1、2021 年四川省南充市中考数学试卷年四川省南充市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）每小题都有代号为分）每小题都有代号为 A、B、C、D 四个答案选项，四个答案选项， 其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记 4 分，不涂、错涂或多分，不涂、错涂或多 涂记涂记 0 分分. 1满足 x3 的最大整数 x 是（ ） A1 B2 C3 D4 2数轴上表示数 m 和 m+2 的点到原点的距离相等，则 m 为（ ）
2、A2 B2 C1 D1 3如图，点 O 是ABCD 对角线的交点，EF 过点 O 分别交 AD，BC 于点 E，F，下列结论成立的是（ ） AOEOF BAEBF CDOCOCD DCFEDEF 4据统计，某班 7 个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7下列说法 错误的是（ ） A该组数据的中位数是 6 B该组数据的众数是 6 C该组数据的平均数是 6 D该组数据的方差是 6 5端午节买粽子，每个肉粽比素粽多 1 元，购买 10 个肉粽和 5 个素粽共用去 70 元，设每个肉粽 x 元，则 可列方程为（ ） A10 x+5（x1）70 B10 x+5（x+1）
3、70 C10（x1）+5x70 D10（x+1）+5x70 6下列运算正确的是（ ） A B C+ D 7如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，CD2OE，则BCD 的度数为（ ） A15 B22.5 C30 D45 8 如图， 在菱形 ABCD 中， A60， 点 E， F 分别在边 AB， BC 上， AEBF2， DEF 的周长为 3， 则 AD 的长为（ ） A B2 C+1 D21 9已知方程 x22021x+10 的两根分别为 x1，x2，则 x12的值为（ ） A1 B1 C2021 D2021 10如图，在矩形 ABCD 中，AB15，BC20，把边 AB 沿对角线
4、 BD 平移，点 A，B分别对应点 A， B 给出下列结论： 顺次连接点 A，B，C，D 的图形是平行四边形； 点 C 到它关于直线 AA的对称点的距离为 48； ACBC 的最大值为 15； AC+BC 的最小值为 9 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）请将答案填在答题卡对应的横线上分）请将答案填在答题卡对应的横线上. 11如果 x24，则 x 12在2，1，1，2 这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 13如图，点 E 是矩形 ABCD 边
5、AD 上一点，点 F，G，H 分别是 BE，BC，CE 的中点，AF3，则 GH 的 长为 14若3，则+ 15如图，在ABC 中，D 为 BC 上一点，BCAB3BD，则 AD：AC 的值为 16关于抛物线 yax22x+1（a0） ，给出下列结论： 当 a0 时，抛物线与直线 y2x+2 没有交点； 若抛物线与 x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间； 若抛物线的顶点在点（0，0） ， （2，0） ， （0，2）围成的三角形区域内（包括边界） ，则 a1 其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 86 分）解答应
6、写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （8 分）先化简，再求值： （2x+1） （2x1）（2x3）2，其中 x1 18 （8 分）如图，BAC90，AD 是BAC 内部一条射线，若 ABAC，BEAD 于点 E，CFAD 于 点 F求证：AFBE 19 （8 分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目 （1）求考生小红和小强自选项目相同的概率； （2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计 图表如下： 考生 自选项目 长跑 掷实心球 小红 95 90
7、 95 小强 90 95 95 补全条形统计图 如果体育中考按自选项目占 50%、长跑占 30%、掷实心球占 20%计算成绩（百分制） ，分别计算小红 和小强的体育中考成绩 20 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：无论 k 取何值，方程都有两个不相等的实数根 （2）如果方程的两个实数根为 x1，x2，且 k 与都为整数，求 k 所有可能的值 21 （10 分）如图，反比例函数的图象与过点 A（0，1） ，B（4，1）的直线交于点 B 和 C （1）求直线 AB 和反比例函数的解析式； （2）已知点 D（1，0） ，直线 CD 与反比例函数图象
8、在第一象限的交点为 E，直接写出点 E 的坐标， 并求BCE 的面积 22 （10 分）如图，A，B 是O 上两点，且 ABOA，连接 OB 并延长到点 C，使 BCOB，连接 AC （1）求证：AC 是O 的切线； （2）点 D，E 分别是 AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点 F，G，OA4，求 GF 的长 23 （10 分）超市购进某种苹果，如果进价增加 2 元/千克要用 300 元；如果进价减少 2 元/千克，同样数量 的苹果只用 200 元 （1）求苹果的进价； （2）如果购进这种苹果不超过 100 千克，就按原价购进；如果购进苹果超过 100 千克，超过部分购进价 格减少
9、2 元/千克，写出购进苹果的支出 y（元）与购进数量 x（千克）之间的函数关系式； （3）超市一天购进苹果数量不超过 300 千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价 z（元/ 千克）与一天销售数量 x（千克）的关系为 zx+12在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润 w（元）最大，求一天购进苹果数量 （利润销售收入购进支出） 24 （10 分）如图，点 E 在正方形 ABCD 边 AD 上，点 F 是线段 AB 上的动点（不与点 A 重合） ，DF 交 AC 于点 G，GHAD 于点 H，AB1，DE （1）求 tanACE； （2）设 AFx，GHy，试探究 y 与 x 的函数关系
10、式（写出 x 的取值范围） ； （3）当ADFACE 时，判断 EG 与 AC 的位置关系并说明理由 25 （12 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和 B，与 y 轴交于点 C，对称 轴为直线 x （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，若点 P 是线段 BC 上的一个动点（不与点 B，C 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于 点 Q，连接 OQ，当线段 PQ 长度最大时，判断四边形 OCPQ 的形状并说明理由； （3） 如图 2， 在 （2） 的条件下， D 是 OC 的中点， 过点 Q 的直线与抛物线交于点 E， 且DQE2ODQ
11、 在 y 轴上是否存在点 F，得BEF 为等腰三角形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年四川省南充市中考数学试卷年四川省南充市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）每小题都有代号为分）每小题都有代号为 A、B、C、D 四个答案选项，四个答案选项， 其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记 4 分，不涂、错涂或多分，不涂、错涂或多 涂记涂记 0 分分
12、. 1满足 x3 的最大整数 x 是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据不等式 x3 得出选项即可。 【解答】解：满足 x3 的最大整数 x 是 3， 故选：C 2数轴上表示数 m 和 m+2 的点到原点的距离相等，则 m 为（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】一个数到原点的距离可以用绝对值表示，例如|x|表示数 x 表示的点到原点的距离所以，表示 数 m 和 m+2 的点到原点的距离相等可以表示为|m|m+2|然后，进行分类讨论，即可求出对应的 m 的 值 【解答】解：由题意得：|m|m+2|, mm+2 或 m(m+2), m1 故选：C 3如图，点 O 是ABCD 对角线的交
13、点，EF 过点 O 分别交 AD，BC 于点 E，F，下列结论成立的是（ ） AOEOF BAEBF CDOCOCD DCFEDEF 【分析】证AOECOF（ASA） ，得 OEOF，AECF，CFEAEF，进而得出结论 【解答】解：ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， AOCO，BODO，ADBC， EAOFCO， 在AOE 和COF 中， ， AOECOF（ASA） ， OEOF，AECF，CFEAEF， 又DOCBOA， 选项 A 正确，选项 B、C、D 不正确， 故选：A 4据统计，某班 7 个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7下列说法 错误
14、的是（ ） A该组数据的中位数是 6 B该组数据的众数是 6 C该组数据的平均数是 6 D该组数据的方差是 6 【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可 【解答】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7则中位数是 6，故本选项说法正确， 不符合题意； B、6 出现了 3 次，出现的次数最多， 众数是 6，故本选项说法正确，不符合题意； C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）76，故本选项说法正确，不符合题意； D、方差为：（56）2+2（56）2+（66）2+（66）2+（66）2+（76）2+（76）2， 故本选项说法错误，符合题意； 故选：D
15、 5端午节买粽子，每个肉粽比素粽多 1 元，购买 10 个肉粽和 5 个素粽共用去 70 元，设每个肉粽 x 元，则 可列方程为（ ） A10 x+5（x1）70 B10 x+5（x+1）70 C10（x1）+5x70 D10（x+1）+5x70 【分析】设每个肉粽 x 元，则每个素粽（x1）元，根据总价单价数量，结合购买 10 个肉粽和 5 个 素粽共用去 70 元，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解 【解答】解：设每个肉粽 x 元，则每个素粽（x1）元， 依题意得：10 x+5(x1)70 故选：A 6下列运算正确的是（ ） A B C+ D 【分析】根据分式的乘除法和加减法可以计
16、算出各个选项中式子的正确结果，从而可以解答本题 【解答】解：，故选项 A 错误； ，故选项 B 错误； ，故选项 C 错误； ，故选项 D 正确； 故选：D 7如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，CD2OE，则BCD 的度数为（ ） A15 B22.5 C30 D45 【分析】由垂径定理知，点 E 是 CD 的中点，有 CD2ED2CE，可得 DEOE，则DOEODE 45，利用圆周角定理即可求解 【解答】解：AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E， CD2ED2CE， CD2OE， DEOE， CDAB， DOEODE45， BCDDOE22.5 故选：B 8 如图， 在菱
17、形 ABCD 中， A60， 点 E， F 分别在边 AB， BC 上， AEBF2， DEF 的周长为 3， 则 AD 的长为（ ） A B2 C+1 D21 【分析】 连结 BD， 作 DHAB,垂足为 H， 先证明ABD 是等边三角形， 再根据 SAS 证明ADEBDF， 得到DEF 是等边三角形， 根据周长求出边长 DE， 设 AHx,则 HE2x， DHx,在 RtDHE 中，根据勾股定理列方程求出 x,进而得到 AD2x 的值 【解答】解：如图，连结 BD，作 DHAB,垂足为 H， 四边形 ABCD 是菱形， ABAD,ADBC, A60， ABD 是等边三角形，ABC180A1
18、20, ADBD,ABDAADB60, DBCABCABD1206060, AEBF， ADEBDF(SAS)， DEDF,FDBADE， EDFEDB+FDBEDB+ADEADB60, DEF 是等边三角形， DEF 的周长是 3， DE, 设 AHx,则 HE2x， ADBD,DHAB, ADHADB30, AD2x,DHx， 在 RtDHE 中，DH+HEDE, （x）+(2x)(), 解得：x(负值舍去） ， AD2x1+， 故选：C 9已知方程 x22021x+10 的两根分别为 x1，x2，则 x12的值为（ ） A1 B1 C2021 D2021 【分析】由题意得出 x1+x22
19、021,x122021x1+10，x222021x2+10，将代数式变形后再代入求解即 可 【解答】解:方程 x22021x+10 的两根分别为 x1，x2， x1+x22021,x122021x1+10，x222021x2+10， x20, x22021+0, x22021, , x122021x11+2021x220212 2021(x1+x2)1+20212 20212120212 1 故选：B 10如图，在矩形 ABCD 中，AB15，BC20，把边 AB 沿对角线 BD 平移，点 A，B分别对应点 A， B 给出下列结论： 顺次连接点 A，B，C，D 的图形是平行四边形； 点 C 到
20、它关于直线 AA的对称点的距离为 48； ACBC 的最大值为 15； AC+BC 的最小值为 9 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据平行四边形的判定可得结论 作点 C 关于直线 AA的对称点 E,连接 CE 交 AA于 T,交 BD 于点 O,则 CE4OC利用面积法求出 OC 即可 根据 ACBCAB,推出 ACBC15,可得结论 作点 D 关于 AA的对称点 D,连接 DD交 AA于 J,过点 D作 DECD 交 CD 的延长线于 E,连 接 CD交 AA于 A,此时 CB+CA的值最小，最小值CD 【解答】解：如图 1 中，ABAB,ABA
21、B,ABCD,ABCD, ABCD,ABCD, 四边形 ABCD 是平行四边形，故正确， 作点 C 关于直线 AA的对称点 E,连接 CE 交 AA于 T,交 BD 于点 O,则 CE4OC 四边形 ABCD 是矩形， BCD90,CDAB15, BD25, BDCOBCCD, OC12, EC48,故正确， ACBCAB, ACBC15, ACBC 的最大值为 15,故正确， 如图 2 中，BCAD, AC+BCAC+AD, 作点 D 关于 AA的对称点 D,连接 DD交 AA于 J,过点 D作 DECD 交 CD 的延长线于 E,连接 CD交 AA于 A,此时 CB+CA的值最小，最小值C
22、D, 由AJDDAB,可得, , DJ12, DD24, 由DEEDAB,可得, , ED,DE, CECD+DE15+, CD9, AC+BC 的最小值为 9故正确， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）请将答案填在答题卡对应的横线上分）请将答案填在答题卡对应的横线上. 11如果 x24，则 x 2 【分析】根据平方根的定义解答即可 【解答】解：x24， 开平方得 x2； 故答案为：2 12在2，1，1，2 这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 【分析】所列 4 个数中，倒数等于其本身的只有1 和 1
23、这 2 个，利用概率公式求解即可 【解答】解：在2，1，1，2 这四个数中，其倒数等于本身的有1 和 1 这两个数， 所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是， 故答案为： 13如图，点 E 是矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 F，G，H 分别是 BE，BC，CE 的中点，AF3，则 GH 的 长为 3 【分析】由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解 BE2AF6，再利用三角形中位线定 理可求解 【解答】解：在矩形 ABCD 中，BAD90， F 为 BE 的中点，AF3， BE2AF6 G，H 分别为 BC，EC 的中点， GHBE3， 故答案为 3 14若3，则+
24、【分析】利用分式化简，得出 n2m,代入即可求解 【解答】解：, n2m, +4, 故答案为： 15如图，在ABC 中，D 为 BC 上一点，BCAB3BD，则 AD：AC 的值为 【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出ABCDBA，再根据相似三角形的对 应边成比例，变形即可得出答案 【解答】解：BCAB3BD， ， BB， ABCDBA， , AD:AC, 故答案为： 16关于抛物线 yax22x+1（a0） ，给出下列结论： 当 a0 时，抛物线与直线 y2x+2 没有交点； 若抛物线与 x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间； 若抛物线的顶点
25、在点（0，0） ， （2，0） ， （0，2）围成的三角形区域内（包括边界） ，则 a1 其中正确结论的序号是 【分析】构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可 首先证明 a1,再证明 x1 时，y0,可得结论 首先证明 a0,再根据顶点在 x 轴上或 x 轴的上方，在点（0,1）的下方，可得不等式组 10, 由此可得结论 【解答】解：由,消去 y 得到，ax24x10, 16+4a,a0, 的值可能大于 0， 抛物线与直线 y2x+2 可能有交点，故错误 抛物线与 x 轴有两个交点, 44a0, a1, 抛物线经过(0,1),且 x1 时，ya10, 抛物线与 x 轴的交点一定
26、在（0,0）与（1,0）之间故正确， 抛物线的顶点在点（0，0） ， （2，0） ， （0，2）围成的三角形区域内（包括边界） ， 0, a0, 10, 解得，a1,故正确， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 86 分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （8 分）先化简，再求值： （2x+1） （2x1）（2x3）2，其中 x1 【分析】由题意可知,在化简的过程中可以运用平方差公式(a+b)(ab)a2b2和完全平方差公式(ab)2 a22ab+b2快速计算,再把 x1 代入化简
27、后得到的式子中求值 【解答】解：原式4x21(4x212x+9) 4x214x2+12x9 12x10 x1, 12x1012(1)1022 故答案为：12x10,22 18 （8 分）如图，BAC90，AD 是BAC 内部一条射线，若 ABAC，BEAD 于点 E，CFAD 于 点 F求证：AFBE 【分析】根据 AAS 证明BAEACF，再根据全等三角形的对应边相等即可得解 【解答】证明：BAC90， BAE+FAC90， BEAD，CFAD， BEAAFC90， BAE+EBA90， EBAFAC, 在ACF 和BAE 中， , ACFBAE(AAS), AFBE 19 （8 分）某市体
28、育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目 （1）求考生小红和小强自选项目相同的概率； （2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计 图表如下： 考生 自选项目 长跑 掷实心球 小红 95 90 95 小强 90 95 95 补全条形统计图 如果体育中考按自选项目占 50%、长跑占 30%、掷实心球占 20%计算成绩（百分制） ，分别计算小红 和小强的体育中考成绩 【分析】 （1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作 A、B、C，列表得出所有等可能结果，再从中找到符合 条件的结果数，继而利用概率公式计算可得答案； （2）根据表
29、格中的数据即可补全条形图； 根据加权平均数的定义列式计算即可 【解答】解： （1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作 A、B、C，列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表可知共有 9 种等可能结果，其中小红和小强自选项目相同的有 3 种结果， 所以小红和小强自选项目相同的概率为； （2）补全条形统计图如下： 小红的体育中考成绩为 9550%+9030%+9520%93.5（分） ， 小强的体育中考成绩为 9050%+9530%+9520%92.5（分） 20 （10 分）已知关于 x 的一元
30、二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：无论 k 取何值，方程都有两个不相等的实数根 （2）如果方程的两个实数根为 x1，x2，且 k 与都为整数，求 k 所有可能的值 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10，进而可证出方程有两个不相等的实数 根； (2)解方程求出方程的两根为 k,k+1,得出1+或1,然后利用有理数的整除性确定 k 的整 数值； 【解答】 （1）证明：（2k+1）24（k2+k）10， 无论 k 取何值,方程有两个不相等的实数根 (2)解:x2（2k+1）x+k2+k0，即（xk）x（k+1）0， 解得：xk 或 xk+1 一元二次方程 x2
31、（2k+1）x+k2+k0 的两根为 k,k+1, 或, 如果 1+为整数,则 k 为 1 的约数, k1, 如果 1为整数,则 k+1 为 1 的约数, k+11, 则 k 为 0 或2 整数 k 的所有可能的值为1,0 或2 21 （10 分）如图，反比例函数的图象与过点 A（0，1） ，B（4，1）的直线交于点 B 和 C （1）求直线 AB 和反比例函数的解析式； （2）已知点 D（1，0） ，直线 CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为 E，直接写出点 E 的坐标， 并求BCE 的面积 【分析】(1)根据待定系数法求得即可； （2）解析式联立，解方程组求得 C 的坐标，然后根据待定
32、系数法求得直线 CD 的解析式，再与反比例函 数解析式联立，解方程组即可求得 E 的坐标，然后根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求 得BCE 的面积 【解答】解： （1）设反比例函数解析式为 y,直线 AB 解析式为 yax+b, 反比例函数的图象过点 B（4，1）, k414, 把点 A（0，1） ，B（4，1）代入 yax+b 得, 解得, 直线 AB 为 y,反比例函数的解析式为 y； (2)解得或, C(2,2), 设直线 CD 为 ymx+n, 把 C(2,2),D(1,0)代入得, 解得, 直线 CD 为 y2x+2, 由得或, E(1,4), SBCE663 22 （1
33、0 分）如图，A，B 是O 上两点，且 ABOA，连接 OB 并延长到点 C，使 BCOB，连接 AC （1）求证：AC 是O 的切线； （2）点 D，E 分别是 AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点 F，G，OA4，求 GF 的长 【分析】 （1）证明OAC90即可； （2）求弦长，根据垂径定理先求出弦长的一半即可连结 OF,过点 O 作 OHGF 于点 H，根据中位线 定理得 DEOC，所以OEHAOB60，求出 OH，根据勾股定理求出 HF，乘 2 即可求出 GF 【解答】(1)证明:ABOAOB， OAB 是等边三角形 AOBOBAOAB60 BCOB， BCAB， BACC,
34、 OBABAC+C60， BACC30 OACOAB+BAC90 OAAC， 点 A 在O 上， AC 是O 的切线； (2)解:如图，连结 OF,过点 O 作 OHGF 于点 H GF2HF，OHEOHF90 点 D,E 分别是 AC，OA 的中点， OEAEOA42,DEOC OEHAOB60,OHOEsinOEH HF GF2HF2 23 （10 分）超市购进某种苹果，如果进价增加 2 元/千克要用 300 元；如果进价减少 2 元/千克，同样数量 的苹果只用 200 元 （1）求苹果的进价； （2）如果购进这种苹果不超过 100 千克，就按原价购进；如果购进苹果超过 100 千克，超过
35、部分购进价 格减少 2 元/千克，写出购进苹果的支出 y（元）与购进数量 x（千克）之间的函数关系式； （3）超市一天购进苹果数量不超过 300 千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价 z（元/ 千克）与一天销售数量 x（千克）的关系为 zx+12在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润 w（元）最大，求一天购进苹果数量 （利润销售收入购进支出） 【分析】(1)设苹果的进价为 x 元/千克，根据题意列出方式方程，解出即可得出结果； （2）根据自变量的不同取值范围：0 x100 和 x100，得出两个函数关系式即可； （3）根据自变量的不同取值范围：0 x100 和 100 x300，得
36、出两个二次函数关系式，分别求出最 大值比较后即可得出结果 【解答】(1)解：设苹果的进价为 x 元/千克， 根据题意得：， 解得：x10， 经检验 x10 是原方程的根，且符合题意， 答：苹果的进价为 10 元/千克 (2)解：当 0 x100 时，y10 x； 当 x100 时，y10100+(x100)(102)8x+200； y (3)解：当 0 x100 时， w(z10)x ()x ， 当 x100 时，w 有最大值为 100； 当 100 x300 时， w(z10)100+(z8)(x100) ()100+()(x100) ， 当 x200 时，w 有最大值为 200； 2001
37、00， 一天购进苹果数量为 200 千克时，超市销售苹果利润最大为 200 元 答：一天购进苹果数量为 200 千克时，超市销售苹果利润最大 24 （10 分）如图，点 E 在正方形 ABCD 边 AD 上，点 F 是线段 AB 上的动点（不与点 A 重合） ，DF 交 AC 于点 G，GHAD 于点 H，AB1，DE （1）求 tanACE； （2）设 AFx，GHy，试探究 y 与 x 的函数关系式（写出 x 的取值范围） ； （3）当ADFACE 时，判断 EG 与 AC 的位置关系并说明理由 【分析】(1)过点 E 作 EMAC 于点 M,由正方形的性质求出 AE,由直角三角形的性质求
38、出 EM 和 CM 的长,则可得出答案； (2)证明DHGDAF,由相似三角形的性质得出,则可得出答案 (3)由锐角三角函数的定义要得出,求出 x,y,由勾股定理求出 EG 的长,得出 EGEM,则 可得出答案 【解答】解:(1)过点 E 作 EMAC 于点 M, AMEEMC90, 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,DE, CAD45,AEADDE1, EMAMAEsinCAD,AC, CMACAM, tanACE； (2)GHAD,ABAD, GHAB, DHGDAF, , , yxxy, y(0 x1)； (3)当ADFACE 时,EGAC, 理由如下: tanADFtanACE
39、, , x,y, HAGH, EHADDEAH, EG, EGEM, 又EMAC, 点 G 与点 M 重合, EGAC 25 （12 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和 B，与 y 轴交于点 C，对称 轴为直线 x （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，若点 P 是线段 BC 上的一个动点（不与点 B，C 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于 点 Q，连接 OQ，当线段 PQ 长度最大时，判断四边形 OCPQ 的形状并说明理由； （3） 如图 2， 在 （2） 的条件下， D 是 OC 的中点， 过点 Q 的直线与抛物线交于点 E，
40、 且DQE2ODQ 在 y 轴上是否存在点 F，得BEF 为等腰三角形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）设点 P 的坐标为（x，x+4） ，则点 Q 的坐标为（x，x25x+4） ，则 PQ（x+4）（x25x+4） x2+4x，进而求解； （3）当DQE2ODQ，则HQAHQE，则直线 AQ 和直线 QE 关于直线 QH 对称，进而求出点 E 的坐标为（5,4） ，再分 BEBF、BEEF、BFEF 三种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）由题意得：，解得， 故抛物线的表达式为 yx25x+4； （2）对于 yx25x+4，令
41、 yx25x+40，解得 x1 或 4，令 x0，则 y4， 故点 B 的坐标为（4,0） ，点 C（0,4） ， 设直线 BC 的表达式为 ykx+t，则，解得， 故直线 BC 的表达式为 yx+4， 设点 P 的坐标为（x，x+4） ，则点 Q 的坐标为（x，x25x+4） ， 则 PQ（x+4）（x25x+4）x2+4x， 10， 故 PQ 有最大值，当 x2 时，PQ 的最大值为 4CO， 此时点 Q 的坐标为（2，2） ； PQCO，PQOC， 故四边形 OCPQ 为平行四边形； （3）D 是 OC 的中点，则点 D（0,2） ， 由点 D、Q 的坐标，同理可得，直线 DQ 的表达式
42、为 y2x2， 过点 Q 作 QHx 轴于点 H， 则 QHCO，故AQHODA， 而DQE2ODQ HQAHQE， 则直线 AQ 和直线 QE 关于直线 QH 对称， 故设直线 QE 的表达式为 y2x+r， 将点 Q 的坐标代入上式并解得 r6， 故直线 QE 的表达式为 y2x6， 联立并解得（不合题意的值已舍去） ， 故点 E 的坐标为（5,4） ， 设点 F 的坐标为（0，m） ， 由点 B、E 的坐标得：BE2（54）2+（40）217， 同理可得，当 BEBF 时，即 16+m217，解得 m1； 当 BEEF 时，即 25+（m4）217，方程无解； 当 BFEF 时，即 16+m225+（m4）2，解得 m； 故点 F 的坐标为（0,1）或（0，1）或（0，）
