1、2020-2021 学年上海市普陀区学年上海市普陀区二校联考二校联考七年级（下）第三次质检数学试卷七年级（下）第三次质检数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，共分，共 24 分）分） 1 （4 分）已知 RtABC 中，C90，且 BCAB，则A 等于（ ） A30 B45 C60 D不能确定 2 （4 分）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A1、2、3 B32，42，52 C D 3 （4 分）在直角三角形中，若有一个角等于 45，那么三边的比为（ ） A1：2 B1：2： C3： D1：1： 4 （4 分）一棵大树在一次强台风中于离地面 5 米处折
2、断倒下，倒下部分与地面成 30夹角，这棵大树在 折断前的高度为（ ） A10 米 B15 米 C25 米 D30 米 5 （4 分）一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（ ） A4 B C D 6 （4 分）下列结论不正确的是（ ） A直角三角形的两个锐角互余 B在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半 C在直角三角形中，斜边大于直角边 D在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，共分，共 48 分）分） 7 （4 分）在直角三角形中，一个锐角为 40，那么另一个锐角为 度 8 （4 分）直
3、角三角形中，若斜边上的中线长是 5，则斜边长是 9 （4 分）在ABC 中，C90，若 a5，b12，则 c 10 （4 分）方程0 的根是 11 （4 分）在ABC 中，A：B：C1：2：3，则 AC：AB 12 （4 分）如果关于 x 的方程23a 无实数根，那么 a 的取值范围是 13 （4 分）已知：如图，在ABC 中，ACB90，CDAB，D 为垂足，A30，BD3，那么 BC 14 （4 分）若直角三角形的两边分别是 6cm 和 8cm，则第三边长是 cm 15 （4 分）等边三角形的面积为 8，则它边长是 16 （4 分）一个含有 30 度的直角三角形的面积为 3，则它的斜边长为
4、 17 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，CDAB 于 D，EC 是 AB 上的中线，若 AB10cm，DE 2.5cm，则A 18 （4 分）如图，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的 F 点处，若 AB8cm，BC10cm，则 EC 长为 三、解答题（第三、解答题（第 1922 题题 10 分，第分，第 2324 题题 12 分，第分，第 25 题题 14 分）分） 19 （10 分） （1）解无理方程：1； （2）已知关于 x 的方程+m+x3 有一个实数根是 x1，试求 m 的值 20 （10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，B90，C120，AB2，B
5、C，AD 求：四边形 ABCD 的面积 21 （10 分）如图，在四边形 ABCD 中，DABDCB90，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，M、N 分 别是边 BD、AC 的中点 （1）求证：MNAC； （2）当 AC30cm，BD34cm 时，求 MN 的长 22 （10 分）已知：如图ABC 和PEC 都是等边三角形，点 P 是ABC 内的一点，并且 PA2PB2+PC2 （1）求证：APCBEC； （2）求BPC 的度数 23 （12 分）已知：如图，在 RtABC 中，C90，ADBC，ED2AB求证：CBEABE 24 （12 分）已知，如图在ABC 中，AD、BE 分别是 BC
6、，AC 边上的高，AD、BE 交于 H，DADB，BH AC，点 F 为 BH 的中点，ABE15 （1）求证：ADCBDH； （2）求证：DCDF 25 （14 分）如图，在ABC 中，C90，B30，AC6，点 D、E、F 分别在 BC、AC、AB 上（点 E、F 不与ABC 顶点重合） ，AD 平分CAB，EFAD，垂足为 H （1）求证：AEAF； （2）若 CE4，求 BF 的长； （3）当DEF 是直角三角形时，求出 BF 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，共分，共 24 分）分） 1 （4 分）已知 RtABC 中，C90，且
7、BCAB，则A 等于（ ） A30 B45 C60 D不能确定 【解答】解：如图，C90，BCAB， A30 故选：A 2 （4 分）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A1、2、3 B32，42，52 C D 【解答】解：A、12+22532， 以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误； B、（32）2+（42）2（52）2 ， 以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误； C、（）2+（）23（）2， 以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确； D、（）2+（）27（）2， 以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误 故
8、选：C 3 （4 分）在直角三角形中，若有一个角等于 45，那么三边的比为（ ） A1：2 B1：2： C3： D1：1： 【解答】解： C90，A45， B90A45， AB， ACBC， 设 ACBCa，则 ABa， AC：BC：ABa：a：a1：1：， 故选：D 4 （4 分）一棵大树在一次强台风中于离地面 5 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30夹角，这棵大树在 折断前的高度为（ ） A10 米 B15 米 C25 米 D30 米 【解答】解：如图，在 RtABC 中， ABC30， AB2AC， CA5 米， AB10 米， AB+AC15 米 所以这棵大树在折断前的高度为 15 米
9、 故选：B 5 （4 分）一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（ ） A4 B C D 【解答】解：一个三角形的三边的长分别是 3，4，5， 又32+4252， 该三角形为直角三角形 设这个三角形最长边上的高为 h， 根据 345h， 这个三角形最长边上的高为：h 故选：D 6 （4 分）下列结论不正确的是（ ） A直角三角形的两个锐角互余 B在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半 C在直角三角形中，斜边大于直角边 D在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，故原命题正确，不符合题意； B
10、、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故原命题错误，符合题意； C、在直角三角形中，斜边大于直角边，故原命题正确，不符合题意； D、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半，故原命题正确， 不符合题意； 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，共分，共 48 分）分） 7 （4 分）在直角三角形中，一个锐角为 40，那么另一个锐角为 50 度 【解答】解：直角三角形的一个锐角为 40， 另一个锐角为 904050， 故答案为：50 8 （4 分）直角三角形中，若斜边上的中线长是 5，则斜边长是 10 【解答】解：直角三角形中，若斜边上的中线长
11、是 5， 斜边长是 10， 故答案为：10 9 （4 分）在ABC 中，C90，若 a5，b12，则 c 13 【解答】解：在ABC 中，C90，a5，b12， ， 故答案为：13 10 （4 分）方程0 的根是 x1 【解答】解：方程可变形为：0， （x+1） （x1）0， 解得：x11，x21， 检验：当 x1 时，x10，不符合题意；当 x1 时，符合题意 原方程的根是 x1 故答案为：x1 11 （4 分）在ABC 中，A：B：C1：2：3，则 AC：AB 【解答】解：在ABC 中，A：B：C1：2：3， C3A，B2A， A+B+C180， A+2A+3A180， A30， B60，
12、C90 BCAB， AC， AC：AB 故答案为 12 （4 分）如果关于 x 的方程23a 无实数根，那么 a 的取值范围是 a 【解答】解：方程23a 没有实数根， 23a0， a 故答案为：a 13 （4 分）已知：如图，在ABC 中，ACB90，CDAB，D 为垂足，A30，BD3，那么 BC 6 【解答】解：ABC 中，ACB90，A30， B60， 又 CDAB， BCD30， BD3， BC2BD6， 故答案为 6 14 （4 分）若直角三角形的两边分别是 6cm 和 8cm，则第三边长是 10 或 2 cm 【解答】解：当 8 为直角边，由勾股定理得： 第三边为cm， 当 8
13、为斜边时，由勾股定理得； 第三边为cm， 第三边为 10cm 或 2cm 故答案为：10 或 2 15 （4 分）等边三角形的面积为 8，则它边长是 4 【解答】解：如图，作 ADBC 于点 D， 设 ABBCACx， 则 BDBCx， 在 RtABD 中，ADx， 故边长为 x 的等边三角形的面积为xx8， 解得：x4，舍去负值，得 x4， 故答案为：4 16 （4 分）一个含有 30 度的直角三角形的面积为 3，则它的斜边长为 2 【解答】解：设 30 度角所对的直角边为 x，另一直角边为x，斜边为 2x， 30 度的直角三角形的面积为 3， 3， 解得 x， 斜边为 2 故答案为 2 1
14、7 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，CDAB 于 D，EC 是 AB 上的中线，若 AB10cm，DE 2.5cm，则A 30 【解答】解：CDAB， ADC90， EC 是直角ACB 的斜边 AB 上的中线，AB10cm， ECAB5（cm） ，AEBEAB（cm） ， AEEC， AACE， CE5cm，DE2.5cm，ADC90， DECE， ECD30， CED90ECD60， A+ACECED60，AACE， A30， 故答案为：30 18 （4 分）如图，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的 F 点处，若 AB8cm，BC10cm，则 EC 长为 3cm
15、【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， DCAB8cm；BC90； 由题意得：AFAD10cm，EFDEcm，EC（8）cm； 由勾股定理得：BF210282， BF6cm， CF1064cm； 在EFC 中，由勾股定理得：242+（8）2， 解得：5， EC853cm 故答案为：3cm 三、解答题（第三、解答题（第 1922 题题 10 分，第分，第 2324 题题 12 分，第分，第 25 题题 14 分）分） 19 （10 分） （1）解无理方程：1； （2）已知关于 x 的方程+m+x3 有一个实数根是 x1，试求 m 的值 【解答】解： （1）方程变形为：， 方程两边平方得：x+5x
16、+2+1， 解得：x4 检验：左边1，右边1， 原方程的根为 x4； （2）把 x1 代入方程化简得：2m， 方程两边平方得：m244m+m2， 解得：m2 或 3， 检验：当 m2 时，左边右边； 当 m3 时，左边右边 m2 20 （10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，B90，C120，AB2，BC，AD 求：四边形 ABCD 的面积 【解答】解：连接 AC 在 RtABC 中， B90，AB2，BC， ACB30 BCD120， ACD90 又AD， S四边形ABCDSABC+SACD 21 （10 分）如图，在四边形 ABCD 中，DABDCB90，对角线 AC 与 BD 相
17、交于点 O，M、N 分 别是边 BD、AC 的中点 （1）求证：MNAC； （2）当 AC30cm，BD34cm 时，求 MN 的长 【解答】解： （1）如图，连接 AM，CM， DABDCB90，点 M 是 BD 的中点， AMBD，CMBD， AMCM， 点 N 是 AC 的中点， MNAC； （2）BD34cm， AMCMBD17cm， AC30cm， ANAC15cm， 由（1）知，MNAC， MN8 22 （10 分）已知：如图ABC 和PEC 都是等边三角形，点 P 是ABC 内的一点，并且 PA2PB2+PC2 （1）求证：APCBEC； （2）求BPC 的度数 【解答】解： （
18、1）ABC 和PEC 都是等边三角形， ACBC，PCCEPE，ACBPCE60， ACPBCE， 在APC 和BEC 中， ， APCBEC（SAS） ； （2）APCBEC， APBE， PA2PB2+PC2， BE2PB2+PE2， BPE90， BPC90+60150 23 （12 分）已知：如图，在 RtABC 中，C90，ADBC，ED2AB求证：CBEABE 【解答】证明：如图，取 DE 的中点 F，连接 AF， C90，ADBC， DAEC90， AFDFDE， DDAF， 由三角形的外角性质得，AFBD+DAF2D， ADBC， EBCD， ED2AB， ABDE， ABAF
19、， ABEAFB， ABE2EBC，即CBEABE 24 （12 分）已知，如图在ABC 中，AD、BE 分别是 BC，AC 边上的高，AD、BE 交于 H，DADB，BH AC，点 F 为 BH 的中点，ABE15 （1）求证：ADCBDH； （2）求证：DCDF 【解答】证明： （1）ADBC，BEAC， ADCBDH90， 在 RtADC 和 RtBDH 中， ， ADCBDH（HL） （2）DBDA， DBADAB45， ABE15， DBH30， DHBH， BFFH， DFBH， DFDH， ADCBDH； CDDH， DCDF 25 （14 分）如图，在ABC 中，C90，B30
20、，AC6，点 D、E、F 分别在 BC、AC、AB 上（点 E、F 不与ABC 顶点重合） ，AD 平分CAB，EFAD，垂足为 H （1）求证：AEAF； （2）若 CE4，求 BF 的长； （3）当DEF 是直角三角形时，求出 BF 的长 【解答】解： （1）AD 平分BAC，EFAD， EAHFAH，AHEAHF90， 在AEH 和AFH 中， ， AEHAFH（ASA） AEAF （2）AC6，CE4， AFAEACCE642 C90，B30， AB2AC12， BFABAF12210 （3）由（1）中结论AEHAFH 可知，AD 垂直平分 EF，故 DEDF 则当DEF 为直角三角形时，必是等腰直角三角形 那么只能是EDF90， B30，AD 平分CAB， CAD30， CDtan30AC， 设 CEx，由勾股定理得：DE 又 AEAF6x，CAB60， AEF 为等边三角形， AEAFEF6x DEF 为直角三角形 EF2DF2+DE2，即（6x）2（12+x）2+（12+x）2， 解得：x1，x2（不合题意，舍去） BF12（6x）6+x6+4
