1、2021 年浙江省绍兴市中考数学试卷年浙江省绍兴市中考数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、 多选、错选均不给分）多选、错选均不给分） 1实数 2，0，3，中，最小的数是（ ） A2 B0 C3 D 2第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为 5270000 人，这个数字 5270000 用科学记数法可表 示为（ ） A0.527107 B5.27106 C52.7105 D5.27107 3如图的几何体由五个相同的小正方体搭成
2、，它的主视图是（ ） A B C D 4在一个不透明的袋中装有 6 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球、2 个黄球和 1 个白球从袋中任意摸 出一个球，是白球的概率为（ ） A B C D 5如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在上（ ） A30 B45 C60 D90 6关于二次函数 y2（x4）2+6 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A有最大值 4 B有最小值 4 C有最大值 6 D有最小值 6 7如图，树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 AC，已知路灯高 PO5m，树 AB 与路灯 O 的水平距离 AP 4.5m，则树的高度 AB 长是（ ） A2m B3m Cm
3、Dm 8如图，菱形 ABCD 中，B60，沿折线 BCCD 方向移动，移动到点 D 停止在ABP 形状的变化 过程中（ ） A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形 C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 9 如图， RtABC 中， BAC90， 点 D 是边 BC 的中点， 以 AD 为底边在其右侧作等腰三角形 ADE， 连结 CE，则的值为（ ） A B C D2 10数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图 1）中发现，用相同的菱形放置，用 2 个相同的菱形放置， 得到 3 个菱形下面说法正确的
4、是（ ） A用 3 个相同的菱形放置，最多能得到 6 个菱形 B用 4 个相同的菱形放置，最多能得到 16 个菱形 C用 5 个相同的菱形放置，最多能得到 27 个菱形 D用 6 个相同的菱形放置，最多能得到 41 个菱形 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）分解因式：x2+2x+1 12 （5 分）我国明代数学读本算法统宗有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人 7 两；若每人 9 两，则差 8 两银子共有 两 13 （5 分）图 1 是一种矩形时钟，图 2 是时钟示意图，时钟数字 2 的刻度在矩形 AB
5、CD 的对角线 BD 上， 则 BC 长为 cm（结果保留根号） 14 （5 分）如图，在ABC 中，ABAC，以点 C 为圆心，CA 长为半径作弧，连结 AP，则BAP 的度数 是 15 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，C 在第一象限，顶点 D 的坐标 （， 2）（常数 k0， x0） 的图象恰好经过正方形 ABCD 的两个顶点， 则 k 的值是 16（5分） 已知ABC与ABD在同一平面内， 点C， D不重合， AB4， ACAD2 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，第小题，第 1720 小题每小题小题每小题 8 分，
6、第分，第 21 小题小题 10 分，第分，第 22，23 小题每小题小题每小题 8 分，分， 第第 24 小题小题 14 分，共分，共 80 分分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程 17 （8 分） （1）计算：4sin60+（2）0 （2）解不等式：5x+32（x+3） 18 （8 分）绍兴莲花落，又称“莲花乐” ， “莲花闹” ，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四 个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将抽查结果绘制成不完整的统计图 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图 2 中“了
7、解”的扇形圆心角的度数； （2）全校共有 1200 名学生，请你估计全校学生中“非常了解” 、 “了解”莲花落的学生共有多少人 19 （8 分）号无人机从海拔 10m 处出发，以 10m/min 的速度匀速上升，号无人机从海拔 30m 处同时出 发（m/min）的速度匀速上升，经过 5min 两架无人机位于同一海拔高度 b（m） （m）与时间 x（min）的 关系如图两架无人机都上升了 15min （1）求 b 的值及号无人机海拔高度 y（m）与时间 x（min）的关系式； （2）问无人机上升了多少时间，号无人机比号无人机高 28 米 20（8 分） 拓展小组研制的智能操作机器人， 如图 1，
8、 水平操作台为 l， 高 AB 为 50cm， 连杆 BC 长度为 70cm， C 是转动点，且 AB （1）转动连杆 BC，手臂 CD，使ABC143，如图 2，求手臂端点 D 离操作台 l 的高度 DE 的长（精 确到 1cm，参考数据：sin530.8，cos530.6） （2）物品在操作台 l 上，距离底座 A 端 110cm 的点 M 处，转动连杆 BC，手臂端点 D 能否碰到点 M？ 请说明理由 21 （10 分）如图，在ABC 中，A40，E 分别在边 AB，AC 上，连结 CD，BE （1）若ABC80，求BDC，ABE 的度数； （2）写出BEC 与BDC 之间的关系，并说明
9、理由 22 （12 分）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，杯体 ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 C 在 y 轴上，且点 A，B 关于 y 轴对称，杯高 DO8，杯底 MN 在 x 轴上 （1）求杯体 ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出 x 的取值范围） ； （2） 为使奖杯更加美观， 小敏提出了改进方案， 如图 2， 杯口直径 ABAB， 杯脚高 CO 不变， 求 A B的长 23 （12 分）问题：如图，在ABCD 中，AB8，DAB，ABC 的平分线 AE，F，求 EF 的长 答案：EF2 探究： （1）把“问题”中的条件“AB8”去掉，
10、其余条件不变 当点 E 与点 F 重合时，求 AB 的长； 当点 E 与点 C 重合时，求 EF 的长 （2）把“问题”中的条件“AB8，AD5”去掉，其余条件不变，D，E，F 相邻两点间的距离相等时， 求的值 24 （14 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，点 F 是对角线 BD 上一动点，ADB30连结 EF （1）若 EFBD，求 DF 的长； （2）若 PEBD，求 DF 的长； （3）直线 PE 交 BD 于点 Q，若DEQ 是锐角三角形，求 DF 长的取值范围 2021 年浙江省绍兴市中考数学试卷年浙江省绍兴市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大
11、题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、 多选、错选均不给分）多选、错选均不给分） 1实数 2，0，3，中，最小的数是（ ） A2 B0 C3 D 【分析】根据正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数，即可判断出最小的数 【解答】解：302， 最小的数是3， 故选：C 2第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为 5270000 人，这个数字 5270000 用科学记数法可表 示为（ ） A0.527107 B5.27106 C52.7105 D5.2710
12、7 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的 整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：52700005.27106 故选：B 3如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形， 故选：D 4在一个不透明的袋中装有 6 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球、2 个黄球和 1 个白球从袋中任意摸 出一个球，是白球的概率为（ ） A B C D 【分析】用白球的数量除以所有球的数量即可求得白球的概率 【解答】解：袋子
13、中共有 6 个小球，其中白球有 1 个， 摸出一个球是白球的概率是， 故选：A 5如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在上（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】根据正方形的性质得到 BC 弧所对的圆心角为 90，则BOC90，然后根据圆周角定理求 解 【解答】解：连接 OB、OC， 正方形 ABCD 内接于O， BC 弧所对的圆心角为 90， BOC90， BPCBOC45 故选：B 6关于二次函数 y2（x4）2+6 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A有最大值 4 B有最小值 4 C有最大值 6 D有最小值 6 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得
14、到该函数有最小值，最小值为 6，然后即 可判断哪个选项是正确的 【解答】解：二次函数 y2（x4）2+6，a22， 该函数图象开口向上，有最小值， 故选：D 7如图，树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 AC，已知路灯高 PO5m，树 AB 与路灯 O 的水平距离 AP 4.5m，则树的高度 AB 长是（ ） A2m B3m Cm Dm 【分析】利用相似三角形的性质求解即可 【解答】解：ABOP， CABCPO， ， ， OP4（m） ， 故选：A 8如图，菱形 ABCD 中，B60，沿折线 BCCD 方向移动，移动到点 D 停止在ABP 形状的变化 过程中（ ） A直角三角形等边三角形等腰
15、三角形直角三角形 B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形 C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 【分析】把点 P 从点 B 出发，沿折线 BCCD 方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可。 【解答】解：B60，故菱形由两个等边三角形组合而成， 当 APBC 时，此时ABP 为等腰三角形； 当点 P 到达点 C 处时，此时ABP 为等边三角形； 当点 P 在 CD 上且位于 AB 的中垂线时，则ABP 为等腰三角形； 当点 P 与点 D 重合时，此时ABP 为等腰三角形， 故选：C 9 如图， RtABC 中， BAC90， 点 D
16、 是边 BC 的中点， 以 AD 为底边在其右侧作等腰三角形 ADE， 连结 CE，则的值为（ ） A B C D2 【分析】 设DE交AC于T,过点E作EHCD于H.首先证明EAEDEC,再证明BECD,可得结论。 【解答】解：设 DE 交 AC 于 T,过点 E 作 EHCD 于 H BAC90,BDDC, ADDBDC, BDAB, BADE, DABADE, ABDE, DTCBAC90, DTAB,BDDC, ATTC, EAECED, EDCECD, EHCD, CHDH, DEAB, EDCB, ECDB, cosECHcosB, , 2, 故选：D 10数学兴趣小组同学从“中国
17、结”的图案（图 1）中发现，用相同的菱形放置，用 2 个相同的菱形放置， 得到 3 个菱形下面说法正确的是（ ） A用 3 个相同的菱形放置，最多能得到 6 个菱形 B用 4 个相同的菱形放置，最多能得到 16 个菱形 C用 5 个相同的菱形放置，最多能得到 27 个菱形 D用 6 个相同的菱形放置，最多能得到 41 个菱形 【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可 【解答】解：如图所示， 用 2 个相同的菱形放置，最多能得到 3 个菱形； 用 8 个相同的菱形放置，最多能得到 8 个菱形， 用 4 个相同的菱形放置，最多能得到 16 个菱形， 故选：B 二、填空题（本大题有
18、二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）分解因式：x2+2x+1 （x+1）2 【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的 积的 2 倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解 【解答】解：x2+2x+8（x+1）2 故答案为： （x+3）2 12 （5 分）我国明代数学读本算法统宗有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人 7 两；若每人 9 两，则差 8 两银子共有 46 两 【分析】通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决 【解答】解：设有 x 人，银子
19、y 两， 由题意得：，解得， 故答案为 46 13 （5 分）图 1 是一种矩形时钟，图 2 是时钟示意图，时钟数字 2 的刻度在矩形 ABCD 的对角线 BD 上， 则 BC 长为 cm（结果保留根号） 【分析】根据题意即可求得FOD2DOE，即可求得DOE30，由矩形的性质结合平行线的性 质可求得DBC30，利用含 30 角的直角三角形的性质可求解 【解答】解：过 O 点作 OECD，OFAD，F， 由题意知FOD2DOE， FOD+DOE90， DOE30，FOD60， 在矩形 ABCD 中，C90， OEBC， DBCDOE30， BCCD， 故答案为 14 （5 分）如图，在ABC
20、中，ABAC，以点 C 为圆心，CA 长为半径作弧，连结 AP，则BAP 的度数 是 15或 75 【分析】根据等腰三角形的性质可以得到ABC 各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨 论的方法求出BAP 的度数即可 【解答】解：如右图所示， 当点 P 在点 B 的左侧时， ABAC，ABC70， ACBABC70， BAC180ACBABC180707040， CACP1， CAP1CP6A55， BAP1CAP1CAB554015； 当点 P 在点 C 的右侧时， ABAC，ABC70， ACBABC70， BAC180ACBABC180707040， CACP4， CAP2CP1
21、A35， BAP2CAP2CAB35+4075； 由上可得，BAP 的度数是 15或 75， 故答案为：15或 75 15 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，C 在第一象限，顶点 D 的坐标 （， 2）（常数 k0， x0） 的图象恰好经过正方形 ABCD 的两个顶点， 则 k 的值是 5 或 22.5 【分析】作 DMx 轴于 M，BN轴于 N，过 C 点作 x 轴的平行线，交 DM 于 E，交 BN 于 F，通过证得 三角形求得表示出 B、C 的坐标，然后根据反比例函数系数 kxy 即可求得结果 【解答】解：作 DMx 轴于 M，BN轴于
22、 N，交 DM 于 E， 正方形 ABCD 中，BAD90， DAM+BAN90， ADM+DAM90， ADMBAN， 在ADM 和BAN 中， ， ADMBAN（AAS） ， AMBN，DMAN， 顶点 D 的坐标（，6） OM，DM6， 同理：ADMDCE， AMDE，CEDM， AMBNDE，DMANCE2， 设 AMBNDEm， ON+m+24.5+m， B（4.5+m，m） ，4+m） ， 当反比例函数 y（常数 k0、D 时25； 当反比例函数 y（常数 k5、c 时， 解得 m3， k4.7（2+3）22.6， 故答案为 5 或 22.5 16 （5 分）已知ABC 与ABD
23、在同一平面内，点 C，D 不重合，AB4，ACAD2 22 或 4 或 2 【分析】分 C,D 在 AB 的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形。 【解答】解：如图，当 C，过点 A 作 AECD 于 E 在 RtAEB 中，AEB90,ABE30, AEAB5, ADAC2, DE22, DEECAE, ADC 是等腰直角三角形， CD5, 当 C,D 异侧时, BCC是等边三角形，BCBEEC2, CHBH1CH32, 在 RtDCH 中，DC, DBD是等边三角形， DD2+6, CD 的长为 27 或 4 或 2。 故答案为：28 或 4 或 2。 三、解答题（本大题有三、解
24、答题（本大题有 8 小题，第小题，第 1720 小题每小题小题每小题 8 分，第分，第 21 小题小题 10 分，第分，第 22，23 小题每小题小题每小题 8 分，分， 第第 24 小题小题 14 分，共分，共 80 分分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程 17 （8 分） （1）计算：4sin60+（2）0 （2）解不等式：5x+32（x+3） 【分析】 （1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用开平方法则化简，最后一项利用零 指数幂的意义化简，计算即可得到结果； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、
25、合并同类项，系数化为 1 可得 【解答】解： （1）原式26 1； （2）8x+32（x+4） ， 去括号得：5x+35x+6, 移项得：5x5x63， 合并同类项得：6x3， 解得：x1 18 （8 分）绍兴莲花落，又称“莲花乐” ， “莲花闹” ，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四 个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将抽查结果绘制成不完整的统计图 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图 2 中“了解”的扇形圆心角的度数； （2）全校共有 1200 名学生，请你估计全校学生中“非常了解” 、 “了解”莲花落的学生共有多少人 【分析】 （
26、1）从两个统计图中可知，在抽查人数中， “非常了解”的人数为 30 人，占调查人数的 15%， 可求出接受问卷调查的学生数，进而求出“了解”所占比例，即可得出“了解”的扇形圆心角的度数； （2）样本中“非常了解” 、 “了解”的占调查人数的，进而估计总体中“非常了解”和“了解” 的人数 【解答】解： （1）接受问卷调查的学生数：3015%200（人） ， “了解”的扇形圆心角度数为 360126； 答：本次接受问卷调查的学生有 200 人，图 2 中“了解”的扇形圆心角的度数为 126； （3）1200600（人） ， 答：估计全校学生中“非常了解” 、 “了解”莲花落的学生共有 600 人
27、19 （8 分）号无人机从海拔 10m 处出发，以 10m/min 的速度匀速上升，号无人机从海拔 30m 处同时出 发（m/min）的速度匀速上升，经过 5min 两架无人机位于同一海拔高度 b（m） （m）与时间 x（min）的 关系如图两架无人机都上升了 15min （1）求 b 的值及号无人机海拔高度 y（m）与时间 x（min）的关系式； （2）问无人机上升了多少时间，号无人机比号无人机高 28 米 【分析】 （1）由题意得：b10+10560；再用待定系数法求出函数表达式即可； （2）由题意得： （10z+10）（6x+30）28，即可求解 【解答】解： （1）b10+10560，
28、 设函数的表达式为 ykx+t， 将（0,30）,60）代入上式得， 故函数表达式为 y6x+30（5x15） ； （2）由题意得： （10z+10）（6x+30）28， 解得 x125， 故无人机上升 12min，号无人机比号无人机高 28 米 20（8 分） 拓展小组研制的智能操作机器人， 如图 1， 水平操作台为 l， 高 AB 为 50cm， 连杆 BC 长度为 70cm， C 是转动点，且 AB （1）转动连杆 BC，手臂 CD，使ABC143，如图 2，求手臂端点 D 离操作台 l 的高度 DE 的长（精 确到 1cm，参考数据：sin530.8，cos530.6） （2）物品在操
29、作台 l 上，距离底座 A 端 110cm 的点 M 处，转动连杆 BC，手臂端点 D 能否碰到点 M？ 请说明理由 【分析】 （1）过点 C 作 CPAE 于点 P，过点 B 作 BQCP 于点 Q，在 RtBCQ 中，CQBCsin53， 再根据 DECPCQ+PQ 可得答案； （2）当 B,C,D 共线时，根据勾股定理可得 AD 的长，进而可进行判断 【解答】解： （1）过点 C 作 CPAE 于点 P，过点 B 作 BQCP 于点 Q ABC143， CBQ53， 在 RtBCQ 中，CQBCsin53700.856cm， CDl， DECPCQ+PQ56+50106cm （2）当 B
30、,C,D 共线时 BD60+70130cm，AB50cm， 在 RtABD 中，AB+ADBD， AD120cm110cm 手臂端点 D 能碰到点 M 21 （10 分）如图，在ABC 中，A40，E 分别在边 AB，AC 上，连结 CD，BE （1）若ABC80，求BDC，ABE 的度数； （2）写出BEC 与BDC 之间的关系，并说明理由 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到BDCBCD(18080)50,根据三角形的内角定 理得到ACB180405060,推出BCE 是等边三角形，得到EBC60,于是得到结论; (2)设BEC,BDC,由于 A+ABE40+ABE,根据等腰三角形的性
31、质得到CBE BEC,求得ABCABE+CBEA+2ABE40+ABE,推出CBEBEC,于是得到结 论。 【解答】解： （1）ABC80，BDBC, BDCBCD(18080)50, A+ABC+ACB180,A40, ACB180405060, CEBC, BCE 是等边三角形， EBC60, ABEABCEBC20; (2)BEC 与BDC 之间的关系：BEC+BDC110, 理由：设BEC,BDC, 在ABE 中，A+ABE40+ABE, CEBC, CBEBEC, ABCABE+CBEA+4ABE40+ABE, CEBC, CBEBEC, ABCABE+CBEA+2ABE40+2AB
32、E, 在BDC 中，BDBC, BDC+BCD+DBC6+40+2ABE180, 70ABE, +40+ABE+70ABE110, BEC+BDC110 22 （12 分）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，杯体 ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 C 在 y 轴上，且点 A，B 关于 y 轴对称，杯高 DO8，杯底 MN 在 x 轴上 （1）求杯体 ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出 x 的取值范围） ； （2） 为使奖杯更加美观， 小敏提出了改进方案， 如图 2， 杯口直径 ABAB， 杯脚高 CO 不变， 求 A B的长 【分析】 （1）运用
33、待定系数法，由题意设顶点式 yax2+4，进而求得答案； （2）由题意知：0.6，进而求得 OD10，再由题意得抛物线 yx2+4 过 B(x1,10),A(x2,10), 从而列方程求出 x1 和 x2，进而求得 AB的长 【解答】解： （1）CO4， 顶点 C(0，8)， 设抛物线的函数表达式为 yax2+4， AB6， ADDB2， DO8， A(7，8)，8)， 将 B(5，8)代入 yax2+5， 得：8a22+4， 解得：a1， 该抛物线的函数表达式为 yx2+4； （2）由题意得：0.6, 0.3， CD6， ODOC+CD4+210， 又杯体 ACB所在抛物线形状不变，杯口直径
34、 ABAB， 设 B(x1，10)，A(x2，10), 当 y10 时，10 x7+4， 解得：x1，x2， AB4， 杯口直径 AB的长为 2 23 （12 分）问题：如图，在ABCD 中，AB8，DAB，ABC 的平分线 AE，F，求 EF 的长 答案：EF2 探究： （1）把“问题”中的条件“AB8”去掉，其余条件不变 当点 E 与点 F 重合时，求 AB 的长； 当点 E 与点 C 重合时，求 EF 的长 （2）把“问题”中的条件“AB8，AD5”去掉，其余条件不变，D，E，F 相邻两点间的距离相等时， 求的值 【分析】 （1）证DEADAE，得 DEAD5，同理 BCCF5，即可求解
35、； 由题意得 DEDC5，再由 CFBC5，即可求解； （2）分三种情况，由（1）的结果结合点 C，D，E，F 相邻两点间的距离相等，分别求解即可 【解答】解： （1）如图 1 所示： 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB8，BCAD5， DEABAE， AE 平分DAB， DAEBAE， DEADAE， DEAD5， 同理：BCCF5， 点 E 与点 F 重合， ABCDDE+CF10； 如图 3 所示： 点 E 与点 C 重合， DEDC5， CFBC5， 点 F 与点 D 重合， EFDC5； （2）分三种情况： 如图 3 所示： 同（1）得：ADDE， 点 C，D，E，F 相邻两
36、点间的距离相等， ADDEEFCF， ； 如图 4 所示： 同（1）得：ADDECF， DFFECE， ； 如图 5 所示： 同（1）得：ADDECF， DFDCCE， 2； 综上所述，的值为或 24 （14 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，点 F 是对角线 BD 上一动点，ADB30连结 EF （1）若 EFBD，求 DF 的长； （2）若 PEBD，求 DF 的长； （3）直线 PE 交 BD 于点 Q，若DEQ 是锐角三角形，求 DF 长的取值范围 【分析】 （1）由题意得点 P 在 BD 上，根据含 30直角三角形的性质即可求解； （2） 由对称可得DEF 是等腰三角形， 分两种
37、情况画出图形， 根据含 30直角三角形的性质即可求解； （3）分两种情况画出图形，根据中点的定义以及直角三角形的性质分别求出 EM、FM、DM 的值，即可 得出 DF 的值，结合（2）中求得的 DF 的值即可得出答案。 【解答】解： （1）点 D、点 P 关于直线 EF 的对称， 点 P 在 BD 上， 四边形 ABCD 是矩形， BAD90， AB4，ADB30 AD4， 点 E 是边 AD 的中点， DE2， EFBD， DF8； （2）如图 2， PEBD，ADB30 PED60, 由对称可得，EF 平分PED， DEFPEF30， DEF 是等腰三角形， DFEF, PEBD,ADB3
38、0， QE, PEF30， EF2, DFEF2； 如图 5， PEBD，ADB30 PED120, 由对称可得，PFDF,EF 平分PED， DEFPEF120， EFD30, DEF 是等腰三角形， PEBD, QDQFDF, PEBD,ADB30， QE,QD3 DF7QD6； DF 的长为 2 或 6； （3）由（2）得，当DQE90时, 当DEQ90时， 第一种情况，如图 4， EF 平分PED, DEF45, 过点 F 作 FMAD 于点 M，设 EMa,DMa， a+a2， a8,DF68, 2DF； 第二种情况,如图 5, EF 平分AEQ, MEF45, 过点 F 作 FMAD 于点 M，设 EMa,DMa， aa2， a5+,DF6+6, 6+58, DF 最大值为 5， 6DF8。 综上，DF 长的取值范围为 362DF8
