1、6 6. .2.32.3 组组 合合 6 6. .2.42.4 组合数组合数 第第 1 1 课时课时 组合及组合数的定义组合及组合数的定义 学习目标 1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问 题 知识点一 组合及组合数的定义 1组合 一般地,从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素作为一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组 合 2组合数 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组 合数,用符号 Cm n表示 知识点二 排列与组合的关系 相同点 两者都是从 n 个不
2、同元素中取出 m(mn)个元素 不同点 排列问题中元素有序,组合问题中元素无序 关系 组合数 Cm n与排列数 A m n间存在的关系 Am nC m nA m m 1从 a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题( ) 2“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合( ) 3组合数 C35A 3 5 A33.( ) 4两个组合相同,则其对应的元素一定相同( ) 一、组合概念的理解 例 1 判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1)a,b,c,d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场? (2)a,b,c,d 四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果? (3)从
3、全班 40 人中选出3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法? (4)从全班 40 人中选出 3 人参加某项活动,有多少种不同的选法? 解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题 (2)冠、亚军是有顺序的,是排列问题 (3)3 人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题 (4)3 人参加某项活动,没有顺序,是组合问题 反思感悟 排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排,即组合只是从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个不同的元素即可 (2)只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合 (3)判断组合与排列的依据
4、是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题 跟踪训练 1 判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1)某铁路线上有 4 个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票? (2)把 5 本不同的书分给 5 个学生,每人一本; (3)从 7 本不同的书中取出 5 本给某个学生 解 (1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关,如甲乙和乙甲的车票是不同的,所以它是排列问题 (2)由于书不同,每人每次拿到的书也不同,有顺序之分,因此它是排列问题 (3)从 7 本不同的书中,取出 5 本给某个学生,在每种取法中取出的 5 本并不考虑书的顺序,故它是组合问 题 二、组合的个数问题 例 2 在
5、 A,B,C,D 四位候选人中 (1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果; (2)如果选举两人负责班级工作,共有几种选法?写出所有可能的选举结果; (3)类比上述两个结果间的等量关系,你能找出排列数 Am n与组合数 C m n间的等量关系吗? 解 (1)从四位候选人中选举正、 副班长各一人是排列问题, 有 A2412(种)选法, 所有可能的选举结果: AB, AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC. (2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题,有 C246(种)选法,所有可能的选举结果:AB,AC, AD,BC,BD,CD. (3
6、)由(1)(2)我们发现,(2)中每一个组合都对应 A22个排列,即 A24C24A22.类比可知,从 n 个不同元素选出 m 个 元素的排列数 Am n与组合数 C m n间的等量关系为 A m nC m nA m m. 反思感悟 组合个数的求解策略 (1)枚举法:书写时常以首字母为切入点,相同元素的不必重复列举,如本例中,先枚举以字母 A 开头的组 合,再枚举以字母 B 开头的组合,直到全部枚举完毕 (2)公式法:利用排列数 Am n与组合数 C m n之间的关系 C m nA m n Am m求解 跟踪训练 2 从 5 个不同元素 a,b,c,d,e 中取出 2 个,共有多少种不同的组合
7、?请写出所有组合 解 先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来,如图所示: 由此可得所有的组合:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共有 10 种 三、简单的组合问题 例 3 有 10 名教师,其中 6 名男教师,4 名女教师 (1)现要从中选 2 名去参加会议,有_种不同的选法; (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师参加会议,有_种不同的选法; (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议,有_种不同的选法 答案 (1)45 (2)21 (3)90 解析 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数,就是从 10 个不同元
8、素中取出 2 个元素的组合数, 即 C210A 2 10 A22 109 21 45. (2)可把问题分两类情况: 第 1 类,选出的 2 名是男教师有 C26种方法; 第 2 类,选出的 2 名是女教师有 C24种方法 根据分类加法计数原理,共有 C26C24A 2 6 A22 A24 A22 65 21 43 2115621(种)不同的选法 (3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种,从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C24种,根据分步乘法计数原理, 共有不同的选法 C26C24A 2 6 A22 A24 A22 65 21 43 2190(种) 反思感悟 利用排列与组合之间
9、的关系,建立起排列数与组合数之间的计算方法,借助排列数求组合数 跟踪训练 3 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球 (1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 解 (1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球, 取法种数是 C38A 3 8 A33 876 32156. (2)从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球,于是还要从 7 个白球中再取出 2 个,取法种数是 C27A 2 7 A22 76 2121. (3)由于所取出的 3 个球中不含黑球
10、,也就是要从 7 个白球中取出 3 个球,取法种数是 C37A 3 7 A33 765 321 35. 1(多选)下面四组元素,是相同组合的是( ) Aa,b,cb,c,a Ba,b,ca,c,b Ca,c,dd,a,c Da,b,ca,b,d 答案 ABC 2从 5 名同学中推选 4 人去参加一个会议,则不同的推选方法种数是( ) A10 B5 C4 D1 答案 B 解析 组合问题,可从对立面考虑,选出一人不参加会议即可,故有 5 种方法 3在桥牌比赛中,发给 4 名参赛者每人一手由 52 张牌的四分之一(即 13 张牌)组成的牌,一名参赛者可能 得到的不同的牌为( ) A413 手 B13
11、4手 CA13 52手 DC13 52手 答案 D 解析 本题实质上是从 52 个元素中取 13 个元素为一组,故一名参赛者可能得到 C13 52手不同的牌 4下列问题中,组合问题有_,排列问题有_(填序号) 从 1,3,5,9 中任取两个数相加,所得不同的和; 平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段的条数; 从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动 答案 解析 为组合问题,为排列问题 5已知 a,b,c,d 这四个元素,则每次取出 2 个元素的所有组合为_ 答案 ab,ac,ad,bc,bd,cd 解析 可按 abcd 顺序写出,即 所以所有组合为 ab,ac,ad,bc,bd,cd. 1知识清单: (1)组合与组合数的定义 (2)排列与组合的区别与联系 (3)用列举法写组合 2方法归纳:枚举法 3常见误区:分不清“排列”还是“组合”