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2021年河北省中考数学试卷(含答案详解)

1、2021 年河北省中考数学试卷年河北省中考数学试卷 一、选择题(本大题有一、选择题(本大题有 16 个小题,共个小题,共 42 分。分。110 小题各小题各 3 分,分,1116 小题各小题各 2 分。在每小题给出的四分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的)个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 (3 分)如图,已知四条线段 a,b,c,d 中的一条与挡板另一侧的线段 m 在同一直线上,请借助直尺判 断该线段是( ) Aa Bb Cc Dd 2 (3 分)不一定相等的一组是( ) Aa+b 与 b+a B3a 与 a+a+a Ca3与 aaa D3(a+b)与 3a+b 3

2、 (3 分)已知 ab,则一定有4a4b, “”中应填的符号是( ) A B C D 4 (3 分)与结果相同的是( ) A32+1 B3+21 C3+2+1 D321 5 (3 分)能与()相加得 0 的是( ) A B+ C+ D+ 6 (3 分)一个骰子相对两面的点数之和为 7,它的展开图如图,下列判断正确的是( ) AA 代 BB 代 CC 代 DB 代 7 (3 分)如图 1,ABCD 中,ADAB,ABC 为锐角要在对角线 BD 上找点 N,M,使四边形 ANCM 为平行四边形,现有图 2 中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案( ) A甲、乙、丙都是 B只有甲、乙才是 C只有甲、丙

3、才是 D只有乙、丙才是 8(3分) 图1是装了液体的高脚杯示意图 (数据如图) , 用去一部分液体后如图2所示, 此时液面AB ( ) A1cm B2cm C3cm D4cm 9 (3 分)若取 1.442,计算398的结果是( ) A100 B144.2 C144.2 D0.01442 10 (3 分)如图,点 O 为正六边形 ABCDEF 对角线 FD 上一点,SAFO8,SCDO2,则 S正六边边ABCDEF 的值是( ) A20 B30 C40 D随点 O 位置而变化 11 (2 分)如图,将数轴上6 与 6 两点间的线段六等分,这五个等分点所对应数依次为 a1,a2,a3,a4, a

4、5,则下列正确的是( ) Aa30 B|a1|a4| Ca1+a2+a3+a4+a50 Da2+a50 12 (2 分)如图,直线 l,m 相交于点 OP 为这两直线外一点,且 OP2.8若点 P 关于直线 l,m 的对 称点分别是点 P1,P2,则 P1,P2之间的距离可能是( ) A0 B5 C6 D7 13 (2 分)定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 已知:如图,ACD 是ABC 的外角求证:ACDA+B 证法 1:如图, A+B+ACB180(三角形内角和定理) , 又ACD+ACB180(平角定义) , ACD+ACBA+B+ACB(等量代换) ACDA+B(等式性

5、质) 证法 2:如图, A76,B59, 且ACD135(量角器测量所得) 又13576+59(计算所得) ACDA+B(等量代换) 下列说法正确的是( ) A证法 1 还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整 B证法 1 用严谨的推理证明了该定理 C证法 2 用特殊到一般法证明了该定理 D证法 2 只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理 14 (2 分)小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色,并绘制了不完整的扇形图 1 及条形图 2(柱的高度从 高到低排列) 条形图不小心被撕了一块,图 2 中“ ( ) ”应填的颜色是( ) A蓝 B粉 C黄 D红 15 (2 分)由()值的正负可以

6、比较 A与的大小,下列正确的是( ) A当 c2 时,A B当 c0 时,A C当 c2 时,A D当 c0 时,A 16 (2 分)如图,等腰AOB 中,顶角AOB40,用尺规按到的步骤操作: 以 O 为圆心,OA 为半径画圆; 在O 上任取一点 P(不与点 A,B 重合) ,连接 AP; 作 AB 的垂直平分线与O 交于 M,N; 作 AP 的垂直平分线与O 交于 E,F 结论:顺次连接 M,E,N,F 四点必能得到矩形; 结论:O 上只有唯一的点 P,使得 S扇形FOMS扇形AOB 对于结论和,下列判断正确的是( ) A和都对 B和都不对 C不对对 D对不对 二、填空题(本大题有二、填空

7、题(本大题有 3 个小题,每小题有个小题,每小题有 2 个空,每空个空,每空 2 分,共分,共 12 分)分) 17 (4 分)现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图) (1)取甲、乙纸片各 1 块,其面积和为 ; (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片 1 块,再取乙纸片 4 块,还需取丙纸片 块 18 (4 分)如图是可调躺椅示意图(数据如图) ,AE 与 BD 的交点为 C,且A,B,E 保持不变为 了舒适, 需调整D 的大小, 使EFD110, 则图中D 应 (填 “增加” 或 “减少” ) 度 19 (4 分)用绘图软件绘制双曲线 m:y与动直线 l:ya,且

8、交于一点,图 1 为 a8 时的视窗情形 (1)当 a15 时,l 与 m 的交点坐标为 ; (2)视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点 O 始终在视窗中心 例如,为在视窗中看到(1)中的交点,可将图 1 中坐标系的单位长度变为原来的,其可视范围就由 15x15 及10y10 变成了30 x30 及20y20(如图 2) 当 a1.2 和 a1.5 时,l 与 m 的交点分别是点 A 和 B,为能看到 m 在 A 和 B 之间的一整段图象,需要将图 1 中坐标系的单位长 度至少变为原来的,则整数 k 三、解答题(本大题有三、解答题(本大题有 7 个小题,共个小题,共 66 分。

9、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20 (8 分)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为 4 元/本、10 元/本现购进 m 本甲种书和 n 本乙种书,共付款 Q 元 (1)用含 m,n 的代数式表示 Q; (2)若共购进 5104本甲种书及 3103本乙种书,用科学记数法表示 Q 的值 21 (9 分)已知训练场球筐中有 A、B 两种品牌的乒乓球共 101 个,设 A 品牌乒乓球有 x 个 (1)淇淇说: “筐里 B 品牌球是 A 品牌球的两倍 ”嘉嘉根据她的说法列出了方程:101x2x请用嘉 嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确; (

10、2)据工作人员透露:B 品牌球比 A 品牌球至少多 28 个,试通过列不等式的方法说明 A 品牌球最多有 几个 22 (9 分) 某博物馆展厅的俯视示意图如图 1 所示 嘉淇进入展厅后开始自由参观, 每走到一个十字道口, 她自己可能直行,也可能向左转或向右转,且这三种可能性均相同 (1)求嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率; (2)补全图 2 的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大 23 (9 分)如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象,1 号指挥机(看成点 P)始终以 3km/min 的速度在 离地面 5km 高的上空匀速向右飞行,2 号试飞机(看成点 Q)一直保持在

11、 1 号机 P 的正下方2 号机从 原点 O 处沿 45仰角爬升,到 4km 高的 A 处便立刻转为水平飞行,再过 1min 到达 B 处开始沿直线 BC 降落,要求 1min 后到达 C(10,3)处 (1)求 OA 的 h 关于 s 的函数解析式,并直接写出 2 号机的爬升速度; (2)求 BC 的 h 关于 s 的函数解析式,并预计 2 号机着陆点的坐标; (3)通过计算说明两机距离 PQ 不超过 3km 的时长是多少 注: (1)及(2)中不必写 s 的取值范围 24 (9 分)如图,O 的半径为 6,将该圆周 12 等分后得到表盘模型,其中整钟点为 An(n 为 112 的整 数)

12、,过点 A7作O 的切线交 A1A11延长线于点 P (1)通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长; (2)连接 A7A11,则 A7A11和 PA1有什么特殊位置关系?请简要说明理由; (3)求切线长 PA7的值 25 (10 分)如图是某同学正在设计的一动画示意图,x 轴上依次有 A,O,N 三个点,且 AO2,在 ON 上方有五个台阶 T1T5(各拐角均为 90) ,每个台阶的高、宽分别是 1 和 1.5,台阶 T1到 x 轴距离 OK 10从点 A 处向右上方沿抛物线 L:yx2+4x+12 发出一个带光的点 P (1)求点 A 的横坐标,且在图中补画出 y 轴,并直接指出点 P 会落在哪

13、个台阶上; (2)当点 P 落到台阶上后立即弹起,又形成了另一条与 L 形状相同的抛物线 C,且最大高度为 11,求 C 的解析式,并说明其对称轴是否与台阶 T5有交点; (3)在 x 轴上从左到右有两点 D,E,且 DE1,从点 E 向上作 EBx 轴,且 BE2在BDE 沿 x 轴左右平移时,必须保证(2)中沿抛物线 C 下落的点 P 能落在边 BD(包括端点)上,则点 B 横坐标的 最大值比最小值大多少? 注: (2)中不必写 x 的取值范围 26 (12 分)在一平面内,线段 AB20,线段 BCCDDA10,将这四条线段顺次首尾相接把 AB 固 定,让 AD 绕点 A 从 AB 开始

14、逆时针旋转角 (0)到某一位置时,BC,CD 将会跟随出现到相应的 位置 论证:如图 1,当 ADBC 时,设 AB 与 CD 交于点 O,求证:AO10; 发现:当旋转角 60时,ADC 的度数可能是多少? 尝试:取线段 CD 的中点 M,当点 M 与点 B 距离最大时,求点 M 到 AB 的距离; 拓展:如图 2,设点 D 与 B 的距离为 d,若BCD 的平分线所在直线交 AB 于点 P,直接写出 BP 的长 (用含 d 的式子表示) ; 当点 C 在 AB 下方,且 AD 与 CD 垂直时,直接写出 a 的余弦值 2021 年河北省中考数学试卷年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析参

15、考答案与试题解析 一、选择题(本大题有一、选择题(本大题有 16 个小题,共个小题,共 42 分。分。110 小题各小题各 3 分,分,1116 小题各小题各 2 分。在每小题给出的四分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的)个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 (3 分)如图,已知四条线段 a,b,c,d 中的一条与挡板另一侧的线段 m 在同一直线上,请借助直尺判 断该线段是( ) Aa Bb Cc Dd 【解答】解:利用直尺画出图形如下: 可以看出线段 a 与 m 在一条直线上 故答案为:a 故选:A 2 (3 分)不一定相等的一组是( ) Aa+b 与 b+a B3a

16、 与 a+a+a Ca3与 aaa D3(a+b)与 3a+b 【解答】解:A:因为 a+bb+a,所以 A 选项一定相等; B:因为 a+a+a3a,所以 B 选项一定相等; C:因为 aaaa3,所以 C 选项一定相等; D:因为 3(a+b)3a+3b,所以 3(a+b)与 3a+b 不一定相等 故选:D 3 (3 分)已知 ab,则一定有4a4b, “”中应填的符号是( ) A B C D 【解答】解:根据不等式的性质,不等式两边同时乘以负数,不等号的方向改变 ab, 4a4b 故选:B 4 (3 分)与结果相同的是( ) A32+1 B3+21 C3+2+1 D321 【解答】解:2

17、, 32+12,故 A 符合题意; 3+214,故 B 不符合题意; 3+2+16,故 C 不符合题意; 3210,故 D 不符合题意 故选:A 5 (3 分)能与()相加得 0 的是( ) A B+ C+ D+ 【解答】解:()+,与其相加得 0 的是+的相反数 +的相反数为+, 故选:C 6 (3 分)一个骰子相对两面的点数之和为 7,它的展开图如图,下列判断正确的是( ) AA 代 BB 代 CC 代 DB 代 【解答】解:根据正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形, A 与点数是 1 的对面,B 与点数是 2 的对面,C 与点数是 4 的对面, 骰子相对两面的点数之和为 7

18、, A 代表的点数是 6,B 代表的点数是 5,C 代表的点数是 4 故选:A 7 (3 分)如图 1,ABCD 中,ADAB,ABC 为锐角要在对角线 BD 上找点 N,M,使四边形 ANCM 为平行四边形,现有图 2 中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案( ) A甲、乙、丙都是 B只有甲、乙才是 C只有甲、丙才是 D只有乙、丙才是 【解答】解:方案甲中,连接 AC,如图所示: 四边形 ABCD 是平行四边形,O 为 BD 的中点, OBOD,OAOC, BNNO,OMMD, NOOM, 四边形 ANCM 为平行四边形,方案甲正确; 方案乙中: 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,A

19、BCD, ABNCDM, ANB,CMBD, ANCM,ANBCMD, 在ABN 和CDM 中, , ABNCDM(AAS) , ANCM, 又ANCM, 四边形 ANCM 为平行四边形,方案乙正确; 方案丙中:四边形 ABCD 是平行四边形, BADBCD,ABCD,ABCD, ABNCDM, AN 平分BAD,CM 平分BCD, BANDCM, 在ABN 和CDM 中, , ABNCDM(ASA) , ANCM,ANBCMD, ANMCMN, ANCM, 四边形 ANCM 为平行四边形,方案丙正确; 故选:A 8(3分) 图1是装了液体的高脚杯示意图 (数据如图) , 用去一部分液体后如图

20、2所示, 此时液面AB ( ) A1cm B2cm C3cm D4cm 【解答】解:如图:过 O 作 OMCD,垂足为 M,过 O 作 ONAB,垂足为 N, CDAB, CDOABO,即相似比为, , OM1578,ON1174, , , AB3, 故选:C 9 (3 分)若取 1.442,计算398的结果是( ) A100 B144.2 C144.2 D0.01442 【解答】解:取 1.442, 原式(1398) 1.442(100) 144.2 故选:B 10 (3 分)如图,点 O 为正六边形 ABCDEF 对角线 FD 上一点,SAFO8,SCDO2,则 S正六边边ABCDEF 的

21、值是( ) A20 B30 C40 D随点 O 位置而变化 【解答】解:设正六边形 ABCDEF 的边长为 x, 过 E 作 FD 的垂线,垂足为 M,连接 AC, FED120,FEED, EFDFDE, EDF(180FED) 30, 正六边形 ABCDEF 的每个角为 120 CDF120EDF90 同理AFDFACACD90, 四边形 AFDC 为矩形, SAFOFOAF, SCDOODCD, 在正六边形 ABCDEF 中,AFCD, SAFO+SCDOFOAF+ODCD (FO+OD)AF FDAF 10, FDAF20, DMcos30DEx, DF2DMx, EMsin30DE,

22、 S正六边形ABCDEFS矩形AFDC+SEFD+SABC AFFD+2SEFD xx+2xx x2+x2 20+10 30, 故选:B 11 (2 分)如图,将数轴上6 与 6 两点间的线段六等分,这五个等分点所对应数依次为 a1,a2,a3,a4, a5,则下列正确的是( ) Aa30 B|a1|a4| Ca1+a2+a3+a4+a50 Da2+a50 【解答】解:6 与 6 两点间的线段的长度6(6)12, 六等分后每个等分的线段的长度1262, a1,a2,a3,a4,a5表示的数为:4,2,0,2,4, A 选项,a36+230,故该选项错误; B 选项,|4|2,故该选项错误; C

23、 选项,4+(2)+0+2+40,故该选项正确; D 选项,2+420,故该选项错误; 故选:C 12 (2 分)如图,直线 l,m 相交于点 OP 为这两直线外一点,且 OP2.8若点 P 关于直线 l,m 的对 称点分别是点 P1,P2,则 P1,P2之间的距离可能是( ) A0 B5 C6 D7 【解答】解:连接 OP1,OP2,P1P2, 点 P 关于直线 l,m 的对称点分别是点 P1,P2, OP1OP2.8,OPOP22.8, OP1+OP2P1P2, P1P25.6, 故选:B 13 (2 分)定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 已知:如图,ACD 是ABC 的

24、外角求证:ACDA+B 证法 1:如图, A+B+ACB180(三角形内角和定理) , 又ACD+ACB180(平角定义) , ACD+ACBA+B+ACB(等量代换) ACDA+B(等式性质) 证法 2:如图, A76,B59, 且ACD135(量角器测量所得) 又13576+59(计算所得) ACDA+B(等量代换) 下列说法正确的是( ) A证法 1 还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整 B证法 1 用严谨的推理证明了该定理 C证法 2 用特殊到一般法证明了该定理 D证法 2 只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理 【解答】解:证法 1 按照定理证明的一般步骤,从已知出发

25、经过严谨的推理论证,得出结论的正确, 具有一般性,无需再证明其他形状的三角形, A 的说法不正确,不符合题意; 证法 1 按照定理证明的一般步骤,从已知出发经过严谨的推理论证,得出结论的正确, B 的说法正确,符合题意; 定理的证明必须经过严谨的推理论证,不能用特殊情形来说明, C 的说法不正确,不符合题意; 定理的证明必须经过严谨的推理论证,与测量次解答数的多少无关, D 的说法不正确,不符合题意; 综上,B 的说法正确 故选:B 14 (2 分)小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色,并绘制了不完整的扇形图 1 及条形图 2(柱的高度从 高到低排列) 条形图不小心被撕了一块,图 2 中“ (

26、) ”应填的颜色是( ) A蓝 B粉 C黄 D红 【解答】解:根据题意得: 510%50(人) , 1650%32%, 则喜欢红色的人数是:5028%14(人) , 501651415(人) , 柱的高度从高到低排列, 图 2 中“ ( ) ”应填的颜色是红色 故选:D 15 (2 分)由()值的正负可以比较 A与的大小,下列正确的是( ) A当 c2 时,A B当 c0 时,A C当 c2 时,A D当 c0 时,A 【解答】解:A 选项,当 c2 时,A,故该选项不符合题意; B 选项,当 c0 时,A,故该选项不符合题意; C 选项, , c2, 2+c0,c0, 2(2+c)0, 0,

27、 A,故该选项符合题意; D 选项,当 c0 时,2(2+c)的正负无法确定, A 与的大小就无法确定,故该选项不符合题意; 故选:C 16 (2 分)如图,等腰AOB 中,顶角AOB40,用尺规按到的步骤操作: 以 O 为圆心,OA 为半径画圆; 在O 上任取一点 P(不与点 A,B 重合) ,连接 AP; 作 AB 的垂直平分线与O 交于 M,N; 作 AP 的垂直平分线与O 交于 E,F 结论:顺次连接 M,E,N,F 四点必能得到矩形; 结论:O 上只有唯一的点 P,使得 S扇形FOMS扇形AOB 对于结论和,下列判断正确的是( ) A和都对 B和都不对 C不对对 D对不对 【解答】解

28、:如图,连接 EM,EN,MFNF OMON,OEOF, 四边形 MENF 是平行四边形, EFMN, 四边形 MENF 是矩形,故()正确, 观察图象可知MOFAOB, S扇形FOMS扇形AOB,故()错误, 故选:D 二、填空题(本大题有二、填空题(本大题有 3 个小题,每小题有个小题,每小题有 2 个空,每空个空,每空 2 分,共分,共 12 分)分) 17 (4 分)现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图) (1)取甲、乙纸片各 1 块,其面积和为 a2+b2 ; (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片 1 块,再取乙纸片 4 块,还需取丙纸片 4 块 【解答】

29、解: (1)由图可知:一块甲种纸片面积为 a2,一块乙种纸片的面积为 b2,一块丙种纸片面积为 ab, 取甲、乙纸片各 1 块,其面积和为 a2+b2, 故答案为:a2+b2; (2)设取丙种纸片 x 块才能用它们拼成一个新的正方形, a2+4b2+xab 是一个完全平方式, x 为 4, 故答案为:4 18 (4 分)如图是可调躺椅示意图(数据如图) ,AE 与 BD 的交点为 C,且A,B,E 保持不变为 了舒适,需调整D 的大小,使EFD110,则图中D 应 减小 (填“增加”或“减少” ) 10 度 【解答】解:延长 EF,交 CD 于点 G,如图: ACB180506070, ECD

30、ACB70 DGFDCE+E, DGF70+30100 EFD110,EFDDGF+D, D10 而图中D20, D 应减小 10 故答案为:减小,10 19 (4 分)用绘图软件绘制双曲线 m:y与动直线 l:ya,且交于一点,图 1 为 a8 时的视窗情形 (1)当 a15 时,l 与 m 的交点坐标为 (4,15) ; (2)视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点 O 始终在视窗中心 例如,为在视窗中看到(1)中的交点,可将图 1 中坐标系的单位长度变为原来的,其可视范围就由 15x15 及10y10 变成了30 x30 及20y20(如图 2) 当 a1.2 和 a1.5

31、 时,l 与 m 的交点分别是点 A 和 B,为能看到 m 在 A 和 B 之间的一整段图象,需要将图 1 中坐标系的单位长 度至少变为原来的,则整数 k 4 【解答】解: (1)a15 时,y15, 由得:, 故答案为: (4,15) ; (2)由得, A(50,1.2) , 由得, B(40,1.5) , 为能看到 m 在 A(50,1.2)和 B(40,1.5)之间的一整段图象,需要将图 1 中坐标系的单位长 度至少变为原来的, 整数 k4 故答案为:4 三、解答题(本大题有三、解答题(本大题有 7 个小题,共个小题,共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分。解答应写出文

32、字说明、证明过程或演算步骤) 20 (8 分)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为 4 元/本、10 元/本现购进 m 本甲种书和 n 本乙种书,共付款 Q 元 (1)用含 m,n 的代数式表示 Q; (2)若共购进 5104本甲种书及 3103本乙种书,用科学记数法表示 Q 的值 【解答】 (1)由题意可得:Q4m+10n; (2)将 m5104,n3103代入(1)式得: Q45104+1031032.3105 21 (9 分)已知训练场球筐中有 A、B 两种品牌的乒乓球共 101 个,设 A 品牌乒乓球有 x 个 (1)淇淇说: “筐里 B 品牌球是 A 品牌球的两倍 ”嘉嘉根

33、据她的说法列出了方程:101x2x请用嘉 嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确; (2)据工作人员透露:B 品牌球比 A 品牌球至少多 28 个,试通过列不等式的方法说明 A 品牌球最多有 几个 【解答】解: (1)嘉嘉所列方程为 101x2x, 解得:x33, 又x 为整数, x33不合题意, 淇淇的说法不正确 (2)设 A 品牌乒乓球有 x 个,则 B 品牌乒乓球有(101x)个, 依题意得:101xx28, 解得:x36, 又x 为整数, x 可取的最大值为 36 答:A 品牌球最多有 36 个 22 (9 分) 某博物馆展厅的俯视示意图如图 1 所示 嘉淇进入展厅后开始自由参观, 每走到一

34、个十字道口, 她自己可能直行,也可能向左转或向右转,且这三种可能性均相同 (1)求嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率; (2)补全图 2 的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大 【解答】解: (1)嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率为; (2)补全树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有 3 种,向南参观的结果有 2 种,向 北参观的结果有 2 种,向东参观的结果有 2 种, 向西参观的概率为,向南参观的概率向北参观的概率向东参观的概率, 向西参观的概率大 23 (9 分)如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象,1 号指挥机(看成点

35、 P)始终以 3km/min 的速度在 离地面 5km 高的上空匀速向右飞行,2 号试飞机(看成点 Q)一直保持在 1 号机 P 的正下方2 号机从 原点 O 处沿 45仰角爬升,到 4km 高的 A 处便立刻转为水平飞行,再过 1min 到达 B 处开始沿直线 BC 降落,要求 1min 后到达 C(10,3)处 (1)求 OA 的 h 关于 s 的函数解析式,并直接写出 2 号机的爬升速度; (2)求 BC 的 h 关于 s 的函数解析式,并预计 2 号机着陆点的坐标; (3)通过计算说明两机距离 PQ 不超过 3km 的时长是多少 注: (1)及(2)中不必写 s 的取值范围 【解答】解

36、: (1)2 号飞机爬升角度为 45, OA 上的点的横纵坐标相同 A(4,4) 设 OA 的解析式为:hks, 4k4 k1 OA 的解析式为:hs 2 号试飞机一直保持在 1 号机的正下方, 它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同 2 号机的爬升到 A 处时水平方向上移动了 4km,爬升高度为 4km, 又 1 号机的飞行速度为 3km/min, 2 号机的爬升速度为:43km/min (2)设 BC 的解析式为 hms+n, 由题意:B(7,4) , , 解得: BC 的解析式为 h 令 h0,则 s19 预计 2 号机着陆点的坐标为(19,0) (3)PQ 不超过 3km, 5h3 ,

37、解得:2s13 两机距离 PQ 不超过 3km 的时长为: (132)3min 24 (9 分)如图,O 的半径为 6,将该圆周 12 等分后得到表盘模型,其中整钟点为 An(n 为 112 的整 数) ,过点 A7作O 的切线交 A1A11延长线于点 P (1)通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长; (2)连接 A7A11,则 A7A11和 PA1有什么特殊位置关系?请简要说明理由; (3)求切线长 PA7的值 【解答】解: (1)由题意,A7OA11120, 的长412, 比直径长 (2)结论:PA1A7A11 理由:连接 A1A7 A1A7是O 的直径, A7A11A190, PA1A7A

38、11 (3)PA7是O 的切线, PA7A1A7, PA7A190, PA1A760,A1A712, PA7A1A7tan6012 25 (10 分)如图是某同学正在设计的一动画示意图,x 轴上依次有 A,O,N 三个点,且 AO2,在 ON 上方有五个台阶 T1T5(各拐角均为 90) ,每个台阶的高、宽分别是 1 和 1.5,台阶 T1到 x 轴距离 OK 10从点 A 处向右上方沿抛物线 L:yx2+4x+12 发出一个带光的点 P (1)求点 A 的横坐标,且在图中补画出 y 轴,并直接指出点 P 会落在哪个台阶上; (2)当点 P 落到台阶上后立即弹起,又形成了另一条与 L 形状相同

39、的抛物线 C,且最大高度为 11,求 C 的解析式,并说明其对称轴是否与台阶 T5有交点; (3)在 x 轴上从左到右有两点 D,E,且 DE1,从点 E 向上作 EBx 轴,且 BE2在BDE 沿 x 轴左右平移时,必须保证(2)中沿抛物线 C 下落的点 P 能落在边 BD(包括端点)上,则点 B 横坐标的 最大值比最小值大多少? 注: (2)中不必写 x 的取值范围 【解答】解: (1)图形如图所示,由题意台级 T4左边的端点坐标(4.5,7) ,右边的端点(6,7) , 对于抛物线 yx2+4x+12, 令 y0,x24x120,解得 x2 或 6, A(2,0) , 点 A 的横坐标为

40、2, 当 x4.5 时,y9.757, 当 x6 时,y07, 当 y7 时,7x2+4x+12, 解得 x1 或 5, 抛物线与台级 T4有交点,设交点为 R(5,7) , 点 P 会落在哪个台阶 T4上 (2)由题意抛物线 C:yx2+bx+c,经过 R(5,7) ,最高点的纵坐标为 11, , 解得或(舍弃) , 抛物线 C 的解析式为 yx2+14x38, 对称轴 x7, 台阶 T5的左边的端点(6,6) ,右边的端点为(7.5,6) , 抛物线 C 的对称轴与台阶 T5有交点 (3)对于抛物线 C:yx2+14x38, 令 y0,得到 x214x+380,解得 x7, 抛物线 C 交

41、 x 轴的正半轴于(7+,0) , 当 y2 时,2x2+14x38,解得 x4 或 40, 抛物线经过(10,2) , RtBDE 中,DEB90,DE1,BE2, 当点 D 与(7+,0)重合时,点 B 的横坐标的值最大,最大值为 8+, 当点 B 与(10,2)重合时,点 B 的横坐标最小,最小值为 10, 点 B 横坐标的最大值比最小值大1 26 (12 分)在一平面内,线段 AB20,线段 BCCDDA10,将这四条线段顺次首尾相接把 AB 固 定,让 AD 绕点 A 从 AB 开始逆时针旋转角 (0)到某一位置时,BC,CD 将会跟随出现到相应的 位置 论证:如图 1,当 ADBC

42、 时,设 AB 与 CD 交于点 O,求证:AO10; 发现:当旋转角 60时,ADC 的度数可能是多少? 尝试:取线段 CD 的中点 M,当点 M 与点 B 距离最大时,求点 M 到 AB 的距离; 拓展:如图 2,设点 D 与 B 的距离为 d,若BCD 的平分线所在直线交 AB 于点 P,直接写出 BP 的长 (用含 d 的式子表示) ; 当点 C 在 AB 下方,且 AD 与 CD 垂直时,直接写出 a 的余弦值 【解答】论证: 证明:ADBC, AB,CD, 在AOD 和BOC 中, , AODBOC(ASA) , AOBO, AO+BOAB20, AO10; 发现:设 AB 的中点

43、为 O,如图: 当 AD 从初始位置 AO 绕 A 顺时针旋转 60时,BC 也从初始位置 BC绕点 B 顺时针旋转 60, 而 BOBC10, BCO 是等边三角形, BC 旋转到 BO 的位置,即 C 以 O 重合, AOADCD10, ADC 是等边三角形, ADC60; 尝试:取线段 CD 的中点 M,当点 M 与点 B 距离最大时,D、C、B 共线,过 D 作 DQAB 于 Q,过 M 作 MNAB 于 N,如图: 由已知可得 AD10,BDBC+CD20,BMCM+BC15, 设 AQx,则 BQ20 x, AD2AQ2DQ2BD2BQ2, 100 x2400(20 x)2, 解得

44、 x, AQ, DQ, DQAB,MNAB, MNDQ, ,即, MN, 点 M 到 AB 的距离为; 拓展: 设直线 CP 交 DB 于 H,过 G 作 DGAB 于 G,连接 DP,如图: BCDC10,CP 平分BCD, BHCDHC90,BHBDd, 设 BGm,则 AG20m, AD2AG2BD2BG2, 100(20m)2d2m2, m, BG, BHPBGD90,PBHDBG, BHPBGD, , BP; 过 B 作 BGCD 于 G,如图: 设 ANt,则 BN20t,DN, DBGN90,ANDBNG, ADNBGN, , 即, NG,BG, RtBCG 中,BC10, CG

45、, CD10, DN+NG+CG10, 即+10, t+(20t)+2010t, 20+2010t,即 2t2, 两边平方,整理得:3t240t4t, t0, 3t404, 解得 t(大于 20,舍去)或 t, AN, cos 方法二:过 C 作 CKAB 于 K,过 F 作 FHAC 于 H,如图: ADCD10,ADDC, AC2200, AC2AK2BC2BK2, 200AK2100(20AK)2, 解得 AK, CK, RtACK 中,tanKAC, RtAFH 中,tanKAC, 设 FHn,则 CHFHn,AH5n, ACAH+CH10, 5n+n10, 解得 n, AFn, RtADF 中, cos