1、专题复习一 线段比例关系的证明和应用证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化1.如图所示，在ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 边上的点，DEBC，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论中，一定正确的是(A).（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） （第 4题）2.如图所示，在ABC 中，D，E 分别为 AC，BC 边上的点，ABDE，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则 BF 的长为(B).3.如图所示，弦 AB 和 CD 相交于O 内一点 P，则下列结论中不一定
2、成立的是(B).A. = B.PAPD=PBPC C. = D.PAPB=PCPDPDABCDAC4.如图所示，在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D 为 AB 的中点，连结 DF 并延长交 AC 于点 E.若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为(B).A.2 B.3 C.4 D.55.如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，P 是 AD 边上一点，连结 PB，PC，且AB2=APPD，则图中有 3 对相似三角形（第 5 题） （第 6 题） （第 7题）6.如图所示，在ABC 中，AD 是角平分线，ADE=B，若 AE=4，AB=5，则 AD= 2 .
3、57.如图所示，在 RtABC 中，C=90，D 是 AB 上一点，作 DEBC 于点 E，连结 AE，若BE=AC，BD=2 ，DE+BC=10，则线段 AE 的长为 4 528.如图所示，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AED=B，射线 AG 分别交线段DE，BC 于点 F，G，且 = .ACF（第 8 题）（1）求证：ADFACG.（2）若 = ，求 的值.ACD21FG【答案】(1)AED=B，DAE=DAE，ADF=C.又 = ，ADFACG.ACDGF(2)ADFACG，9.如图所示，O 是ABC 的外接圆，BC 是O 的直径，D 是 的中点，BD 交 AC 于
4、点E，连结 AD，CD（第 9 题）（1）求证：AD 2=DEDB（2）若 BC= ，CD= ，求 DE 的长5【答案】(1)D 是 AC 的中点， .ABD=DAC.又ADB=EDA，ABDEAD. = .AD 2=DEDB.DEAB(2)D 是 的中点，AD=DC.DC 2=DEDB.CB 是直径，BCD 是直角三角形.BD=.DC 2=DEDB，( )2=5DE，解得 DE= .54510.如图所示，在 RtABC 内有边长分别为 a，b，c 的三个正方形，则 a，b，c 满足的关系式为(A).A.b=a+c B.b=ac C.b2=a2+c2 D.b=2a=2c（第 10 题） （第
5、11 题） （第 12 题） （第 13题）11.如图所示，已知四边形 ABCD 内接于O，直径 AC=6，对角线 AC，BD 交于点 E，且AB=BD，EC=1，则 AD 的长为(A).12.如图所示，AOB 是直角三角形，AOB=90，OB=2OA，点 A 在反比例函数 y=2x的图象上.若点 B 在反比例函数 y= 的图象上，则 k 的值为(D).xkA.4 B.-4 C.8 D.-813.在四边形 ADBC 中，ADB=ACB，CD 平分ACB 交 AB 于点 E，且 BE=CE.若BC=6，AC=4，则 BD= 2 614.如图所示，已知 CE 是 RtABC 斜边 AB 上的高线，
6、在 EC 的延长线上任取一点 P，连结AP，BGAP 于点 G，交 CE 于点 D.求证：CE 2=PEDE（第 14 题）【答案】ACB=90，CEAB，ACE+BCE=90，ACE+CAE=90.CAE=BCE.RtACERtCBE. = .CE 2=AEBE.BECABGAP，CEAB，DEB=DGP=PEA=90.GDP=EDB，P=DBE.AEPDEB. = .PEDE=AEBE.CE 2=PEDE.BEPDA15.如图所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，点 E 在对角线 AC 上，且满足ADE=BAC.（1）求证：CDAE=DEBC.（2）以点 A 为圆心、AB 长
7、为半径画弧交边 BC 于点 F，连结 AF.求证：AF 2=CECA.（第 15 题）【答案】(1)ADBC，DAE=ACB.又ADE=BAC，ADECAB. ABDE= .ABAE=DEBC.AB=CD，CDAE=DEBC.BCAE(2)ADBC，AB=CD，ADC=DAB.ADE=BAC，又ADC=ADE+CDE，DAB=BAC+CAD，CDE=CAD.又DCE=ACD,CDECAD. =AD.CD 2=CECA.由题意得 AB=AF，AB=CD，AF=CD.AF 2=CECA.16.如图所示，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，连结BE
8、，AD 交于点 P.求证：（第 16 题）（1）D 是 BC 的中点（2）BECADC（3）ABCE=2DPAD【答案】(1)AB 是O 的直径，ADB=90，即 ADBC.AB=AC，D 是 BC 的中点.(2)AB 是O 的直径，AEB=ADB=90.CEB=CDA=90.C=C，BECADC.(3)AB=AC，BD=CD，BAD=CAD.CAD=CBE,BAD=CBE.ADB=BEC=90，ABDBCE. .BC=2BD, = .BDP=BEC=90，ADBE2PBD=CBE，BPDBCE. .ABCE=2DPAD.17.如图 1 所示，在 RtABC 中，BAC=90，ADBC 于点
9、D，O 是 AC 边上一点，连结 BO交 AD 于点 F，OEOB 交 BC 于点 E（1）求证：ABFCOE（2）如图 2 所示，当 O 为 AC 的中点， =2 时，求 的值ABCEF（3）当 O 为 AC 的中点， =n 时，请直接写出 的值O（第 17 题） （第 17 题答图）【答案】(1)ADBC，DAC+C=90.BAC=90，DAC+BAF=90.BAF=C.OEOB，BOA+COE=90.BOA+ABF=90，ABF=COE.ABFCOE.(2)如答图所示，过点 O 作 AC 的垂线交 BC 于点 H，则 OHAB.ABFCOE,AFB=OEC.AFO=HEO.BAF=C，F
10、AO=EHO.OEHOFA.OFOE=OAOH.O 为AC 的中点，OHAB，OH 为ABC 的中位线.OH= AB，OA=OC= AC. =2，OAOH=21.OFOE=21，即 =2.2121ABCOEF(3) =n.OEF（第 18 题）18.【株洲】如图所示，若ABC 内一点 P 满足PAC=PBA=PCB，则点 P 为ABC 的布洛卡点.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于 1816 年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.已知在等腰直角三角形 DEF 中，EDF=90，若点 Q 为D
11、EF 的布洛卡点，DQ=1，则 EQ+FQ 等于(D).A.5 B.4 C.3+ D.2+2219.【鞍山】如图所示，ACE，ACD 均为直角三角形，ACE=90，ADC=90，AE 与 CD相交于点 P，以 CD 为直径的O 恰好经过点 E，并与 AC，AE 分别交于点 B 和点 F.（1）求证：ADF=EAC.（2）若 PC= PA，PF=1，求 AF 的长.3（第 19 题） （第 19 题答图）【答案】(1)ADC=90，ACE=90，ADF+FDC=90，EAC+CEF=90.FDC=CEF，ADF=EAC.(2)如答图所示，连结 FC.CD 是圆 O 的直径，DFC=90.FDC+
12、FCD=90.ADF+FDC=90，ADF=EAC，FCD=EAC，即FCP=CAP.又FPC=CPA，FPCCPA.20.（1）如图 1 所示，在 RtABC 中，ABC=90，BDAC 于点 D.求证：AB 2=ADAC（2）如图 2 所示，在 RtABC 中，ABC=90，D 为 BC 边上的点，BEAD 于点 E，延长 BE交 AC 于点 F， = =1，求 的值BCAB（3）在 RtABC 中，ABC=90，D 为直线 BC 上的动点（不与点 B，C 重合） ，直线 BEAD于点 E，交直线 AC 于点 F.若 = =n，请探究并直接写出 的所有可能的值（用CD含 n 的代数式表示）
13、 ，不必证明（第 20 题） （第 20 题答图）【答案】(1)BDAC，ABC=90，ADB=ABC.A=A，ADBABC. = .AB 2=ADAC.ACBD(2)如答图所示，过 C 作 CGAD 交 AD 的延长线于点 G.BEAD，CGD=BED=90，CGBF. = =1，AB=BC=2BD=2DC，BD=DC.BDE=CDG，BDEBCDG.ED=GD=12EG.由(1)可得：AB 2=AEAD,BD2=DEAD， =4.AE=4DE. = =2.EGAD24CGBF， = =2.FCAEG(3)D 为直线 BC 上的动点（不与点 B，C 重合） ，有三种情况：当点 D 在线段 BC 上时， =n2+n.当点 D 在线段 BC 的延长线上时， =n2-n.FA当点 D 在线段 CB 的延长线上时， =n-n2.C
