1、7.57.5 正态分布正态分布 学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量 落在区间，2，2，3，3内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题 知识点一 正态曲线与正态分布 1我们称 f(x) 1 2 2 2 () 2 e x ，xR，其中 R，0 为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密 度曲线，简称正态曲线 2若随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 XN(，2)特别地，当 0，1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布 3若 XN(，2)，如图所示，X 取值不超过 x 的概率 P(Xx)为
2、图中区域 A 的面积，而 P(aXb)为区域 B 的面积 思考 1 正态曲线 f(x) 1 2 2 2 () 2 e x ，xR 中的参数 ， 有何意义？ 答案 可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)；0 表示标准差，D(X)2.一个正态密度函数 由 ， 唯一确定， 和 e 为常数，x 为自变量，xR. 思考 2 若随机变量 XN(，2)，则 X 是离散型随机变量吗？ 答案 若 XN(，2)，则 X 不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a0，它的图象在 x 轴的上方 2曲线与 x 轴之间的面积为 1. 3曲线是单峰的，它关于直线 x 对称 4曲线在 x 处达到峰值 1 2. 5当|
3、x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴 6当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移，如图. 7当 一定时，曲线的形状由 确定， 较小时曲线“瘦高”，表示随机变量 X 的分布比较集中； 较大 时，曲线“矮胖”，表示随机变量 X 的分布比较分散，如图. 知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及 3 原则 P(X)0.682 7； P(2X2)0.954 5； P(3X3)0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(，)， 但在一次试验中， X 的取值几乎总是落在区间3，3内， 而在此区间以外取值的概率大约只有 0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生
4、 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(，2)的随机变量 X 只取3，3中的值，这在统计学中 称为 3 原则 1正态曲线中参数 ， 的意义分别是样本的均值与方差( ) 2正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积是随参数 ， 的变化而变化的( ) 3正态曲线可以关于 y 轴对称( ) 4若 XN(，2)，则 P(X 时，曲线下降，当 x5) 解 P(5)P(3)1 21P(35) 1 21P(1414) 1 21P(22) 1 2(10.954 5)0.022 75. 反思感悟 利用正态分布的对称性求概率 由于正态曲线是关于直线 x 对称的，且概率的和为 1，故关于直线 x 对称的区间上概率
5、相等 跟踪训练 2 已知随机变量 服从正态分布 N(2，2)，且 P(4)0.8，则 P(02)等于( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 答案 C 解析 随机变量 服从正态分布 N(2，2)， 2，对称轴是 2. P(4)0.8，P(4)P(0)0.2， P(04)0.6， P(02)0.023，则 P(22)等于( ) A0.477 B0.954 C0.628 D0.977 答案 B 解析 画出正态曲线如图所示，结合图象知，P(22)1P(2)P(2)与 P(22)概率的关系，提升了学生的直观想象素养 1设有一正态总体，它的正态曲线是函数 f(x)的图象，且 f(x) 1 8 2
6、(10) 8 e x ，则这个正态总体的均值与标 准差分别是( ) A10 与 8 B10 与 2 C8 与 10 D2 与 10 答案 B 解析 由正态密度函数的定义可知，总体的均值 10，方差 24，即 2. 2正态分布 N(0,1)在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率为 P1，P2，则二者大小关系为( ) AP1P2 BP1P2 D不确定 答案 A 解析 根据正态曲线的特点， 图象关于 x0 对称， 可得在区间(2， 1)和(1,2)上取值的概率 P1， P2相等 3 已知某批零件的长度误差(单位： 毫米)服从正态分布 N(0,32)， 从中随机取一件， 其长度误差落在区间(3,6) 内的概率为( ) (附：若随机变量 服从正态分布 N(，2)，则 P()68.27%，P(22)95.45%) A4.56% B13.59% C27.18% D31.74% 答案 B 解析 P(36)1 2P(66)P(3c1)P(c1)P(0)若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4，则 X 在(0,2) 内取值的概率为 答案 0.8 解析 如图，易得 P(0X1)P(1X2)， 故 P(0X2)2P(0X1)20.40.8. 1知识清单： (1)正态曲线及其特点 (2)正态分布 (3)正态分布的应用，3 原则 2方法归纳：转化化归、数形结合 3常见误区：概率区间转化不等价