1、 2.2 课时课时 基本不等式基本不等式 一、单选题。本大题共一、单选题。本大题共 18 小题，每小题只有一个选项符合题意。小题，每小题只有一个选项符合题意。 1若, a bR，且0ab ，则下列不等式中，恒成立的是 A 22 2abab B 2abab C 112 abab D2 ba ab 2已知abc，则下列不等式一定成立的是（ ） A 22 acbc B 32 abc Cabac D 11 acbc 3设 a，b，c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ） A| | |abacbc B 2 2 11 aa aa C 1 |2ab ab D 312aaaa 4下列不等式一定成立
2、的是（ ） A 1 36 2 x x B 2 2 1 36 2 x x C 2 2 1 316 21 x x D 2 2 1 316 21 x x 5若01a，01b ，且ab，则a b ，2 ab ，2ab ， 22 ab 中最大的一个是（ ） A 22 ab B2 ab C2ab Da b 6某工厂第一年年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则 （ ） A 2 ab x B 2 ab x C 2 ab x D 2 ab x 7若对0 x、 0y ，有 21 2xym xy 恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A8m B8m C0m D4m 8某
3、汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：百 万元）与营运年数x（0 x）满足二次函数关系，且y与x满足的二次函数的图象如图所示.若使每辆客 车营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（ ） A3 年 B4 年 C5 年 D6 年 二、多选题。本大题共二、多选题。本大题共 4 小题，每小题有两项或以上符合题意。小题，每小题有两项或以上符合题意。 9已知 a0，b0，1ab，对于代数式 1 1 a 1 1 b ，下列说法正确的是（ ） A最小值为 9 B最大值是 9 C当 a=b= 1 2 时取得最小值 D当 a=b= 1 2 时取得最大值 10下列推导过
4、程，正确的为 （ ） A因为a、b为正实数，所以22 bab a aba b B因为xR，所以 2 1 1 1x C0a ，所以 44 24aa aa D因为x、y R ，0 xy ，所以22 xyxyxy yxyxyx 11下列函数中最大值为 1 2 的是（ ） A 2 2 1 16 yx x B 2 1,0,1yxxx C 2 4 1 x y x D 4 ,2 2 yxx x 12设 0,0,xyxyxya 其中a为参数.下列选项正确的是（ ） A当0a时，x y 的最大值为 4 B当0a时，xy 的最小值为 4 C当3a 时，xy的最小值为 9 D当3a 时，xy的最大值为 3 三、填空
5、题。本大题共三、填空题。本大题共 4 小题。小题。 13若0, 0,10 xyxy，则 25 xy 的最小值为_ 14工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和 仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元.则工厂 和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小. 15已知正实数 a，b，c 满足 a2-2ab+9b2-c=0，则当 ab c 取得最大值时， 3112 abc 的最大值为_. 16已知,m n为直线 120 xy 上一点，且0mn，则 14 mn 的最小值为_ 四、解答题。本大
6、题共四、解答题。本大题共 6 小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 17设 a0，b0，且 ab 11 ab ，证明：ab2 18求下列函数的最值 （1）求函数 2 2 (1) 1 x yx x 的最小值. （2）若正数x，y满足35xyxy，求34xy的最小值. 19 （1）若 ,0 x y ，且280 xyxy，求x y 的最小值； （2）若41x ，求 2 22 22 xx x 的最大值 20正实数 a，b，c 满足 a23ab+4b2c0 当 ab c 最大值时，求 212 abc 的最大值 21已知实数 a0，b0，
7、且 a2+b28，若 a+bm 恒成立 （1）求实数 m 的最小值； （2）若 2|x1|+|x|a+b 对任意的 a，b 恒成立，求实数 x 的取值范围 22某厂家拟定在 2020 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销 费用 m(m0)万元满足 x3 1 k m (k 为常数) 如果不搞促销活动， 那么该产品的年销量只能是 1 万件 已 知 2020 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的 销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) （1）将 2020
8、 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； （2）该厂家 2020 年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 参考答案参考答案 1D 【解析】，所以 A 错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当 时，B 错；同时 C 错；或都是正数，根据基本不等式求最值， 故 D 正确 2D 【解析】对于选项 A，由于可能有 2 c 0，故 A 错误； 对于选项 B，若3,4bc，则 2 bc，所以 B 错误； 对于选项 C，虽有bc，但a的正负不确定，故 C 错误； 对于选项 D，由于abc，所以0acb c ，所以 11 acbc . 故 D 正确. 故选 D 3C 【解
9、析】a，b，c 是互不相等的正数. 对于 A， |acbcacbcab，当且仅当0acbc时，等号成立，故 A 恒成立； 对于 B，由 22 43 2 222 (1)1 111 0 aaa aaa aa aaaa ，得 2 2 11 aa aa ，故 B 恒成 立； 对于 C，当2,3ab，不等式不成立，故 C 不恒成立； 对于 D， 22 321232323221aaaaaaaaaa 2321aaaa， 又32120,321aaaaaaaa ， 22 3231 ,120aaaaaaaa， 22 321,321aaaaaaaa， 即312aaaa 恒成立，故 D 恒成立. 故选：C. 4B 【
10、解析】解：对于A：x可能是负数 ，不成立； 对于B：由基本不等式可知，当且仅当 2 2 1 3 2 x x ，即 4 1 6 x 时取等号，故成立； 对于C：当 2 2 1 31 21 x x 时， 2 2 1 1 6 x ，x无解，不成立； 对于D： 2 1x 可能是负数，不成立. 故选：B. 5D 【解析】01a，01b，且ab， 2222 2,2,abab abab aa bb， 22 abab . 故选 D. 6B 【解析】解：由题意得， 2 (1)(1)(1)AabAx，则 2 (1)(1)(1)abx， 因为 2 11 (1)(1) 2 ab ab ， 所以 2 11 22 aba
11、b x ， 所以 2 ab x ，当且仅当ab时取等号， 故选：B 7A 【解析】解：0 x、0y 2144 222428 yxy x xy xyxyxy ，当且仅当2xy时， 等号成立， 8m， 故选：A. 8C 【解析】解：由题可设y与x满足的二次函数为 2 611ya x（0a ，0 x） ，将点4,7的坐标 代入，解得1a， 故 2 2 6111225yxxx （0 x） ， 则年平均利润 2525 122122 y xx xxx ， 当且仅当 25 x x ，即5x （负值舍去）时；等号成立，所以每辆客车营运 5 年时，年平均利润最大. 故选：C. 9AC 【解析】因为1ab，所以
12、11 11 ab =1 ab a 1 ab b =2 b a 2 a b =5+252 29 bab a aba b ，当且仅当 ba ab 时，即 a=b= 1 2 时，等号成立. 所以 a=b= 1 2 时，代数式取得最小值 9. 故选：AC. 10AD 【解析】对于 A 选项，因为a、b为正实数，则 b a 、 a b 为正实数， 由基本不等式可得22 bab a aba b ，当且仅当ab时，等号成立，A 选项正确； 对于 B 选项， 2 1 1x ，所以， 2 1 01 1x ，B 选项错误； 对于 C 选项，当0a 时， 444 24aaa aaa ， 当且仅当2a 时，等号成立，
13、C 选项错误； 对于 D 选项，因为x、yR，0 xy ，则 y x 、 x y 均为负数， 由基本不等式可得22 xyxyxy yxyxyx ， 当且仅当x y 时，等号成立，D 选项正确. 故选：AD. 11BC 【解析】解：对 A， 22 22 111 2 16162 yxx xx ， 当且仅当 2 2 1 16 x x ，即 1 2 x 时取等号，故 A 错误； 对 B， 22 222 11 11 22 xx yxxxx ， 当且仅当 22 1xx ，又 0,1x，即 2 2 x 时取等号，故 B 正确； 对 C， 2 4 2 2 11 1 12 x y x x x ， 当且仅当 2
14、2 1 x x ，即1x 时等号成立，故 C 正确； 对 D， 444 222222 222 yxxx xxx ， 当且仅当 4 2 2 x x ，又2x ， 0 x时取等号，故 D 错误. 故选：BC. 12BC 【解析】当0a时，xy xy ，则 2 2 xy xyxy ，即 2 4 xy xy ， 0,0 xy ，4xy ，当且仅当2xy时等号成立， 当0a时，x y 的最小值为 4； 当3a 时，323xyxyxy ，解得1xy （舍去）或3xy ， 则9xy ，当且仅当3xy时等号成立， 当 3a 时，xy的最小值为 9. 故选：BC. 132 【解析】由0,0,10 xyxy，则
15、25210222 2=2 2222 xyxx xyxyxyxx ， 当且仅当2x时取“=”，即 25 xy 的最小值为 2 故答案为：2. 142 【解析】设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为 1 y万元，仓储费为 2 y万元， 设 2 112 , k yk x y x ； 当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元， 所以 1 204k， 2 5 4 k ，则 12 5,20kk； 所以运费与仓储费之和为 20 5x x ， 因为 2020 52 520 xx xx ，当且仅当 20 5x x ，即2x时，运费与仓储费之和最小为20万元. 故答案为：2 1
16、51 【解析】正实数 a，b，c 满足 a2-2ab+9b2-c=0， 得 ab c = 22 -29 ab aabb = 22 1 -29aabb ab = 1 9 2 ab ba ， 其中 99 26 abab baba ，当且仅当 a b = 9b a ，即 a=3b 时， 9ab ba 取最小值 6. 故 ab c 1 4 ， ab c 取最大值 1 4 又因为 a2-2ab+9b2-c=0，所以此时 222 2912caabbb， 所以 2 2 31121111 11 abcbbbb ， 当 1 1 b 时， 即当 a=3， b=1 时，3 112 abc 取得最大值 1， 故答案为
17、：1. 16 3 4 . 【解析】,m n为直线 120 xy 上一点，12mn，又0mn，0m，0n， 1411414143 552 1212124 nmnm mn mnmnmnmn （当且仅当 4nm mn ，即 8n ，4m时取等号） ， 14 mn 的最小值为 3 4 . 故答案为： 3 4 . 17证明见解析 【解析】由 a0，b0，则 ab 1 a 1 b ab ab ，由于 ab0，则 ab1， 所以 ab2 ab2，当且仅当 ab 时取得等号，ab2 18 （1）22 3； （2）5. 【解析】 （1） 2 (1)2(1)33 (1)2 2 32 11 xx yx xx ，当且
18、仅当 2 (1)3x 即31x 时等 号成立， 故函数y的最小值为22 3. （2）由35xyxy得 13 1 55yx ， 则 13312131336 34(34 )()25 55555525 xy xyxy yxyx ， 当且仅当 123 55 yx xy ,即 1 2 y ，1x 时等号成立， 故34xy的最小值为 5. 19 （1）18； （2）-1. 【解析】 （1）由280 xyxy，得 82 1 xy ， 8282 10 yx xyxy xyxy 82 10218 yx xy ，当且仅当212xy时取等号 故当212xy，x y 取最小值 18. （2）若41x ，则 2 221
19、1 1 2221 xx x xx 1 12 1 x x 当且仅当0 x时取等号 11 11 21 x x . 即若41x ， 2 22 22 xx x 的最大值为1 201 【解析】解：由条件可得 22 34caabb，则 22 34 1 34 ab a ab c b aabb ba 由34432 43=1 abbaba baabab 当且仅当4 ba ab ，即2ab时， ab c 有最大值，此时 c2b2， 所以 2 2 21211 11 2 abcbbb 当 b1 时， 212 abc 有最大值 1 所以 212 abc 的最大值为 1 21 （1）4； （2） 2 | 3 x x 或2
20、x 【解析】 （1）a2+b22ab， 2a2+2b2（a+b）2， （a+b）216， （a+b）4， 故 m4，实数 m 的最小值为4 （2）由 2|x1|+|x|a+b 恒成立， 由（1）可得 a+b 的最大值为 4 故只需 2|x1|+|x|4， 即：当 x1 时，2（x1）+x4，解得：x2； 当 0 x1 时，2（1x）+x4，无解； 当 x0 时，2（1x）x4，解得； 2 3 x 故得实数 x 的取值范围是 2 | 3 x x 或2x 22 （1）y 16 (1) 1 m m 29(m0)； （2）该厂家 2020 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大 为 21 万元. 【解析】(1)由题意知，当 m0 时，x1(万件)， 所以 13kk2，所以 x3 2 1m (m0)， 每件产品的销售价格为 1.58 16x x (元)， 所以 2020 年的利润 y1.5x8 16x x 816xm 16 (1) 1 m m 29(m0) (2)因为 m0 时， 16 1m (m1)2 168， 所以 y82921，当且仅当 16 1m m1m3(万元)时，ymax21(万元) 故该厂家 2020 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元
