1、专题专题 13 13 直角三角形的性质直角三角形的性质 一选择题 1下列条件中，不能确定一个直角三角形的条件是（ ） A已知两条直角边 B已知两个锐角 C已知一边和一个锐角 D已知一条直角边和斜边 解：A、已知两条直角边，可以确定一个直角三角形； B、一直两个锐角，若两个锐角的和不等于 90 ，则不能确定一个直角三角形； C、已知一边和一个锐角，可以得到一直角，则能确定一个直角三角形； D、已知一条直角边和斜边，可以确定一个直角三角形 故选：B 2在直角三角形 ABC 中，C 是直角，那么A+B 的度数（ ） A等于 90 B大于 90 C小于 90 D与 90 的关系无法确定 解：A+B18
2、0 C180 90 90 故选：A 3一位园艺设计师，计划在一块有一个内角为 60 的直角三角形绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植 的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案某同学为此提供了如图所示的四种设计 方案其中可以满足园艺设计师要求的有（ ） A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 解：如图，观察发现，1、3、4 都是被分成了四个 30 的直角三角形，满足园艺设计师要求； 而 2 分成四个不同三角形，故 2 不符合要求 有 3 种可以满足园艺设计师要求 故选：C 4如图，已知点 A（1，0）和点 B（1，2），在坐标轴上确定点 P，使得 ABP 为直角三角形，则满足 这样
3、条件的点 P 共有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D7 个 解：以 A 为直角顶点，可过 A 作直线垂直于 AB，与坐标轴交于一点，这一点符合点 P 的要求； 以 B 为直角顶点，可过 B 作直线垂直于 AB，与坐标轴交于两点，这两点也符合 P 点的要求； 以 P 为直角顶点，可以 AB 为直径画圆，与坐标轴共有 3 个交点 所以满足条件的点 P 共有 6 个 故选：C 5一个三角形三边的长是 6，8，10，同时平分这个三角形周长和面积的直线有（ ）条 A1 B2 C3 D4 解：（1）若直线过 ABC 的某个顶点如图， 假设直线过点 A如果直线平分 ABC 的面积，则有 BNNC，此时
4、，ACAB， 所以周长相等不可能同理直线过 B、C 也不存在； （2）若直线交 AB、BC 于点 M、N如图， 设 BNx，则 BM12x，作 MDBC， 由 Rt MBDRt ABC，可得 MD； 根据 S MBNMDBN S ABC， 得 BN6+，BM6，即这样的直线存在，且只有一条， 综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线有 1 条 故选：A 6如图，一棵树在一次强台风中，从离地面 5 m 处折断，倒下的部分与地面成 30 角，如图所示，这棵树 在折断前的高度是（ ） A10m B15m C5m D20m 解：如图，在 Rt ABC 中，C90 ，CB5，A30 AB10， 大树的高
5、度为 10+515m 故选：B 7如图，在 ABC 中，ACB90 ，CD 是 AB 边上的高线，图中与A 互余的角有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解：ACB90 ，CD 是 AB 边上的高线， A+B90 ，A+ACD90 ， 与A 互余的角有 2 个， 故选：C 8如图，在直角三角形 ABC 中，ACAB，AD 是斜边 BC 上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为 E、F， 则图中与C（除C 外）相等的角的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 解：AD 是斜边 BC 上的高，DEAC，DFAB， C+B90 ，BDF+B90 ，BAD+B90 ， CBDFBAD， DAC
6、+C90 ，DAC+ADE90 ， CADE， 图中与C（除之C 外）相等的角的个数是 3， 故选：B 9如图，已知直角 ABC 中，BAC90 ，B56 ，ADBC，DECAADE 的度数为（ ） A56 B34 C44 D46 解：BAC90 ，DEAC（已知） DEA180 BAC90 （两直线平行，同旁内角互补） ADBC，B56 ， BAD34 ， 在 ADE 中，DEAB， ADE56 故选：A 10如图， ABC 中，BAC90 ，ADBC，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 F，AG 平分DAC，给出 下列结论： BADC； AEFAFE； EBCC； AGEF 其中正确的
7、结论是 （ ） A B C D 解：BAC90 ，ADBC， C+ABC90 ， BAD+ABC90 ， BADC，故正确； BE 是ABC 的平分线， ABECBE， ABE+AEF90 ， CBE+BFD90 ， AEFBFD， 又AFEBFD（对顶角相等）， AEFAFE，故正确； ABECBE， 只有C30 时EBCC，故错误； AEFAFE， AEAF， AG 平分DAC， AGEF，故正确 综上所述，正确的结论是 故选：C 二填空题 11如图，已知在 Rt ABC 中，A90 ，若沿虚线剪去A 后，则1+2 解：ADE 是直角三角形， 3+490 ， 2、1 是 ADE 的外角，
8、24+A，13+A， 2+32A+（4+3）2 90 +90 270 12如图，Rt ABC 中，ACB90 ，DE 过点 C，且 DEAB，若ACD50 ，则A 度，B 度 解：DEAB，ACD50 ， AACD50 ， ACB90 ， B90 A90 50 40 13如图，BCAE，垂足为 C，过 C 作 CDAB，若ECD48 则B 度 解：CDAB，ECD48 ， AECD48 ， BCAE， B90 A42 14 将两张矩形纸片如图所示摆放， 使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上， 则1+2 解：如图，连接两交点， 根据矩形两边平行，得 1+2+3+4180
9、， 又矩形的角等于 90 ， 3+490 ， 1+2180 90 90 故答案为：90 15在锐角 ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，且 CD，BE 交于点 P，若A50 ，则BPC 的度数是 度 解：CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高， BDCAEB90 ABE90 50 40 BPCABE+BDP40+90130 故答案为：130 16如图，是由两个相同的直角三角形 ABC 和 FDE 拼成的，则图中与A 相等的角有 个，分别 是 ；1 与A 关系是 ；2 与1 的关系是 解：两直角三角形全等， AF， 又有同角的余角相等可得， ADCB， FDE90 ，即 CD
10、AB， 1 与A 互余， 又AF， 根据等角的余角相等可得12， 故答案为：图中与A 相等的角有 2 个，分别是DCB，F；1 与A 关系是互余；2 与1 的关系 是相等 17如图，在 Rt ABC 中，C90 ，点 E 在 AC 边上且 2CBEABE，过点 A 作 ADBC，AD 与 BE 的延长线交于点 D，DE，则 AB 解：如图，取 DE 的中点 F，连接 AF， ADBC，C90 DCBE，EAD90 ， 2CBEABE ABE2D， F 为 DE 的中点， AFDFEF， DFAD， AFBD+FAD， AFBABF， ABAFDE， DE ， AB 故答案为： 三解答题 18如
11、图，在 ABC 中，CE 平分ACB，CEAB 于点 E，过 E 作 EDAC 交 BC 于点 D，过 D 作 DFAB 于点 F （1）若ACE40 ，求EDC 的度数 （2）判断EDF 与BDF 是否相等，并说明理由 解：（1）CE 平分ACB， ACEBCE40 ACB， ACB80 ， ACDE， ACB+CDE180 ， EDC100 ； （2）EDFBDF， 理由如下： DFAB，CEAB， CEDF， BCEBDF，EDFCED， EDAC， ACECED， ACEBCE， EDFBDF 19直线 EF、GH 之间有一个直角三角形 ABC，其中BAC90 ，ABC （1）如图 1
12、，点 A 在直线 EF 上，B、C 在直线 GH 上，若60 ，FAC30 试说明：EFGH； （2）将三角形 ABC 如图 2 放置，直线 EFGH， 点 C、B 分别在直线 EF、 GH 上，且 BC 平分ABH 求 ECA 的度数；（用 的代数式表示） （3）在（2）的前提下，直线 CD 平分FCA 交直线 GH 于 D，如图 3在 取不同数值时，BCD 的 大小是否发生变化？若不变求其值，若变化请求出变化的范围 （1）证明：EAB180 BACFAC，BAC90 ，FAC30 ， EAB60 ， 又ABC60 ， EABABC， EFGH； （2）解：BAC90 ，ABC ACB90
13、， BC 平分ABH， ABCHBC， EFGH， ECBHBC， ECAECBACB（90 ）290 ； （3）解：不发生变化， 理由是：经过点 A 作 AMGH， 又EFGH， AMEFGH， FCA+CAM180 ，MAB+ABH180 ，CBHECB， 又CAM+MABBAC90 ， FCA+ABH270 ， 又BC 平分ABH，CD 平分FCA， FCD+CBH135 ， 又CBHECB，即FCD+ECB135 ， BCD180 （FCD+ECB）45 20如图，在 Rt ABC 中，B90 ，AC60cm，A60 ，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/秒的速 度向点 A
14、 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到 达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D、E 运动的时间是 t 秒（0t15）过点 D 作 DFBC 于 点 F，连接 DE，EF （1）求证：AEDF； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值，如果不能，说明理由； （3）当 t 为何值时， DEF 为直角三角形？请说明理由 （1）证明：直角 ABC 中，C90 A30 CD4t，AE2t， 又在直角 CDF 中，C30 ， DFCD2t， DFAE； 解：（2）DFAB，DFAE， 四边形 AEFD 是平行
15、四边形， 当 ADAE 时，四边形 AEFD 是菱形， 即 604t2t， 解得：t10， 即当 t10 时， AEFD 是菱形； （3）当 t时 DEF 是直角三角形（EDF90 ）； 当 t12 时， DEF 是直角三角形（DEF90 ）理由如下： 当EDF90 时，DEBC ADEC30 AD2AE CD4t， DF2tAE， AD4t， 4t+4t60， t时，EDF90 当DEF90 时，DEEF， 四边形 AEFD 是平行四边形， ADEF， DEAD， ADE 是直角三角形，ADE90 ， A60 ， DEA30 ， ADAE， ADACCD604t，AEDFCD2t， 604t
16、t， 解得 t12 综上所述， 当 t时 DEF 是直角三角形 （EDF90 ） ； 当 t12 时， DEF 是直角三角形 （DEF 90 ） 21小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在 Rt ABC 中，A90 ，BD 平分ABC，M 为直线 AC 上一点，MEBC，垂足为 E，AME 的平分线交直线 AB 于点 F （1）M 为边 AC 上一点，则 BD、MF 的位置是 请你进行证明 （2）M 为边 AC 反向延长线上一点，则 BD、MF 的位置关系是 请你进行证明 （3）M 为边 AC 延长线上一点，猜想 BD、MF 的位置关系是 请你进行证明 解：（1）BDMF 理由如下
17、：A90 ，MEBC， ABC+AME360 90 2180 ， BD 平分ABC，MF 平分AME， ABDABC，AMF AME， ABD+AMF（ABC+AME）90 ， 又AFM+AMF90 ， ABDAFM， BDMF； （2）BDMF 理由如下：A90 ，MEBC， ABC+CAME+C90 ， ABCAME， BD 平分ABC，MF 平分AME， ABDAMF， ABD+ADB90 ， AMF+ADB90 ， BDMF； （3）BDMF 理由如下：A90 ，MEBC， ABC+ACBAME+ACB90 ， ABCAME， BD 平分ABC，MF 平分AME， ABDAMF， AMF+F90 ， ABD+F90 ， BDMF
