1、第第 2 章章 特殊三角形单元测试特殊三角形单元测试(A 卷基础篇）卷基础篇） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （2020湖州模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （2019 秋新昌县期末）已知等腰三角形的周长为 13，一条边长为 5，则底边长为（ ） A3 B5 C5 或 3 D4 或 5 3 （2020上城区二模）若等腰三角形的一个外角度数为 100，则该等腰三角形顶角的度数为（ ） A80 B100 C20或 100 D20或 80 4 （2019 秋萧山区期末）如图，在ABC 中，ABAC，B50，
2、P 是边 AB 上的一个动点（不与顶点 A 重合） ，则BPC 的度数可能是（ ） A50 B80 C100 D130 5 （2020鄞州区模拟）能说明命题“若 ab，则 3a2b“为假命题的反例为（ ） Aa3，b2 Ba2，b3 Ca2，b3 Da3，b2 6 （2019 秋江干区期末）若ABC 三个内角的关系为，则三角形的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 7 （2019 秋长寿区期末）如图，C、E 和 B、D、F 分别在GAH 的两边上，且 ABBCCDDEEF， 若A18，则GEF 的度数是（ ） A108 B100 C90 D80 8 （2019
3、秋咸丰县期末）如图，任意ABC 中，ABC 与ACB 的平分线交于点 F，过点 F 作 DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，那么下列结论： A2BFC180；DEBDCE；ADE 的周长等于 AB 与 AC 的和；BFCF 其中正确的有（ ） A B C D 9 （2019 秋余杭区期末）如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AB，AC，BC 为边作等边ABD，等 边ACE，等边CBF设AEH 的面积为 S1，ABC 的面积为 S2，BFG 的面积为 S3，四边形 DHCG 的面积为 S4，则下列结论正确的是（ ） AS2S1+S3+S4 BS1+S2S3+S4 CS1+S4
4、S2+S3 DS1+S3S2+S4 10 （2019 秋拱墅区校级期中） 如图， 在ABC 中， BAC90， AD 是高， BE 是中线， CF 是角平分线， CF 交 AD 于点 G，交 BE 于点 H，下面说法不正确的是（ ） ASABESBCE BAFGAGF CBHCH DFAG2ACF 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （2020 春高淳区期末）用“如果，那么”形式，写出“对顶角相等”的逆命题： 12 （2020萧山区模拟）如图，在ABC 中，ABAC，点 D，点 E 分别是 BC，AC 上一点，且 DEAD， 若BAD
5、55，B50，则DEC 的度数为 13 （2019 秋临安区期中）在 RtABC 中，C90，AB60，那么A 14 （2019 秋梁平区期末）直角三角形的两边为 3 和 4，则该三角形的面积为 15 （2020浙江自主招生）等腰三角形，一腰上的中线将它的周长分成 12 和 9 两部分，则腰长为 16 （2019 春椒江区期末）RtABC 中，C90，AB10，BC6，若 AC 边上存在一点 P，使得 PA2 PC2BC2，则 PB 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分） （2019 秋椒江区期末）如图，已知 ABCD，AC 平分DAB求证：ADC 是
6、等腰三角形 18 （8 分） （2019 秋鄞州区期中）如图，在ABC 中，ABAC，CD 是ACB 的平分线，DEBC，交 AC 于点 E （1）求证：DECE （2）若CDE25，求A 的度数 19 （8 分） （2019 春西湖区校级月考）如图，在ABC 中，CE 平分ACB，CEAB 于点 E，过 E 作 ED AC 交 BC 于点 D，过 D 作 DFAB 于点 F （1）若ACE40，求EDC 的度数 （2）判断EDF 与BDF 是否相等，并说明理由 20 （10 分） （2019 秋萧山区期中）已知：如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高线，CE 是 AB 边上的中 线，D
7、GCE 于 G，且 CDAE （1）求证：CGEG （2）求证：B2ECB 21 （10 分） （2019 秋长兴县期末） 如图， 已知 AC 平分BAD， CEAB 于 E， CFAD 于 F， 且 BCCD， （1）求证：BCEDCF； （2）若 AB21，AD9，BCCD10，求 AC 的长 22 （12 分） （2020余杭区一模）如图，在ABC 中，ABACBC，以点 A 为圆心，线段 AB 的长为半径 画弧，与 BC 边交于点 D，连接 AD 过点 D 作 DEAD，交 AC 于点 E （1）若B50，C28，求AED 度数； （2）若点 F 是 BD 的中点，连接 AF，求证：B
8、AFEDC 23 （12 分） （2020绍兴）问题：如图，在ABD 中，BABD在 BD 的延长线上取点 E，C，作AEC， 使 EAEC若BAE90，B45，求DAC 的度数 答案：DAC45 思考： （1）如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，其余条件不变，那么DAC 的度数会改 变吗？说明理由 （2）如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，再将“BAE90”改为“BAEn” ， 其余条件不变，求DAC 的度数 第第 2 章章 特殊三角形单元测试特殊三角形单元测试(A 卷基础篇）卷基础篇） 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，
9、共 30 分）分） 1 （2020湖州模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【思路点拨】根据轴对称图形定义进行解答即可 【答案】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 2 （2019 秋新昌县期末）已知等腰三角形的周长为 13，一条边长为 5，则底边长为（ ） A3 B5 C5 或 3 D4 或 5
10、【思路点拨】此题分为两种情况：5 是等腰三角形的底边或 5 是等腰三角形的腰然后进一步根据三角 形的三边关系进行分析能否构成三角形 【答案】解：当 5 是等腰三角形的底边时，则其腰长是（135）24，能够组成三角形； 当 5 是等腰三角形的腰时，则其底边是 13523，能够组成三角形 所以该等腰三角形的底边为 5 或 3， 故选：C 【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系 3 （2020上城区二模）若等腰三角形的一个外角度数为 100，则该等腰三角形顶角的度数为（ ） A80 B100 C20或 100 D20或 80 【思路点拨】因为题中没有指明该外角是顶角的
11、外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析 【答案】解：当 100的角是顶角的外角时，顶角的度数为 18010080； 当 100的角是底角的外角时，底角的度数为 18010080，所以顶角的度数为 180280 20； 故顶角的度数为 80或 20 故选：D 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质等知识；若题目中没有明确 顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键 4 （2019 秋萧山区期末）如图，在ABC 中，ABAC，B50，P 是边 AB 上的一个动点（不与顶点 A 重合） ，则BPC 的度数可能是（ ） A50
12、B80 C100 D130 【思路点拨】只要证明 80BPC130即可解决问题 【答案】解：ABAC， BACB50， A18010080， BPCA+ACP， BPC80， B+BPC+PCB180， BPC130， 80BPC130， 故选：C 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，属于中考常考题型 5 （2020鄞州区模拟）能说明命题“若 ab，则 3a2b“为假命题的反例为（ ） Aa3，b2 Ba2，b3 Ca2，b3 Da3，b2 【思路点拨】根据有理数的乘法法则、有理数的大小比较法则解答 【答案】解：当 a2，b3 时
13、，23，而 3（2）2（3） ，即 ab 时，3a2b， 命题“若 ab，则 3a2b“为假命题， 故选：B 【点睛】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推 理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 6 （2019 秋江干区期末）若ABC 三个内角的关系为，则三角形的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【思路点拨】设k，根据三角形的内角和列方程即可得到即可 【答案】解：ABC 三个内角的关系为， 设k， A3k，B4k，C5k， 3k+4k+5k180， k15， A45，B60，C75， 三角形的形状为
14、锐角三角形， 故选：A 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 180是解答此题的关键 7 （2019 秋长寿区期末）如图，C、E 和 B、D、F 分别在GAH 的两边上，且 ABBCCDDEEF， 若A18，则GEF 的度数是（ ） A108 B100 C90 D80 【思路点拨】 根据三角形内角和定理， 三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质， 逐步推出GEF 的度数 【答案】解：A18，ABBCCDDEEF，ACB18， 根据三角形外角和外角性质得出BCD108， CBDCDB（180108）36， ECD180BCDACB1801081854， ECDCED54
15、CDE18054272， EDFEFD180（CDB+CDE）72， DEF180（EDF+EFD）36， GEF180（CED+DEF）90， 即GEF90 故选：C 【点睛】此类题考生应该注意的是三角形内角和定理的运用 8 （2019 秋咸丰县期末）如图，任意ABC 中，ABC 与ACB 的平分线交于点 F，过点 F 作 DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，那么下列结论： A2BFC180；DEBDCE；ADE 的周长等于 AB 与 AC 的和；BFCF 其中正确的有（ ） A B C D 【思路点拨】由ABC 中，ABC 与ACB 的平分线交于点 F，DEBC，易证得BDF
16、 和CEF 都是 等腰三角形，继而可得 DEBD+CE，又由ADE 的周长为：AD+DE+AEAB+BD+CE+AEAB+AC； 即可得ADE 的周长等于 AB 与 AC 的和 【答案】解：ABC 与ACB 的平分线交于点 F， FBCABF，FCBACF， A2BFC180， 故正确； DEBC， DFBFBC，EFCFCB， ABC 中，ABC 与ACB 的平分线交于点 F， DBFFBC，ECFFCB， DBFDFB，ECFEFC， DBDF，EFEC， DEDF+EFBD+CE， 故正确； ADE 的周长为：AD+DE+AEAB+BD+CE+AEAB+AC； 故正确 ABC 不一定等于
17、ACB， FBC 不一定等于FCB， BF 与 CF 不一定相等，无法判断其大小， 故错误； 故选：C 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义此题难度适中，注意掌握数形结合 思想与转化思想的应用 9 （2019 秋余杭区期末）如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AB，AC，BC 为边作等边ABD，等 边ACE，等边CBF设AEH 的面积为 S1，ABC 的面积为 S2，BFG 的面积为 S3，四边形 DHCG 的面积为 S4，则下列结论正确的是（ ） AS2S1+S3+S4 BS1+S2S3+S4 CS1+S4S2+S3 DS1+S3S2+S4 【思路点拨】设 ACa
18、，BCb，ABc，可得出，即 SACE+SBCFSABD得出结论 S1+S3S2+S4 【答案】解：设 ACa，BCb，ABc， ABD，ACE，CBF 都是等边三角形， ， ACB90， a2+b2c2 ， 即 SACE+SBCFSABD S1+S3S2+S4 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键 10 （2019 秋拱墅区校级期中） 如图， 在ABC 中， BAC90， AD 是高， BE 是中线， CF 是角平分线， CF 交 AD 于点 G，交 BE 于点 H，下面说法不正确的是（ ） ASABESBCE BAFGAGF C
19、BHCH DFAG2ACF 【思路点拨】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对 A 选项进行判断；根据等角的余角相等得到 ABCDAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对 B 选项进行判断；根据等角的余角相等得 到BADACB，再根据角平分线的定义可对 D 选项进行判断 【答案】解：BE 是中线得到 AECE， SABESBCE，所以 A 选项的说法正确； BAC90，AD 是高， ABCDAC， CF 是角平分线， ACFBCF， AFGFBC+BCF，AGFGAC+ACF， AFGAGF，所以 B 选项的说法正确； BAD+DAC90，DAC+ACB90， BADACB， 而ACB2
20、ACF， FAG2ACF，所以 D 选项的说法正确 故选：C 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （2020 春高淳区期末）用“如果，那么”形式，写出“对顶角相等”的逆命题： 如果两个角相 等，那么它们是对顶角 【思路点拨】先找到命题的题设和结论，再写成“如果那么”的形式，再利用把一个命题的题设和 结论互换即可得到其逆命题 【答案】解：原命题的条件是： “两个角是对顶角” ，结论是： “这两个角相等” ， 命题 “对顶角相等” 的逆命题写
21、成 “如果那么” 的形式为：“如果两个角相等， 那么它们是对顶角” 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角 【点睛】本题考查了命题的条件和结论的叙述以及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条 件是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论又是第二个命题的条件， 那么这两个命题叫做互逆命题 其 中一个命题称为另一个命题的逆命题 12 （2020萧山区模拟）如图，在ABC 中，ABAC，点 D，点 E 分别是 BC，AC 上一点，且 DEAD， 若BAD55，B50，则DEC 的度数为 115 【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到C50，进而得到BAC80，由 BAD55，
22、得到DAE25，由 DEAD，进而求出结论 【答案】解：ABAC， BC， B50， C50， BAC180505080， BAD55， DAE25， DEAD， ADE90， DECDAE+ADE115 故答案为：115 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的 性质是解题的关键 13 （2019 秋临安区期中）在 RtABC 中，C90，AB60，那么A 75 【思路点拨】根据直角三角形两锐角互余，构建方程组即可解决问题 【答案】解：C90， A+B90， AB60， 2A150， A75 故答案为：75 【点睛】本题考查直角三角形的性质，
23、解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题 14 （2019 秋梁平区期末）直角三角形的两边为 3 和 4，则该三角形的面积为 6 或 【思路点拨】题目中没有明确指出边长为 4 的边是直角边还是斜边，所以要分类讨论（1）边长为 4 的边 是直角边； （2）边长为 4 的边是斜边 【答案】解：若边长为 3 的边和边长为 4 的边有一条为斜边，43，边长为 4 的边是斜边， （1） ，若边长为 4 的边是直角边，则该三角形面积为346， （2） ，若边长为 4 的边是斜边，则该三角形另一条直角边为， 该三角形的面积为3， 故答案为 6 或 【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了勾股定理在直角三角形
24、中的运用，本题中讨论边长为 4 的边 是直角边还是斜边是解题的关键 15（2020浙江自主招生） 等腰三角形， 一腰上的中线将它的周长分成 12 和 9 两部分， 则腰长为 6 或 8 【思路点拨】设腰长为 x，底边长为 y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为 9 和 12 两部分，列方程解得即可 【答案】解：设腰长为 x，底边长为 y， 则或， 解得：或， 经检验，都符合三角形的三边关系 因此三角形的底边长为 9 或 5，等腰三角形的腰长为 6 或 8 故答案为：6 或 8 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确 3：2 两部分是哪一部分含有 底
25、边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点 非常重要，也是解题的关键 16 （2019 春椒江区期末）RtABC 中，C90，AB10，BC6，若 AC 边上存在一点 P，使得 PA2 PC2BC2，则 PB 【思路点拨】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可 【答案】解：如图所示， 在 RtABC 中，C90，AB10，BC6， AC8； PA2PC2BC2，即（8PC）2PC262， 解得 PC， 在 RtPBC 中，PB 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜 边长的平方是解答
26、此题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分） （2019 秋椒江区期末）如图，已知 ABCD，AC 平分DAB求证：ADC 是等腰三角形 【思路点拨】由平行线的性质和角平分线定义求出DACDCA，即可得出结论 【答案】证明：ABCD， BACDCA， AC 平分DAB， BACDAC， DACDCA， ADC 是等腰三角形 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质 是解题的关键 18 （8 分） （2019 秋鄞州区期中）如图，在ABC 中，ABAC，CD 是ACB 的平分线，DEBC，交 AC
27、于点 E （1）求证：DECE （2）若CDE25，求A 的度数 【思路点拨】 （1）利用等角对等边证明即可 （2）求出ABC，ACB 即可解决问题 【答案】 （1）证明：CD 是ACB 的平分线， BCDECD， DEBC， EDCBCD， EDCECD， DECE （2）解：ECDEDC25， ACB2ECD50， ABAC， ABCACB50， A180505080 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 19 （8 分） （2019 春西湖区校级月考）如图，在ABC 中，CE 平分ACB，CEAB 于点 E，过 E
28、作 ED AC 交 BC 于点 D，过 D 作 DFAB 于点 F （1）若ACE40，求EDC 的度数 （2）判断EDF 与BDF 是否相等，并说明理由 【思路点拨】 （1）由角平分线的性质和平行线的性质可求解； （2）由平行线的性质可求BCEBDF，EDFCED，ACECED，可得EDFBDF 【答案】解： （1）CE 平分ACB， ACEBCE40ACB， ACB80， ACDE， ACB+CDE180， EDC100； （2）EDFBDF， 理由如下： DFAB，CEAB， CEDF， BCEBDF，EDFCED， EDAC， ACECED， ACEBCE， EDFBDF 【点睛】本题
29、考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质是本题 的关键 20 （10 分） （2019 秋萧山区期中）已知：如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高线，CE 是 AB 边上的中 线，DGCE 于 G，且 CDAE （1）求证：CGEG （2）求证：B2ECB 【思路点拨】 （1）连接 DE，根据直角三角形的性质得到 DEABAE，根据等腰三角形的三线合一证 明结论； （2）根据三角形的外角性质证明 【答案】 （1）证明：连接 DE， ADBC，点 E 是 AB 的中点， DEABAE， CDAE， DEDC，又 DGCE， CGEG （2）证明：DEDC，
30、DECDCE， EDBDEC+DCE2DCE， DEBE， BEDB2DCE 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的 一半是解题的关键 21 （10 分） （2019 秋长兴县期末） 如图， 已知 AC 平分BAD， CEAB 于 E， CFAD 于 F， 且 BCCD， （1）求证：BCEDCF； （2）若 AB21，AD9，BCCD10，求 AC 的长 【思路点拨】 （1）要证明BCEDCF，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所 以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等； （2） 结合 （1） 中的结论
31、进行分析， 发现： ABAE+BEAF+BEAD+DE+BEAD+2BE， 求出 BE 的长， 再根据勾股定理求得 CE 的长，再运用勾股定理进行求解即可 【答案】 （1）证明：AC 平分BAD，CEAB 于 E，CFAD 于 F， CFD90，CEB90（垂线的意义） CECF（角平分线的性质） BCCD（已知） RtBCERtDCF（HL） （2）解：由（1）得， RtBCERtDCF DFEB，设 DFEBX CFD90，CEB90， CECF，ACAC RtAFCRtAEC（HL） AFAE 即：AD+DFABBE AB21，AD9，DFEBx 9+x21x 解得，x6 在 RtDCF
32、 中，DF6，CD10 CF8 RtAFC 中，AC2CF2+AF282+（9+6）2289 AC17 答：AC 的长为 17 【点睛】 （1）掌握全等三角形的判定方法，能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等； （2）注意线段的等量代换，熟练运用勾股定理 22 （12 分） （2020余杭区一模）如图，在ABC 中，ABACBC，以点 A 为圆心，线段 AB 的长为半径 画弧，与 BC 边交于点 D，连接 AD 过点 D 作 DEAD，交 AC 于点 E （1）若B50，C28，求AED 度数； （2）若点 F 是 BD 的中点，连接 AF，求证：BAFEDC 【思路点拨】 （1）由题意可得
33、 ABAD，求得ADBB50，根据平角的定义得到EDC180 ADBADE180509040，根据三角形外角的性质即可得到结论； （2） 根据等腰三角形的性质得到 AFBD， BAFDAF， 由三角形的内角和得到DAF+ADB90， 由平角的定义得到ADF+EDC90，于是得到结论 【答案】解： （1）由题意可得 ABAD， ADBB50， DEAD， ADE90， EDC180ADBADE180509040， C28， AEDEDC+C40+2868； （2）ABAD，点 F 是 BD 的中点， AFBD，BAFDAF， DAF+ADB90 DEAD， ADE90， ADF+EDC90， D
34、AFEDC， BAFEDC 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是 解题的关键 23 （12 分） （2020绍兴）问题：如图，在ABD 中，BABD在 BD 的延长线上取点 E，C，作AEC， 使 EAEC若BAE90，B45，求DAC 的度数 答案：DAC45 思考： （1）如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，其余条件不变，那么DAC 的度数会改 变吗？说明理由 （2）如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，再将“BAE90”改为“BAEn” ， 其余条件不变，求DAC 的度数 【思路点拨】 （1） 根据等腰三角形的性质得到AED
35、2C， 求得DAE90BAD90 （45 +C）45C，由，即可得到结论； （2）设ABCm，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论 【答案】解： （1）DAC 的度数不会改变； EAEC， AED2C， BAE90， BAD180（902C）45+C， DAE90BAD90（45+C）45C， 由，得，DACDAE+CAE45； （2）设ABCm， 则BAD（180m）90m，AEB180nm， DAEnBADn90+m， EAEC， CAEAEB90nm， DACDAE+CAEn90+m+90nmn 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键
