1、 2021 年四川省乐山市峨眉山市中考数学二调试卷年四川省乐山市峨眉山市中考数学二调试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题 目要求目要求. 1下列实数是无理数的是（ ） A2 B C D 2茶中精品“恩施绿” “利川红”享誉世界去年恩施州茶叶产量约为 120000 吨，将数 120000 用科学记 数法表示为（ ） A12104 B1.2105 C1.2106 D0.12106 3下列运算一定正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba2a4
2、a8 C （a2）4a8 D （a+b）2a2+b2 4若代数式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx0 Cx0 且 x2 Dx2 5如图所示的几何体是由 9 个大小相同的小正方体组成的，将小正方体移走后，所得几何体的三视图没 有发生变化的是（ ） A主视图和左视图 B主视图和俯视图 C左视图和俯视图 D主视图、左视图、俯视图 6我国古代数学著作九章算术 “盈不足”一章中记载： “今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二 斛，问大小器各容几何” 意思是：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛 问 1 个大桶、
3、1 个小桶分别可以盛酒多少斛？设 1 个大桶盛酒 x 斛， 1 个小桶盛酒 y 斛，下列方程组正确的是（ ） A B C D 7如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 E 在 AC 边上，过点 E 作 EFBC，交 AD 于点 F， 过点 E 作 EGAB，交 BC 于点 G，则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 8如图，正方形 ABCD 的边长为 4，以点 A 为圆心，AD 为半径，画圆弧 DE 得到扇形 DAE（阴影部分， 点 E 在对角线 AC 上） 若扇形 DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图， 则该圆锥的底面圆的半径是 （ ） A B1 C D 9如图，半径
4、为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CF AE 于点 F当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为（ ） A B C D 10已知二次函数 yax2+bx+c（a0） ，且满足条件 abc，a+b+c0，给定下列命题，其中正确命题的 序号是（ ） abc0； 21； 存在满足条件的 a、b、c，使得二次函数在 x时取得最小值； 4a2|b|+c0； 对任意满足 am2+bm+c0 的实数 m，都有 a（m+3）2+b（m+3）+c0 A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题
5、小题，每小题 0 分，共分，共 18 分分. 11已知80，则 的补角等于 12甲、乙两人在 100 米短跑训练中，某 5 次的平均成绩相等，甲的方差是 0.14，乙的方差是 0.06，这 5 次短跑训练成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙” ） 13把多项式分解因式：x32x2+1 14若 a23a+10，则 a2+的值为 15如图，RtABC 中，ACB90，CAB30，BC2，O、H 分别为 AB、AC 的中点，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 120到MBN 的位置，则整个旋转过程中，线段 OH 扫过的部分的面积（即图中阴 影部分面积）为 16如图 1，在平面直角坐标系 xoy 中，过T 外
6、一点 P 引它的两条切线，切点分别为 M，N，若 60 MPN180，则称 P 为T 的环绕点 （1）如图 2，当O 半径为 1 时，在 P1（1，0） ，P2（1，1）中，O 的环绕点是 ； （2）当T 的半径为 1，圆心为（0，t）时，以（m，m） （m0）为圆心，为半径的所有圆构 成图形 H，若在图形 H 上存在T 的环绕点，则 t 的取值范围是 三、本大题共三、本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 27 分分 17计算： 18解不等式组： 19化简，并求值，其中 x 是一元二次方程 x27x+60 的解 四、本大题共四、本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 0 分
7、，共分，共 30 分分 20 某中学为推动 “时刻听党话 永远跟党走” 校园主题教育活动， 计划开展四项活动： A： 党史演讲比赛， B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛校团委对学生最喜欢的一项活动进行调查， 随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图 1，图 2 两幅不完整的统计图请结合图中信息解答下列 问题： （1）本次共调查了 名学生； （2）将图 1 的统计图补充完整； （3）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的 4 个学生中只有 1 名女生，现从这 4 名学生中任意 抽取 2 名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率 2
8、1如图，点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AM，作 DEAM 于点 E，BFAM 于点 F，连接 BE （1）求证：AEBF； （2）已知 AF2，四边形 ABED 的面积为 24，求EBF 的正弦值 22如图，正比例函数 ykx（k0）的图象与反比例函数 y的图象交于点 A（n，2）和点 B （1）n ，k ； （2）点 C 在 y 轴正半轴上ACB90，求点 C 的坐标； （3）点 P（m，0）在 x 轴上，APB 为锐角，直接写出 m 的取值范围 五、本大题共五、本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 20 分分. 23已知关于 x 的一元二次方程 x
9、2（k+4）x+4k0 （1）求证：无论 k 为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为 x1、x2，满足+，求 k 的值； （3）若 RtABC 的斜边为 5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 x1、x2，求 RtABC 的内切圆半径 24如图，已知 AB 是O 的直径，AB4，点 C 是 AB 延长线上一点，且 BC2，点 D 是半圆的中点，点 P 是O 上任意一点 （1）当 PD 与 AB 交于点 E 且 PCCE 时，求证：PC 与O 相切； （2）在（1）的条件下，求 PC 的长； （3）点 P 是O 上动点，当 PD+PC 的值最小时，求 PC 的长 六、本大题
10、共六、本大题共 2 小题，第小题，第 25 题题 12 分，第分，第 26 题题 13 分，共计分，共计 25 分分. 25ABC 为等边三角形，AB8，ADBC 于点 D，E 为线段 AD 上一点，AE2以 AE 为边在直线 AD 右侧构造等边三角形 AEF，连接 CE，N 为 CE 的中点 （1）如图 1，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG，求线段 NG 的长； （2）如图 2，将AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 ，M 为线段 EF 的中点，连接 DN，MN当 30 120时，猜想DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接 BN，在AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，
11、当线段 BN 最大时，请直接写出ADN 的面 积 26如图，已知直线 y与坐标轴交于 A，B 两点，以线段 AB 为边向上作正方形 ABCD，过点 A， D，C 的抛物线与直线的另一个交点为 E （1）求抛物线的解析式； （2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线 AB 下滑，直至顶点 D 落在 x 轴上时停止，设正方形 落在 x 轴下方部分的面积为 S，求 S 关于滑行时间 t 的函数关系式，并写出相应自变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上 C，E 两点间的抛物线弧所 扫过的面积 2021 年四川省乐山市峨眉山市中考数学二调试卷年四川省
12、乐山市峨眉山市中考数学二调试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题 目要求目要求. 1下列实数是无理数的是（ ） A2 B C D 【解答】解：A、2 是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； D、是无理数，故本选项符合题意 故选：D 2茶中精品“恩施绿” “利川红”享誉世界去年恩施州茶叶产量约为 120000 吨
13、，将数 120000 用科学记 数法表示为（ ） A12104 B1.2105 C1.2106 D0.12106 【解答】解：1200001.2105， 故选：B 3下列运算一定正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba2a4a8 C （a2）4a8 D （a+b）2a2+b2 【解答】解：A、a2+a22a2，原计算错误，故此选项不合题意； B、a2a4a6，原计算错误，故此选项不合题意； C、 （a2）4a8，原计算正确，故此选项合题意； D、 （a+b）2a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意 故选：C 4若代数式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx0 Cx0 且 x2
14、 Dx2 【解答】解：根据二次根式有意义得：x0， 分式有意义，得 x20，解得 x2 综上所述，x 的取值范围是 x0 且 x2 故选：C 5如图所示的几何体是由 9 个大小相同的小正方体组成的，将小正方体移走后，所得几何体的三视图没 有发生变化的是（ ） A主视图和左视图 B主视图和俯视图 C左视图和俯视图 D主视图、左视图、俯视图 【解答】解：将正方体移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变， 故选：A 6我国古代数学著作九章算术 “盈不足”一章中记载： “今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二 斛，问大小器各容几何” 意思是：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以
15、盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛 问 1 个大桶、 1 个小桶分别可以盛酒多少斛？设 1 个大桶盛酒 x 斛， 1 个小桶盛酒 y 斛，下列方程组正确的是（ ） A B C D 【解答】解：依题意，得： 故选：A 7如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 E 在 AC 边上，过点 E 作 EFBC，交 AD 于点 F， 过点 E 作 EGAB，交 BC 于点 G，则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 【解答】解：EFBC， ， EGAB， ， ， 故选：C 8如图，正方形 ABCD 的边长为 4，以点 A 为圆心，AD 为半径，画圆弧 DE
16、得到扇形 DAE（阴影部分， 点 E 在对角线 AC 上） 若扇形 DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图， 则该圆锥的底面圆的半径是 （ ） A B1 C D 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 r， 根据题意可知： ADAE4，DAE45， 底面圆的周长等于弧长： 2r， 解得 r 答：该圆锥的底面圆的半径是 故选：D 9如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CF AE 于点 F当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为（ ） A B C D 【解答】解：连接 AC，AO， ABCD， G 为 AB
17、 的中点，即 AGBGAB， O 的半径为 4，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点， OG2， 在 RtAOG 中，根据勾股定理得：AG2， 又CGCO+GO4+26， 在 RtAGC 中，根据勾股定理得：AC4， CFAE， ACF 始终是直角三角形，点 F 的运动轨迹为以 AC 为直径的半圆， 当 E 位于点 B 时，CGAE，此时 F 与 G 重合；当 E 位于 D 时，CAAE，此时 F 与 A 重合， 当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长， 在 RtACG 中，tanACG， ACG30， 所对圆心角的度数为 60， 直径 AC4， 的长为， 则当
18、点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为 故选：C 10已知二次函数 yax2+bx+c（a0） ，且满足条件 abc，a+b+c0，给定下列命题，其中正确命题的 序号是（ ） abc0； 21； 存在满足条件的 a、b、c，使得二次函数在 x时取得最小值； 4a2|b|+c0； 对任意满足 am2+bm+c0 的实数 m，都有 a（m+3）2+b（m+3）+c0 A B C D 【解答】解：abc，a+b+c0，a0， a、b、c 中有正、负， c 为最小，a 为最大， c0，a0， ac0， b 的符号无法确定， 选项错误； a+b+c0， 图象一定经过（1，
19、0） ，即 x1 是方程 ax2+bx+c0 的一个根， 由根与系数的关系，得另一个根为， a+b+c0，ab， aac， 2， c0， 21， 选项正确； a+b+c0， 图象一定经过（1，0） ， 对于二次函数，当 x时，有最小值， 即， ab， abc， 所以选项不正确； 如图所示，设抛物线与 x 轴的交点为 A（1，0） ，B（x1，0） ， 分两种情况： i）当 a0，b0，c0 时，抛物线对称轴在 y 轴的左侧，如图 1， a+b+c0， a+bc， 当 x1 时，yab+cabab2b0， 当 x2 时，y4a2b+c4a2bab3a3b3（ab） ， ab， ab0， y0，
20、A（1，0） ， AB3， 当满足 am2+bm+c0 时，即当 xm 时，y0， 此时2m1， m+31， 则当 xm+3 时，y0， a（m+3）2+b（m+3）+c0， ii）当 a0，b0，c0，抛物线对称轴在 y 轴的右侧，如图 2， abc， 当 x1 时，yab+cbcb+c2b0， AB2， 当 am2+bm+c0 时，即当 xm 时，y0， 此时1m1， m+32， 则当 xm+3 时，y0， a（m+3）2+b（m+3）+c0， 所以正确； 当 b0 时，x2 时，y4a2b+c， 由分析得：与 x 轴另一交点的横坐标 x2， x2 时，y0， 正确； 当 b0 时，4a2
21、|b|+c4a+2b+c， 即 x2 时，y4a+2b+c0， 综上，正确； 所以正确的命题序号是：； 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 18 分分. 11已知80，则 的补角等于 100 【解答】解：80， 的补角是 18080100， 故答案为：100 12甲、乙两人在 100 米短跑训练中，某 5 次的平均成绩相等，甲的方差是 0.14，乙的方差是 0.06，这 5 次短跑训练成绩较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙” ） 【解答】解：甲的方差为 0.14，乙的方差为 0.06， S甲 2S 乙 2， 成绩较为稳定的是乙； 故
22、答案为：乙 13把多项式分解因式：x32x2+1 （x1） （x2x1 【解答】解：原式x3x2x2+1 x2（x1）（x+1） （x1） （x1） （x2x1） ， 故答案为： （x1） （x2x1） 14若 a23a+10，则 a2+的值为 7 【解答】解：a2+ （a+）22， a23a+10， a3+0， a+3， （a+）22322927， 即 a2+的值为 7， 故答案为：7 15如图，RtABC 中，ACB90，CAB30，BC2，O、H 分别为 AB、AC 的中点，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 120到MBN 的位置，则整个旋转过程中，线段 OH 扫过的部分的面积（即图中阴
23、影部分面积）为 【解答】解：ACB90，CAB30，BC2， AB2BC4， AC2， O、H 分别为 AB、AC 的中点， OBAB2，CHAC， 在 RtBCH 中，BH， 旋转角度为 120， 阴影部分的面积 故答案为： 16如图 1，在平面直角坐标系 xoy 中，过T 外一点 P 引它的两条切线，切点分别为 M，N，若 60 MPN180，则称 P 为T 的环绕点 （1）如图 2，当O 半径为 1 时，在 P1（1，0） ，P2（1，1）中，O 的环绕点是 P2 ； （2）当T 的半径为 1，圆心为（0，t）时，以（m，m） （m0）为圆心，为半径的所有圆构 成图形 H，若在图形 H
24、上存在T 的环绕点，则 t 的取值范围是 2t4 【解答】解： （1）如图，PM，PN 是T 的两条切线，M，N 为切点，连接 TM，TN 当MPN60时， PT 平分MPN， TPMTPN30， TMPM，TNPN， PMTPNT90， TP2TM， 以 T 为圆心，TP 为半径作T， 观察图象可知：当 60MPN180时，T 的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括 小圆上的点） 如图 1 中，以 O 为圆心 2 为半径作O，观察图象可知，P1不是O 的环绕点，P2是O 的环绕点， 故答案为：P2； （2）如图 2 中，设 E（m，m） ，则点 E 在直线 yx 时， m0， 点 E
25、 在射线 OE 上运动，作 EMx 轴， E（m，m） ， OMm，EM， 以 E（m，m） （m0）为圆心，m 为半径的E 与 x 轴相切，作E 的切线 ON， 观察图象可知，以 E（m，m） （m0）为圆心，m 为半径的所有圆构成图形 H，图形 H 即为 MON 的内部，包括射线 OM，ON 上 当T 的圆心在 y 轴的正半轴上时，假设以 T 为圆心，2 为半径的圆与射线 ON 相切于 D，连接 TD tanEOM， EOM30， ON，OM 是E 的切线， EONEOM30， TOD30， OT2DT4， T（0，4） ， 当T 的圆心在 y 轴的负半轴上时，且经过点 O（0，0）时，T
26、（0，2） ， 观察图象可知，当2t4 时，在图形 H 上存在T 的环绕点 故答案为：2t4 三、本大题共三、本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 27 分分 17计算： 【解答】解：原式2+32+3+1 2+3+3+1 7 18解不等式组： 【解答】解：不等式组可以转化为： ， 在坐标轴上表示为： 不等式组的解集为6x13 19化简，并求值，其中 x 是一元二次方程 x27x+60 的解 【解答】解： ， 由 x27x+60，可得 x16，x21， 当 x1 时，原分式无意义， x6， 当 x6 时，原式 四、本大题共四、本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 0 分，共
27、分，共 30 分分 20 某中学为推动 “时刻听党话 永远跟党走” 校园主题教育活动， 计划开展四项活动： A： 党史演讲比赛， B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛校团委对学生最喜欢的一项活动进行调查， 随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图 1，图 2 两幅不完整的统计图请结合图中信息解答下列 问题： （1）本次共调查了 40 名学生； （2）将图 1 的统计图补充完整； （3）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的 4 个学生中只有 1 名女生，现从这 4 名学生中任意 抽取 2 名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率
28、【解答】解： （1）本次调查的学生总人数为 615%40 人， 故答案为：40； （2）B 项活动的人数为 40（6+4+14）16， 补全统计图如下： （3）列表如下： 男 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） 由表可知总共有 12 种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有 6 种， 所以抽到一名男生和一名女生的概率是，即 21如图，点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AM，作 DEAM 于点 E，BFAM 于点
29、 F，连接 BE （1）求证：AEBF； （2）已知 AF2，四边形 ABED 的面积为 24，求EBF 的正弦值 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为正方形， BAAD，BAD90， DEAM 于点 E，BFAM 于点 F， AFB90，DEA90， ABF+BAF90，EAD+BAF90， ABFEAD， 在ABF 和DEA 中 ， ABFDEA（AAS） ， BFAE； （2）解：设 AEx，则 BFx，DEAF2， 四边形 ABED 的面积为 24， xx+x224，解得 x16，x28（舍去） ， EFx24， 在 RtBEF 中，BE2， sinEBF 22如图，正比例函数
30、ykx（k0）的图象与反比例函数 y的图象交于点 A（n，2）和点 B （1）n 4 ，k ； （2）点 C 在 y 轴正半轴上ACB90，求点 C 的坐标； （3）点 P（m，0）在 x 轴上，APB 为锐角，直接写出 m 的取值范围 【解答】解： （1）把 A（n，2）代入反比例函数 y中，得 n4， A（4，2） ， 把 A（4，2）代入正比例函数 ykx（k0）中，得 k， 故答案为：4； （2）过 A 作 ADy 轴于 D，过 B 作 BEy 轴于 E， A（4，2） ， 根据双曲线与正比例函数图象的对称性得 B（4，2） ， 设 C（0，b） ，则 CDb2，AD4，BE4，CEb
31、+2， ACO+OCB90，OCB+CBE90， ACOCBE， ADCCEB90， ACDCBE， ，即， 解得，b2，或 b2（舍） ， C（0，2） ； 另一解法：A（4，2） ， 根据双曲线与正比例函数图象的对称性得 B（4，2） ， ， ACB90，OAOB， ， ） ； （3）如图 2，在 x 轴上原点的两旁取两点 P1，P2，使得 OP1OP2OAOB， ， P1（2，0） ，P2（2，0） ， OP1OP2OAOB， 四边形 AP1BP2为矩形， AP1P1B，AP2BP2， 点 P（m，0）在 x 轴上，APB 为锐角， P 点必在 P1的左边或 P2的右边， m2或 m2
32、另一解法：在 x 轴上原点的两旁取两点 P1，P2，使得AP1BAP2B90， 则， ， 点 P（m，0）在 x 轴上，APB 为锐角， P 点必在 P1的左边或 P2的右边， m2或 m2 五、本大题共五、本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 20 分分. 23已知关于 x 的一元二次方程 x2（k+4）x+4k0 （1）求证：无论 k 为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为 x1、x2，满足+，求 k 的值； （3）若 RtABC 的斜边为 5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 x1、x2，求 RtABC 的内切圆半径 【解答】 （1）证明：（k
33、+4）216kk28k+16（k4）20， 无论 k 为任何实数时，此方程总有两个实数根； （2）解：由题意得：x1+x2k+4，x1x24k， ， ， 即， 解得：k2； （3）解：解方程 x2（k+4）x+4k0 得：x14，x2k， 根据题意得：42+k252，即 k3， 设直角三角形 ABC 的内切圆半径为 r，如图， 由切线长定理可得： （3r）+（4r）5， 直角三角形 ABC 的内切圆半径 r 24如图，已知 AB 是O 的直径，AB4，点 C 是 AB 延长线上一点，且 BC2，点 D 是半圆的中点，点 P 是O 上任意一点 （1）当 PD 与 AB 交于点 E 且 PCCE
34、时，求证：PC 与O 相切； （2）在（1）的条件下，求 PC 的长； （3）点 P 是O 上动点，当 PD+PC 的值最小时，求 PC 的长 【解答】 （1）证明：如图 1， 点 D 是半圆的中点， APD45， 连接 OP， OAOP， OAPOPA， PECOAP+APEOPA+APEAPEOPE+APE2APEOPE90OPE， PCEC， CPEPEC90APE， OPCOPE+CPEOPE+90OPE90， 点 P 在O 上， PC 是O 的切线； （2）解：由（1）知，OPC90， AB4， OPOBAB2， BC2， OCOB+BC4， 根据勾股定理得，CP2； （3）解：连接
35、 OD，如图 2， D 是半圆 O 的中点， BOD90，要使 PD+PC 的值最小，则连接 CD 交O 于 P， 即点 P 在 P的位置时，PD+PC 最小， 由（2）知，OC4， 在 RtCOD 中，ODOB2， 根据勾股定理得，CD2， 连接 BP，AD，则四边形 ADPB 是O 的内接四边形， CBPCDA， BCPDCA， CBPCDA， ， ， CP 六、本大题共六、本大题共 2 小题，第小题，第 25 题题 12 分，第分，第 26 题题 13 分，共计分，共计 25 分分. 25ABC 为等边三角形，AB8，ADBC 于点 D，E 为线段 AD 上一点，AE2以 AE 为边在直
36、线 AD 右侧构造等边三角形 AEF，连接 CE，N 为 CE 的中点 （1）如图 1，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG，求线段 NG 的长； （2）如图 2，将AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 ，M 为线段 EF 的中点，连接 DN，MN当 30 120时，猜想DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接 BN，在AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，当线段 BN 最大时，请直接写出ADN 的面 积 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 BE，CF ABC 是等边三角形，ADBC， ABBCAC8，BDCD4，BADCAD30， ADBD4， AEF 是等边三角形， E
37、AF60， EAGGAF30， EGGF， AE2， DEAE2， BE2， ABC，AEF 是等边三角形， ABAC，AEAF，BACEAF60， BAECAF， BAECAF（SAS） ， CFBE2， ENCN，EGFG， GNCF （2）结论：DNM120是定值 理由：连接 BE，CF同法可证BAECAF（SAS） ， ABEACF， ABC+ACB60+60120， EBC+BCFABCABE+ACB+ACF120， ENNC，EMMF， MNCF， ENMECF， BDDC，ENNC， DNBE， CDNEBC， ENDNDC+NCD， DNMDNE+ENMNDC+ACB+ACN+
38、ECFEBC+ACB+ACFEBC+BCF 120 （3）如图 31 中，取 AC 的中点，连接 BJ，BN AJCJ，ENNC， JNAE， BJAD4， BNBJ+JN， BN5， 当点 N 在 BJ 的延长线上时， BN 的值最大， 如图 32 中， 过点 N 作 NHAD 于 H， 设 BJ 交 AD 于 K， 连接 AN KJAJtan30，JN， KN， 在 RtHKN 中，NHK90，NKH60， HNNKsin60， SADNADNH47 26如图，已知直线 y与坐标轴交于 A，B 两点，以线段 AB 为边向上作正方形 ABCD，过点 A， D，C 的抛物线与直线的另一个交点为
39、 E （1）求抛物线的解析式； （2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线 AB 下滑，直至顶点 D 落在 x 轴上时停止，设正方形 落在 x 轴下方部分的面积为 S，求 S 关于滑行时间 t 的函数关系式，并写出相应自变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上 C，E 两点间的抛物线弧所 扫过的面积 【解答】解： （1）直线 yx+1， 当 x0 时，y1，当 y0 时，x2， OA1，OB2， 过 C 作 CZx 轴于 Z，过 D 作 DMy 轴于 M， 四边形 ABCD 是正方形， ADABBC，ABCAOBCZB90， ABO+CBZ9
40、0，OAB+ABO90， OABCBZ， 在AOB 和BZC 中， ， AOBBZC（AAS） ， OABZ1，OBCZ2， C（3，2） ， 同理可求 D 的坐标是（1，3） ； 设抛物线为 yax2+bx+c， 抛物线过 A（0，1） ，D（1，3） ，C（3，2） ， 则，解得， 抛物线的解析式为 yx2+x+1； （2）OA1，OB2， 由勾股定理得：AB， 当点 A 运动到 x 轴上点 F 时，t1， 当 0t1 时，如图 1， OFAGFB，tanOFA， tanGFB， GBt， SFBGFBGBttt2； 当点 C 运动 x 轴上时，t2， 当 1t2 时，如图 2， ABAB
41、， AFt， AG， BHt， S四边形ABHG（AG+BH） AB（+t） t； 当点 D 运动到 x 轴上时，t3， 当 2t3 时，如图 3， AG， GD， SAOF211，OA1，AOFGDH90，AFOGFA， AOFGAF， （）2， SGAF（）2， 则 S五边形GABCH（）2（）2t2+t； 综上，S； （3）设平移后点 E 和点 C 对应的点为 E、C， 则抛物线上 C，E 两点间的抛物线弧所扫过的面积即为EECC 的面积， 联立 y与 yx2+x+1 并解得， E（4，1） ， BCBE，CE， 当顶点 D 落在 x 轴上时，抛物线向下平移了 3 个单位长度，向右平移了 6 个单位长度，此时点 E的坐 标为（10，4） ， EE3， 抛物线上 C，E 两点间的抛物线弧所扫过的面积为 SEEBC315
