1、2021 年河北省中考数学试卷年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 个小题，共个小题，共 42 分。分。110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分。在每小题给出的四分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）如图，已知四条线段 a，b，c，d 中的一条与挡板另一侧的线段 m 在同一直线上，请借助直尺判 断该线段是（ ） Aa Bb Cc Dd 2 （3 分）不一定相等的一组是（ ） Aa+b 与 b+a B3a 与 a+a+a Ca3与 aaa D3（a+b）与 3a+b 3
2、 （3 分）已知 ab，则一定有4a4b， “”中应填的符号是（ ） A B C D 4 （3 分）与结果相同的是（ ） A32+1 B3+21 C3+2+1 D321 5 （3 分）能与（）相加得 0 的是（ ） A B+ C+ D+ 6 （3 分）一个骰子相对两面的点数之和为 7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ） AA 代 BB 代 CC 代 DB 代 7 （3 分）如图 1，ABCD 中，ADAB，ABC 为锐角要在对角线 BD 上找点 N，M，使四边形 ANCM 为平行四边形，现有图 2 中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A甲、乙、丙都是 B只有甲、乙才是 C只有甲、丙
3、才是 D只有乙、丙才是 8（3分） 图1是装了液体的高脚杯示意图 （数据如图） ， 用去一部分液体后如图2所示， 此时液面AB （ ） A1cm B2cm C3cm D4cm 9 （3 分）若取 1.442，计算398的结果是（ ） A100 B144.2 C144.2 D0.01442 10 （3 分）如图，点 O 为正六边形 ABCDEF 对角线 FD 上一点，SAFO8，SCDO2，则 S正六边边ABCDEF 的值是（ ） A20 B30 C40 D随点 O 位置而变化 11 （2 分）如图，将数轴上6 与 6 两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为 a1，a2，a3，a4， a
4、5，则下列正确的是（ ） Aa30 B|a1|a4| Ca1+a2+a3+a4+a50 Da2+a50 12 （2 分）如图，直线 l，m 相交于点 OP 为这两直线外一点，且 OP2.8若点 P 关于直线 l，m 的对 称点分别是点 P1，P2，则 P1，P2之间的距离可能是（ ） A0 B5 C6 D7 13 （2 分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 已知：如图，ACD 是ABC 的外角求证：ACDA+B 证法 1：如图， A+B+ACB180（三角形内角和定理） ， 又ACD+ACB180（平角定义） ， ACD+ACBA+B+ACB（等量代换） ACDA+B（等式性
5、质） 证法 2：如图， A76，B59， 且ACD135（量角器测量所得） 又13576+59（计算所得） ACDA+B（等量代换） 下列说法正确的是（ ） A证法 1 还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B证法 1 用严谨的推理证明了该定理 C证法 2 用特殊到一般法证明了该定理 D证法 2 只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 14 （2 分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图 1 及条形图 2（柱的高度从 高到低排列） 条形图不小心被撕了一块，图 2 中“ （ ） ”应填的颜色是（ ） A蓝 B粉 C黄 D红 15 （2 分）由（）值的正负可以
6、比较 A与的大小，下列正确的是（ ） A当 c2 时，A B当 c0 时，A C当 c2 时，A D当 c0 时，A 16 （2 分）如图，等腰AOB 中，顶角AOB40，用尺规按到的步骤操作： 以 O 为圆心，OA 为半径画圆； 在O 上任取一点 P（不与点 A，B 重合） ，连接 AP； 作 AB 的垂直平分线与O 交于 M，N； 作 AP 的垂直平分线与O 交于 E，F 结论：顺次连接 M，E，N，F 四点必能得到矩形； 结论：O 上只有唯一的点 P，使得 S扇形FOMS扇形AOB 对于结论和，下列判断正确的是（ ） A和都对 B和都不对 C不对对 D对不对 二、填空题（本大题有二、填空
7、题（本大题有 3 个小题，每小题有个小题，每小题有 2 个空，每空个空，每空 2 分，共分，共 12 分）分） 17 （4 分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图） （1）取甲、乙纸片各 1 块，其面积和为 ； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片 1 块，再取乙纸片 4 块，还需取丙纸片 块 18 （4 分）如图是可调躺椅示意图（数据如图） ，AE 与 BD 的交点为 C，且A，B，E 保持不变为 了舒适， 需调整D 的大小， 使EFD110， 则图中D 应 （填 “增加” 或 “减少” ） 度 19 （4 分）用绘图软件绘制双曲线 m：y与动直线 l：ya，且
8、交于一点，图 1 为 a8 时的视窗情形 （1）当 a15 时，l 与 m 的交点坐标为 ； （2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 O 始终在视窗中心 例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图 1 中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由 15x15 及10y10 变成了30 x30 及20y20（如图 2） 当 a1.2 和 a1.5 时，l 与 m 的交点分别是点 A 和 B，为能看到 m 在 A 和 B 之间的一整段图象，需要将图 1 中坐标系的单位长 度至少变为原来的，则整数 k 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分。
9、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20 （8 分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为 4 元/本、10 元/本现购进 m 本甲种书和 n 本乙种书，共付款 Q 元 （1）用含 m，n 的代数式表示 Q； （2）若共购进 5104本甲种书及 3103本乙种书，用科学记数法表示 Q 的值 21 （9 分）已知训练场球筐中有 A、B 两种品牌的乒乓球共 101 个，设 A 品牌乒乓球有 x 个 （1）淇淇说： “筐里 B 品牌球是 A 品牌球的两倍 ”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101x2x请用嘉 嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确； （
10、2）据工作人员透露：B 品牌球比 A 品牌球至少多 28 个，试通过列不等式的方法说明 A 品牌球最多有 几个 22 （9 分） 某博物馆展厅的俯视示意图如图 1 所示 嘉淇进入展厅后开始自由参观， 每走到一个十字道口， 她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同 （1）求嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率； （2）补全图 2 的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大 23 （9 分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1 号指挥机（看成点 P）始终以 3km/min 的速度在 离地面 5km 高的上空匀速向右飞行，2 号试飞机（看成点 Q）一直保持在
11、 1 号机 P 的正下方2 号机从 原点 O 处沿 45仰角爬升，到 4km 高的 A 处便立刻转为水平飞行，再过 1min 到达 B 处开始沿直线 BC 降落，要求 1min 后到达 C（10，3）处 （1）求 OA 的 h 关于 s 的函数解析式，并直接写出 2 号机的爬升速度； （2）求 BC 的 h 关于 s 的函数解析式，并预计 2 号机着陆点的坐标； （3）通过计算说明两机距离 PQ 不超过 3km 的时长是多少 注： （1）及（2）中不必写 s 的取值范围 24 （9 分）如图，O 的半径为 6，将该圆周 12 等分后得到表盘模型，其中整钟点为 An（n 为 112 的整 数）
12、，过点 A7作O 的切线交 A1A11延长线于点 P （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2）连接 A7A11，则 A7A11和 PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长 PA7的值 25 （10 分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x 轴上依次有 A，O，N 三个点，且 AO2，在 ON 上方有五个台阶 T1T5（各拐角均为 90） ，每个台阶的高、宽分别是 1 和 1.5，台阶 T1到 x 轴距离 OK 10从点 A 处向右上方沿抛物线 L：yx2+4x+12 发出一个带光的点 P （1）求点 A 的横坐标，且在图中补画出 y 轴，并直接指出点 P 会落在哪
13、个台阶上； （2）当点 P 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 L 形状相同的抛物线 C，且最大高度为 11，求 C 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 T5有交点； （3）在 x 轴上从左到右有两点 D，E，且 DE1，从点 E 向上作 EBx 轴，且 BE2在BDE 沿 x 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 C 下落的点 P 能落在边 BD（包括端点）上，则点 B 横坐标的 最大值比最小值大多少？ 注： （2）中不必写 x 的取值范围 26 （12 分）在一平面内，线段 AB20，线段 BCCDDA10，将这四条线段顺次首尾相接把 AB 固 定，让 AD 绕点 A 从 AB 开始
14、逆时针旋转角 （0）到某一位置时，BC，CD 将会跟随出现到相应的 位置 论证：如图 1，当 ADBC 时，设 AB 与 CD 交于点 O，求证：AO10； 发现：当旋转角 60时，ADC 的度数可能是多少？ 尝试：取线段 CD 的中点 M，当点 M 与点 B 距离最大时，求点 M 到 AB 的距离； 拓展：如图 2，设点 D 与 B 的距离为 d，若BCD 的平分线所在直线交 AB 于点 P，直接写出 BP 的长 （用含 d 的式子表示） ； 当点 C 在 AB 下方，且 AD 与 CD 垂直时，直接写出 a 的余弦值 2021 年河北省中考数学试卷年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析参
15、考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 个小题，共个小题，共 42 分。分。110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分。在每小题给出的四分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）如图，已知四条线段 a，b，c，d 中的一条与挡板另一侧的线段 m 在同一直线上，请借助直尺判 断该线段是（ ） Aa Bb Cc Dd 【解答】解：利用直尺画出图形如下： 可以看出线段 a 与 m 在一条直线上 故答案为：a 故选：A 2 （3 分）不一定相等的一组是（ ） Aa+b 与 b+a B3a
16、 与 a+a+a Ca3与 aaa D3（a+b）与 3a+b 【解答】解：A：因为 a+bb+a，所以 A 选项一定相等； B：因为 a+a+a3a，所以 B 选项一定相等； C：因为 aaaa3，所以 C 选项一定相等； D：因为 3（a+b）3a+3b，所以 3（a+b）与 3a+b 不一定相等 故选：D 3 （3 分）已知 ab，则一定有4a4b， “”中应填的符号是（ ） A B C D 【解答】解：根据不等式的性质，不等式两边同时乘以负数，不等号的方向改变 ab， 4a4b 故选：B 4 （3 分）与结果相同的是（ ） A32+1 B3+21 C3+2+1 D321 【解答】解：2
17、， 32+12，故 A 符合题意； 3+214，故 B 不符合题意； 3+2+16，故 C 不符合题意； 3210，故 D 不符合题意 故选：A 5 （3 分）能与（）相加得 0 的是（ ） A B+ C+ D+ 【解答】解：（）+，与其相加得 0 的是+的相反数 +的相反数为+， 故选：C 6 （3 分）一个骰子相对两面的点数之和为 7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ） AA 代 BB 代 CC 代 DB 代 【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， A 与点数是 1 的对面，B 与点数是 2 的对面，C 与点数是 4 的对面， 骰子相对两面的点数之和为 7
18、， A 代表的点数是 6，B 代表的点数是 5，C 代表的点数是 4 故选：A 7 （3 分）如图 1，ABCD 中，ADAB，ABC 为锐角要在对角线 BD 上找点 N，M，使四边形 ANCM 为平行四边形，现有图 2 中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A甲、乙、丙都是 B只有甲、乙才是 C只有甲、丙才是 D只有乙、丙才是 【解答】解：方案甲中，连接 AC，如图所示： 四边形 ABCD 是平行四边形，O 为 BD 的中点， OBOD，OAOC， BNNO，OMMD， NOOM， 四边形 ANCM 为平行四边形，方案甲正确； 方案乙中： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，A
19、BCD， ABNCDM， ANB，CMBD， ANCM，ANBCMD， 在ABN 和CDM 中， ， ABNCDM（AAS） ， ANCM， 又ANCM， 四边形 ANCM 为平行四边形，方案乙正确； 方案丙中：四边形 ABCD 是平行四边形， BADBCD，ABCD，ABCD， ABNCDM， AN 平分BAD，CM 平分BCD， BANDCM， 在ABN 和CDM 中， ， ABNCDM（ASA） ， ANCM，ANBCMD， ANMCMN， ANCM， 四边形 ANCM 为平行四边形，方案丙正确； 故选：A 8（3分） 图1是装了液体的高脚杯示意图 （数据如图） ， 用去一部分液体后如图
20、2所示， 此时液面AB （ ） A1cm B2cm C3cm D4cm 【解答】解：如图：过 O 作 OMCD，垂足为 M，过 O 作 ONAB，垂足为 N， CDAB， CDOABO，即相似比为， ， OM1578，ON1174， ， ， AB3， 故选：C 9 （3 分）若取 1.442，计算398的结果是（ ） A100 B144.2 C144.2 D0.01442 【解答】解：取 1.442， 原式（1398） 1.442（100） 144.2 故选：B 10 （3 分）如图，点 O 为正六边形 ABCDEF 对角线 FD 上一点，SAFO8，SCDO2，则 S正六边边ABCDEF 的
21、值是（ ） A20 B30 C40 D随点 O 位置而变化 【解答】解：设正六边形 ABCDEF 的边长为 x， 过 E 作 FD 的垂线，垂足为 M，连接 AC， FED120，FEED， EFDFDE， EDF（180FED） 30， 正六边形 ABCDEF 的每个角为 120 CDF120EDF90 同理AFDFACACD90， 四边形 AFDC 为矩形， SAFOFOAF， SCDOODCD， 在正六边形 ABCDEF 中，AFCD， SAFO+SCDOFOAF+ODCD （FO+OD）AF FDAF 10， FDAF20， DMcos30DEx， DF2DMx， EMsin30DE，
22、 S正六边形ABCDEFS矩形AFDC+SEFD+SABC AFFD+2SEFD xx+2xx x2+x2 20+10 30， 故选：B 11 （2 分）如图，将数轴上6 与 6 两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为 a1，a2，a3，a4， a5，则下列正确的是（ ） Aa30 B|a1|a4| Ca1+a2+a3+a4+a50 Da2+a50 【解答】解：6 与 6 两点间的线段的长度6（6）12， 六等分后每个等分的线段的长度1262， a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：4，2，0，2，4， A 选项，a36+230，故该选项错误； B 选项，|4|2，故该选项错误； C
23、 选项，4+（2）+0+2+40，故该选项正确； D 选项，2+420，故该选项错误； 故选：C 12 （2 分）如图，直线 l，m 相交于点 OP 为这两直线外一点，且 OP2.8若点 P 关于直线 l，m 的对 称点分别是点 P1，P2，则 P1，P2之间的距离可能是（ ） A0 B5 C6 D7 【解答】解：连接 OP1，OP2，P1P2， 点 P 关于直线 l，m 的对称点分别是点 P1，P2， OP1OP2.8，OPOP22.8， OP1+OP2P1P2， P1P25.6， 故选：B 13 （2 分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 已知：如图，ACD 是ABC 的
24、外角求证：ACDA+B 证法 1：如图， A+B+ACB180（三角形内角和定理） ， 又ACD+ACB180（平角定义） ， ACD+ACBA+B+ACB（等量代换） ACDA+B（等式性质） 证法 2：如图， A76，B59， 且ACD135（量角器测量所得） 又13576+59（计算所得） ACDA+B（等量代换） 下列说法正确的是（ ） A证法 1 还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B证法 1 用严谨的推理证明了该定理 C证法 2 用特殊到一般法证明了该定理 D证法 2 只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【解答】解：证法 1 按照定理证明的一般步骤，从已知出发
25、经过严谨的推理论证，得出结论的正确， 具有一般性，无需再证明其他形状的三角形， A 的说法不正确，不符合题意； 证法 1 按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确， B 的说法正确，符合题意； 定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明， C 的说法不正确，不符合题意； 定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次解答数的多少无关， D 的说法不正确，不符合题意； 综上，B 的说法正确 故选：B 14 （2 分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图 1 及条形图 2（柱的高度从 高到低排列） 条形图不小心被撕了一块，图 2 中“ （
26、） ”应填的颜色是（ ） A蓝 B粉 C黄 D红 【解答】解：根据题意得： 510%50（人） ， 1650%32%， 则喜欢红色的人数是：5028%14（人） ， 501651415（人） ， 柱的高度从高到低排列， 图 2 中“ （ ） ”应填的颜色是红色 故选：D 15 （2 分）由（）值的正负可以比较 A与的大小，下列正确的是（ ） A当 c2 时，A B当 c0 时，A C当 c2 时，A D当 c0 时，A 【解答】解：A 选项，当 c2 时，A，故该选项不符合题意； B 选项，当 c0 时，A，故该选项不符合题意； C 选项， ， c2， 2+c0，c0， 2（2+c）0， 0，
27、 A，故该选项符合题意； D 选项，当 c0 时，2（2+c）的正负无法确定， A 与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C 16 （2 分）如图，等腰AOB 中，顶角AOB40，用尺规按到的步骤操作： 以 O 为圆心，OA 为半径画圆； 在O 上任取一点 P（不与点 A，B 重合） ，连接 AP； 作 AB 的垂直平分线与O 交于 M，N； 作 AP 的垂直平分线与O 交于 E，F 结论：顺次连接 M，E，N，F 四点必能得到矩形； 结论：O 上只有唯一的点 P，使得 S扇形FOMS扇形AOB 对于结论和，下列判断正确的是（ ） A和都对 B和都不对 C不对对 D对不对 【解答】解
28、：如图，连接 EM，EN，MFNF OMON，OEOF， 四边形 MENF 是平行四边形， EFMN， 四边形 MENF 是矩形，故（）正确， 观察图象可知MOFAOB， S扇形FOMS扇形AOB，故（）错误， 故选：D 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 3 个小题，每小题有个小题，每小题有 2 个空，每空个空，每空 2 分，共分，共 12 分）分） 17 （4 分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图） （1）取甲、乙纸片各 1 块，其面积和为 a2+b2 ； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片 1 块，再取乙纸片 4 块，还需取丙纸片 4 块 【解答】
29、解： （1）由图可知：一块甲种纸片面积为 a2，一块乙种纸片的面积为 b2，一块丙种纸片面积为 ab， 取甲、乙纸片各 1 块，其面积和为 a2+b2， 故答案为：a2+b2； （2）设取丙种纸片 x 块才能用它们拼成一个新的正方形， a2+4b2+xab 是一个完全平方式， x 为 4， 故答案为：4 18 （4 分）如图是可调躺椅示意图（数据如图） ，AE 与 BD 的交点为 C，且A，B，E 保持不变为 了舒适，需调整D 的大小，使EFD110，则图中D 应 减小 （填“增加”或“减少” ） 10 度 【解答】解：延长 EF，交 CD 于点 G，如图： ACB180506070， ECD
30、ACB70 DGFDCE+E， DGF70+30100 EFD110，EFDDGF+D， D10 而图中D20， D 应减小 10 故答案为：减小，10 19 （4 分）用绘图软件绘制双曲线 m：y与动直线 l：ya，且交于一点，图 1 为 a8 时的视窗情形 （1）当 a15 时，l 与 m 的交点坐标为 （4，15） ； （2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 O 始终在视窗中心 例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图 1 中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由 15x15 及10y10 变成了30 x30 及20y20（如图 2） 当 a1.2 和 a1.5
31、 时，l 与 m 的交点分别是点 A 和 B，为能看到 m 在 A 和 B 之间的一整段图象，需要将图 1 中坐标系的单位长 度至少变为原来的，则整数 k 4 【解答】解： （1）a15 时，y15， 由得：， 故答案为： （4，15） ； （2）由得， A（50，1.2） ， 由得， B（40，1.5） ， 为能看到 m 在 A（50，1.2）和 B（40，1.5）之间的一整段图象，需要将图 1 中坐标系的单位长 度至少变为原来的， 整数 k4 故答案为：4 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文
32、字说明、证明过程或演算步骤） 20 （8 分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为 4 元/本、10 元/本现购进 m 本甲种书和 n 本乙种书，共付款 Q 元 （1）用含 m，n 的代数式表示 Q； （2）若共购进 5104本甲种书及 3103本乙种书，用科学记数法表示 Q 的值 【解答】 （1）由题意可得：Q4m+10n； （2）将 m5104，n3103代入（1）式得： Q45104+1031032.3105 21 （9 分）已知训练场球筐中有 A、B 两种品牌的乒乓球共 101 个，设 A 品牌乒乓球有 x 个 （1）淇淇说： “筐里 B 品牌球是 A 品牌球的两倍 ”嘉嘉根
33、据她的说法列出了方程：101x2x请用嘉 嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）据工作人员透露：B 品牌球比 A 品牌球至少多 28 个，试通过列不等式的方法说明 A 品牌球最多有 几个 【解答】解： （1）嘉嘉所列方程为 101x2x， 解得：x33， 又x 为整数， x33不合题意， 淇淇的说法不正确 （2）设 A 品牌乒乓球有 x 个，则 B 品牌乒乓球有（101x）个， 依题意得：101xx28， 解得：x36， 又x 为整数， x 可取的最大值为 36 答：A 品牌球最多有 36 个 22 （9 分） 某博物馆展厅的俯视示意图如图 1 所示 嘉淇进入展厅后开始自由参观， 每走到一
34、个十字道口， 她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同 （1）求嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率； （2）补全图 2 的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大 【解答】解： （1）嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率为； （2）补全树状图如下： 共有 9 种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有 3 种，向南参观的结果有 2 种，向 北参观的结果有 2 种，向东参观的结果有 2 种， 向西参观的概率为，向南参观的概率向北参观的概率向东参观的概率， 向西参观的概率大 23 （9 分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1 号指挥机（看成点
35、 P）始终以 3km/min 的速度在 离地面 5km 高的上空匀速向右飞行，2 号试飞机（看成点 Q）一直保持在 1 号机 P 的正下方2 号机从 原点 O 处沿 45仰角爬升，到 4km 高的 A 处便立刻转为水平飞行，再过 1min 到达 B 处开始沿直线 BC 降落，要求 1min 后到达 C（10，3）处 （1）求 OA 的 h 关于 s 的函数解析式，并直接写出 2 号机的爬升速度； （2）求 BC 的 h 关于 s 的函数解析式，并预计 2 号机着陆点的坐标； （3）通过计算说明两机距离 PQ 不超过 3km 的时长是多少 注： （1）及（2）中不必写 s 的取值范围 【解答】解
36、： （1）2 号飞机爬升角度为 45， OA 上的点的横纵坐标相同 A（4，4） 设 OA 的解析式为：hks， 4k4 k1 OA 的解析式为：hs 2 号试飞机一直保持在 1 号机的正下方， 它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同 2 号机的爬升到 A 处时水平方向上移动了 4km，爬升高度为 4km， 又 1 号机的飞行速度为 3km/min， 2 号机的爬升速度为：43km/min （2）设 BC 的解析式为 hms+n， 由题意：B（7，4） ， ， 解得： BC 的解析式为 h 令 h0，则 s19 预计 2 号机着陆点的坐标为（19，0） （3）PQ 不超过 3km， 5h3 ，
37、解得：2s13 两机距离 PQ 不超过 3km 的时长为： （132）3min 24 （9 分）如图，O 的半径为 6，将该圆周 12 等分后得到表盘模型，其中整钟点为 An（n 为 112 的整 数） ，过点 A7作O 的切线交 A1A11延长线于点 P （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2）连接 A7A11，则 A7A11和 PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长 PA7的值 【解答】解： （1）由题意，A7OA11120， 的长412， 比直径长 （2）结论：PA1A7A11 理由：连接 A1A7 A1A7是O 的直径， A7A11A190， PA1A7A
38、11 （3）PA7是O 的切线， PA7A1A7， PA7A190， PA1A760，A1A712， PA7A1A7tan6012 25 （10 分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x 轴上依次有 A，O，N 三个点，且 AO2，在 ON 上方有五个台阶 T1T5（各拐角均为 90） ，每个台阶的高、宽分别是 1 和 1.5，台阶 T1到 x 轴距离 OK 10从点 A 处向右上方沿抛物线 L：yx2+4x+12 发出一个带光的点 P （1）求点 A 的横坐标，且在图中补画出 y 轴，并直接指出点 P 会落在哪个台阶上； （2）当点 P 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 L 形状相同
39、的抛物线 C，且最大高度为 11，求 C 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 T5有交点； （3）在 x 轴上从左到右有两点 D，E，且 DE1，从点 E 向上作 EBx 轴，且 BE2在BDE 沿 x 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 C 下落的点 P 能落在边 BD（包括端点）上，则点 B 横坐标的 最大值比最小值大多少？ 注： （2）中不必写 x 的取值范围 【解答】解： （1）图形如图所示，由题意台级 T4左边的端点坐标（4.5，7） ，右边的端点（6，7） ， 对于抛物线 yx2+4x+12， 令 y0，x24x120，解得 x2 或 6， A（2，0） ， 点 A 的横坐标为
40、2， 当 x4.5 时，y9.757， 当 x6 时，y07， 当 y7 时，7x2+4x+12， 解得 x1 或 5， 抛物线与台级 T4有交点，设交点为 R（5，7） ， 点 P 会落在哪个台阶 T4上 （2）由题意抛物线 C：yx2+bx+c，经过 R（5，7） ，最高点的纵坐标为 11， ， 解得或（舍弃） ， 抛物线 C 的解析式为 yx2+14x38， 对称轴 x7， 台阶 T5的左边的端点（6，6） ，右边的端点为（7.5，6） ， 抛物线 C 的对称轴与台阶 T5有交点 （3）对于抛物线 C：yx2+14x38， 令 y0，得到 x214x+380，解得 x7， 抛物线 C 交
41、 x 轴的正半轴于（7+，0） ， 当 y2 时，2x2+14x38，解得 x4 或 40， 抛物线经过（10，2） ， RtBDE 中，DEB90，DE1，BE2， 当点 D 与（7+，0）重合时，点 B 的横坐标的值最大，最大值为 8+， 当点 B 与（10，2）重合时，点 B 的横坐标最小，最小值为 10， 点 B 横坐标的最大值比最小值大1 26 （12 分）在一平面内，线段 AB20，线段 BCCDDA10，将这四条线段顺次首尾相接把 AB 固 定，让 AD 绕点 A 从 AB 开始逆时针旋转角 （0）到某一位置时，BC，CD 将会跟随出现到相应的 位置 论证：如图 1，当 ADBC
42、 时，设 AB 与 CD 交于点 O，求证：AO10； 发现：当旋转角 60时，ADC 的度数可能是多少？ 尝试：取线段 CD 的中点 M，当点 M 与点 B 距离最大时，求点 M 到 AB 的距离； 拓展：如图 2，设点 D 与 B 的距离为 d，若BCD 的平分线所在直线交 AB 于点 P，直接写出 BP 的长 （用含 d 的式子表示） ； 当点 C 在 AB 下方，且 AD 与 CD 垂直时，直接写出 a 的余弦值 【解答】论证： 证明：ADBC， AB，CD， 在AOD 和BOC 中， ， AODBOC（ASA） ， AOBO， AO+BOAB20， AO10； 发现：设 AB 的中点
43、为 O，如图： 当 AD 从初始位置 AO 绕 A 顺时针旋转 60时，BC 也从初始位置 BC绕点 B 顺时针旋转 60， 而 BOBC10， BCO 是等边三角形， BC 旋转到 BO 的位置，即 C 以 O 重合， AOADCD10， ADC 是等边三角形， ADC60； 尝试：取线段 CD 的中点 M，当点 M 与点 B 距离最大时，D、C、B 共线，过 D 作 DQAB 于 Q，过 M 作 MNAB 于 N，如图： 由已知可得 AD10，BDBC+CD20，BMCM+BC15， 设 AQx，则 BQ20 x， AD2AQ2DQ2BD2BQ2， 100 x2400（20 x）2， 解得
44、 x， AQ， DQ， DQAB，MNAB， MNDQ， ，即， MN， 点 M 到 AB 的距离为； 拓展： 设直线 CP 交 DB 于 H，过 G 作 DGAB 于 G，连接 DP，如图： BCDC10，CP 平分BCD， BHCDHC90，BHBDd， 设 BGm，则 AG20m， AD2AG2BD2BG2， 100（20m）2d2m2， m， BG， BHPBGD90，PBHDBG， BHPBGD， ， BP； 过 B 作 BGCD 于 G，如图： 设 ANt，则 BN20t，DN， DBGN90，ANDBNG， ADNBGN， ， 即， NG，BG， RtBCG 中，BC10， CG
45、， CD10， DN+NG+CG10， 即+10， t+（20t）+2010t， 20+2010t，即 2t2， 两边平方，整理得：3t240t4t， t0， 3t404， 解得 t（大于 20，舍去）或 t， AN， cos 方法二：过 C 作 CKAB 于 K，过 F 作 FHAC 于 H，如图： ADCD10，ADDC， AC2200， AC2AK2BC2BK2， 200AK2100（20AK）2， 解得 AK， CK， RtACK 中，tanKAC， RtAFH 中，tanKAC， 设 FHn，则 CHFHn，AH5n， ACAH+CH10， 5n+n10， 解得 n， AFn， RtADF 中， cos
