1、6 6. .2.32.3 组组 合合 6 6. .2.42.4 组合数组合数 第第 1 1 课时课时 组合及组合数的定义组合及组合数的定义 学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问 题 知识点一 组合及组合数的定义 1组合 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组 合 2组合数 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组 合数，用符号 Cm n表示 知识点二 排列与组合的关系 相同点 两者都是从 n 个不
2、同元素中取出 m(mn)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数 Cm n与排列数 A m n间存在的关系 Am nC m nA m m 1从 a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题( ) 2“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合( ) 3组合数 C35A 3 5 A33.( ) 4两个组合相同，则其对应的元素一定相同( ) 一、组合概念的理解 例 1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从
3、全班 40 人中选出3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班 40 人中选出 3 人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题 (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题 (3)3 人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题 (4)3 人参加某项活动，没有顺序，是组合问题 反思感悟 排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个不同的元素即可 (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合 (3)判断组合与排列的依据
4、是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题 跟踪训练 1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有 4 个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ (2)把 5 本不同的书分给 5 个学生，每人一本； (3)从 7 本不同的书中取出 5 本给某个学生 解 (1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲乙和乙甲的车票是不同的，所以它是排列问题 (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题 (3)从 7 本不同的书中，取出 5 本给某个学生，在每种取法中取出的 5 本并不考虑书的顺序，故它是组合问 题 二、组合的个数问题 例 2 在
5、 A，B，C，D 四位候选人中 (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数 Am n与组合数 C m n间的等量关系吗？ 解 (1)从四位候选人中选举正、 副班长各一人是排列问题， 有 A2412(种)选法， 所有可能的选举结果： AB， AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC. (2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有 C246(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC， AD，BC，BD，CD. (3
6、)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应 A22个排列，即 A24C24A22.类比可知，从 n 个不同元素选出 m 个 元素的排列数 Am n与组合数 C m n间的等量关系为 A m nC m nA m m. 反思感悟 组合个数的求解策略 (1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母 A 开头的组 合，再枚举以字母 B 开头的组合，直到全部枚举完毕 (2)公式法：利用排列数 Am n与组合数 C m n之间的关系 C m nA m n Am m求解 跟踪训练 2 从 5 个不同元素 a，b，c，d，e 中取出 2 个，共有多少种不同的组合
7、？请写出所有组合 解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示： 由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有 10 种 三、简单的组合问题 例 3 有 10 名教师，其中 6 名男教师，4 名女教师 (1)现要从中选 2 名去参加会议，有_种不同的选法； (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师参加会议，有_种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有_种不同的选法 答案 (1)45 (2)21 (3)90 解析 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同元
8、素中取出 2 个元素的组合数， 即 C210A 2 10 A22 109 21 45. (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法 根据分类加法计数原理，共有 C26C24A 2 6 A22 A24 A22 65 21 43 2115621(种)不同的选法 (3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C24种，根据分步乘法计数原理， 共有不同的选法 C26C24A 2 6 A22 A24 A22 65 21 43 2190(种) 反思感悟 利用排列与组合之间
9、的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数 跟踪训练 3 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球 (1)从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解 (1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球， 取法种数是 C38A 3 8 A33 876 32156. (2)从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球，于是还要从 7 个白球中再取出 2 个，取法种数是 C27A 2 7 A22 76 2121. (3)由于所取出的 3 个球中不含黑球
10、，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是 C37A 3 7 A33 765 321 35. 1(多选)下面四组元素，是相同组合的是( ) Aa，b，cb，c，a Ba，b，ca，c，b Ca，c，dd，a，c Da，b，ca，b，d 答案 ABC 2从 5 名同学中推选 4 人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( ) A10 B5 C4 D1 答案 B 解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有 5 种方法 3在桥牌比赛中，发给 4 名参赛者每人一手由 52 张牌的四分之一(即 13 张牌)组成的牌，一名参赛者可能 得到的不同的牌为( ) A413 手 B13
11、4手 CA13 52手 DC13 52手 答案 D 解析 本题实质上是从 52 个元素中取 13 个元素为一组，故一名参赛者可能得到 C13 52手不同的牌 4下列问题中，组合问题有_，排列问题有_(填序号) 从 1,3,5,9 中任取两个数相加，所得不同的和； 平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段的条数； 从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动 答案 解析 为组合问题，为排列问题 5已知 a，b，c，d 这四个元素，则每次取出 2 个元素的所有组合为_ 答案 ab，ac，ad，bc，bd，cd 解析 可按 abcd 顺序写出，即 所以所有组合为 ab，ac，ad，bc，bd，cd. 1知识清单： (1)组合与组合数的定义 (2)排列与组合的区别与联系 (3)用列举法写组合 2方法归纳：枚举法 3常见误区：分不清“排列”还是“组合”