1、专题专题 19 19 三角形综合三角形综合 1直线 MN 与直线 PQ 相交于 O，POM60 ，点 A 在射线 OP 上运动，点 B 在射线 OM 上运动 （1）如图 1，BAO70 ，已知 AE、BE 分别是BAO 和ABO 角的平分线，试求出AEB 的度数 （2） 如图 2， 已知 AB 不平行 CD， AD、 BC 分别是BAP 和ABM 的角平分线， 又 DE、 CE 分别是ADC 和BCD 的角平分线，点 A、B 在运动的过程中，CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明 理由；若不发生变化，试求出其值 （3）在（2）的条件下，在 CDE 中，如果有一个角是另一个角的 2 倍
2、，请直接写出DCE 的度数 解：（1）如图 1 中，BE 平分ABO，AE 平分BAO， EBA+EAB（ABO+BAO）（180 AOB）60 ， AEB180 （EBA+EAB）120 （2）CED 的大小不变 如图 2，延长 AD、BC 交于点 F 直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O， AOB60 ， OAB+OBA120 ， PAB+MBA240 ， AD、BC 分别是BAP 和ABM 的角平分线， BADBAP，ABC ABM， BAD+ABC（PAB+ABM）120 ， F60 ， FDC+FCD120 ， CDA+DCB240 ， DE、CE 分别是ADC 和BCD 的角平
3、分线， CDE+DCE120 ， CDE 中，E180 120 60 （3）由（2）可知，EDC+ECD120 ， ECD 中有一个角是另一个角的 2 倍， ECD2EDC 或EDC2ECD， DCE40 或 80 2已知：在 Rt ABC 中，ABC90 ，ABBC，以 B 为顶点作 Rt BDE，BDBE，DBE90 ，连接 AD、CE （1）如图 1，若CBE120 ，ADBD，BE2.5，求 ABC 的面积； （2）如图 2，若 F 为 AD 的中点，连接 FB 并延长交 CE 于 H，求证：FHCE； （3）如图 3，CBE120 ，G 为 AB 上一点，BGBD，连接 DG，F 为
4、 AD 上一点，FBGFDG， 连接 FG，过 A 作 AHGF 于 H，若 S CBE36，S BDF26，GF+DF9，请直接写出 AH 的长 （1）解：如图 1 中， ABCDBE90 ，CBE120 ， ABD360 90 90 120 60 ， ADBD， ADB90 ， BAD30 ， DBBE2.5， ABBC2BD5， S ABCABBC （2）证明：如图 2 中，延长 BF 到 M，使得 FMBF，连接 AM，DM AFDF，BFFM， 四边形 ABDM 是平行四边形， AMBD，AMBD， BDBE， AMBE， ABD+CBE180 ，ABD+BAM180 ， CBEBA
5、M， BAAB， CBEBAM（SAS）， BCEABM， ABM+CBH90 ， BCE+CBH90 ， CHB90 ， FHEC （3）解：如图 3 中，过点 A 作 ANBF 交 BF 的延长线于 N在 BF 上取一点 J，使得FGJ60 CBE120 ，ABCDBE90 ， DBG60 ， BDBG， BDG 是等边三角形， GBGD，BGDFGJ60 ， BGJDGF， GBJGDF，GBGD， GBJGDF（ASA）， GJGF，BJDF， FGJ60 ， GFJ 是等边三角形， FJFG， FG+DFFJ+JBFB9， 由（1）可知，S BCES ABMS平行四边形ABDMS A
6、BD36， S BDF26， S ABF362610 9 AN， AN ， GBFFDG， DFBBGD60 GFJ60 ， AFH60 ，AFNDFB60 ， AFHAFN， AHFG，ANFN， AHAN 3已知BAM+MDC180 ，ABAM，DCDM，连接 BC，N 为 BC 的中点 （1）定理“等边对等角”即：对于任意 ABC 若满足 ABAC，则ABC ； 如图 1 若 A、M、D 共线，若BAM70 ，求NDC 的大小； （2）如图 2，A、M、D 不共线时，求ANB+DNC 的值 解：（1）在 ABC 中，ABAC， ABCACB， 故答案为：ACB； （2）如图 1，连接 A
7、N，并延长交 DC 的延长线于 H， BAM+MDC180 ， ABCD，ADC180 BAM110 ， BANCHN， 在 ABN 和 HCN 中， ， ABNHCN（AAS）， ABCH，ANHN， ABAM，DCDM， AM+MDCH+DC， 即 ADDH， 又ANNH， ADNHDN55 ； （3）如图 2，延长 DN 至 I 使，NIDN，连接 AI，AD， 在 DNC 和 INB 中， ， DNCINB（SAS）， DCIBMD，CIBN，INDN， BAM+MDC180 ，M+BAM+MDC+C+ABC540 ， M+ABC+C360 ， 又ABC+IBN+ABI360 ， MA
8、BI， 又ABAM，MDCDBI， AMDABI（SAS）， AIAD， 又NIDN， ANDANI90 ， ANB+DNC90 4如图，Rt ABC 中，BCA90 ，ACBC，点 D 是 BC 的中点，CEAD 于 E，BFAC 交 CE 的延长 线于点 F （1）求证： ACDCBF； （2）连结 DF，求证：AB 垂直平分 DF； （3）连结 AF，试判断 ACF 的形状，并说明理由 （1）证明：CEAD， BCF+ADC90 ， BCA90 ，BFAC， CBF180 BCA90 ， BCF+CFB90 ， CFBADC， 在 ACD 和 CBF 中， ACDCBF（AAS）； （2
9、）证明：由（1）得： ACDCBF， CDBF， D 为 BC 的中点， CDBD， BFBD， BCA90 ，ACBC， ABC45 ， ABF90 ABC45 ， ABCABF， BFBD， AB 垂直平分 DF； （3）解： ACF 是等腰三角形，理由如下： 由（1）得： ACDCBF， ADCF， 由（2）得：AB 垂直平分 DF， ADAF， AFCF， ACF 是等腰三角形 5（1）若 ABCBAD，则BAC 对应 ，BA 对应 ； （2）如图 1，海岸上有 A，B 两个观测点，点 B 在点 A 的正东方，海岛 C 在观测点 A 的正北方，海岛 D 在观测点B的正北方， 如果从观测
10、点A看海岛C， D的视角CAD与从观测点B看海岛C， D的视角CBD 相等，那么海岛 C，D 到观测点 A，B 所在海岸距离 CA，DB 相等，请说明理由 （3）在（2）的条件下，在 A 的正北方向有一个海岛 K，通过测量得到 KB 长度是 368 海里，如图 2 所 示求 BK 中点 G 到 A 的距离 （1）解：若 ABCBAD，则BAC 对应ABD，BA 对应 AB； 故答案为：ABD，AB； （2）证明：如图 1 所示： CADCBD，COADOB， CD， 又点 B 在点 A 的正东方，海岛 C 在观测点 A 的正北方，海岛 D 在观测点 B 的正北方， CABDBA90 ， 在 C
11、AB 和 DBA 中， CABDBA（AAS）， CADB， 即海岛 C，D 到观测点 A，B 所在海岸距离 CA，DB 相等； （3）解：延长 AG 至 H，使 GHAG，连接 BH，如图 2 所示： 点 G 是 BK 的中点， GKGB， 在 KGA 和 BGH 中， KGABGH（SAS）， KABH，KHBG， KABH， HBA180 KAB90 KAB， 在 KAB 和 HBA 中， KABHBA（SAS）， BKAH2AG368， AG184（海里）； 答：BK 中点 G 到 A 的距离为 184 海里 6在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（a，0），
12、点 B 的坐标为（0，mn），且 m， n 满足 （1）如图 1，求点 B 的坐标； （2）如图 2，若点 C 在第一象限内直线 AB 的上方，BCOACO45 ，求 OA的长； （3）在（2）的条件下，如图 3，若 AC3BC，且 AB 与 OC 相交于点 M，延长 AC 交 y 轴于点 E，连接 EM，求点 M 的坐标及 OEM 的面积 解：（1）m，n 满足， ， mn6， 点 B 的坐标为（0，6）； （2）如图 2，过点 O 作 ODAC 于 D，作 OFBC，交 CB 的延长线于 F， BCOACO45 ，ODAC，OFBC， ODOF，OFCODCBCD90 ， FOD90 AO
13、B， BOFAOD， 在 AOD 和 BOF 中， ， AODBOF（AAS）， OBOA6； （3）如图 3，过点 M 作 MGOA 于 G，MPOB 于 P，MHAC 于 H，MNBC 于 N， AOOB， PMAO，MGOB， PMOG，MGPO， BCOACO45 ，MHAC，MNBC， MNMH， S BCMBC MN，S ACMAC MH，AC3BC， S ACM3S BCM， AM3BM， S AOM3S BOM， AO MG3 BO PM， MG3PM， OBOA6， OBAOAB45 ， MGOA， GAMGMA， MGGA， GA3OG， OG，GA ， PMOG，MGGA
14、 ， 点 M（，）， 如图 4，过点 O 作 ODAC 于 D，作 OFBC，交 CB 的延长线于 F， 由（2）可知，ADBF，OFOD， OFCB，ODAC，BCOACO45 ， FOCFCODCODOC45 ， CDODCFOF， CDBF+BCBF+AD， AC3BC， AD+CDBF+AD+AD3AD， BFADCB， 在 OBF 和 EBC 中， ， OBFEBC（ASA）， BEBO6， S OEM （6+6） 9 7如图 1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足|2a+4|+0，过点 C 作 CBx 轴于点 B （1）点 A 的坐标为 ；点 B 的坐标为 ；点
15、 C 的坐标为 （2）求 ABC 的面积 （3） 过点 B 作 BDAC 交 y 轴于点 D， 且 AE， DE 分别平分CAB， ODB， 如图 2， 求AED 的度数 （4）在 y 轴上是否存在点 P，使得 ABC 和 ACP 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 说明理由 解：（1）|2a+4|+0， 又|2a+4|0，0， a2，b2， 点 A 坐标（2，0），点 B 坐标（2，0），点 C 坐标（2，2）， （2）由题意得：AB4，BC2 S ABC4 2 4； （3）过点 E 作 EFAC， EFAC，ACBD， EFBD， EFAC， CABABD， BOD90 ，
16、 ABD+BDO90 ， BDO+CAB90 ， BE 平分CAB， CAECAB， DE 平分BDO， EDBBDO， 又EFAC， CAEAEF， 同理可得：FEDEDB， AEDAEF+FEDEDB+CAE（CAB+BDO）45 ； （4）点 A 坐标（2，0），点 C 坐标（2，2）， 直线 AC 解析式为 yx+1， BDAC，B（2，0）， 直线 BD 解析式为 yx1， 点 D 坐标（0，1）， BDAC， S ABCS ACD， P与 D 重合， 点 P的坐标（0，1），根据对称性得到 P（0，3）也满足条件， 点 P 坐标为（0，1）或（0，3） 故答案为（0，1）或（0，3
17、） 8已知 Rt ABC 中，斜边 AB 上的高线 CH 与BAC 的平分线 AM 交于点 P，如图 1 （1）求证：PCCM； （2） 如图 2， 若高线 CH 与ABC 的平分线 BN 交于点 Q， PM、 QN 的中点分别是 E、 F， 求证： EFAB 解：（1）如图 1，过点 P 作 PQAC，垂足为 Q， AM 平分BAC，PQAC，CHAB， APHAPQ， 又PQAC，ACBC， APQAMC， AMCCPM， PCCM； （2）证明：如图 2，连接 CF、FH， BN 是ABC 的平分线， ABNCBN， 又CHAB， CQNBQH90 ABN90 CBNCNB， CQNC
18、又F 是 QN 的中点， CFQN， CFB90 CHB， C、F、H、B 四点共圆 又FBHFBC， FCFH， 点 F 在 CH 的中垂线上， 同理可证，点 E 在 CH 的中垂线上， EFCH， 又ABCH， EFAB 9已知：在 Rt ABC 中，ACB90 ，D 为线段 CB 上一点且满足 CDCA，连接 AD，过点 C 作 CEAB 于点 E （1）如图 1，B30 ，BD2，AD 与 CE 交于点 P，则CPD ，AE ； （2）如图 2，若点 F 是线段 CE 延长线上一点，连接 FD若F45 ，求证：AEFE （1）解：如图 1 中，设 ACCDx ACB90 ，B30 ，
19、BCAC， x+2x， 解得 x+1， CACD， CADCDA45 ， CEAB， CEB90 ， ECB90 30 60 ， ACE30 ， AEAC ， CPDACP+CAP， CPD75 故答案为 75 ， （2）证明：如图 2 中，过点 C 作 CJDF 于 J，交 AB 于 T，设 DF 交 AB 于 K CFAB，CTDE，CFD45 ， FEKCETCJFKJT90 ， FKETKJKTJECT45 ， CEET， CAT+ACE90 ，ACE+FCD90 ， CATFCD， ACCD，ATCCFD， ACTCDF（AAS）， ATCF， ETCE， AEEF 10已知：如图
20、1，在 ABC 和 ADE 中，CE，CAEDAB，BCDE （1）请说明 ABCADE （2）如图 2，连接 CE 和 BD，DE，AD 与 BC 分别交于点 M 和 N，DMB56 ，求ACE 的度数 （3）在（2）的条件下，若 CNEM，请直接写出CBA 的度数 解：（1）CAEDAB， CAE+CADDAB+CAD， 即CABEAD， 在 ABC 和 ADE 中， ABCADE（AAS）； （2）ABCADE， CBAEDA，ACAE， 在 MND 和 ANB 中， EDA+MND+DMB180 ， CBA+ANB+DAB180 ， 又MNDANB， DABDMB56 ， CAEDAB56 ， ACAE， ACEAEC， ACE62 ； （3）连接 AM， 由图（1）的AC 得MEAACN， 而 AEAC，CNEM， AMEANC（SAS）， AMAN，EAMCAN， EAMCAN， MADEAC56 ， AMAN， AMNANM（180 MAD）（180 56 ）62 BND， 由（2）知DAB56 ， CBABNDDAB62 56 6
