1、2021 年上海中考数学试卷年上海中考数学试卷 一、选择题（本大题共 6 题.每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正 确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1.下列实数中，有理数是（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 2.下列单项式中， 23 a b 的同类项是（ ） 3 2 A.a b 2 3 B.3a b 2 C . ab 3 D . a b 3. 将函数 2 y abx c(a0) x =+?的图像向下平移两个单位， 以下说法错误的是 （ ） A. 开口方向不变 B.对称轴不变 B. y 随 x 的变化情况不变
2、D.与 y 轴的交点不变 4. 商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样 的包装最合适（ ） A.2kg/包 B.3kg/包 C.4kg/包 D.5kg/包 5. 如图，已知ABa=，ADb=，E 为 AB 中点，则 1 ab 2 +=（ ） A. EC B.CE C.ED D.DE 6.如图长方形 ABCD 中，AB=4,AD=3，圆 B 半径为 1，圆 A 与圆 B 内切，则点 C、D 与圆 A 的 位置关系是（ ） A.点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 内 B.点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 外 C.点 C 在圆 A 上，点 D 在圆
3、A 内 D.点 C 在圆 A 内，点 D 在圆 A 外 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】 7.计算： 72 xx ? . 8.已知 6 f(x) x =,那么f( 3) = . 9.已知x43+=,则 x= . 10.不等式 2x-120 的解集是 . 11.70的余角是 . 12. 若一元二次方程 2 2-3x+c=0 x 无解,则 c 的取值范围为 . 13. 已知数据 1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率 为 . 14. 已知函数ykx=的图像经过二、四象限，且不经过(-1,1
4、)，请写出一个符合条件的函数解析 式 . 15. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成 本为 5 元/千克，现以 8 元/千克卖出，挣得 元. 16 如图所示,已知在梯形 ABCD 中，ADBC， ABD BCD 1 = 2 S S ,则 BOC BCD = S S . 17.六个带 30角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为 1,则中间正六边形 的面积为 . 18.定义:平面上一点到图形的最短距离为 d,如图,OP=2, 正方形 ABCD 的边长为 2,O 为正方形中心,当正方形 ABCD 绕 O 旋转时,d 的取值范围是 . 三、解答
5、题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19.计算： 1 1 2+|1 2|8 92 16. 解方程组： 2 2 xy3 40 y x += ? 21.如图，已知在ABD 中，ACBD，BC=8，CD=4， 4 cos ABC 5 ?，BF 为 AD 边上的中线. (1)求 AC 的长; (2)求 tanFBD 的值. 22. 现在5G手机非常流行,某公司第一季度总共生产80万部5G手机,三个月的生产情况如下图. (1) 求 3 月份生产了多少部手机? (2) 5G 手机速度很快,比 4G 下载速度每秒多 95MB, 下载一部 1000MB 的电影,5G 比 4G 要快 190 秒, 求 5G
6、 手机的下载速度. 23.已知：在圆 O 内,弦 AD 与弦 BC 相交于点 G,AD=CB，M、N 分别是 CB 和 AD 的中点，联结 MN、OG. （1）证明:OGMN; （2）联结 AB、AM、BN，若 BNOG，证明：四边形 ABNM 为矩形。 24.已知抛物线 2 yaxc(a0)=+?经过点 P(3,0)、Q(1,4). (1)求抛物线的解析式； (2)若点 A 在直线 PQ 上，过点 A 作 ABx 轴于点 B，以 AB 为斜边在其左侧作等腰直角三角形 ABC， 当 Q 与 A 重合时，求 C 到抛物线对称轴的距离； 若 C 落在抛物线上，求 C 的坐标. A B M N O
7、G 25.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AD=CD，O 是对角线 AC 的中点，联结 BO 并延长交边 CD 或边 AD 于点 E. (1)当点 E 在边 CD 上， 求证：DACOBC；若 BECD，求 AD BC 的值; (2)若 DE=2，OE=3，求 CD 的长. 2021 年上海中考数学试卷逐题解析版 一、选择题本大题共 6 题.每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个 选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1.下列实数中，有理数是（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 【考点】有理数 【
8、解答】解：整数与分数统称为有理数；无限不循环小数为无理数，常见的无理数有和开方开不尽的数 （A）无理数，故 A 错误； （B）无理数，故 B 错误； （C）原式 1 2 ，故 C对； （D）无理数，故 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查有理数的概念，解题的关键是抓住有理数和无理数的区别，注意带根号的要开不尽方才 是无理数， 无限不循环小数为无理数 如 ， 0.8080080008 （每两个 8 之间依次多 1 个 0） 等形式 本 题属于基础题型 2.下列单项式中， 23 a b 的同类项是（ ） 3 2 A.a b 2 3 B.3a b 2 C . ab 3 D . a b 【考点】同类
9、项菁优网版权所有 【解答】解：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个 单项式为同类项。由题意，字母 a 的指数为 2，字母 b 的指数为 3，根据同类项的定义，只有 B 符合，故 选：B 【点评】本题考查同类项的定义，解题时注意看清相同字母对应的指数，本题属于基础题型 3.将函数 2 y abx c(a0) x =+?的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A.开口方向不变 B.对称轴不变 C. y 随 x 的变化情况不变 D.与 y 轴的交点不变 【考点】二次函数的图象；二次函数的性质菁优菁优网版权所有 【解答】解：将二次函数图像向下平移，不
10、改变开口方向，故 A 对； 将二次函数图像向下平移，不改变对称轴，故 B 对； 将二次函数图像向下平移，不改变增减性，故 C 对； 抛物线与 y 轴交点坐标为（0,c），将二次函数图像向下平移,c 变小了，交点坐标改变，故 D 错误； 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误 是解题的关键 4.商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样 的包装最合适（ ） A.2kg/包 B.3kg/包 C.4kg/包 D.5kg/包 【考点】频数（率）分布直方图菁优菁优网版权所有 【解答】 解： 由频数分布直方
11、图可知， 选择 1.52.5kg/包的人数最多， 对比四个选项只有 2kg/包在此范围， 故选：A 【点评】本题主要考查频数分布直方图 5.如图，已知ABa=，ADb=，E 为 AB 中点，则 1 ab 2 +=（ ） A.EC B.CE C.ED D.DE 【考点】平行四边形的性质，平面向量菁优网版权所有 【解答】解：ABa=，故 1 a=EB 2 ，ABCDBC=ADb=四边形是平行四边形， 1 ab 2 +=EB BC=EC+,故选：A 【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质注意掌握三角形法则的应用是关键 6.如图长方形 ABCD 中，AB=4,AD=3，圆 B 半径为 1，
12、圆 A 与圆 B 内切，则点 C、D 与圆 A 的 位置关系是（ ） A.点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 内 B.点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 外 C.点 C 在圆 A 上，点 D 在圆 A 内 D.点 C 在圆 A 内，点 D 在圆 A 外 【考点】点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理菁优网版权所有 【解答】解：两圆外切，圆心距等于半径之差的绝对值， 设圆 A 的半径为 R，则： AB=R-1,解出 R=5，即圆 A 的半径等于 5， AB=4,BC=AD=3，由勾股定理可知 AC=5 AC=5=R，AD=3R， 点 C 在圆上，点 D 在圆内 故选：C 【点评】
13、本题考查了点与圆的位置关系、 圆与圆的位置关系勾股定理， 熟练掌握点与圆的位置关系是关键， 还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】 7.计算： 72 xx ? . 【考点】单项式除单项式 【解答】解： 72 xx ? (7 2)5 xx - =，故答案为 5 x 【点评】本题考查了单项式与单项式相除，熟练掌握运算法则是解题的关键。 8. 已知 6 f(x) x =,那么f( 3) = . 【考点】函数值 【解答】解：当 x=3时， 6 f( 3)=2 3 3 =，故答案为2 3 【点评】本
14、题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键 9. 已知x43+=,则 x= . 【考点】无理方程 【解答】解：x43+=，两边同时平方，得： X+4=9,解出：x=5 经检验，x5 是方程的根；故答案为 x5 【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形 时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增根，应注意验根 10. 不等式 2x-120 的解集是 . 【考点】解一元一次不等式 【解答】解：2x-120，移项得： 2x12，解出：x6，故答案为 x6 【点评】本题考查的是一元一次不等式的解法 11.70的余角是
15、. 【考点】余角 【解答】解： 两角度数之和为 90，就说明这两个角互为余角。9070=20，故答案为 20 【点评】如果两个角的和是直角(90 )，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其 中一个角是另一个角的余角。掌握余角的概念是解决本题的关键。 12.若一元二次方程 2 2-3x+c=0 x 无解,则 c 的取值范围为 . 【考点】根的判别式 【解答】解：由题意，一元二次方程无解，则判别式= 2-4ac b 0，即： 2 ( 3)4 2 c0-创，解出：c 9 8 ，故答案为：c 9 8 【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）0
16、方程有两个相等的实数根 （3）0方程没有实数根 根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键 13. 已知数据 1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率 为 . 【考点】概率公式，偶数 【解答】解：在 9 个数据中，偶数有 2、8、34 共三个，所以得到偶数的概率为 31 = 93 ，故答案为 1 3 【点评】此题考查了概率公式的应用与偶数的定义解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比 14. 已知函数ykx=的图像经过二、四象限，且不经过(-1,1)，请写出一个符合条件的函数解析 式 . 【考点】正比例函数的性质；正比例函数图象上
17、点的坐标特征 【解答】解：函数ykx=的图像经过二、四象限 k0， 又图像不经过(-1,1) k-1 k0 且 k-1 故可写 y=-2x（其他答案也可，要 k0 且 k-1） 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k0，图像经过一、三象 限；k0，图像经过二、四象限”是解题的关键 15. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成 本为 5 元/千克，现以 8 元/千克卖出，挣得 元. 【考点】一次函数图像及其应用 【解答】解：设苹果数量 y 与售价 x 之间的函数关系为 y=kx+b(k0)，由图像可知： 5k+b=400
18、0 10k+b=1000 ，解出 k=-600 b=7000 ，所以 y=-600 x+7000，当 x=8 时，y=7000-4800=2200kg 挣得的钱为：2200 千克 （8-5）元/千克=6600 元 故答案为 6600 【点评】本题考察一次函数图像及其应用，根据图像列出方程解出一 次函数表达式是解题的关键。 16. 如图所示,已知在梯形 ABCD 中，ADBC， ABD BCD 1 = 2 S S ,则 BOC BCD = S S . 【考点】梯形，三角形面积比，“8”字型相似，比例的性质 【解答】解：ADBC ADOD BCOB = 由“同底或等高”可知： ABD BCD AD
19、1 = BC2 S S ，由比例的性质可知 OB2 = BD3 BOC BCD OB22 = BD33 S S 故答案为：， 【点评】 本题考察了相似的基本模型， “同底或等高” 型三角形面积比的计算方法， 灵活运用平行成比例， 比例的性质是解题的关键。 17. 六个带 30角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为 1,则中间正六边形 的面积为 . 【考点】正多边形，直角三角形的性质 【解答】解：由对称性及直角三角形的性质，可知：中间小正六边形的边长 为 1，根据正六边形的面积公式可得： S=6 23 4 1 = 3 3 2 ，故答案为 3 3 2 【点评】灵活运用直角三角形的性质
20、以及正多边形的对称性求面积是解题的关键。 18.定义:平面上一点到图形的最短距离为 d,如图,OP=2,正方形 ABCD 的边长为 2,O 为正方形中 心,当正方形 ABCD 绕 O 旋转时,d 的取值范围是 . 【考点】新定义，旋转 【解答】解：如图 2，设 AD 的中点为 E，那么点 O 与正方形上所有点的连线中，OE 最短，等于 1,OA 最 大，等于2； OP=2 为定值 当 OP 经过点 E 时，d 最大为 1； 当 OP 经过点 A 时，d 最小为 22 故答案为：22d1 【点评】本题属于新定义，新定义的题在上海中考 属常考题，理解题意是关键。 三、解答题（本大题共 7 题，满分
21、 78 分） 19.计算： 1 1 2+|1 2|8 92 【考点】实数的运算；分数指数幂 【解答】解： 1 1 2+|1 2|8 1 =3+ 212 2 2 =3+ 212 =2 92 -? - 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有 理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面 的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用 20. 解方程组： 2 2 xy3 40 y x += ? 【考点】解二元二次方程组 【解答】解： 2 2 xy3 40 y x +=
22、= 由可得：（x+2y）(x-2y)=0, 即：x+2y=0 或 x-2y=0 联立可得： x6 y3 = =- ；联立可得： x2 y1 = = 故原方程组的解为： x2 y1 = = 或 x6 y3 = =- 【点评】本题考察了二元二次方程组的解法，利用因式分解进行变形化简是解题关键。 21.如图，已知在ABD 中，ACBD，BC=8，CD=4， 4 cos ABC 5 ?，BF 为 AD 边上的中线. (1)求 AC 的长; (2)求 tanFBD 的值. 【考点】解直角三角形，中位线，勾股定理 【解答】解：（1） BC4 cos ABC AB5 ?=，BC=8 AB=85 4 =10，
23、由勾股定理得：AC=6 （2）过 F 作 FGCD 于 G 点， AC=6,CD=4，由勾股定理得：AD=213 BF 为 AD 边上的中线 F 为 AD 中点 FGBD，ACBD FGAC，FG 为ACD 的中位线 G 为 CD 中点 G BG=BC+CG=8-2=10,FG= 1 AC 2 =3 tanFBD= FG BG = 3 10 【点评】此题考查了解直角三角形，中位线线的性质，熟练掌握勾股定理和锐角三角比是解本题的关键 22.现在5G手机非常流行,某公司第一季度总共生产80万部5G手机,三个月的生产情况如下图. （1）求 3 月份生产了多少部手机? （2）5G 手机速度很快,比 4
24、G 下载速度每秒多 95MB, 下载一部 1000MB 的电影,5G 比 4G 要快 190 秒, 求 5G 手机的下载速度. 【考点】扇形统计图，代数方程的应用 【解答】解：（1）由扇形统计图可知：3 月份生产的手机占整个第一季度的 百分比为：1-30%-25%=45% 故 3 月份生产手机：8045%=36（万部） 答：3 月份生产了 36 万部手机。 （2）设 5G 手机的下载速度为 x(MB/秒)，则 4G 手机的下载速度为 x-95(MB/秒),由题意可得： 10001000 190 x95x -= - 解出：x=100 或 x=-5(舍) 经检验：x=100 是方程的根，所以 x=
25、100(MB/秒) 答：5G 手机的下载速度为 100(MB/秒) 【点评】此题考查了扇形统计图，分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，解分式方 程注意要检验 23.已知：在圆 O 内,弦 AD 与弦 BC 相交于点 G,AD=CB，M、N 分别是 CB 和 AD 的中点，联结 MN、OG. （1）证明:OGMN; （2）联结 AB、AM、BN，若 BNOG，证明：四边形 ABNM 为矩形。 【考点】圆，矩形的判定 【解答】解：（1）联结 OM,ON 在圆 O 中，弦AD=CB，M、N 分别是 CB 和 AD 的中点 OM=ON,OMBC,ONAD, GO 为公共边 RtMOG
26、RtNOG GM=GN 点 O 和点 G 都在线段 MN 的垂直平分线上 OGMN （2） AD=CB，M、N 分别是 CB 和 AD 的中点 AN=BM, GM=GN AG=BG BNOG，OGMN BNMN 在 RtBMN 中，MG=GN BMN=GNM， GNM+GNB=90，BMN+GNM+GNB+MBN=180 GNB=MBN MG=GN=GB A B M N O G AG=GN=MG=BG 四边形 ABNM 为矩形 【点评】本题考查了圆的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，矩形的判定，垂径 定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 24.已知抛物线 2
27、 yaxc(a0)=+?经过点 P(3,0)、Q(1,4). (1)求抛物线的解析式； (2)若点 A 在直线 PQ 上，过点 A 作 ABx 轴于点 B，以 AB 为斜边在其左侧作等腰直角三角形 ABC， 当 Q 与 A 重合时，求 C 到抛物线对称轴的距离； 若 C 落在抛物线上，求 C 的坐标. 【考点】二次函数综合题 【解答】解：（1）将P(3,0)、Q(1,4)两点分别带入 2 yaxc=+ ，得 9ac0 ac4 + = + = ，解出： 1 a 2 9 c 2 =- = ， 故抛物线的解析式是 2 19 yx 22 =-+ （2） 如图2， 抛物线的对称轴是y轴， 当Q与A重合时
28、， AB=4， 作 CHAB 于 H， ABC 是等腰直角三角形 CH=AH=BH=2 C 到抛物线对称轴的距离为 1 如图 3，由 P(3,0)、Q(1,4)得到直线 PQ 的解析式为 y=-2x+6 设 A（m,-2m+6）,则 AB=|-2m+6|, CH=AH=BH=|-m+3| 当 m3 时， Cx =2m-3, C y =-m+3, 将点 C（2m-3,-m+3）代入 2 19 yx 22 =-+中，解出： m= 1 2 或 m=3（与点 B 重合，舍） 此时： Cx =-2， C y = 5 2 ，故：C（-2， 5 2 ） 当 m3 时，同理得到 C（3,0），此时 A（3,0
29、）与 P 重合， 不合题意，舍去 综上可知：C 点的坐标是（-2， 5 2 ） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰 直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决 数学问题 25.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AD=CD，O 是对角线 AC 的中点，联结 BO 并延长交边 CD 或边 AD 于点 E. (1)当点 E 在边 CD 上， 求证：DACOBC；若 BECD，求 AD BC 的值; (2)若 DE=2，OE=3，求 CD 的长. 【考点】相似形综合题 【解答
30、】解： （1）如图 2， AC=CD 1=2 ACBC 1=3 BO 是 RtABC 的斜边 AC 上的中线 OB=OC 3=4 1=2=3=4 DACOBC 如图 3，若 BECD，那么在 RtBCE 中，由2=3=4 可得：2=3=4=30， 如图 4，作 DHBC 于 H，设 AD=CD=2m，那么 BH=AD=2m, 在 RtDCH 中，DCH=60，CD=2m， 所以 CH=m，BC=BH+CH=3m AD2m2 BC3m3 = （2）如图 5，当点 E 在边 AD 上时， ADBC，O 是 AC 中点 OB=OE， 四边形 ABCE 是平行四边形 ABC=90 四边形 ABCE 是
31、矩形 设 AD=CD=X，因为 DE=2,所以 AE=x-2，因为 OE=3，所以 AC=6 在 RtACE 和 RtDCE 中，由勾股定理可得： 222 2 (x2) 6x2 -=- 解出：x=1+19或 x=1-19（舍去负值） 如图 6，当点 E 在边 CD 上时， 设 AD=CD=X，因为 DE=2,所以 CE=x-2， 设 OB=OC=m，因为 OE=3，所以 EB=m+3 DACOBC DCAC OCBC = x2OC mBC = OCx BC2m = 2=4，BEC 是公共角 EOCECB EOECOC ECEBCB = 3x2OC x2m 3CB - = -+ 等量代换得： 3x2x x2m32m - = -+ ，消去 m，得： 2 6x 100 x -= 解得：x=3+19或 x=3-19（舍去负值） 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的 关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
