1、2021 年浙江省杭州市中考数学仿真试卷年浙江省杭州市中考数学仿真试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）题目要求的） 1下列运算正确的是（ ） A （2a2b 1）2 B （a+b）2a2+b2 C32 D+ 2已知 a+b2，ab3，则（3a） （3b）的值为（ ） A2 B3 C0 D1 3如果 x 是最大的负整数，y 是绝对值最小的整数，则x2017+y 的值是（ ） A2017 B1 C1 D2017 4如图，AB
2、是斜靠在墙上的长梯，AB 与地面夹角为 ，当梯顶 A 下滑 1m 到 A时，梯脚 B 滑到 B， AB与地面的夹角为 ，若 tan，BB1m，则 cos（ ） A B C D 5已知 x4 是关于 x 的方程 kx+b0（k0，b0）的解，则关于 x 的不等式 k（x3）+2b0 的解集是 （ ） Ax11 Bx11 Cx7 Dx7 6函数 y|x1|的图象是（ ） A B C D 7 某校为了解学生的出行方式， 通过调查制作了如图所示的条形统计图， 由图可知， 下列说法错误的是 （ ） A步行的人数最少 B骑自行车的人数为 90 C步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多 D坐公共汽车的
3、人数占总人数的 50% 8 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的顶点坐标为 （1， n） ， 其部分图象如图所示， 下面结论错误的是 （ ） Aabc0 B4acb20 C关于 x 的方程 ax2+bx+cn+1 无实数根 D关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的正实数根 x1取值范围为：1x12 9如图，AB 是O 的直径，EF，EB 是O 的弦，连接 OF，若AOF40，则E 的度数是（ ） A40 B50 C55 D70 10如图，正方形 ABCD 的边长为 5，动点 P 的运动路线为 ABC，动点 Q 的运动路线为 BD点 P 与 Q 以相同的均匀速度分别从 A，B 两点同时出
4、发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之 停止设点 P 运动的路程为 x，BPQ 的面积为 y，则 y 随 x 变化的函数图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）若关于 x 的分式方程2a 无解，则 a 的值为 12 （4 分）如图，将直尺与 30角的三角尺叠放在一起，若140，则2 13 （4 分）若多项式 x3+x+m 含有因式 x2x+2，则 m 的值是 14 （4 分）在2，0，1，2 这四个数中任取两数 m，n，则二次函数 y（xm）2+n 的顶点在坐标轴上
5、的 概率为 15 （4 分）如图，O 的半径为 5，弦 AB6，弦 AC弦 BD，点 P 为 CD 的中点，若点 D 在圆上逆时针 运动的路径长为，则点 P 运动的路径长为 16 （4 分）如图，在第一象限内作与 x 轴的夹角为 30的射线 OC，在射线 OC 上取点 A，过点 A 作 AH x 轴于点 H，在抛物线 yx2（x0）上取一点 P，在 y 轴上取一点 Q，使得 P，O，Q 为顶点的三角形与 AOH 全等，则符合条件的点 A 有 个 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 小题，共小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演
6、算步骤） 17 （6 分）解方程： （1）2（x+1）1（x+3） （2）+1 18 （8 分） （1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自 的成绩如下表所示： 应聘者 专业知识 讲课 答辩 甲 70 85 80 乙 90 85 75 丙 80 90 85 按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权 5：4：1请计算三名应聘者的平均成绩，从成 绩看，应该录取谁？ （2）我市举行了某学科实验操作考试，有 A、B、C、D 四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验 的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验小王，小张，小厉都参加了本次考试 小厉参加实验
7、 D 考试的概率是 ； 用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率 19 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，连接 AC、BD 相交于点 E （1）如图 1，若 ACBD，求证：AEDE； （2）如图 2，若 ACBD，连接 OC，求证：OCDACB 20 （10 分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度 v（千米/小时）与所用时间 t（小时）的函数关系如 图所示，其中 60v120 （1）求 v 与 t 的函数关系式及 t 值的取值范围； （2）客车上午 8 点从甲地出发 客车需在当天 14 点 40 分至 15 点 30 分（含 14 点 40 分与 15 点 30 分
8、）间到达乙地，求客车行驶速度 v 的范围； 客车能否在当天 12 点 30 分前到达乙地？说明理由 21 （10 分）已知，如图，ABC 中，ABC90，ABBC，ADE90，ADDEAC，连接 BD， CE （1）如图 1，当点 D 恰好在 AC 上时，则 ； （2）如图 2， 如果ADE 绕点 A 顺时针旋转一周， 在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）若 AC4，在旋转的过程中，请直接写出 CE 的最大值和最小值 22 （12 分）如图，在 RtABC 中，C90，以 BC 为直径的O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC 的
9、中 点，连接 MH （1）求证：MH 为O 的切线 （2）若 MH，tanABC，求O 的半径 （3）在（2）的条件下分别过点 A、B 作O 的切线，两切线交于点 D，AD 与O 相切于 N 点，过 N 点 作 NQBC，垂足为 E，且交O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度 23 （12 分）已知抛物 yax2+bx （1）若抛物线与一次函数 yx1 有且只有一个公共点，求 a、b 满足的关系式； （2） 设点 Q 为抛物线上的顶点， 点 P 为平面内一点， 若点 P 坐标为 （2， 2） ， SOPQ3， 且 OPOQ， 抛物线经过点 A（m，n）和点 B（4m，n） ，直线 PB 与抛物线
10、的另一交点为 C 求抛物线的解析式； 证明：对于任意实数 m，直线 AC 必过一定点 2021 年浙江省杭州市中考数学仿真试卷年浙江省杭州市中考数学仿真试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）题目要求的） 1下列运算正确的是（ ） A （2a2b 1）2 B （a+b）2a2+b2 C32 D+ 【分析】根据积的乘方，完全平方公式，二次根式的加减，分式的加减，分别计算各选项即可 【解答】解
11、：A 选项，原式4a4b 2 ，故该选项正确，符合题意； B 选项， （a+b）2a2+2ab+b2，故该选项错误，不符合题意； C 选项，原式2，故该选项错误，不符合题意； D 选项，原式，故该选项错误，不符合题意 故选：A 2已知 a+b2，ab3，则（3a） （3b）的值为（ ） A2 B3 C0 D1 【分析】利用多项式乘以多项式的计算法则进行计算，然后代入求值即可 【解答】解： （3a） （3b）93a3b+ab93（a+b）+ab， a+b2，ab3， （3a） （3b）932+（3）0， 故选：C 3如果 x 是最大的负整数，y 是绝对值最小的整数，则x2017+y 的值是（ ）
12、 A2017 B1 C1 D2017 【分析】根据有理数的有关概念得出 x、y 的值，再代入计算即可 【解答】解：根据题意知 x1，y0， 则原式（1）2017+0 （1） 1， 故选：C 4如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，AB 与地面夹角为 ，当梯顶 A 下滑 1m 到 A时，梯脚 B 滑到 B， AB与地面的夹角为 ，若 tan，BB1m，则 cos（ ） A B C D 【分析】在直角ABC 中，由 tan，可设 AC4x，那么 BC3x，根据勾股定理求出 AB5x，那么 ABAB5x在直角ABC 中，根据勾股定理列出方程（4x1）2+（3x+1）2（5x）2，求 出 x1，然后利用余弦
13、函数的定义即可求解 【解答】解：如图在直角ABC 中，ACB90，tan， 可设 AC4x，那么 BC3x， AB5x， ABAB5x 在直角ABC 中，ACB90，AC4x1，BC3x+1， （4x1）2+（3x+1）2（5x）2， 解得 x1， AC3，BC4，AB5， cos 故选：A 5已知 x4 是关于 x 的方程 kx+b0（k0，b0）的解，则关于 x 的不等式 k（x3）+2b0 的解集是 （ ） Ax11 Bx11 Cx7 Dx7 【分析】将 x4 代入方程，求出 b4k0，求出 k0，把 b4k 代入不等式，再求出不等式的解 集即可 【解答】解：x4 是关于 x 的方程 k
14、x+b0（k0，b0）的解， 4k+b0， 即 b4k0， k0， k（x3）+2b0， kx3k8k0， kx11k， x11， 故选：B 6函数 y|x1|的图象是（ ） A B C D 【分析】根据函数解析式求得该函数的性质，然后再作出选择 【解答】解：函数 y|x1|， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小； 故选：B 7 某校为了解学生的出行方式， 通过调查制作了如图所示的条形统计图， 由图可知， 下列说法错误的是 （ ） A步行的人数最少 B骑自行车的人数为 90 C步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多 D坐公共汽车的人数占总人数的
15、 50% 【分析】根据条形统计图中所反映的信息，逐项进行判断即可 【解答】解：由条形统计图可知，出行方式中步行的有 60 人，骑自行车的有 90 人，乘公共汽车的有 150 人， 因此得出的总人数为 60+90+150300（人） ，乘公共汽车占100%50%，60+90150（人） ， 所以选项 A、B、D 都是正确的，因此不符合题意； 选项 C 是不正确的，因此符合题意； 故选：C 8 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的顶点坐标为 （1， n） ， 其部分图象如图所示， 下面结论错误的是 （ ） Aabc0 B4acb20 C关于 x 的方程 ax2+bx+cn+1 无实数根 D关
16、于 x 的方程 ax2+bx+c0 的正实数根 x1取值范围为：1x12 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与 y 轴的交点可以对 A 进行判断；根据抛物线与 x 轴 的交点情况可对 B 进行判断；根据抛物线 yax2+bx+c 与直线 yn+1 无交点，可对 C 进行判断；根据抛 物线的对称性，可对 D 进行判断 【解答】解：A抛物线开口向下， a0， 对称轴为直线 x1， b2a0， 抛物线与 y 轴交于正半轴， c0， abc0， 故 A 正确； B抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，即 4acb20， 故 B 正确； C抛物线开口向下，顶点为（1，n） ， 函数有最大
17、值 n， 抛物线 yax2+bx+c 与直线 yn+1 无交点， 一元二次方程 ax2+bx+cn+1 无实数根， 故 C 正确； D抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的一个交点在（3，0）和（2，0）之间， 抛物线与 x 轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间， 于 x 的方程 ax2+bx+c0 的正实数根 x1取值范围为：0 x11， 故 D 错误； 故选：D 9如图，AB 是O 的直径，EF，EB 是O 的弦，连接 OF，若AOF40，则E 的度数是（ ） A40 B50 C55 D70 【分析】连接 FB，得到FOB140，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解 【解答
18、】解：AOF40， FOB18040140， EFOB70 故选：D 10如图，正方形 ABCD 的边长为 5，动点 P 的运动路线为 ABC，动点 Q 的运动路线为 BD点 P 与 Q 以相同的均匀速度分别从 A，B 两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之 停止设点 P 运动的路程为 x，BPQ 的面积为 y，则 y 随 x 变化的函数图象大致是（ ） A B C D 【分析】分两种情况：P 点在 AB 上运动和 P 点在 BC 上运动时；分别求出解析式即可 【解答】解： （1）点 P 在 AB 上运动时，0 x5，如右图， 正方形 ABCD 的边长为 5，点 P 与 Q
19、 以相同的均匀速度分别从 A，B 两点同时出发， 作 QEAB 交 AB 于点 E， 则有 APPQx，EBQDQC45， BP5x，QEx， BPQ 的面积为：yBPQEx2+x（0 x5） ， 此时图象为抛物线开口方向向下； （2）点 P 在 BC 上运动时，5x5，如右图， 正方形 ABCD 的边长为 5，点 P 与 Q 以相同的均匀速度分别从 A，B 两点同时出发， 作 QEBC 交 BC 于点 E， 则有 AP+BPBQx，DQC45， BPx5，QEx， BPQ 的面积为：yBPQE（x5）xx2x（5x5） ， 此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且 y 随 x 的增大而增大；
20、 综上，只有选项 B 的图象符合， 故选：B 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）若关于 x 的分式方程2a 无解，则 a 的值为 0.5 或 1.5 【分析】直接解分式方程，再分类讨论当 12a0 时，当 12a0 时，分别得出答案 【解答】解：2a， 去分母得：x2a2a（x3） ， 整理得： （12a）x4a， 当 12a0 时，方程无解，故 a0.5； 当 12a0 时，x3 时，分式方程无解，则 a1.5， 则 a 的值为 0.5 或 1.5 故答案为：0.5 或 1.5 12 （4 分）如图，
21、将直尺与 30角的三角尺叠放在一起，若140，则2 80 【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论 【解答】解：如图， 由题意得，360， 140， 4180604080， ABCD， 4280， 故答案为：80 13 （4 分）若多项式 x3+x+m 含有因式 x2x+2，则 m 的值是 2 【分析】设另一个因式是 x+a，根据已知得出（x2x+2） （x+a）x3+x+m，再进行化简，即可求出 a、 m 值 【解答】解：多项式 x3+x+m 含有因式 x2x+2， 设另一个因式是 x+a， 则（x2x+2） （x+a）x3+x+m， （x2x+2） （x+a） x3+ax2x2ax
22、+2x+2a x3+（a1）x2+（a+2）x+2a， a10，2am， 解得：a1，m2， 故答案为：2 14 （4 分）在2，0，1，2 这四个数中任取两数 m，n，则二次函数 y（xm）2+n 的顶点在坐标轴上的 概率为 【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，根据二次函数的性质确定顶点在坐标轴上的结果数， 然后利用概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中二次函数 y（xm）2+n 的顶点在坐标轴上的结果数为 6， 所以二次函数 y（xm）2+n 的顶点在坐标轴上的概率， 故答案为： 15 （4 分）如图，O 的半径为 5，弦 AB6，弦 AC
23、弦 BD，点 P 为 CD 的中点，若点 D 在圆上逆时针 运动的路径长为，则点 P 运动的路径长为 【分析】如图，连接 OA，OB，AD，OP，OD，过点 O 作 OHAB 于 H证明OHACPO（AAS） ， 推出 OPAH3，推出点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心，OP 为半径的圆，求出点 D 旋转的角度即可解决 问题 【解答】解：如图，连接 OA，OB，AD，OP，OD，过点 O 作 OHAB 于 H ACBD， DAC+ADB90， DOC2DAC，AOB2ADB， DOC+AOB180， OHAB，DPPC， OPCD，AHHBAB3， OAOBOCOD， AOHBOH，COPDO
24、P， AOH+COP90， AOH+OAH90， COPOAH， AHOCPO90，OAOC， OHACPO（AAS） ， OPAH3， 点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心，OP 为半径的圆， 点 D 在圆上逆时针运动的路径长为，设圆心角为 n， ， n60， OD，OP 的旋转角度相等， 点 P 的运动路径的长 故答案为： 16 （4 分）如图，在第一象限内作与 x 轴的夹角为 30的射线 OC，在射线 OC 上取点 A，过点 A 作 AH x 轴于点 H，在抛物线 yx2（x0）上取一点 P，在 y 轴上取一点 Q，使得 P，O，Q 为顶点的三角形与 AOH 全等，则符合条件的点 A 有
25、4 个 【分析】此题应分四种情况考虑： POQOAH60，此时 A、P 重合，可联立直线 OA 和抛物线的解析式，即可得 A 点坐标； POQAOH30，此时POH60，即直线 OP：yx，联立抛物线的解析式可得 P 点坐 标， 进而可求出 OQ、PQ 的长，由于POQAOH，那么 OHOQ、 AHPQ，由此得到点 A 的坐标 当OPQ90，POQAOH30时，此时QOPAOH； 当OPQ90，POQOAH60，此时OQPAOH； 【解答】解：当POQOAH60，若以 P，O，Q 为顶点的三角形与AOH 全等，那么 A、P 重合； 由于AOH30，设 A 坐标为（a，b） ， 在直角三角形 O
26、AH 中，tanAOHtan30， 设直线 OA 的方程为 ykx，把 A 的坐标代入得 k， 所以直线 OA：yx，联立抛物线的解析式， 得：， 解得 ，； 故 A（，） ； 当POQAOH30，此时POQAOH； 易知POH60，则直线 OP：yx，联立抛物线的解析式， 得：， 解得 ，； 故 P（，3） ，那么 A（3，） ； 当OPQ90，POQAOH30时，此时QOPAOH； 易知POH60，则直线 OP：yx，联立抛物线的解析式， 得：， 解得 、， 故 P（，3） ， OP2，QP2， OHOP2，AHQP2， 故 A（2，2） ； 当OPQ90，POQOAH60，此时OQPAO
27、H； 此时直线 OP：yx，联立抛物线的解析式， 得：， 解得 、， P（，） ， QP，OP， OHQPQP，AHOP， 故 A（，） 综上可知：符合条件的点 A 有四个，且坐标为： （，）或（3，）或（2，2）或（，） 故答案为：4 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 小题，共小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）解方程： （1）2（x+1）1（x+3） （2）+1 【分析】 （1）方程去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，
28、即可求出解 【解答】解： （1）去括号得：2x+21x3， 移项合并得：3x4， 解得：x； （2）去分母得：10 x14+129x3， 移项合并得：x1 18 （8 分） （1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自 的成绩如下表所示： 应聘者 专业知识 讲课 答辩 甲 70 85 80 乙 90 85 75 丙 80 90 85 按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权 5：4：1请计算三名应聘者的平均成绩，从成 绩看，应该录取谁？ （2）我市举行了某学科实验操作考试，有 A、B、C、D 四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验 的考试，并由
29、学生自己抽签决定具体的考试实验小王，小张，小厉都参加了本次考试 小厉参加实验 D 考试的概率是 ； 用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率 【分析】 （1）根据加权平均数分别计算三人的平均成绩，比较大小即可得； （2）根据概率公式即可得；列表得出所有等可能的情况数，找出两位同学抽到同一实验的情况数， 即可求出所求概率 【解答】解： （1）77（分） ， 86.5（分） ， 84.5（分） ， 因为乙的平均成绩最高， 所以应该录取乙； （2）小厉参加实验 D 考试的概率是， 故答案为：； 解：列表如下： A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C
30、AC BC CC DC D AD BD CD DD 所有等可能的情况有 16 种，其中两位同学抽到同一实验的情况有 AA，BB，CC，DD，4 种情况， 所以小王、小张抽到同一个实验的概率为 19 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，连接 AC、BD 相交于点 E （1）如图 1，若 ACBD，求证：AEDE； （2）如图 2，若 ACBD，连接 OC，求证：OCDACB 【分析】 （1）利用 ACBD 得到，则，然后根据圆周角定理得到ADBCAD，从而 得到结论； （2）作直径 CF，连接 DF，如图 2，先利用垂直定义得到ADE+CAD90，再利用圆周角定理得 到ACBADE，FC
31、AD，CDF90，然后根据等角的余角相等得到结论 【解答】证明： （1）ACBD， ， 即+， ， ADBCAD， AEDE； （2）作直径 CF，连接 DF，如图 2， ACBD， AED90， ADE+CAD90， ACBADE，FCAD， ACB+F90， CF 为直径， CDF90， F+FCD90， ACBFCD， 即OCDACB 20 （10 分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度 v（千米/小时）与所用时间 t（小时）的函数关系如 图所示，其中 60v120 （1）求 v 与 t 的函数关系式及 t 值的取值范围； （2）客车上午 8 点从甲地出发 客车需在当天 14 点 40
32、 分至 15 点 30 分（含 14 点 40 分与 15 点 30 分）间到达乙地，求客车行驶速度 v 的范围； 客车能否在当天 12 点 30 分前到达乙地？说明理由 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）当 t（8 点到下午 14 点 40 分）时，v60090（千米/小时） ，当 t时，v 60080（千米/小时） ，即可求解； 当天 12 点 30 分到达时，t4.5 小时5，而 5t10，即可求解 【解答】解： （1）设 v 与 t 的函数关系式为 v， 将（5，120）代入 v，得：120， 解得：k600， v 与 t 的函数关系式为 v（5t10） ； （2）当 t（
33、8 点到下午 14 点 40 分）时，v60090（千米/小时） ， 当 t时，v60080（千米/小时） ， 客车行驶速度 v 的范围为 80 千米/小时v90 千米/小时； 当天 12 点 30 分到达时，t4.5 小时5， 而 5t10， 故客车不能在当天 12 点 30 分前到达乙地 21 （10 分）已知，如图，ABC 中，ABC90，ABBC，ADE90，ADDEAC，连接 BD， CE （1）如图 1，当点 D 恰好在 AC 上时，则 ； （2）如图 2， 如果ADE 绕点 A 顺时针旋转一周， 在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请说明理
34、由； （3）若 AC4，在旋转的过程中，请直接写出 CE 的最大值和最小值 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可求 BDCD，CECD，即可求解； （2）通过证明DABEAC，可得结论； （3）由点 D 在以点 A 为圆心，AD 为半径的圆上，可得当点 D 在线段 AB 上时，BD 有最小值为 2 2，当点 D 在 BA 的延长线上时，BD 有最大值为 2+2，即可求解 【解答】解： （1）当点 D 恰好在 AC 上时， ADAC， ADDCACDE， ABC90ADE， BDCD，CECD， ， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下： 连接 AE， ADDE，ADE90， DAE45，
35、 ， ABBC，ABC90， BAC45， ， ，DAEBAC， DABEAC， DABEAC， ； （3）ADAC，AC4， AD2， ABBC，ABC90，AC4， ABBC2， ADE 绕点 A 顺时针旋转一周， 点 D 在以点 A 为圆心，AD 为半径的圆上，如图 3， 当点 D 在线段 AB 上时，BD 有最小值为 22， 当点 D 在 BA 的延长线上时，BD 有最大值为 2+2， ， CE 的最大值为 4+2，最小值为 42 22 （12 分）如图，在 RtABC 中，C90，以 BC 为直径的O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC 的中 点，连接 MH （1）求证：MH
36、为O 的切线 （2）若 MH，tanABC，求O 的半径 （3）在（2）的条件下分别过点 A、B 作O 的切线，两切线交于点 D，AD 与O 相切于 N 点，过 N 点 作 NQBC，垂足为 E，且交O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度 【分析】 （1）连接 OH、OM，易证 OH 是ABC 的中位线，利用中位线的性质可证明COHMOH， 所以HCOHMO90，从而可知 MH 是O 的切线； （2）由切线长定理可知：MHHC，再由点 M 是 AC 的中点可知 AC3，由 tanABC，所以 BC 4，从而可知O 的半径为 2； （3）连接 CN，AO，CN 与 AO 相交于 I，由 AC、AN
37、 是O 的切线可知 AOCN，利用等面积可求出可 求得 CI 的长度，设 CE 为 x，然后利用勾股定理可求得 CE 的长度，利用垂径定理即可求得 NQ 【解答】解： （1）连接 OH、OM， H 是 AC 的中点，O 是 BC 的中点， OH 是ABC 的中位线， OHAB， COHABC，MOHOMB， 又OBOM， OMBMBO， COHMOH， 在COH 与MOH 中， ， COHMOH（SAS） ， HCOHMO90， MH 是O 的切线； （2）MH、AC 是O 的切线， HCMH， AC2HC3， tanABC， ， BC4， O 的半径为 2； （3）连接 OA、CN、ON，O
38、A 与 CN 相交于点 I， AC 与 AN 都是O 的切线， ACAN，AO 平分CAD， AOCN， AC3，OC2， 由勾股定理可求得：AO， ACOCAOCI， CI， 由垂径定理可求得：CN， 设 OEx， 由勾股定理可得：CN2CE2ON2OE2， （2+x）24x2， x， OE， 由勾股定理可求得：EN， 由垂径定理可知：NQ2EN 另解：先证明：AOCCNE， ， 由勾股定理可知：OA24+913， OA， 在AOC 中，CIOA， CIOA23， CI， CN， ， NE， NQ2EN 23 （12 分）已知抛物 yax2+bx （1）若抛物线与一次函数 yx1 有且只有一
39、个公共点，求 a、b 满足的关系式； （2） 设点 Q 为抛物线上的顶点， 点 P 为平面内一点， 若点 P 坐标为 （2， 2） ， SOPQ3， 且 OPOQ， 抛物线经过点 A（m，n）和点 B（4m，n） ，直线 PB 与抛物线的另一交点为 C 求抛物线的解析式； 证明：对于任意实数 m，直线 AC 必过一定点 【分析】 （1）根据题意，列出一元二次方程后，根据根的判别式等于 0，列方程即可； （2）由抛物线经过点 A（m，n）和点 B（4m，n） ，可求得对称轴为 x2，根据 SOPQ3，可求得 点 Q 的坐标，进而可求得抛物线解析式； 运用待定系数法和根与系数关系表示出 AC 解析
40、式，根据解析式即可判断经过的定点 【解答】解： （1）由题意得，方程 ax2+bxx1 有两个相等的实数根， （b+1）24a0， a； （2）抛物线经过点 A（m，n）和点 B（4m，n） ， 抛物线对称轴为直线 x2， 设 Q（2，q） ， P（2，2） ， PQy 轴， SOPQPQ2PQ，SOPQ3， PQ3， OPOQ， Q 点的坐标为（2，1） ， 设抛物线解析式为 ya（x2）2+1，把（0，0）代入得：a， 抛物线解析式为 y（x2）2+1，即 yx2+x； 证明：设直线 PB 的解析式为 ykx+b，把 P（2，2）代入得：22k+b， b22k， 直线 PB 的解析式为 y
41、kx22k， 直线 PB 与抛物线 yx2+x 交于 B，C， x2+xkx22k， 化简得：x2+（k1）x22k0， xB+xC4（k1） ，xBxC88k， 设直线 AC 的解析式为 yfx+d，与抛物线交于点 B，C， x2+xfx+d， 化简得：x2+（f1）x+d0， xA+xC4（f1） ，xAxC4d， xB+xC+xA+xC4（k1）4（f1） ，xBxC+xAxC88k+4d， xA+xB4， xC2k2f+2，xCd22k， 2k2f+2d22k， 2f+4d， 直线 AC 的解析式为 yfx2f+4f（x2）+4， 当 x2 时，y4， 直线 AC 必过定点（2，4）
