1、第 1 页，共 19 页 2021 年贵州省毕节市高考数学诊断性考试试卷（理科） （三模）年贵州省毕节市高考数学诊断性考试试卷（理科） （三模） 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 = *| = ln(1 )+， = *| = + 1+，则 = ( ) A. ,1,1) B. ,1,1- C. ,0,1) D. 2. 若复数 z 满足(2 ) = 1(是虚数单位)，则 z的共轭复数;在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一袋中装有除颜色外完全相同的 3个黑球和 2个白球，先后两次从袋中不放回的各取一球
2、.已知第一次 取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为( ) A. 3 10 B. 2 5 C. 1 2 D. 3 5 4. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图，则剩 余几何体的表面积为( ) A. 16 B. 18 C. 16 + 23 D. 18 + 23 5. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸 被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干” 以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序 为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉，甲戌、
3、乙亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳， 共得到 60 个组合， 称六十甲子， 周而复始， 无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年， 那么 2015 年是“干支纪年法”中的( ) A. 甲辰年 B. 乙巳年 C. 丙午年 D. 乙未年 6. 若曲线 = + 1上到直线 = + 的距离为 2 的点有 4个，则实数 m的取值范围是( ) A. (,22) B. (,2) C. (2,+) D. (22,+) 7. 如图，在 中，D是 BC边的中点，E，F是线段 AD 的两个三等分点，若 = 7， = 2，则 = ( ) A. 2 B. 1 第 2 页，共 19 页 C. 1 D. 2 8
4、. 已知定义在,-上的函数 = ()的导函数 = ()的图象如图所示，给出下列命题： 函数 = ()在区间,2,4-上单调递减； 若4 (: 2 )； 函数 = ()在,-上有 3个极值点； 若2 3，则,() ()- ,() ()- 0, 0)的右焦点， 过点F的直线l与曲线C的一条渐近线垂直， 垂足为 N，与 C的另一条渐近线的交点为 M，若 = 3 ，则双曲线 C的离心率 e 的值为( ) A. 23 3 B. 6 2 C. 2 D. 5 12. 已知定义在 R 上的函数()满足：对任意 ，都有( + 1) = (1 )，且当 (,1)时， ( 1) () 0(其中()为()的导函数).
5、设 = (log23)， = (log32)， = (log34)，则 a，b， c 的大小关系是( ) A. B. C. D. 二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 10 1 10 2 + 10 3 10 4 + +10 9 10 10 = _ (用数字作答) 14. 已知公比为 q的等比数列*+的前 n 项和为，公差为 d的等差数列*+的前 n项和为，且 + = 2:1+ 2 2，则 的值为_ 15. 如图， 在三棱锥 中， 三条棱 OA， OB， OC两两垂直， = 4， = 3， = 2.分别经过三条棱 OA，OB，OC作截面平分三棱锥的体积，则这三个 截面的面积
6、的最大值为_ 16. 由集合 = *(,)|( )2+ ( )2= 9， 2+中所有点组成的图形如图阴影部分所示， 其外廓形如“心脏”，中间白色部分形如倒立的“水滴”.则阴影部分与 y轴相交的两条线段长度和为 _ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 17. 已知函数() = 1 2 2( + 3)，在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且() = 1 ()求 C； ()点 D为 AB边中点，且 = 7.给出以下条件： = 2； = 23( ) 第 4 页，共 19 页 从中仅选取一个条件，求 b 的值 18. 某年某省有40万考生参加高考.已知考试总分为750分，
7、一本院校在该省计划招生6万人.经考试后统计， 考试成绩 X服从正态分布(300,1502)，若以省计划招生数确定一本最低录取分数 ()已知(144 0)的左、右焦点分别为1，2，|12| = 4，A为椭圆上一点(不在 x 轴上)，满足 sin12:sin21 sin12 = 2 ()求椭圆 C的方程； ()过椭圆内一点(,0)( 0)且斜率为 1 的直线 l交椭圆 C于 M，N两点，设直线 OM，(为坐标 原点)的斜率分别为1，2，若对任意非零实数 m，存在实数，使得 1 1 + 1 2 = ，求实数的取值范 围 21. 已知函数() = (1 )+ ，若函数()在 = 1处的切线方程为 +
8、= + 1 ()求实数 b，m的值； ()若正项数列*+满足+1= 1,1= 1，判断并证明数列*+的单调性 22. 如图，在极坐标系 Ox中，(4, 2),(22, 4),(22, 7 4 ),(4, 3 2 )，弧 ，弧， 弧 所在圆的圆心分别是(2, 2),(2,0),(2, 3 2 )，曲线1是弧 ，曲线2是弧，曲 第 6 页，共 19 页 线3是弧，曲线 C：(,) = 0(0 2)由1，2，3构成 ()写出曲线 C 的极坐标方程，并求曲线 C与直线 = 2 ( )所围成图形的面积； ()若点 M在曲线 C 上，且| = 23，求点 M的极坐标 23. 已知函数() = | + 1|
9、 + | 2| ()解不等式() 0， 0，且( + 1) + = 1，求证：2 + 答案和解析答案和解析 1.【答案】C 【解析】解： = *| 1+， = *| 0+， = ,0,1) 故选：C 可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 本题考查了对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题 2.【答案】D 第 7 页，共 19 页 【解析】解：由题意得 = 1 2; = 2: (2;)(2:) = 2: 5 ， 则 ; = 2; 5 在复平面内对应的点在第四象限 故选：D 先结合复数的四则运算及共轭复数的概念求出 ;，然后结合复数的几何意义可求 本题主要考查了复数的四则运
10、算，共轭复数的概念及复数的几何意义，属于基础题 3.【答案】C 【解析】解：由题意知，第一次取出的是黑球的情况下，袋中剩余 2个黑球和 2个白球， 所以第二次取出的也是黑球的概率为 = 2 4 = 1 2 故选：C 先确定在第一次取出的是黑球的情况下，袋中剩余黑球和白球的个数，再求第二次取出的也是黑球的概率 值 本题考查了条件概率的计算问题，也考查了数据分析与计算问题，是基础题 4.【答案】D 【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为棱长为 2的正方体切去一个角，构成的几 何体； 如图所示： 所以表= 6 2 2 3 1 2 2 2 + 1 2 22 22 60 = 18 +
11、23 故选：D 首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积 本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积的求法，主要考查学生的运 第 8 页，共 19 页 算能力和数学思维能力，属于基础题 5.【答案】D 【解析】解：由题意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”， 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”， 2021年是“干支纪年法”中的辛丑年， 则 2020年为庚子，2019 年为己亥，2018年为戊戌，2017年为丁酉，2016年为丙申，2015 年为乙未 故选：D 利用题中给出的条件，按照规律从 2021
12、 依次倒推，直到 2015 年，即可得到答案 本题考查了进行简单的合情推理，解题的关键是正确理解“干支纪年法”的定义，属于基础题 6.【答案】A 【解析】解：画出曲线 = + 1与直线 = + 图象如下， 函数 = + 1的导函数为： = 1 ， 由 = 1 = 1得： = 1， 此时 = 1 切线方程为： 1 = 1 ( 1)， 即： = 0 设与切线平行且距离为 4的直线为： + = 0，则 | 12:(;1)2 = 2，解得： = 22 由题意可知， 22 故选：A 画出曲线 = + 1与直线 = + 图象，求曲线 = + 1的斜率为 1 的切线 = + ，再求到切线距 离等于 2的平行
13、线 = + 即可解决此题 第 9 页，共 19 页 本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题 7.【答案】B 【解析】解： 是 BC的中点，E，F是 AD上的两个三等分点， = + 3 ， = + 3 ， = 7，9 2 2= 7， = + 2 ， = + 2 ， = 2， 可得4 2 2= 2， 所以 2= 1， 2= 2， = + ， = ， = 2 2= 1 2 = 1 故选：B 由已知推出 2= 1， 2= 2，然后转化求解 即可 本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，是中档题 8.【答案】B 【解析】解：对于：()在,2,3-上
14、大于 0，,3,4-上小于 0， 所以()在,2,3-上单调递增，在,3,4-上单调递减，故错误； 对于：由图像可知，()是向下凹的， 所以4 (: 2 )，故正确； 对于：()在(,3)上大于等于 0，(3,5)上小于 0，(5,)上大于 0， 所以()在(,3)上单调递增，(3,5)上单调递减，(5,)上单调递增， 所以()在,-上只有两个极值点，故错误； 对于：由的结论，可得() () 0， 所以,() ()-,() ()- (: 2 )，进而可得是否正确； 对于：有图像可得()在(,3)上单调递增，(3,5)上单调递减，(5,)上单调递增，则()在,-上 只有两个极值点，即可判断是否正
15、确； 对于：由的结论，可得() () 0，即可判 断是否正确 本题考查导数应用，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题 9.【答案】C 【解析】解：假设甲盘中有 n块饼，从甲盘移动到乙盘至少需要次，则1= 1， 当 2时，可先将较大的饼不动，将剩余的 1块饼先移动到丙盘中，至少需要移动;1次， 再将最大的饼移动到乙盘，需要移动 1次， 最后将丙盘中所有的丙移动到乙盘中，至少需要移动;1次， 由上可知，= 2;1+ 1，且1= 1， 所以2= 21+ 1 = 3，3= 22+ 1 = 7，4= 23+ 1 = 15， 则最少需要移动的次数为 15 次 故选：C 假设甲盘中有 n 块饼，从甲盘移
16、动到乙盘至少需要次，分析得出关于*+的递推公式，确定1= 1，求出 4的值即为所求 本题考查了数列递推公式的运用，考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，考查逻辑推理的核心素 养，属于中档题 10.【答案】B 【解析】解：因为() = ln|3 + 2| ln|3 2|， 2 3， 所以() = ln| 3 + 2| ln| 3 2| = ln|3 2| ln|3 + 2| = ()， 所以()为奇函数， 因为 = 3:2 2;3 = 1 4 3;2在( 2 3, 2 3)上单调递增， 第 11 页，共 19 页 当 2 3 2 3时，() = ln(3 + 2) ln(2 3) = ln
17、3:2 2;3单调递增，B 正确 故选：B 由已知先检验()与()的关系，然后结合复合函数单调性即可判断 本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题 11.【答案】A 【解析】解：设(,0)，双曲线的渐近线方程为 = ， 设直线 l与渐近线 = 垂直，可得直线 l的方程为 = ( )， 联立 = = ( )，可得 = ， 联立 = = ( )，可得 = 2;2， 由 = 3 ，可得 = 3， 即= 2， 可得 2;2 = 2 ， 可得22 22= 2= 2+ 2，即有2= 32， 所以 = = 1 + 2 2 = 1 + 1 3 = 23 3 ， 故选：A 设(,0)，双曲线的渐近线方
18、程，直线 l的方程，联立直线 l的方程与渐近线方程，求得 M，N的纵坐标， 再由向量的坐标表示，可得 a，b，c 的关系，可得离心率 本题考查双曲线的方程和性质，以及两直线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题 12.【答案】C 【解析】解：当 (,1)时， 1 0， () 0， = ()在(,1)上单调递减， ( + 1) = (1 )， = ()的图象关于直线 = 1对称， 第 12 页，共 19 页 (log32) = (2 log32) = (log34.5)， 且 = ()在(1,+)上单调递增； 1 log34 log34.5 log333 = 3 2 = 222 log2
19、3， (log34) (log32) (log23)， 即 35 2 5 2，所以三个截面的面积的最大值为 13 故答案为： 13 根据三棱锥的体积公式，求截面面积计算即可 本题考查了棱锥的结构特征，考查了截面最大值问题，属于中档题 16.【答案】2 【解析】解： ( )2+ ( )2= 9， 2， 令 = 0，得cos2 + 2 2 + sin2 = 9， 2 2 = 8，2 = 8 ， ,2-， ,1,0-，2 ,2,0-， 由 8 ,2,0-，解得 ,4,22- ,2,22-， 阴影部分长度为22 2，4 22， 第 14 页，共 19 页 阴影部分与 y轴相交的两条线段长度和为22 2
20、 + 4 22 = 2 故答案为：2 根据题中集合 P表示的所有点组成的图形，求出 = 0时，y的值，得到图象与 y 轴交点的坐标，求出两段 阴影的长度后再计算总长度 本题圆的性质、集合概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 17.【答案】解：() () = 1 2 2( + 3) = 1 2 2( 3 3) = 3 cos2 + 1 2 = 3 2 2 1:2 2 + 1 2 = 3 2 2 1 22 = sin(2 6 )， () = sin(2 6) = 1， 0 ， 6 2 6 11 6 ， 2 6 = 2， = 3， ()若选 = 2， = 1 2( + )， 2 = 1 4(
21、2+ 2 + 2)， 7 = 1 4( 2 + 4 cos 3 + 4)， 解得 = 4或 = 6(舍去)， = 4； 若选 = 23，( )， 由2= 2+ 2 2， 得：12 = 2+ 2 ， 由(1)得 = 1 2 2+ 2+ ， 所以2+ 2= 20， = 8，解得： = 4 = 2或 = 2 = 4， 由 ，得 = 4 【解析】()先结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合已知结合 C 的范围可求； ()若选 = 2，由向量的线性表示及向量数量积的性质可求； 若选 = 23，( )，由余弦定理，结合(1)中结论可求 本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，辅助角公式，还考查了向量数量积
22、的性质及余弦定理在求解三 角形中的应用属于中档题 18.【答案】解：(1)由题意可知，X 服从正态分布，(300,1502)， 第 15 页，共 19 页 因为(144 300) 0.35，( 300) = 0.5， 所以( 144) = 0.5 0.35 = 0.15， 根据正态曲线的对称性， 则(300 456) = 0.35，( 300) = 0.5， 所以( 456) = 0.15， 若 40 万考生中一本院校招收 6万考生， 则一本院校考生占比为 6 40 = 0.15， 所以这一年一本最低录取分数为 456； (2)的可能取值为 5，20， 所以( = 20) = 1 10 = 0
23、.1， ( = 5) = 1 0.1 = 0.9， 故 X 的分布列为： X 5 20 P 0.9 0.1 所以() = 20 0.1 + 5 0.9 = 6.5， 又因为一本院校招生一共 6 万人，每人的花费期望值为6.5元， 故总额为6.5 6 = 39万元 【解析】(1)由正态分布的性质，以及对称性代入数值计算，由此分析判断即可； (2)先确定 X 的可能取值，再由概率公式计算出 X对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即 可 本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，正态分布曲线的特点以及曲 线所表示意义的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于
24、中档题 19.【答案】 ()证明： 连结 DF， 在1上取一点 G， 使得1 = 1， 连结 EG， 1， 因为1/1且1 = 1，所以四边形11是平行四边形， 则/11且 = 11， 又因为11/11且11= 11， 第 16 页，共 19 页 所以四边形11是平行四边形， 则1/1， 由1 = = 1 = 1 41，则 = 1 = 3 41，且/1， 所以四边形1是平行四边形， 则1/，所以1/， 故 E，D，F，1四点共面； ()解：设1= 4，则 = 4， = 2， = 3， = 1，1= 4， 以 AC与 BD的交点 O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则(0,2,0)， (
25、1,0， 0)， (0,2， 0)， (1,0， 0)， (0,2,3)， 1(1,0， 4)， (0,2， 1)， 所以 = (1,2,1),1 = (1,2,1),1 = (1,2,3)， 设平面1的法向量为 = (,)， 则有 1 = 0 1 = 0，即 + 2 + = 0 + 2 + 3 = 0， 令 = 4，则 = (4,1,2)， 则|cos | = | | | | | = 8 621 = 414 21 ， 故直线 BF与平面1所成角的正弦值为414 21 【解析】()连结 DF，在1上取一点 G，使得1 = 1，连结 EG，1，利用平面几何知识分别证明 四边形11、11G、1是平
26、行四边形，则可证1/，即可证明四点共面； ()建立合适的空间直角坐标系， 求出所需点的坐标和向量的坐标， 然后利用待定系数法求出平面的法向量， 由向量的夹角公式求解即可 本题考查了四点共面的证明，线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角 坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题 20.【答案】解：()在 12中，由正弦定理可得： |2| 2 :|1| 2 |12| 2 = 2， 所以 |2|:|1| |12| = 2， 所以2 2 = 2，即 = 2， 因为|12| = 2 = 4， 第 17 页，共 19 页 所以 = 2， = 22， 所以2=
27、2 2= 8 4 = 4， 所以椭圆 C的方程为 2 8 + 2 4 = 1 ()直线 l的方程为 = + ， 联立 = + 2 8 + 2 4 = 1 ，得(2+ 2)2+ 2 + 2 8 = 0， 设(1,1)，(2,2)， 所以1+ 2= ;2 2:2，12 = 2;8 2:2， 所以 1 1 + 1 2 = 1 1 + 2 2 = 12:21 12 = (1:)2:(2:)1 12 = 212:(1:2) 12 = 221622 2+2 28 2+2 = ;16 2;8 = 16 8;2 = ， 因为 0， 所以 = 16 8;2， 因为(,0)在椭圆内且 0， 所以0 2 8， 所以
28、 (2,+) 【解析】 ()在 12中， 由正弦定理可得： |2|:|1| |12| = 2， 由椭圆的定义可得 = 2， 由|12| = 2 = 4， 解得 c，a，b，即可得出答案 ()设(1,1)， (2,2)， 联立直线 l与椭圆的方程， 得关于 y的一元二次方程， 结合韦达定理可得1+ 2， 12，再化简计算 1 1 + 1 2 = ，得 = 16 8;2，由(,0)在椭圆内且 0，得0 2 0时，() = 0时，函数()递减， () 0， () 2， () 2 0， +1 = ();2 0， +1 ， :1 ，数列*+是递减数列 【解析】(1)根据导数几何意义和切点列方程组可解决此
29、问题； (2)结合(1)中函数单调性，证明+1 0可解决此题 本题考查导数应用、数列单调性，考查数学运算能力及推理能力，属于难题 22.【答案】解：(1)在极坐标系 Ox 中，(4, 2),(22, 4),(22, 7 4 ),(4, 3 2 )，弧 ，弧，弧所在圆 的圆心分别是(2, 2),(2,0),(2, 3 2 )， 曲线 C的极坐标方程为 = 4 ( 4 2) 4(0 4 或 7 4 2) 4(3 2 7 4 ) 所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成， 所以面积为： = 1 4 22 2 + 1 2 2 2 + 2 4 = 4 + 8 (2)设曲线 C 上一点(,
30、)， 由题设若 4 2，由4 = 23， 得 = 3 2 ， = 3； 若0 4或 7 4 2 3,1 2 2 + 1, 2时，() + 4 2 1 + 4，解得： 5， 2 5 当1 2时，() + 4 3 1， 1 2 当 1时，() + 4 2 + 1 1， 此时 x 无解 综上，() + 4的解集为*| 1 0， 0， 1 + 1 = ( 1 + 1 )(4 + ) = 4 + + 4 + 1 2 4 + 5 = 9， 当且仅当 = 4 ，即 = 2 = 1 3时取“=”， 2 + 成立 【解析】()去绝对值写出分段函数解析式，转化为一元一次不等式，求解后取并集得答案； ()由()可得 k值，把问题转化为证明 1 + 1 9，由“1”的代换结合基本不等式即可证明 本题考查分段函数的应用，考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题
