x 对称 4曲线在 x 处达到峰值 1 2. 5当|

3、x|无限增大时,曲线无限接近 x 轴 6当 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿 x 轴平移,如图. 7当 一定时,曲线的形状由 确定, 较小时曲线“瘦高”,表示随机变量 X 的分布比较集中; 较大 时,曲线“矮胖”,表示随机变量 X 的分布比较分散,如图. 知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及 3 原则 P(X)0.682 7; P(2X2)0.954 5; P(3X3)0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(,), 但在一次试验中, X 的取值几乎总是落在区间3,3内, 而在此区间以外取值的概率大约只有 0.002 7,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生

4、 在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N(,2)的随机变量 X 只取3,3中的值,这在统计学中 称为 3 原则 1正态曲线中参数 , 的意义分别是样本的均值与方差( ) 2正态曲线是单峰的,其与 x 轴围成的面积是随参数 , 的变化而变化的( ) 3正态曲线可以关于 y 轴对称( ) 4若 XN(,2),则 P(X 时,曲线下降,当 x5) 解 P(5)P(3)1 21P(35) 1 21P(1414) 1 21P(22) 1 2(10.954 5)0.022 75. 反思感悟 利用正态分布的对称性求概率 由于正态曲线是关于直线 x 对称的,且概率的和为 1,故关于直线 x 对称的区间上概率

5、相等 跟踪训练 2 已知随机变量 服从正态分布 N(2,2),且 P(4)0.8,则 P(02)等于( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 答案 C 解析 随机变量 服从正态分布 N(2,2), 2,对称轴是 2. P(4)0.8,P(4)P(0)0.2, P(04)0.6, P(02)0.023,则 P(22)等于( ) A0.477 B0.954 C0.628 D0.977 答案 B 解析 画出正态曲线如图所示,结合图象知,P(22)1P(2)P(2)与 P(22)概率的关系,提升了学生的直观想象素养 1设有一正态总体,它的正态曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x) 1 8 2

6、(10) 8 e x ,则这个正态总体的均值与标 准差分别是( ) A10 与 8 B10 与 2 C8 与 10 D2 与 10 答案 B 解析 由正态密度函数的定义可知,总体的均值 10,方差 24,即 2. 2正态分布 N(0,1)在区间(2,1)和(1,2)上取值的概率为 P1,P2,则二者大小关系为( ) AP1P2 BP1P2 D不确定 答案 A 解析 根据正态曲线的特点, 图象关于 x0 对称, 可得在区间(2, 1)和(1,2)上取值的概率 P1, P2相等 3 已知某批零件的长度误差(单位: 毫米)服从正态分布 N(0,32), 从中随机取一件, 其长度误差落在区间(3,6) 内的概率为( ) (附:若随机变量 服从正态分布 N(,2),则 P()68.27%,P(22)95.45%) A4.56% B13.59% C27.18% D31.74% 答案 B 解析 P(36)1 2P(66)P(3c1)P(c1)P(0)若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 X 在(0,2) 内取值的概率为 答案 0.8 解析 如图,易得 P(0X1)P(1X2), 故 P(0X2)2P(0X1)20.40.8. 1知识清单: (1)正态曲线及其特点 (2)正态分布 (3)正态分布的应用,3 原则 2方法归纳:转化化归、数形结合 3常见误区:概率区间转化不等价

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