1、肇庆市肇庆市 20202020- -20212021 学年第二学期末高一年级教学质量检测学年第二学期末高一年级教学质量检测 数数 学学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、一、选择题：本选择题：本题共题共 8 8 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知 3 1 i z i ，则z （ ） A2 i B1 2i C2 i D1 2i 2.某单位有200名职工，其中女职工有60人，男职工有140人，现要从中抽取30人进行调研座谈，如果用比 例分配的分层随机抽样的方法进行抽样，则应抽女职工（ ） A6人 B9人 C10人 D30人 3.在ABC中，6a，4b，120A，则cosB（ ） A 3 2 B 6 3 C 3 3 D 2 3 4.已知向量2,1a ，1,bkk，ab，则实数k （ ） A2 B 2 3 C1 D1 5.已知某射击运动员每次击中目标的概率都
3、是0.7.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中 2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5， 6，7，8，9表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果.经随机模拟产 生了以下20组随机数： 572 029 714 985 034 437 863 964 141 469 037 623 261 804 601 366 959 742 671 428 据此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（ ） A0.6 B0.7 C0.75 D0.8 6.在长方体 1111 ABCDABC D中， 1A
4、BBC， 1 2AA ，E为 1 CC的中点，则异面直线 1 BC与AE所成 角的余弦值为（ ） A 15 5 B 10 5 C0 D 6 3 7.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若4b， 7 tan 3 A，当C有两解时，a的 取值范围是（ ） A 7,4 B3,4 C 7,3 D3,4 8.平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且120A ，点N是DC边上的点，且3DNNC，点M是四 边形ABCD内或边界上的一个动点，则AM AN的最大值为（ ） A1 B3 C 7 2 D4 二、选择题二、选择题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020
5、 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合有多项符合 题目要求题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 2 分分，有选错的得有选错的得 0 0 分分. . 9.已知m，n为不同的直线，为不同的平面，下列命题为真命题的有（ ） Am，/ /m B/mn，/nm Cm，m Dm，/nmn 10.已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩（所中环数越大，成绩越好）的频数分布表 分别为： 环数 5 6 7 8 9 10 甲中频数 0 1 2 4 3 0 环数 5 6 7 8 9 10 乙中频数 1 2 2 2 2 1
6、 下面判断正确的是（ ） A甲所中环数的平均数大于乙所中环数的平均数 B甲所中环数的中位数小于乙所中环数的中位数 C甲所中环数的方差小于乙所中环数的方差 D甲所中环数的方差大于乙所中环数的方差 11.在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边BC和DC的中点，P是DE与BF的交点，则有（ ） A 1 2 AEABAD B 11 22 AFABAD C 22 33 APABAD D 11 22 CPCDCB 12.在正方体 1111 ABCDABC D中，点E是线段AC上的动点，则下列说法正确的是（ ） A当 1 D E与 1 B D相交时，交点为 1 B D的中点 B当点E在AC上移动时， 1
7、/ /D E平面 11 AC B始终成立 C当点E在AC上移动时， 11 DEDB始终成立 D当 1 D E最短时，直线 1 D E与正方体 1111 ABCDABC D所有面所成角都相等 三三、填空题、填空题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分. . 13.在机动车驾驶证科目二考试中，甲.乙两人通过的概率分别为0.8和0.6两人考试相互独立，则两人都通过 的概率为 14.已知i是虚数单位，若2 i-是关于x的方程 2 1xpxp 的一个根，则实数 p 15.三棱锥ABCD的4个顶点都在球O的表面上，已知BCD是边长为3的等边三角形，AB 平面 B
8、CD，2AB ，则球O的表面积为 16.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 点D在边a上， 且2BDDC， 1 cos 3 BAC， ，4 3AD ，则ABC的面积的最大值为 四四、解答题、解答题 ：本：本题共题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知向量a与向量b的夹角为 3 ，且3a ，,)3(1b ， 1bba. （1）求的值； （2）记向量 1 2 b与向量 3 2 ba的夹角为，求cos2. 18.在17c ，3 2 ABC S， 6 A 这三个条件中任选一个，补
9、充在下面问题中. 若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3sin2sinBA， 3cos3Bab， ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，AP 平面CDP，M是PC上的一个动点. （1）证明：平面PAD 平面ABCD； （2）是否存在点M，使/ /AP平面BDM？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由. 20.某中学演讲社团共有6名同学，其中来自高一年级的有一-女两男，来自高二年级的有两女一男. （1）若从这6名同学中随机选
10、出两人参加演讲比赛， （i）求高二年级的男生被选中的概率； （ii）求其中至少有一名男生的概率； （2）若从每个年级的3名同学中各任选1名，求选出的2名同学性别相同的概率. 21.一家商场根据以往某商品的销量记录绘制了日销量的频率分布直方图，但工作人员不小心滴到直方图上一 滴墨水，如下图. （1）求直方图中被墨水污损的数字的值； （2）由直方图估计日销量的平均数、众数和80%分位数.（ 80%分位数精确到小数点后两位） 22.如图，已知三棱柱 111 ABCABC的所有棱长均为2， 1 BCAB ，二面角 1 ABCB为120. （1）求直线 1 AB与平面 11 BCC B所成的角； （2）
11、求点B到平面 11 ACC A的距离. 肇庆市肇庆市 20202020- -20212021 学年第二学期末高学年第二学期末高一一年级教学质量检测年级教学质量检测 数学参考答案和解析及评分标准数学参考答案和解析及评分标准 一、选择题一、选择题 1.C 解析： 3(3)(1)42 2 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 所以2zi，故选C. 2.B 解析：抽样比为 60 200 ，设应抽女职工x名，则 60 20030 x ，故9x，故选B. 3.B 解析：由正弦定理 3 sin sinsin3 ab B AB ，又0 3 B ， 所以 6 cos 3 B . 4.D 解析：因为ab，
12、 所以12kk ，解得1k . 5.D 解析：20个随机数中， 含有0，1，2至多1个的有572，714，985，034，437，863，964，469，037， 623， 804，366，959，742，671，428共16个， 故射击3次至少击中2次的概率的估计值为 16 0.8 20 ， 故选D. 6.A 解析：如图， 11 / / ADBC，故 1 D AE为异面直线 1 BC与AE所成角或其补角， 由题意，得3AE ， 1 5AD ， 1 2DE ， 所以 1 BC与AE所成角的余弦值为 15 5 . 7.A 解析：当C有两解时，sinbAab，又 7 tan 3 A，故 7 sin
13、 4 A ，所以74a，所以选A. 8. C 解析：如图，当M在C点时，AM在AN上的投影向量与AN同向，且长度最长， 所以此时AM AN最大，最大值为 7 2 . 二、选择题二、选择题 9.ACD 解析：B选项中m也可以，故B错误，ACD均为课本中的定理和例题. 10.AC 解析：甲所中环数的平均数7.9大于乙所中环数的平均数7.5，A正确； 甲所中环数的中位数8大于乙所中环数的中位数7.5，故B错； 乙所中环数更分散，所以乙所中环数的方差大于甲所中环数的方差，C正确，D不正确. 11.AC 解析：如图， 1 2 AEABBEABBC，又BCAD，故A正确； 11 22 AFADDCABAD
14、，故B错误； 设O为AC与BD的交点，由题意可得P是CBD的重心，故2CPPO. 故 22 1111 33 2233 CPCOCBCDCBCD ，故D错； 222 333 APAOOPACABAD，故C正确. 12.BC 解析：如图，当E为AC中点时， 1 D E与 1 B D相交，设交点为O，由 11 1 / / 2 DOD B，故 1 1 2 DO OB ，A错误； 当点E在AC上移动时， 1 D E 平面 1 ACD，又平面 1/ / ACD平面 11 AC B，故B正确； 因为 1 DB 平面 1 ACD， 1 D E 平面 1 ACD，所以 11 DEDB始终成立，故C正确； 当 1
15、 D E最短时， E为AC的中点，直线 1 D E和平面ABCD所成角的正弦值为 6 3 ，而和平面 11 ADD A所成 角的正弦值为 6 6 .故D错误. 三三、填空题、填空题 13.0.48 解析：两人考试相互独立，则两人都通过考试是相互独立事件，同时发生的概率为0. 8 0.60.48P. 14.4 解析：由题知2 i 也是方程 2 1xpxp 的一个根，则由根与系数的关系得 224iipp . 15.8 解析：设BCD的中心为Q，连接OQ，BQ，OB，易得1OQ ，1BQ ，OQBQ，故2OB ， 所以球O的表面积为 2 ()428. 16.27 2 解析：ABC的面积 12 sin
16、 23 SbcBACbc， 如图，过D作AB的平行线，交AC于点E. 在ADE中，4 3AD ， 1 3 DEc， 2 3 AEb.AEDBAC. 由余弦定理，得 222 2cosADDEAEDE AEAED， 所以 22 1416 48 992727 cbbcbc ， 当且仅当2cb时，bc的最大值为81， 故ABC的面积 12 sin 23 SbcBACbc，最大为27 2. 四四、解答题、解答题 17.解： （1）由 1bba，得 2 1ba b. 又1 32b ， cos3 3 b aba ， 所以1. （2） 2 2 13 313 3 122 422 cos 132 3 3 | 96
17、9 22 2 2 bba bb a bba ba ， 所以 2 1 cos22cos1 2 . 18.解：由正弦定理，由3 cos3cBab， 得3sincos3sinsinCBAB， 得3sincos3sinsinCBBCB， 整理得3sincossinBCB. 因为sin0B， 所以 1 cos 3 C . 由正弦定理得，3sin2sin32BAba. 方案一：选. 由余弦定理，可得 2222 17 2cos17 4 cababCb-， 所以2b， 所以问题中的三角形存在，且2b. 方案二：选. 1 sin3 2 2 ABC SabC. 由 1 cos 3 C ，得 2 2 sin 3 C
18、 ，故9ab. 又32ba，解得6b ， 所以问题中的三角形存在，且6b . 方案三：选. 若 6 A ，则 1 sin 2 A ， 3 cos 2 A ， 1132 22 61 sinsin()sin()sincoscossin 23236 BACACACAC ， 与3sin2sinBA矛盾， 所以问题中的三角形不存在. 19.（1）证明：由AP 平面CDP，可得APCD. 又底面ABCD为正方形，所以ADCD， 故CD平面PAD. 又CD平面ABCD， 所以平面PAD 平面ABCD （2）解：存在，当M为PC中点时，/ /AP平面BDM. 理由如下：如图，连接BD，AC，交于点O. 由四边
19、形ABCD为正方形，则O为AC的中点， 连接OM，则OM为三角形CPA的中位线， 所以/APMO. 又MO平面BDM，AP平面BDM，故/ /AP平面BDM. 20.解：高一年级的一女两男分别记为 1 X， 1 Y ， 2 Y；高二年级的两女一男分别记为 1 x， 2 x， 1 y. （1） 从这6名同学中随机选出两人有 11 ,X Y， 12 ,X Y， 12 ,Y Y， 12 ,x x， 11 ,x y， 21 ,xy， 11 ,X x， 12 ,X x， 11 ,X y， 11 ,Y x， 12 ,Y x， 11 ,Y y， 21 ,Y x， 22 ,Y x， 21 ,Y y共15个样本
20、点. （i）高二年级的男生 1 y被选中有 11 ,x y， 21 ,xy， 11 ,X y， 11 ,Y y， 21 ,Y y共5个样本点，所以高二 年级的男生被选中的概率为 51 153 . （i） “至少有一名男生”是“全是女生”的对立事件， “全是女生”有 12 ,x x， 11 ,X x， 21, X x共3个 样本点，所以“至少有一名男生”的概率为 34 1 155 . （2） 方法 1： 从每个年级的3名同学中各任选1名有 11 ,X x， 12 ,X x， 11 ,X y， 11 ,Y x， 12 Y x， 11 ,Y y， 21 ,Y x， 22 ,Y x， 21 ,Y y共
21、9个样本点，性别相同共有 11 ,X x， 12 ,X x， 11 ,Y y， 21 ,Y y 共4个样 本点，所以概率为 4 9 . 方法 2：其概率为 21124 33339 P . 21.解： （1）设被墨水污损的数字为a. 由直方图的所有矩形的面积和为1可得， 200.0250.00650.003 0.0031a， 解得0.0125a. （2）平均数的估计值为 20 0.0125 10 20 0.025 30 20 0.0065 50 20 0.003 70 20 0.003 9033.6， 所以平均数的估计值为33.6个. 众数的估计值为 2040 30 2 . 设80%分位数为y，
22、由图可知日销量在40以下的占比为75%， 而日销量在60以下的占比为75% 13%88%， 因此，日销量的80%分位数一定位于40,60内， 所以80%分位数为 0.80.75 402047.69 0.880.75 . 综上，由直方图估计日销量的平均数、众数和80%分位数分别为33.6，30，47.69. 22.解： （1）如图，作AO 平面，垂足为点O.连接 1 OB，与BC交于点E，连接AE. 所以直线 1 AB与平面 11 BCC B所成的角为 1 AB E， 又AOBC， 1 BCAB ，所以BC 平面 1 AOB. 又AE 平面 1 AOB，所以BCAE， 1 BCOB. 所以 1
23、AEB为二面角 1 ABCB的平面角， 故 1 120AEB. 又ABC为正三角形，所以E为BC的中点. 由勾股定理，得 1 3EAEB， 所以 1 30ABE， 故直线 1 AB与平面 11 BCC B所成的角为30. （2）如图，连接 1 AC， 1 BC. 设点 1 B到平面 11 ACC A的距离为h. 由 1111 BACCB CAC VV ，得 111 11 33 ACCB CC ShSAO . 由（1）得 1 120AEB， 1 3EAEB， 所以 1 3AB ， 111 60EBBBCC. 因为 11/ / C BCB， 1 BCAB 所以 111 C BAB， 所以 22 1111 9413ACABC B. 又 1 2ACCC，所以 1 39 4 ACC S. 又 1 120AEB， 所以60AEO， 所以 33 sin603 22 AOAE . 所以 11 1 3 3 6 13 2 1339 4 B CC ACC SAO h S ， 所以点 1 B到平面 11 ACC A的距离为 6 13 13 .
