1、 3.2 课时课时 函数的基本性质函数的基本性质 一、单选题。本大题共一、单选题。本大题共 18 小题，每小题只有一个选项符合题意。小题，每小题只有一个选项符合题意。 1已知一个奇函数的定义域为1,2, , a b，则ab A1 B1 C0 D2 2若 ( )f x是R上的奇函数，且在(0,)上是增函数，若( 1)0f ，那么 ( )()0 x f xfx的解集是 （ ） A( 1,0) (1,)-? B(, 1)(0,1) C( , 1)(1,) D( 1,0)(0,1) 3一个偶函数定义在7，7上，它在0，7上的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A这个函数仅有一个单调增区间 B这个函数
2、有两个单调减区间 C这个函数在其定义域内有最大值是 7 D这个函数在其定义域内有最小值是7 4下列函数中，是偶函数且在区间0,1上是增函数的是（ ） Ayx B 3yx C 1 y x D 2 4yx 5函数 2 3x f x x 的图象关于 Ax 轴对称 B原点对称 Cy 轴对称 D直线y x 对称 6下列判断正确的是 A函数 2 2 2 xx f x x 是奇函数 B函数 1 1 1 x f xx x 是偶函数 C函数 2 16 64 x f x xx 是偶函数 D函数 1f x 既是奇函数又是偶函数 7设偶函数 f x的定义域为R，当 0,x时 f x是增函数，则2f ， f，3f 的大
3、小 关系是（ ） A 32fff B 32fff C 23fff D 23fff 8已知函数 ( )yf x 是定义在R上的奇函数，当0 x时， 3 ( )(1)f xxx，则当0 x时， ( )f x表 达式是 A 3 (1)xx B 3 (1)xx C 3 (1)xx D 3 (1)xx 二、多选题。本大题共二、多选题。本大题共 4 小题，每小小题，每小题有两项或以上符合题意。题有两项或以上符合题意。 9 若函数 y=f(x)是偶函数， 定义域为 R， 且该函数图象与 x 轴的交点有 3 个， 则下列说法正确的是 （ ） A3 个交点的横坐标之和为 0 B3 个交点的横坐标之和不是定值，与
4、函数解析式有关 Cf(0)=0 Df(0)的值与函数解析式有关 10 （多选题）已知函数 ( )f x的定义域为D，若存在区间 , m nD 使得 ( )f x： （1） ( )f x在 , m n上是单调函数； （2） ( )f x在 , m n上的值域是2 ,2 mn， 则称区间 , m n为函数 ( )f x的“倍值区间” 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A 2 ( )f xx； B 1 ( )f x x ； C 1 ( )f xx x ； D 2 3 ( ) 1 x f x x 11设函数 f(x)在 R 上为增函数，则下列结论不一定正确的是（ ） Ay= 1 | ( )|f x
5、 在 R 上为减函数 By=|f(x)|在 R 上为增函数 Cy= 1 ( )f x 在 R 上为增函数 Dy=f(x)在 R 上为减函数 12定义在R上的奇函数 f x为减函数，偶函数 g x在区间0,上的图象与 f x的图象重合，设 0ab，则下列不等式中成立为（ ） A f bfag agb B f bfag agb C f afbg bga D f afbg bga 三、填空题。本大题共三、填空题。本大题共 4 小题。小题。 13设偶函数 ( )yf x 的定义域为 5,5，若当0,5x时，( )yf x的图象如图所示，则不等式 ( )0yf x 的解集是_ 14已知 f(x)是定义在
6、( ,0 上的单调递增函数，且( 2)3f ，则满足(23)3fx的 x 的取值范围是 _. 15函数 ( )yf x 满足：对任意的 12 ,x xR总有 12 12 ()() 0 f xf x xx 则不等式 2 (1)(2 )f mfm的解 集为_ 16 对于函数 f x， 在使 f x M恒成立的所有实数M中， 我们把M的最大值 max M叫做函数 f x 的下确界，则对于aR， 2 46f aaa的下确界为_. 四、解答题。本大题共四、解答题。本大题共 6 小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 17已知函数 1 (
7、)3,(,0) m f xxmR x x （1）判断函数( )yf x的奇偶性，并说明理由； （2）若对于任意的1,4,( )1xf x 恒成立，求满足条件的实数m的最小值M 18已知函数 f(x)= 1 2 x x ，证明函数在(-2，+)上单调递增. 19已知函数 2 12 ( ) 21 f xx x ，求函数 f x在区间3, 1 上的最值. 20 （1）已知 f （x+1）=x2+4x+1，求 f（x） ； （2）已知 f （ 1 x x ）= 2 2 1 x x +1，求 f（x） ； （3）设 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且 f（x）g（x）=x2x，求 f（x） 21
8、对任意实数 a， b， 定义函数 1 , 2 F a babab， 已知函数 2 f xxmxn， 21g xx， 记 ,H xF f xg x （1）若对于任意实数 x，不等式 25f xgn 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）若 2mn2，且 m6，+） ，求使得等式 H(x)f(x)成立的 x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求 H(x)在区间0，6上的最小值 22已知函数 yf x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 2 f xxax，其中aR. （1）求函数 yf x的解析式; （2）若函数 yf x在区间0,不单调，求出实数a的取值范围; （3）当0a时，若1,1m ，
9、不等式 22 330f mmfmk 成立，求实数k的取值范围. 参考答案参考答案 1A 【解析】因为一个奇函数的定义域为1,2, , a b，根据奇函数的定义域关于原点对称， 所以a与b有一个等于 1，另一个等于2 ，所以121ab 故选 A 2D 【解析】根据题意， ( )f x是R上的奇函数，且( 1)0f ，则f（1）0， 又由 ( )f x在(0,)上是增函数，则在区间(0,1)上，( )0f x ，在(1,)上，( )0f x ， 又由函数 ( )f x为奇函数，则在区间( 1,0) 上，( )0f x ，在(, 1) 上，( )0f x ， 0 ( )()02( )0 ( )0 x
10、 x f xfxxf x f x 或 0 ( )0 x f x ， 则有10 x 或01x， 即不等式的解集为( 1 ，0) (0 ，1)； 故选：D 3C 【解析】结合偶函数图象关于 y 轴对称可知，这个函数在7，7上有三个单调递增区间，三个单调递减 区间，且定义域内有最大值 7，无法判断最小值是多少 故选：C. 4A 【解析】A.yx是偶函数,并且在区间 0,1时增函数，满足条件； B.3yx不是偶函数,并且在R上是减函数，不满足条件； C. 1 y x 是奇函数,并且在区间0,1上时减函数，不满足条件； D. 2 4yx 是偶函数，在区间0,1上是减函数，不满足条件； 故选 A. 5C
11、【解析】解： 2 3x f x x 0 x解得0 x f x的定义域为 ,00,D U，D 关于原点对称. 任取xD，都有 2 2 3 3 x x fxf x xx ， f x是偶函数，其图象关于y轴对称， 故选：C. 6C 【解析】解：对于A中，函数 f x的定义域为x xR，且2x，不关于原点对称，所以 f x是非 奇非偶函数; 对于B中，函数 f x的定义域为1,1，不关于原点对称，所以 f x是非奇非偶函数; 对于C中，由 2 160 x得44x ，定义域关于原点对称，且 22 1616 6410 xx f xfx xx ，所以 f x是偶函数; 对于D中，函数是偶函数，但不是奇函数.
12、 故选：C. 7B 【解析】因为 ( )f x是偶函数，所以( 2)(2),( 3)(3)ffff ， 又23 ，且 ( )f x在0,) 上是增函数， 所以(2)(3)( )fff，即( 2)( 3)( )fff 故选：B 8D 【解析】设0 x，则0 x ，当0 x时， 3 1f xxx， 33 11fxxxxx ， 函数 yf x是定义在R上的奇函数， f xfx， 3 1f xxx，故选 D . 9AC 【解析】由于偶函数图象关于 y 轴对称，若(x0，0)是函数与 x 轴的交点，则(-x0，0)一定也是函数与 x 轴的 交点，当交点个数为 3 个时，有一个交点一定是原点，从而 AC
13、正确. 故选：AC. 10ABD 【解析】 函数中存在“倍值区间”， 则 （1）( ) f x在 , m n内是单调函数， （2） ( )2 ( )2 f mm f nn 或 ( )2 ( )2 f mn f nm ， 对于 A， 2 ( )f xx， 若存在“倍值区间” , m n， 则 ( ) 2 ( ) 2 f mm f nn 2 2 2 2 mm nn 0 2 m n ， 2 ( )f xx， 存在“倍值区间”0,2； 对于 B， 1 ( )()f xxR x ， 若存在“倍值区间” , m n， 当0 x时， 1 2 1 2 n m m n 1 2 mn ， 故只需 1 2 mn 即
14、可，故存在； 对于 C， 1 ( )f xx x ；当0 x时，在区间0,1上单调递减，在区间1,)上单调递增， 若存在“倍值区间”1, 1 0,2nmn m m， 2 1 2210nmmmn n ， 222 210nmnmn 不符题意； 若存在“倍值区间” 1 , 1,)2m nmm m ， 22 1 21nnmn n 不符题意，故此函数不存 在“倍值区间“； 对于 D， 2 33 ( ) 1 1 x f x x x x ，所以 ( )f x在区间0,1上单调递增，在区间1,)上单调递减，若存在 “倍值区间” , 0,1m n ， 2 3 2 1 m m m ， 2 3 2 1 n n n
15、，0m， 2 2 n ， 即存在“倍值区间” 2 0, 2 ； 故选：ABD 11ABC 【解析】对于 A，若 f(x)=x，则 y= 1 | ( )|f x = 1 | | x ，在 R 上不是减函数，A 错误； 对于 B，若 f(x)=x，则 y=|f(x)|=|x|，在 R 上不是增函数，B 错误； 对于 C，若 f(x)=x，则 y= 1 ( )f x = 1 x ，在 R 上不是增函数，C 错误； 对于 D，函数 f(x)在 R 上为增函数，则对于任意的 x1，x2R，设 x1x2，必有 f(x1)0， 则 y=f(x)在 R 上为减函数，D 正确. 故选：ABC 12AC 【解析】
16、 f x为R上的奇函数且为减函数，0ab， 0f af b； f x为奇函数， g x为偶函数， faf a， fbf b， gag a， gbg b， 对于 AB， f bfag agbf bf ag ag b， 又 g x在区间0,上的图象与 f x的图象重合， f ag a， f bg b， 20f bfag agbf b， f bfag agb， 则 A 正确，B 错误； 对于 CD， f afbg bgaf af bg bg a 2 f a 0f b ， f afbg bga，则 C 正确，D 错误. 故选：AC. 13 | 5 2xx ，或25x 【解析】由图象可知：当0,5x时，
17、( )0f x 的解为25x， 因为( )yf x是偶函数，图象关于 y 轴对称， 所以当 5,0 x 时，( )0f x 的解为52x 所以( )0f x 的解是 | 52xx ，或25x 故答案为： | 52xx ，或25x 14x 1 2 【解析】因为( 2)3f ，所以(23)3fx和化为(23)( 2)fxf， 又因为 f(x)是定义在(,0上的单调递增函数， 所以232x ，解得 1 2 x . 故答案为： 1 2 x . 15 |1m m 【解析】因为对任意的 12 ,x xR总有 12 12 ()() 0 f xf x xx 所以函数( )yf x是R上的单调增函数， 从而由
18、2 (1)(2 )f mfm得 2 12mm ，解得1m 故答案为：|1m m 162 【解析】对于aR， 2 46f aaa， Mf a，则 minMf a， 而 2 222f aa， min 22f af， 2M，即 max 2M. 故答案为：2. 17 （1）既不是奇函数也不是偶函数；答案见解析； （2）2M 【解析】 （1）当1m时，( ) | 3f xx， 因为() | 3 | 3( )fxxxf x ，所以 ( )f x为偶函数； 当1m时，(1)3fm，( 1)1fm，(1)( 1)ff，(1)( 1)ff ， 所以既不是奇函数也不是偶函数 （2）对于任意的1,4,( )1xf
19、x ，即 1 31 m x x 恒成立， 所以 2 12mxx 对任意的 1,4x 都成立， 设 2 ( )2 ,1,4g xxx x ，则( )g x为1,4上的递减函数，所以1x 时，( )g x取得最大值 1， 所以1 1m ，即2m所以2M 18证明见解析. 【解析】证明：x1，x2(-2，+)，且 x1x2-2， f(x)= 11 1 22 x xx 则 f(x1)-f(x2)= 2 1 2x 1 1 2x = 12 12 - (2)(2) x x xx ， 因为 x1x2-2， 所以 x1-x20，x1+20，x2+20， 所以 12 12 - (2)(2) x x xx 0，所以
20、 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在(-2，+)上单调递增. 19 max 4f x， min 1 2 f x 【解析】 12 ,3, 1x x ，且 12 31xx 22 1212 12 1212 2121 f xf xxx xx 1212 12 12 ()() 2(1)(1) xxxx xx ， 又由 12 31xx ，得 12 0 xx， 12 62xx ， 12 41116xx， 则有 12 12 12 ()0 2(1)(1) xx xx ， 则有 12 0f xf x， 故函数 f x在区间3, 1 上单调递减， 故 max 34f xf， min 1 1 2 fxf 20 （
21、1）f（x）=x2+2x2； （2）f（x）=x2+3； （3）f（x）=x. 【解析】解： （1） 2 (1)41f xxx， 令1tx，则1xt ， 2 2 141122f ttttt ， 2 ( )22f xxx； （2） 2 2 2 111 13fxxx xxx ， 2 ( )3f xx； （3） f x为奇函数，()( )fxf x ， g x为偶函数， ()( )gxg x ， 2 ( )( )f xg xxx， 2 ()()fxgxxx， 从而 2 ( )( )f xg xxx， 2 ( )( )f xg xxx ， 由 2 2 ( )( ) ( )( ) f xg xxx f
22、xg xxx ，得 2 ( ) ( ) f xx g xx ( )f xx . 21 （1）2 3,2 3 ； （2） 2,m； （3） 2 min 0,642 2 22,42 212 4 434,12 m m H xmm mm 【解析】解： （1）由题意可得， 2 253xmxngnn 恒成立， 即 2 30 xmx对任意的 x 恒成立， 所以m2120，解得2 3,2 3m 轾 ? 犏 臌 ； （2）因为 2mn2，所以 f(x)x2mx+2m2， 由 1 , 2 F a babab知， , , , b ab F a b a ab ， 若当6,m时， H xf x， 则当6,m时，有 f
23、xg x恒成立， 当1x时， 2 2222xmxmx，所以 20 xxm， 又因为6m，所以2,xm； 当1x时， 2 2222xmxmx ，所以 2 220 xxm， 因为6m，1x，所以 2x0，m20，所以上式不成立； 综上可知，x 的取值范围是2,m； （3）由（2）知，6m且 ,02 ,26 g xx H x f xx ， 即 2 21,02 22,26 xx H x xmxmx ， 所以当02x时， min 10H xH， 当26x时， 2 2 22 24 mm H xxm ， 当612m时，有 3,6 2 m ， 此时 2 min 42 242 2 22 244 mm mm H
24、xHm ， 当6 42 2m 时， min0H x， 当4 2 212m 时， min0H x， 故在0,6上， 2 min 0,642 2 22,42 212 4 m H x m mm ， 当12m时，即 6 2 m 时， min 64340H xHm； 故在0,6上， min434H xm. 综上 2 min 0,642 2 22,42 212 4 434,12 m m H xmm mm 22 （1） 2 2 ,0 ,0 xax x f x xax x ； （2）0a； （3）7k . 【解析】解： （1）由 f x是定义在R上的奇函数，所以 00f； 又0 x时， 2 f xxax， 所以0 x时，0 x ，所以 2 fxfxxax 所以 f x的解析式为 2 2 ,0 ,0 xax x f x xax x ； （2）若0a，由图 f x在0,上递增； 0a， f x在0,上先减再增 综上，0a ； （3）当0a时， 2 2 ,0 ( ) ,0 xx f x xx ，可得函数 f x是定义域R上的单调增函数 又 f x是定义域R上的奇函数， 由1,1m ，不等式 22 330f mmfmk 成立，可得 2 222 39 33434 816 mmkmkmmm 1,1m ， 22 3939 4417 816816 m 7k .
