1、黑龙江省龙东地区黑龙江省龙东地区 2021 年初中毕业学业统一考试数学试题年初中毕业学业统一考试数学试题 考生注意：考生注意： 1.考试时间考试时间 120分钟分钟 2.全卷共三道大题，总分全卷共三道大题，总分 120 分分 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. 235 2mmm B. 3 26 26aa C. 2 22 abab D. 623 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项 【详解】解：A、 2 m与 3 m不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；
2、B、 3 26 28aa ，错误，故不符合题意； C、 2 22 2abaabb，错误，故不符合题意； D、623 ，正确，故符合题意； 故选 D 【点睛】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公式及 二次根式的除法是解题的关键 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项 【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题
3、意； D、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； 故选D 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的 关键 3. 如图是由 5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项 【详解】解：由题意得： 该几何体的主视图是 ； 故选 C 【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键 4. 一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据 4，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D
4、 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项 【详解】解：由题意得： 原中位数为 4，原众数为 4，原平均数为 24446 4 5 x ，原方差为 22222 2 2444444464 8 55 S ； 去掉一个数据 4 后的中位数为 44 4 2 ，众数为 4，平均数为 2446 4 4 x ，方差为 2222 2 24444464 2 4 S ； 统计量发生变化的是方差； 故选 D 【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的 关键 5. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有 144人患了流行性感冒，则每轮传染中
5、平均一个人传染 的人数是（ ） A. 14 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，由题意可得11144xxx ，然后求解即可 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，由题意可得： 11144xxx ， 解得： 12 11,13xx （舍去） ， 故选 B 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键 6. 已知关于x的分式方程 3 1 21 m x 的解为非负数，则m的取值范围是（ ） A. 4m B. 4m且3m C. 4m D. 4m且3m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求
6、出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解 【详解】解：由关于x的分式方程 3 1 21 m x 可得： 4 2 m x ，且 1 2 x ， 方程的解为非负数， 4 0 2 m ，且 41 22 m ， 解得：4m且3m， 故选 B 【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不 等式的解法是解题的关键 7. 为迎接 2022 年北京冬奥会， 某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动， 计划拿出 180 元钱全部用于购买甲、 乙两种奖品（两种奖品都购买） ，奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件 15元，乙种奖品每件 10元，则 购买方案有（ ）
7、 A 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】A 【解析】 【分析】设购买甲种奖品为 x件，乙种奖品为 y件，由题意可得1510180 xy，进而求解即可 【详解】解：设购买甲种奖品为 x件，乙种奖品为 y 件，由题意可得： 1510180 xy， 3 18 2 yx， 0,0 xy，且 x、y 都为正整数， 当2x时，则15y ； 当4x 时，则12y ； 当6x时，则 9y ； 当8x 时，则6y ； 当10 x 时，则 3y ； 购买方案有 5 种； 故选 A 【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形
8、ABCD的边AD y 轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y 轴正半轴上，反比例函数(0 k yk x ,0)x 的图象同时经过顶点CD、若点C的横坐标为 5， 2BEDE，则k的值为（ ） A. 40 3 B. 5 2 C. 5 4 D. 20 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得5,ABBCCDADAD/BC，则设 DE=x，BE=2x，然后可由勾股定理得 2 2 5425xx， 求解 x， 进而可得点5, 5 k C ， 则2 ,4 5 k D ， 最后根据反比例函数的性质可求解 【详解】解：四边形ABCD是菱形， ,ABBCCDAD AD/BC， ADy轴， 90DEBAE
9、B， 90DEBCBO， 点C的横坐标为 5， 点5, 5 k C ，5ABBCCDAD， 2BEDE， 设 DE=x，BE=2x，则5AEx ， 在 RtAEB 中，由勾股定理得： 2 2 5425xx， 解得： 12 2,0 xx （舍去） ， 2,4DEBE， 点2,4 5 k D ， 24 5 k k ， 解得： 40 3 k ； 故选 A 【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数与几何 的综合是解题的关键 9. 如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点 E，点 O为AC的中点，连接BO并延长，交FC 的延长线于点 D，交AF于点
10、 G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为 48，则 AOG S的面积为 （ ） A. 5.5 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【 分 析 】 由 题 意 易 得,/ /A BF C A BF C， 进 而 可 得 11 /, 22 OE CF AB OECFAB， 则 有 OEGBAG，然后根据相似比与面积比的关系可求解 【详解】解：四边形ABFC是平行四边形， ,/ABFC AB FC，AE=EF， 1 2 AFCABFC SS， 平行四边形ABFC的面积为 48， 1 24 2 AFCABFC SS， 点O为AC的中点， 11 /, 22 OE CF AB O
11、ECFAB， OEGBAG，AOEACF， 1 6 4 AOEAFC SS， 1 2 EGOE AGAB ， 1 3 EGAE， 2 3 AGAE， AOG和AOE同高不同底， 2 4 3 AOGAOE SS， 故选 C 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握相似三角 形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键 10. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC延长线上，连接DE，点F 是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若4CE ，6OF 则下列结论：2GF ； 2ODOG ； 1 tan 2 CD
12、E；90ODFOCF；点 D 到 CF的距离为 8 5 5 其中正确 的结论是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意易得,45 ,90BCCD BOODOAOCBDCBCDDCE ， 由三角形 中位线可进行判断；由DOC 是等腰直角三角形可进行判断；根据三角函数可进行求解；根据题意 可直接进行求解；过点 D作 DHCF，交 CF 的延长线于点 H，然后根据三角函数可进行求解 【详解】解：四边形ABCD是正方形， ,45 ,90BCCD BOODOAOCBDCBCDDCE ，ACBD， 点F是DE的中点， 1 ,/ 2 OFBE OF BE， 6OF ，4CE ，
13、12BE ，则8CDBC， OFBE， DGFDCE， 1 2 DGGF CDCE ， 2GF ，故正确； 点 G是 CD 的中点， OGCD， ODC=45， DOC 是等腰直角三角形， 2ODOG ，故正确； CE=4，CD=8，DCE=90， 1 tan 2 CE CDE CD ，故正确； 1 tan1 2 CDE， 45CDE， 90ODF，故错误； 过点 D作 DHCF，交 CF 的延长线于点 H，如图所示： 点 F是 CD的中点， CF=DF， CDE=DCF， 1 tantan 2 CDEDCF， 设DHx，则2CHx， 在 RtDHC中， 22 464xx ， 解得： 8 5
14、5 x ， 8 5 5 DH ，故正确； 正确的结论是； 故选 C 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相 似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 11. 截止到 2020年 7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二将数据14.14万用科学记 数法表示为_ 【答案】 5 1.414 10 【解析】 【分析】由题意易得14.14万=141400，然后根据科学记数法可进行求解 【详解】解：由题意得：14.14万=141400， 将数据14.14万用科学
15、记数法表示为 5 1.414 10 ； 故答案为 5 1.414 10 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键 12. 函数 1 y= x2 中，自变量 x的取值范围是_ 【答案】x2 【解析】 【详解】试题分析：由已知：x-20，解得 x2； 考点：自变量的取值范围 13. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，在不添加任何辅助线的情况下，请你 添加一个条件_，使平行四边形ABCD是矩形 【答案】90ABC 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案 【详解】解：四边形 ABCD平行四边形， 当90ABC时，四边形 ABCD为矩形 故答案为
16、：90ABC 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键 14. 一个不透明的口袋中装有标号为 1、 2、 3的三个小球， 这些小球除标号外完全相同， 随机摸出 1 个小球， 然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出 1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是 _ 【答案】 5 9 【解析】 【分析】画树状图，共有 9 种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有 5种，再由概率公 式求解即可 【详解】解：画树状图如图： 共有 9 种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有 5 种， 两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率为 5 9 ， 故答案为
17、： 5 9 【点睛】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能 的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件 15. 关于x的一元一次不等式组 20 345 xa x 有解，则a的取值范围是_ 【答案】6a 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解 【详解】解：由关于x的一元一次不等式组 20 345 xa x 可得：3 2 a x， 不等式组有解， 3 2 a ， 解得：6a； 故答案为6a 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键 16
18、. 如图， 在O中，AB是直径， 弦AC的长为 5cm， 点D在圆上， 且 30ADC， 则O的半径为_ 【答案】5cm 【解析】 【分析】连接 BC，由题意易得30ABCADC ，进而问题可求解 【详解】解：连接 BC，如图所示： 30ADC， 30ABCADC ， AB是直径， 90ACB， 5cmAC ， 210cmABAC， O的半径为 5cm； 故答案为 5cm 【点睛】本题主要考查圆周角定理及含 30直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含 30直角三角形 的性质是解题的关键 17. 若一个圆锥的底面半径为 1cm，它的侧面展开图的圆心角为90，则这个圆锥的母线长为_ cm 【答案
19、】4 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解 【详解】解：设母线长为 R，由题意得： 2 180 n R lr ， 90 2 180 R ， 解得：4R ， 这个圆锥的母线长为 4cm， 故答案为 4 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长计算是解题的关键 18. 如图，在Rt AOB中，90AOB，4OA ，6OB，以点O为圆心，3 为半径的O，与OB交 于点C，过点C作CDOB交AB于点D，点P是边OA上的顶点，则PCPD的最小值为_ 【答案】2 10 【解析】 【分析】延长 CO，交O于一点
20、E，连接 PE，由题意易得3OCBCOE，90BCDAOB ， 则有BCDBOA，CP=PE，然后可得2CD ，PCPDPEPD，要使PCPD的值为最小， 即PEPD的值为最小，进而可得当 D、P、E 三点共线时最小，最后求解即可 【详解】解：延长 CO，交O于一点 E，连接 PE，如图所示： 6OB，以点O为圆心，3 为半径的O， 3OCBCOE， 90AOB，CDOB， 90BCDAOB ， /CD OA，CP=PE， BCDBOA， 1 2 CDBC OAOB ， 4OA， 2CD ， CP=PE， PCPDPEPD， 则要使PCPD的值为最小，即PEPD的值为最小， 当 D、P、E三点
21、共线时最小，即PEPDDE，如图所示： 在 RtDCE中， 22 2 10DECDCE ， PCPD的最小值为2 10； 故答案为2 10 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟 练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键 19. 在矩形ABCD中，AB 2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交 于点E，且DE 3cm，则矩形ABCD的面积为_cm2 【答案】6 2 5 或6 2 5 【解析】 【分析】根据题意可分当折痕与直线 AD的交点落在线段 AD上和 AD外，然
22、后根据折叠的性质及勾股定理 可求解 【详解】解：四边形ABCD是矩形， 90A ， 当点 E 在线段 AD 上时，如图所示： 由折叠的性质可得90 ,2cmFAAEEF ABDF ， DE 3cm， 在RtDFE中， 22 5cmEFDEDF ， 35 cmADAEDE， 2 62 5 cm ABCD SAB AD 矩形 ； 当点 E 在线段 AD 外时，如图所示： 由轴对称的性质可得3cmBEDE， 在 RtEAB 中， 22 5cmAEBEAB ， 35 cmADDEAE， 2 62 5 cm ABCD SAB AD 矩形 ； 综上所述：矩形 ABCD的面积为 2 62 5 cm或 2 6
23、2 5 cm； 故答案为62 5或62 5 【点睛】本题主要考查折叠的性质、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理及矩形的性 质是解题的关键 20. 如图， 菱形ABCD中，120ABC，1AB ， 延长CD至 1 A， 使 1 D AC D， 以 1 AC为一边， 在BC 的延长线上作菱形 111 ACC D，连接 1 AA，得到 1 ADA；再延长 11 C D至 2 A，使 1211 D AC D，以 21 A C为一 边， 在 1 CC的延长线上作菱形 2122 ACC D， 连接 12 A A， 得到 112 AD A按此规律， 得到 202020202021 ADA，
24、记 1 ADA的面积为 1 S， 112 AD A的面积为 2 S 202020202021 ADA的面积为 2021 S，则 2021 S_ 【答案】 4038 23 【解析】 【分析】 由题意易得60 ,1BCDABADCD， 则有 1 ADA为等边三角形， 同理可得 112 AD A. 202020202021 ADA都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得 1 3 4 S ， 2 3S ，由此规 律可得 24 3 2 n n S ，然后问题可求解 【详解】解：四边形ABCD是菱形， 1ABADCD，/,/AD BC AB CD， 120ABC， 60BCD， 1 60ADABC
25、D， 1 DACD， 1 DAAD， 1 ADA为等边三角形， 同理可得 112 AD A. 202020202021 ADA都为等边三角形， 过点 B作 BECD于点 E，如图所示： 3 sin 2 BEBCBCD， 11 2 1 133 244 AD BEASD， 同理可得： 22 221 33 23 44 SA D， 22 332 33 44 3 44 SA D，； 由此规律可得： 24 3 2 n n S ， 2 2021 44038 2021 3 223S ； 故答案为 4038 23 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三 角形
26、的性质与判定及三角函数是解题的关键 三、解答题（满分三、解答题（满分 60 分）分） 21. 先化简，再求值： 22 2 11 aa a aa ，其中2cos601a 【答案】 1a a ； 1 2 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再结合特殊角的三角函数值求出 a的值，再代入求解即可 【详解】解：原式 22 (1) 1(1)(1) a aaa aaa 2 (1)(1) 1 aaa aa 1a a ； 当 1 2cos601212 2 a 时， 原式 1211 22 a a 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值问题，掌握运算法则与顺序， 熟记特殊角的三角函数值是解题关键 22.
27、 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO的三个 顶点坐标分别为1,3 ,4,3 ,0 0,0AB （1）画出ABO关于 x 轴对称的 11 ABO，并写出点 1 A的坐标； （2）画出ABO绕点 O顺时针旋转90后得到的 22 A B OV，并写出点 2 A的坐标； （3）在（2）的条件下，求点 A旋转到点 2 A所经过的路径长（结果保留） 【答案】 （1）见解析， 1( 1, 3) A ； （2）见解析， 2(3,1) A； （3） 10 2 【解析】 【分析】 （1）分别作出点 A、B 关于 x 轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点
28、1 A的坐标； （2）根据旋转的性质分别作出点 A、B绕点 O旋转 90的点，然后依次连接，最后根据图象可得点 2 A的坐 标； （3）由（2）可先根据勾股定理求出 OA的长，然后根据弧长计算公式进行求解 【详解】解： （1）如图所示： 由图象可得 1 1, 3A ； （2）如图所示： 由图象可得 2 3,1A； （3）由（2）的图象可得：点 A旋转到点 2 A所经过的路径为圆弧， 22 3110OA ， 点 A旋转到点 2 A所经过的路径长为 901010 1801802 n r l 【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称 及弧长计算公式
29、是解题的关键 23. 如图， 抛物线 2 ()30yaxbxa与 x 轴交于点()1,0A和点3,0B ， 与 y轴交于点 C， 连接BC， 与抛物线的对称轴交于点 E，顶点为点 D （1）求抛物线的解析式； （2） 点 P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点， 点 Q在射线ED上， 若以点 P、 Q、 E为顶点的三角形与BOC 相似，请直接写出点 P 的坐标 【答案】 （1） 2 23yxx ； （2） 12 ( 12,2),( 2,3)PP 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，即可得到关于 a、 b 的方程，从而可以
30、求得 a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式； （2）根据（1）中抛物线的解析式，设点 P 的坐标，然后再根据BOC是等腰直角三角形，得出PQEV是 等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解 【详解】解： （1）抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ， 30 9330 ab ab 解得 1 2 a b 此抛物线的解析式为： 2 23yxx （2）当0 x时， 3y ，所以，OB=OC=3， BOC是等腰直角三角形， 以点 P、Q、E为顶点的三角形与BOC相似， PQEV是等腰直角三角形， 设点 P的坐标为 2 (23)mmm，抛物线的对称轴为直
31、线 2 1 22 1 b x a ， 设 BC的解析式为ykxn，将 B（3，0） ，C（0，3）代入得， 30 3 kn n ， 解得， 1 3 k n ，故 BC的解析式为3yx=+， 把1x代入得，2y ，则 E 点坐标为( 12) ， 如图， 当 E 为直角顶点时， 2 232mm， 解得， 1 12m ， 2 12m （舍去） ， 把 1 12m 代入得， 2 232mm，则 P点坐标为( 12,2) ， 当 Q 为直角顶点时，PQ=QE，即 2 23 21mmm ，解得 1 2m ， 2 0m （舍去） ，把 1 2m 代入得， 2 233mm，则 P点坐标为( 2,3) ； 当
32、P 为直角顶点时， 作 PMEQ 于 M， PM=ME， 即 2 23 21mmm ， 解得 1 2m ， 2 0m （舍 去） ，则 P 点坐标为( 2,3) ； 综上，P点坐标为( 12,2) 或( 2,3) 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形性质，解题关键是熟 练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程 24. 为庆祝中国共产党建党 100 周年， 某中学开展“学史明理、 学史增信、 学史崇德、 学史力行”知识竞赛， 现随机抽取部分学生的成绩分成 A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图， 请根据图中提供的信息，解答下
33、列问题： （1）本次调查中共抽取_学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求 B 等级所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有 1200 名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为 A和 B 等级的学生共有多少名？ 【答案】 （1）100； （2）图见详解； （3）144； （4）这次竞赛成绩为 A 和 B等级的学生共有 792名 【解析】 【分析】 （1）根据统计图及题意可直接进行求解； （2）由（1）及统计图可得 C 等级的人数为 20 名，然后可求出 B 等级的人数，进而问题可求解； （3）根据题意可直接进行求解； （4）由（2）可直接进行求解 【详解】解： （1）由题意得：
34、 2626=100（名） ， 故答案为 100； （2）由题意得： C等级的人数为 10020=20（名） ，B 等级的人数为 100-26-20-10-4=40（名） ， 则补全条形统计图如图所示： （3）由（2）可得： 40 360144 100 ； 答：B 等级所对应的扇形圆心角的度数为 144 （4）由（2）及题意得： 4026 1200792 100 （名） ； 答：这次竞赛成绩为 A 和 B 等级的学生共有 792 名 【点睛】本题主要考查扇形统计及条形统计图，熟练掌握扇形统计及条形统计图是解题的关键 25. 已知 A、B 两地相距240km，一辆货车从 A 地前往 B地，途中因装
35、载货物停留一段时间一辆轿车沿 同一条公路从 B地前往 A地，到达 A地后（在 A地停留时间不计）立即原路原速返回如图是两车距 B 地 的距离 kmy 与货车行驶时间 hx之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中 m的值是_；轿车的速度是_km/h； （2）求货车从 A地前往 B地的过程中，货车距 B 地的距离 kmy 与行驶时间 hx之间的函数关系式； （3）直接写出轿车从 B 地到 A 地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km？ 【答案】 （1）5；120； （2） 66240(02.5) 75(2.53.5) 50250(3.55) xx yx xx ； （3）1h或 2
36、7 h 31 【解析】 【分析】 （1）由图象可知轿车从 B 到 A所用时间为 2h，即可得出从 A到 B 的时间，进而可得 m的值，根据 速度=距离 时间即可得轿车速度； （2）由图象可知货车在 2.5h3.5h时装载货物停留 1h，分 1x2.5；2.5x3.5；3.5x5 三个时间段，分别 利用待定系数法求出 y与 x 的关系式即可得答案； （3）分两车相遇前和相遇后相距 12km两种情况，分别列方程求出 x的值即可得答案 【详解】 （1）由图象可知轿车从 B 到 A所用时间为 3-1=2h， 轿车从 A到 B 的时间为 2h， m=3+2=5， A、B两地相距240km， 轿车速度=2
37、40 2=120km/h， 故答案为：5；120 （2）由图象可知货车在 2.5h3.5h时装载货物停留 1h， 设 111 0 (02.5) MN yk xb kx 图象过点(0,240)M和点(2.5,75)N 1 11 240 2.575 b kb 解得： 1 1 240 66 b k ， 66240(02.5) MN yxx 货车在 2.5h3.5h时装载货物停留 1h， 75(2.53.5) NG yx， 设 222 0 (3.55) GH yk xb kx， 图象过点(3.5,75)G和点(5,0)H 22 22 50 3.575 kb kb 解得： 2 2 250 50 b k
38、， 50250(3.55) GH yxx ， 66240(02.5) 75(2.53.5) 50250(3.55) xx yx xx （3）设轿车出发 xh 与货车相距12km，则货车出发（x+1）h， 当两车相遇前相距 12km时：66(1)240 12012xx， 解得： 27 31 x , 当两车相遇后相距 12km时：12066(1)240 xx =12， 解得：x=1， 答：轿车出发1h或 27 h 31 与货车相距12km 【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数 图象表示的意义是解题关键 26. 在等腰ADE中，AEDE，ABC
39、 是直角三角形，90CAB， 1 2 ABCAED，连接 CDBD、，点F是BD的中点，连接EF （1）当45EAD，点B在边AE上时，如图所示，求证： 1 2 EFCD （2） 当45EAD， 把ABC绕点A逆时针旋转， 顶点B落在边AD上时， 如图所示， 当60EAD， 点 B 在边 AE上时，如图所示，猜想图、图中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的 猜想，不需证明 【答案】 （1）见详解； （2）图中 1 2 EFCD ，图中 3 2 EFCD ，理由见详解 【解析】 【分析】（1） 由题意易得45ADEEAD， 则有90AED， 然后可得45ABC， 1 2 EFBD，
40、进而可得 AD 垂直平分 BC，则 CD=BD，最后问题可求证； （2）取 CD的中点 H，连接 AH、EH、FH，如图，由题意易得/,FH BC AHDH，则有 EH垂直平分 AD，HFA=CBA=45，进而可得EHF=EAF=45，然后可得点 A、E、F、H 四点共圆，则根据圆 的基本性质可求解；如图，取 BC的中点 G，连接 GF并延长，使得 GM=CD，连接 DM、EM、EG，AG， 则有四边形 CGMD 是平行四边形， DM=CG=AC， 进而可得ACDDME， 则有 CD=EM， EMD=DCA， 然后可得EMG是等边三角形，最后问题可求解 【详解】 （1）证明：AEDE，45EA
41、D， 45ADEEAD， 90AED， 点F是BD的中点， 1 2 EFBD， 1 2 ABCAED， 45ABC， 90CAB， ACB是等腰直角三角形， 45BADCAD， AD垂直平分 BC， CD=BD， 1 2 EFCD ； （2）解：图中 1 2 EFCD ，图中 3 2 EFCD ，理由如下： 图：取 CD 的中点 H，连接 AH、EH、FH，如图， AEDE，45EAD， 45ADEEAD， 90AED， 1 2 ABCAED， 45ABC， 点F是BD的中点， 1 /, 2 FH BC AHDHCD， EH垂直平分 AD，HFA=CBA=45， EHF=EAF=45， 点 A
42、、E、F、H四点共圆， HFA=EAF=45， AHEF， 1 2 EFCD； 图：如图，取 BC 的中点 G，连接 GF并延长，使得 GM=CD，连接 DM、EM、EG，AG， AEDE，60EAD， ADE是等边三角形， 60AEDADE， 1 2 ABCAED， 30ABC， 90CAB， 30 ,60CADACB ， 90AGB， AGCG， AGC是等边三角形， AC=CG， 点F是BD的中点， /GM CD， 四边形 CGMD 是平行四边形， ,/ACCGDM CG DM，GCD=DMG， 90GDMAGB， 30EDM， CADMDE， ADDE， ACDDME（SAS） ， C
43、D=EM，EMD=DCA， ACBGCDDMGEMG， 60ACBEMG， EMG 是等边三角形， 点F是BD的中点， BFDF， /BC DM， GBFMDF， GFBMFD， GFBMFD ASA， GF=MF， EFGM， 33 sin 22 EFEMEMGEMCD 【点睛】 本题主要考查等腰直角三角形的性质、 等边三角形的性质、 平行四边形的性质与判定及三角函数、 圆的基本性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判定及三角函 数、圆的基本性质是解题的关键 27. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔 资
44、金购进甲、乙两种农机具，已知购进 2 件甲种农机具和 1件乙种农机具共需 3.5 万元，购进 1件甲种农机 具和 3 件乙种农机具共需 3 万元 （1）求购进 1 件甲种农机具和 1 件乙种农机具各需多少万元？ （2） 若该粮食生产基地计划购进甲、 乙两种农机具共 10 件， 且投入资金不少于 9.8 万元又不超过 12 万元， 设购进甲种农机具 m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价 0.7 万元，每件乙种农机 具降价 0.2 万元， 该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、
45、 乙两种农机具 （可以只购买一种） ， 请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 【答案】 （1）购进 1 件甲种农机具需 1.5万元，购进 1件乙种农机具需 0.5 万元； （2）有三种方案：方案一： 购买甲种农机具 5件，乙种农机具 5 件；方案二：购买甲种农机具 6件，乙种农机具 4 件；方案三：购买甲 种农机具 7 件，乙种农机具 3件；方案一需要资金最少，最少资金是 10 万元； （3）节省的资金再次购买农 机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具 0件，乙种农机具 15件；方案二：购买甲种农机具 3件，乙 种农机具 7 件 【解析】 【分析】 （1）设购进 1 件甲种农机具需 x
46、万元，购进 1件乙种农机具需 y万元，根据题意可直接列出二元一 次方程组求解即可； （2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于 m的一元一次不等式组，求解即可得到 m 的范围，从而根 据实际意义确定出 m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可； （3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合 实际意义进行求解即可 【详解】解： （1）设购进 1 件甲种农机具需 x 万元，购进 1 件乙种农机具需 y万元 根据题意，得 23.5 33 xy xy ， 解得： 1.5 0.5 x y ， 答：购进 1 件甲种农机具需 1.5 万元，购进 1 件乙种农机具需 0.5万元 （2）根据题意，得 1.50.5(10)9.8 1.50.5(10)12 mm mm ， 解得：4.87m， m 为整数， m 可取 5、6、7， 有三种方案： 方案一：购买甲种农机具 5 件，乙种农机具 5 件； 方案二：购买甲种农机具 6 件，乙种农机具 4 件； 方案三：购买甲种农机具 7 件，乙种农机具 3 件 设总资金为 W万元，则1.50.5
