1、2020-2021 学年度第二学期期末学业水平诊断学年度第二学期期末学业水平诊断 高一数学高一数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1若空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角 A相等 B互补 C相等或互补 D不能确定 2抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6，观察朝上一面的点数，设 事件A “点数为奇数” ，B “点数为 4” ，则A与B的关系为 A互斥 B相等 C互为对立 D相互独立 3已知一个水平放置的三角形的斜二测直观图的面积为 1，那么原三角形的面积为 A2
2、B2 C2 2 D4 4某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛若得到的样本中高二的学生 数量比高一多 40 人、比高三少 20 人，且全校高一、高三学生数之比为 2：3，则样本容量为 A120 B160 C180 D460 5某人有 3 把钥匙，其中仅有一把能打开门如果他每次都随机选取-把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则 他第二次才能打开门的概率为 A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1 8 6已知m，n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则 A若/m，mn，则n B若/m，则/m C若/m，n，则mn D若/m，/m，则/ 7给定数据：10，12，17，2
3、5，50，75，则其第 30 百分位数、第 50 百分位数分别为 A11，17 B11，21 C12，17 D12，21 8 在右图所示的三棱锥容器SABC中，D，E，F分别为三条侧棱上的小洞，:2:1SD DACF FS， BESE，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的 A 8 9 B 7 9 C 2 3 D 5 9 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9下列说法正确的有 A两条相交直线确定一个平面 B平行于同一平面的两条直线平行 C标准差刻
4、画了一组数据的离散程度或波动幅度 D若某种奖券的中奖率为 0.1，则抽奖 10 次必有一次中奖 10已知圆锥的底面半径为 1，高为2 2，S为顶点，A，B为底面圆周上两个动点，则 A圆锥的体积为2 2 B圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 2 3 C圆锥截面SAB的面积的最大值为2 2 D从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为3 3 11在正方体 1111 ABCDABC D中，点Q为线段 1 AD上一动点，则 A对任意的点Q，都有 1 B DCQ B三棱锥 1 BBCQ的体积为定值 C当Q为 1 AD中点时，异面直线 1 BQ与BC所成的角最小 D当Q为 1 AD、中点时，直线
5、 1 BQ与平面 11 BCC B所成的角最大 12算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别 表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表 5，下面一粒珠子（简称下珠）代表 1， 五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字 15现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A “表示的四位数能被 3 整除” ，B 表示的四位数能被 5 整除” ，则 A 3 8 P A B 1 3 P B C 11 16 P AB D 3 16 P AB 三、填空题：本题共 4 小
6、题，每小题 5 分，共 20 分。 13甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为 0.8，乙的命中率为 0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶 子被击中的概率为_ 14已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为 2，3，4，则其体对角线长度为_ 15类比是研究数学问题的重要方法之一数学家波利亚曾说： “求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的 类比问题 ”在平面几何里，研究三角形三边长度间的关系，有勾股定理： “设ABC的两边ABAC，则 222 ABACBC ”拓展到空间，类比研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论 是： “设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两
7、互相垂直，则_ 16在三棱锥PABC中，面PAB 面ABC，2PAPBABAC， 2 BAC ，则该三棱锥外接 球的表面积为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为棱AB，AD，CD，BC的中点 （1）求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）当对角线AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？（给出一个满足题意的条件即可，不 必证明） 18 （12 分） 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟 5 分钟内送达、延
8、迟 5 至 10 分钟送达、其他延迟情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖 励 3 元、奖励 0 元、罚款 3 元、罚款 6 元假定评定为等级A，B，C的概率分别是 3 4 ， 1 8 ， 3 32 （1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率； （2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为 0 元的概率 19 （12 分） 为调查高一、高二学生心理健康达标情况，某学校采用分层随机抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了 50 人、40 人参加心理健康测试（满分：10 分） 经初步统计，参加测试的高-学生成绩 i x1,2,3,50i 的
9、平均分7.4x ，方差 2 2.6 x S ，高二学生的成绩 i y1,2,3,40i 的统计表如下： 成绩y 4 5 6 7 8 9 频数 3 7 11 9 6 4 （1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y和方差 2 y S； （2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分z和方差 2 z S 20、 （12 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，90BAC， 1 1AAAC （1）求证： 11 ACBC； （2）若 1 AC与平面 11 BCC B所成角的正弦值为 2 4 ，求三棱锥 1 AA BC的体积 21 （12 分） 中华人民共和国民法典于 2021 年 1 月 1 日正式
10、施行某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取 了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100 分） ，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图 （1）求频率分布直方图中m的值： （2）估计该组测试成绩的平均数和第 57 百分位数； （3） 该社区在参加问卷且测试成绩位于区间80,90和90,100的居民中， 采用分层随机抽样， 确定了 5 人 若 从这 5 人中随机抽取 2 人作为该社区民法典宣讲员，设事件A “两人的测试成绩分别位于80,90和 90,100” ，求 P A 22 （12 分） 如图，在梯形ABCD中，22AEEDBEBC，/AD BC，ADBE，将ABE沿BE折起，形
11、成四棱锥ABCDE， （1）若点M为AD的中点，求证：/CM平面ABE； （2）在四棱锥ABCDE中，2AD ，求面ABE与面ACD所成二面角（锐角）的余弦值 2020-2021 学年度第学年度第二学期期末学业水平诊断二学期期末学业水平诊断 高一数学参考答案高一数学参考答案 一、选择题 C A C D B C D A 二、选择题 9AC 10BCD 11ABD 12ACD 三、填空题 130.94 14 366 6 15 2222 ABCACDADBBCD SSSS 16 28 3 四、解答题 17证明： （1）连接BD，因为E，F分别为棱AB，AD的中点， 所以 1 / 2 EFBD， 1
12、= 2 EFBD 同理 1 / 2 HGBD， 1 = 2 HGBD 所以/EF GH且=EF GH 所以四边形EFGH是平行四边形 （2）当ACBD且ACBD时，四边形EFGH为正方形 18解： （1）设事件A，B，C，D分别表示“被评为等级A，B，C，D” 由题意，事件A，B，C，D两两互斥， 所以 3131 1 483232 P D 又CD“延迟送达且被罚款” ， 所以 1 8 P CDP CP D 因此“延迟送达且被罚款”的概率为 1 8 （2）设事件 i A， i B， i C， i D表示“第i单被评为等级A，B，C，D” ，1 , 2i 则“两单共获得的奖励为 0 元”即事件 2
13、21221 A BACAC， 且事件 22 A B， 12 AC， 21 A C互斥， 又 22 111 8864 P A B 又 1221 339 432128 P ACP A C 所以 221221 PPA BACA C 221221 P A BP ACP AC 11335 8843232 19解： （1）由题意， 4 35 76 11 7 98 69 4 40 y 6.5 2222222 1 3 (46.5)7 (56.5)11 (66.5)9 (76.5)6 (86.5)4 (96.5) 40 y s 1.95 （2）由（1）可得， 1 (5040 ) 90 zxy 1 (50 7.4
14、40 6.5)7 90 222 5040 2.6(7.47)1.95(6.57) 9090 z s 113 45 20解（1）证明：因为 1 ABAA，ABAC， 1 ACAAA 所以AB 平面 11 ACC A， 1 AC 平面 11 ACC A，所以 1 ABAC 又因为直三棱柱 111 ABCABC中， 1 AAAC， 所以四边形 11 ACC A为正方形，所以 11 ACAC 因为 1 ACABA，所以 1 AC 平面 1 ABC， 1 BC 平面 1 ABC，所以 11 ACBC （2）过 1 A作 111 ADBC，垂足为D，连CD，则 1 AD 平面 11 BCC B， 1 AC
15、D为 1 AC与平面 11 BCC B所成的角 因为 1 1AAAC，则 1 2AC ， 所以 11 1 1 2 sin 42 ADAD ACD ACa ，所以 1 1 2 AD 在 11 RtAC D中， 1 11 11 1 sin 2 AD AC D AC ，所以 11 30AC D 在 111 R?tABC中， 1111 3 tan30 3 ABAC 所以 11 1133 1 1 32318 A A BCB A AC VV 21解： （1）由己知(0.0040.0060.020.030.024) 101m， 解得0.016m （2）测试成绩的平均数 45 0.04 55 0.06 65
16、0.2 75 0.3 85 0.24 95 0.16x 76.2 测试成绩落在区间40,70)的频率为(0.0040.0060.02) 100.3， 落在在区间40,80)的频率为 (0.0040.0060.020.03) 100.6， 所以设第 57 百分位数为a，有 0.3(70) 0.030.57a， 解得79a （3）由题知，测试分数位于区间80,90)、90,100)的人数之比为 0.243 0.162 ， 所以采用分层随机抽样确定的 5 人，在区间80,90)中 3 人，用 1 A， 2 A， 3 A表示，在区间90,100)中 2 人， 用 1 B， 2 B表示 从这 5 人中抽
17、取 2 人的所有可能情况有： 12 ,A A， 13 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 23 ,A A， 21 ,A B， 22 ,A B， 31 ,A B， 32 ,A B， 12 ,B B，共 10 种 其中“落在区间80,90)和90,100)”有 6 种 所以 3 ( ) 5 P A 22解： （1）证明：取AE中点N，连MN，则/MN DE， 1 2 MNDE 又因为/BC DE， 1 2 BCDE， 所以/BC MN，BCMN 所以四边形BCMN为平行四边形，所以/BN CM 又因为BN 平面ABE，CM 平面ABE 所以/CM平面ABE （2）延长EB，DC交于点F
18、，则AF为平面ABE与平面ACD的交线 因为/BC DE， 1 = 2 BCDE，所以2BFBE 三角形ADE中，因为2ADDEAE，N为AE的中点， 所以DNAE， 又因为DEAE，AEBE，DEAEE 所以BE 平面ADE，DN 平面ADE， 所以DNBE 又因为BEAEE，所以DN 平面ABE AF 平面ABE，所以DNAF 在三角形AEF中，过N作NGAF，垂足为G，连接DG，因为DNNGN 所以AF 平面DNG，DG平面DNG，所以AFDG 所以DGN为二面角DAFE的平面角 在RtAEF中，2AE ，4EF ，4 162 5AF ， 由AEFAGH，所以 AFAN AEGN ， 2 5 5 NG 在RtDNG中，3DN ， 2 5 5 NG ， 22 59 5 DGDNNG 所以 2 19 cos 19 NG DGN DG 即面ABE与面ACD所成二面角（锐角）的余弦值为 2 19 19
