1、2021 年湖南省衡阳市中考数学试卷年湖南省衡阳市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的.） 18 的相反数是（ ） A8 B8 C D8 22021 年 2 月 25 日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利现标准下，98990000 农村 贫困人口全部脱贫数 98990000 用科学记数法表示为（ ） A98.99106 B9.899107 C9899104 D0.09899108 3在以下绿
2、色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 4下列运算结果为 a6的是（ ） Aa2a3 Ba12a2 C （a3）2 D （a3）2 5下列计算正确的是（ ） A4 B （2）01 C+ D3 6 为了向建党一百周年献礼， 我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛 某参赛小组 6 名同学的成绩 （单 位：分）分别为：85，82，86，82，83，92关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A众数是 82 B中位数是 84 C方差是 84 D平均数是 85 7如图是由 6 个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ） A B C D 8如图是某商场营业大厅自动扶梯的
3、示意图自动扶梯 AB 的倾斜角为 37，大厅两层之间的距离 BC 为 6 米，则自动扶梯 AB 的长约为（sin370.6，cos370.8，tan370.75） （ ） A7.5 米 B8 米 C9 米 D10 米 9下列命题是真命题的是（ ） A正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B正六边形的每一个内角为 120 C有一个角是 60的三角形是等边三角形 D对角线相等的四边形是矩形 10不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A B C D 11下列说法正确的是（ ） A为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式 B某彩票的中奖机会是 1%，买 100 张一定会中奖 C从装有 3 个红
4、球和 4 个黑球的袋子里摸出 1 个球是红球的概率是 D某校有 3200 名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了 200 名学生，其中有 85 名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有 1360 人 12如图，矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M、N 分别在矩形的边 AD、BC 上，将矩形纸片沿直线 MN 折叠， 使点 C 落在矩形的边 AD 上， 记为点 P， 点 D 落在 G 处， 连接 PC， 交 MN 于点 Q， 连接 CM 下 列结论：四边形 CMPN 是菱形；点 P 与点 A 重合时，MN5；PQM 的面积 S 的取值范围是 4
5、 S5其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分.） 13若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 14计算： 15因式分解：3a29ab 16底面半径为 3，母线长为 4 的圆锥的侧面积为 （结果保留 ） 17 “绿水青山就是金山银山” 某地为美化环境，计划种植树木 6000 棵由于志愿者的加入，实际每天植 树的棵树比原计划增加了 25%，结果提前 3 天完成任务则实际每天植树 棵 18如图 1，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，P、Q 两点同时从 O 点出发，以
6、 1 厘米/秒的速度 在菱形的对角线及边上运动点 P 的运动路线为 OADO，点 Q 的运动路线为 OCBO设运 动的时间为 x 秒，P、Q 间的距离为 y 厘米，y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，当点 P 在 AD 段上运动且 P、Q 两点间的距离最短时，P、Q 两点的运动路程之和为 厘米 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，个小题，1920 题每题题每题 6 分，分，2124 题每题题每题 8 分，分，25 题题 10 分，分，26 题题 12 分，满分，满 分分 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）
7、19 （6 分）计算： （x+2y）2+（x2y） （x+2y）+x（x4y） 20 （6 分）如图，点 A、B、D、E 在同一条直线上，ABDE，ACDF，BCEF求证：ABCDEF 21 （8 分） “垃圾分类工作就是新时尚” ，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020 年起，我市将 生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾某学习研究小组在对我市垃圾分类 实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示 （1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 度； （2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为 0.2 万元若我市某天生活垃圾清运总量 为 5
8、00 吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？ （3） 为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况， 某校开展了相关知识竞赛， 要求每班派 2 名学生参赛 甲 班经选拔后，决定从 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一 女的概率 22 （8 分）如图，点 E 为正方形 ABCD 外一点，AEB90，将 RtABE 绕 A 点逆时针方向旋转 90 得到ADF，DF 的延长线交 BE 于 H 点 （1）试判定四边形 AFHE 的形状，并说明理由； （2）已知 BH7，BC13，求 DH 的长 23 （8 分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层
9、部分和调节扣构成小文购买时，售货员演示通 过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣 所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为 xcm，单层部分的长度为 ycm经测量，得到表 中数据 双层部分长度 x（cm） 2 8 14 20 单层部分长度 y（cm） 148 136 124 112 （1）根据表中数据规律，求出 y 与 x 的函数关系式； （2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为 130cm 时为最佳背带长请计算此时双层部分的长度； （3）设背带长度为 Lcm，求 L 的取值范围 24 （8 分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上
10、一点，E 为的中点，点 C 在 BA 的延长线上，且CDA B （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 DE2，BDE30，求 CD 的长 25 （10 分）如图，OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0） ，A（3，4） ，B（6，0） ，动点 P、Q 同时从点 O 出 发，分别沿 x 轴正方向和 y 轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位和每秒 2 个单位，点 P 到达点 B 时 点 P、Q 同时停止运动过点 Q 作 MNOB 分别交 AO、AB 于点 M、N，连接 PM、PN设运动时间为 t（秒） （1）求点 M 的坐标（用含 t 的式子表示） ； （2）求四边形 MNBP 面积的最大
11、值或最小值； （3）是否存在这样的直线 l，总能平分四边形 MNBP 的面积？如果存在，请求出直线 l 的解析式；如果 不存在，请说明理由； （4）连接 AP，当OAPBPN 时，求点 N 到 OA 的距离 26 （12 分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点” 例如（1，1） ， （2021，2021）都是“雁点” （1）求函数 y图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线 yax2+5x+c 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与 x 轴交于 M、N 两点（点 M 在点 N 的左侧） 当 a1 时 求 c 的取值范围； 求EMN 的度数； （3） 如图， 抛物线
12、 yx2+2x+3 与 x 轴交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， P 是抛物线 yx2+2x+3 上一点，连接 BP，以点 P 为直角顶点，构造等腰 RtBPC，是否存在点 P，使点 C 恰好为“雁点”？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年湖南省衡阳市中考数学试卷年湖南省衡阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的.） 18
13、 的相反数是（ ） A8 B8 C D8 【分析】根据相反数的概念求解即可 【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此 8 的相反数是8 故选：A 22021 年 2 月 25 日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利现标准下，98990000 农村 贫困人口全部脱贫数 98990000 用科学记数法表示为（ ） A98.99106 B9.899107 C9899104 D0.09899108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数
14、绝对值大于 10 时， n 是正整数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负整数 【解答】解：989900009.899107， 故选：B 3在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解如果一个图形沿一条直线折叠，直 线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这 个图形关于这条直线成轴对称 【解答】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B不是轴对称图形，故本选项不合题意； C不是轴对称图形，故本选项不合题意； D不是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：
15、A 4下列运算结果为 a6的是（ ） Aa2a3 Ba12a2 C （a3）2 D （a3）2 【分析】 直接利用同底数幂的乘除运算法则、 幂的乘方运算法则、 积的乘方运算法则分别计算得出答案 【解答】解：Aa2a3a5,故此选项不合题意； Ba12a2a10,故此选项不合题意； C （a3）2a6,故此选项符合题意； D （a3）2a6,故此选项不合题意； 故选：C 5下列计算正确的是（ ） A4 B （2）01 C+ D3 【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可 【解答】解：16 的算术平方根为 4，即，故 A 不符合题意； 根据公式 a01(a0)可得（2）01，故 B 符合题
16、意； 、无法运用加法运算化简，故，故 C 不符合题意； ，故 D 不符合题意； 故选：B 6 为了向建党一百周年献礼， 我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛 某参赛小组 6 名同学的成绩 （单 位：分）分别为：85，82，86，82，83，92关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A众数是 82 B中位数是 84 C方差是 84 D平均数是 85 【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可 【解答】解：将数据重新排列为 82，82，83，85，86，92， A、数据的众数为 82，此选项正确，不符合题意； B、数据的中位数为84，此选项正确，不符合题意； C、数据的平
17、均数为85， 所以方差为（8585）2+（8385）2+2（8285）2+（8685）2+（9285）212，此选项错 误，符合题意； D、由 C 选项知此选项正确； 故选：C 7如图是由 6 个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】画出该组合体的三视图即可 【解答】解：这个组合体的三视图如下： 故选：A 8如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图自动扶梯 AB 的倾斜角为 37，大厅两层之间的距离 BC 为 6 米，则自动扶梯 AB 的长约为（sin370.6，cos370.8，tan370.75） （ ） A7.5 米 B8 米 C9 米 D10 米 【分析】由锐
18、角三角函数可以求得 AB 的长即可 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，BC6 米， sinBACsin370.6， ABBC610（米） ， 故选：D 9下列命题是真命题的是（ ） A正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B正六边形的每一个内角为 120 C有一个角是 60的三角形是等边三角形 D对角线相等的四边形是矩形 【分析】根据多边形的外角和都是 360 度对 A 作出判断； 根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角和，再求出每个内角对 B 作出判断； 根据等边三角形的判定对 C 作出判断； 根据矩形的判定对 D 作出判断 【解答】解：A每个多边形的外角和都是 360，故错误，
19、假命题； B正六边形的内角和是 720，每个内角是 120，故正确，真命题； C有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题； D对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题 故选：B 10不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A B C D 【分析】解出两个不等式，再表示出不等式组的解集，在数轴上正确表示出来即可选出正确答案 【解答】解：解不等式 x+10 得，x1, 解不等式2x6 得，x3， 不等式组的解集为：3x1,在数轴上表示为： 故选：A 11下列说法正确的是（ ） A为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式 B某彩票的中奖机会是 1%，买 100 张一定会中奖
20、 C从装有 3 个红球和 4 个黑球的袋子里摸出 1 个球是红球的概率是 D某校有 3200 名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了 200 名学生，其中有 85 名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有 1360 人 【分析】根据概率的定义和计算公式即可 【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式， A 选项错误， 彩票的中奖机会是 1%说的是可能性，和买的数量无关， B 选项错误， 根据概率的计算公式，C 选项中摸出红球的概率为， C 选项错误， 200 名学生中有 85 名学生喜欢跳绳， 跳绳的占比为， 320042.51360(人
21、)， D 选项正确， 故选：D 12如图，矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M、N 分别在矩形的边 AD、BC 上，将矩形纸片沿直线 MN 折叠， 使点 C 落在矩形的边 AD 上， 记为点 P， 点 D 落在 G 处， 连接 PC， 交 MN 于点 Q， 连接 CM 下 列结论：四边形 CMPN 是菱形；点 P 与点 A 重合时，MN5；PQM 的面积 S 的取值范围是 4 S5其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】先判断四边形 CMPN 是平行四边形，再根据 PNCN 判断四边形 CMPN 是菱形，点 P 与点 A 重合时设 BNx，表示出 ANNC8x，利用勾股定
22、理解出 x，进而求出 MN 即可判断，当 MN 过 D 点时，求出四边形 CMPN 面积的最小值，当 P 与 A 重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断 【解答】解：PMCN， PMNMNC， MNCPNM， PMNPNM， PMPN， NCNP， PMCN， MPCN， 四边形 CNPM 是平行四边形， CNNP， 四边形 CNPM 是菱形， 故正确； 如图 1，当点 P 与 A 重合时，设 BNx，则 ANNC8x， 在 RtABN 中，AB+BNAN， 即 4+x(8x)， 解得 x3， CN835， AB4，BC8， AC4， CQAC2， QN， MN2QN2， 故不正确； 由题知
23、，当 MN 过点 D 时，CN 最短，如图 2，四边形 CMPN 的面积最小， 此时 SS菱形CMPN444， 当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，如图 1，四边形 CMPN 的面积最大， 此时 S545， 4S5 正确， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分.） 13若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】二次根式的被开方数 x30 【解答】解：根据题意，得 x30， 解得，x3； 故答案为：x3 14计算： 1 【分析】根据同分母的分式加减法则进行计算即可 【解答】解：原式1 故答案为：1 15
24、因式分解：3a29ab 3a（a3b） 【分析】提取公因式，即可得出答案 【解答】解：3a29ab 3a（a3b） ， 故答案为：3a（a3b） 16底面半径为 3，母线长为 4 的圆锥的侧面积为 12 （结果保留 ） 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解 【解答】解：圆锥的侧面积234212 故答案为：12 17 “绿水青山就是金山银山” 某地为美化环境，计划种植树木 6000 棵由于志愿者的加入，实际每天植 树的棵树比原计划增加了 25%，结果提前 3 天完成任务则实际每天植树 500 棵 【分析】 设原计划每天植树 x 棵， 则实际每天植树 （1+25%） x 棵
25、， 根据工作时间工作总量工作效率， 结合实际比原计划提前 3 天完成任务，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出 x 的值，再 将其代入（1+25%）x 中即可求出结论 【解答】解：设原计划每天植树 x 棵，则实际每天植树（1+25%）x 棵， 依题意得：3， 解得：x400， 经检验，x400 是原方程的解，且符合题意， （1+25%）x500 故答案为：500 18如图 1，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，P、Q 两点同时从 O 点出发，以 1 厘米/秒的速度 在菱形的对角线及边上运动点 P 的运动路线为 OADO，点 Q 的运动路线为 OCBO设运 动
26、的时间为 x 秒，P、Q 间的距离为 y 厘米，y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，当点 P 在 AD 段上运动且 P、Q 两点间的距离最短时，P、Q 两点的运动路程之和为 (2+3) 厘米 【分析】结合图象当点 P 运动到 A 点，点 Q 运动到 C 点时，即 AC2cm，同理求出 BD2cm，利用 菱形性质即可求出 ADABBCDC2cm，再由题意易知当点 P 在 AD 段上运动，P、Q 两点的最 短时 P、Q 分别位于 AD、BC 的中点时，求出此时 P、Q 两点的运动路程之和即可 【解答】解：由图分析易知：当点 P 从 OA 运动时，点 Q 从 OC 运动时，y 不断增大，
27、 当点 P 运动到 A 点，点 Q 运动到 C 点时，由图象知此时 yPQ2cm， AC2cm， 四边形 ABCD 为菱形， ACBD，OAOCcm， 当点 P 运动到 D 点，Q 运动到 B 点，结合图象，易知此时，yBD2cm， ODOBBD1cm， 在 RtADO 中，AD2(cm)， ADABBCDC2cm， 如图，当点 P 在 AD 段上运动，点 P 运动到点 E 处，点 Q 在 CB 段上运动，点 Q 运动到点 F 处时， P、Q 两点的最短， 此时，OEOF， AEAF, 当点 P 在 AD 段上运动且 P、Q 两点间的距离最短时，P、Q 两点的运动路程之和为： （cm） 故答案
28、为：(2+3) 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，个小题，1920 题每题题每题 6 分，分，2124 题每题题每题 8 分，分，25 题题 10 分，分，26 题题 12 分，满分，满 分分 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.） 19 （6 分）计算： （x+2y）2+（x2y） （x+2y）+x（x4y） 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式展开再合并同类项即可 【解答】解：原式(x2+4xy+4y2)+(x24y2)+(x24xy) x2+4xy+4y2+x24y2+x24xy 3x2 20 （6
29、 分）如图，点 A、B、D、E 在同一条直线上，ABDE，ACDF，BCEF求证：ABCDEF 【分析】根据题目已知条件利用 ASA 即可求出ABCDEF 【解答】证明：ACDF， CABFDE(两直线平行，同位角相等), 又BCEF， CBAFED(两直线平行，同位角相等), 在ABC 和DEF 中， , ABCDEF(ASA) 21 （8 分） “垃圾分类工作就是新时尚” ，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020 年起，我市将 生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾某学习研究小组在对我市垃圾分类 实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示 （1）
30、图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 64.8 度； （2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为 0.2 万元若我市某天生活垃圾清运总量 为 500 吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？ （3） 为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况， 某校开展了相关知识竞赛， 要求每班派 2 名学生参赛 甲 班经选拔后，决定从 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一 女的概率 【分析】 （1）根据题意求出其他垃圾所占百分比即可求出其他垃圾所在的扇形的圆心角度数； （2） 根据可回收垃圾所占百分比算出 500 吨生活垃圾中可回收垃圾中的质
31、量，即可计算出该天可回收物 所创造的经济总价值； （3）结合题意，画出树状图即可求出所抽取的学生中恰好一男一女的概率 【解答】解： （1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：120%7%55%18%， 其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：36018%64.8， 故答案为：64.8； （2）50020%100（吨） ， 1000.220（万元） ， 答：该天可回收物所创造的经济总价值是 20 万元； （3）由题意可列树状图： P（一男一女） 22 （8 分）如图，点 E 为正方形 ABCD 外一点，AEB90，将 RtABE 绕 A 点逆时针方向旋转 90 得到ADF，DF 的延长线交 BE 于
32、H 点 （1）试判定四边形 AFHE 的形状，并说明理由； （2）已知 BH7，BC13，求 DH 的长 【分析】 （1）利用旋转即可得到 RtABERtADF，再根据全等三角形的性质即可求证四边形 AFHE 的形状； （2）设 AEx,则 BE7+x,AB13，利用勾股定理即可求出 x,进而可求出 DH 的长 【解答】解： （1）四边形 AFHE 是正方形，理由如下： RtABE 绕 A 点逆时针方向旋转 90得到ADF， RtABERtADF， AEBAFD90， AFH90， RtABERtADF， DAFBAE, 又DAF+FAB90， BAE+FAB90， FAE90， 在四边形 A
33、FHE 中，FAE90，AEB90，AFH90， 四边形 AFHE 是矩形， 又AEAF， 矩形 AFHE 是正方形； （2）设 AEx则由（1）以及题意可知：AEEHFHAFx,BH7,BCAB13, 在 RtAEB 中，AB2AE2+BE2， 即 132x2+(x+7)2, 解得：x5, BEBH+EH5+712, DFBE12, 又DHDF+FH， DH12+517 23 （8 分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成小文购买时，售货员演示通 过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣 所占长度忽略不计）加长或缩短，设双
34、层部分的长度为 xcm，单层部分的长度为 ycm经测量，得到表 中数据 双层部分长度 x（cm） 2 8 14 20 单层部分长度 y（cm） 148 136 124 112 （1）根据表中数据规律，求出 y 与 x 的函数关系式； （2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为 130cm 时为最佳背带长请计算此时双层部分的长度； （3）设背带长度为 Lcm，求 L 的取值范围 【分析】 （1）设出 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b，代入表中数据求系数即可； （2）根据函数关系式和背带长度为 130cm 列出二元一次方程组解方程组即可； （3）根据 x 和 y 都为非负数求出 L 的最大值和
35、最小值即可确定取值范围 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， 由题知， 解得， y 与 x 的函数关系式为 y2x+152； （2）根据题意知， 解得， 双层部分的长度为 22cm； （3）由题知，当 x0 时，y152， 当 y0 时，x76， 76L152 24 （8 分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为的中点，点 C 在 BA 的延长线上，且CDA B （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 DE2，BDE30，求 CD 的长 【分析】(1)连结 OD，利用已知条件证明 ODCD 即可求证 CD 是O 的切线； (2)连结 OE，根据BD
36、E30，E 为的中点即可求出BOD 度数以及求证三角形 EOD 为等边三角 形，进而求出DOC 度数，再利用 tanDOC 的值即可求出 CD 的长 【解答】解： （1）证明：连结 OD，如图所示： AB 是直径， BDA90， BDO+ADO90， 又OBOD，CDAB， BBDOCDA， CDA+ADO90， ODCD，且 OD 为O 半径， CD 是O 的切线； （2）连结 OE，如图所示： BDE30， BOE2BDE60， 又E 为的中点， EOD60, EOD 为等边三角形， EDEOOD2, 又BODBOE+EOD120， DOC180BOD18012060, 在 RtDOC 中
37、，DOC60,OD2， tanDOCtan60, CD2 25 （10 分）如图，OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0） ，A（3，4） ，B（6，0） ，动点 P、Q 同时从点 O 出 发，分别沿 x 轴正方向和 y 轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位和每秒 2 个单位，点 P 到达点 B 时 点 P、Q 同时停止运动过点 Q 作 MNOB 分别交 AO、AB 于点 M、N，连接 PM、PN设运动时间为 t（秒） （1）求点 M 的坐标（用含 t 的式子表示） ； （2）求四边形 MNBP 面积的最大值或最小值； （3）是否存在这样的直线 l，总能平分四边形 MNBP 的面积？如果存在
38、，请求出直线 l 的解析式；如果 不存在，请说明理由； （4）连接 AP，当OAPBPN 时，求点 N 到 OA 的距离 【分析】 （1） 过点 A 作 x 轴的垂线， 分别交 MN 和 x 轴于点 E 和点 F， 利用三角形相似写出点 M 的坐标； （2）四边形的面积可以用分割法求解，MNP 和BNP 的面积之和；四边形 MNBO 和OMP 的 面积之差，其它方法亦可； （3）先判断四边形 MNBP 的形状，就可知道平分四边形 MNBP 的直线经过的定点坐标（用含 t 的式子 表示） ，然后消去 t，得到直线 l 的解析式； （4）利用三角形相似解题，由OAPBPN 和AOBPBN（由题意可
39、知） ，得证AOPPBN， 再利用相似的性质求出对应的 t 值，再由等面积法求高，求出点 N 到 OA 的距离 【解答】解： （1）过点 A 作 x 轴的垂线，交 MN 于点 E，交 OB 于点 F， 由题意得：OQ2t，OP3t,PB63t， O（0，0） ，A（3，4） ，B（6，0） ， OFFB3，AF4，OAAB， MNOB， OQMOFA，OMQAOF， OQMAFO， ， ， QM， 点 M 的坐标是（） （2）MNOB， 四边形 QEFO 是矩形， QEOF， MEOFQM3， OAAB， MENE， MN2ME63t， S四边形MNBPSMNP+SBNP MNOQ+BPOQ
40、6t2+12t 6(t1)2+6， 点 P 到达点 B 时，P、Q 同时停止， 0t2， t1 时，四边形 MNBP 的最大面积为 6 （3）MN63t，BP63t， MNBP， MNBP， 四边形 MNBP 是平行四边形， 平分四边形 MNBP 面积的直线经过四边形的中心，即 MB 的中点， 设中点为 H（x，y） ， M()，B（6，0） ， x， y x， 化简得：y， 直线 l 的解析式为：y （4）OAAB， AOBPBN， 又OAPBPN， AOPPBN， ， ， 解得：t MN63t，AEAFOQ,ME3， MN63， AE， ME， AM 设点 N 到 OA 得距离为 h， S
41、AMNMNAEAMh， ， 解得：h 点 N 到 OA 得距离为 26 （12 分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点” 例如（1，1） ， （2021，2021）都是“雁点” （1）求函数 y图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线 yax2+5x+c 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与 x 轴交于 M、N 两点（点 M 在点 N 的左侧） 当 a1 时 求 c 的取值范围； 求EMN 的度数； （3） 如图， 抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， P 是抛物线 yx2+2x+3 上一点，连接 BP，以点
42、 P 为直角顶点，构造等腰 RtBPC，是否存在点 P，使点 C 恰好为“雁点”？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意得：x，解得 x2，即可求解； （2）由254ac0，即 ac4，即可求解； 求出点 M 的坐标为（，0） 、点 E 的坐标为（，） ，即可求解； （3）证明CMPPNB（AAS） ，则 PMBN，CMPN，即可求解 【解答】解： （1）由题意得：x，解得 x2， 当 x2 时，y2， 故“雁点”坐标为（2,2）或（2，2） ； （2）“雁点”的横坐标与纵坐标相等， 故“雁点”的函数表达式为 yx， 物线 yax2+5x+c 上有且只有一个
43、“雁点”E， 则 ax2+5x+cx， 则254ac0，即 ac4， a1， 故 c4； ac4，则 ax2+5x+c0 为 ax2+5x+0， 解得 x或，即点 M 的坐标为（，0） ， 由 ax2+5x+cx，ac4， 解得 x，即点 E 的坐标为（，） ， 故点 E 作 EHx 轴于点 H， 则 HE，MHxExM（）HE， 故EMN 的度数为 45； （3）存在，理由： 由题意知，点 C 在直线 yx 上，故设点 C 的坐标为（t，t） ， 过点 P 作 x 轴的平行线交过点 C 与 y 轴的平行线于点 M，交过点 B 与 y 轴的平行线于点 N， 设点 P 的坐标为（m，m2+2m+3） ， 则 BNm2+2m+3,PN3m,PMmt,CMm2+2m+3t, NPB+MPC90,MPC+CPM90, NPBCPM, CMPPNB90,PCPB, CMPPNB（AAS） ， PMBN，CMPN， 即 mt|m2+2m+3|，m2+2m+3t|3m|， 解得 m1+（舍去）或 1或， 故点 P 的坐标为（，）或（，）
