1、第 4 章综合测评卷一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1.若 xy=23，则下列各式中不成立的是( D).2.下列图形中，一定相似的一组是(B).A.邻边对应成比例的两个平行四边形B.有一个内角相等的两个菱形C.腰长对应成比例的两个等腰三角形D.有一条边相等的两个矩形3.如图所示，E 为ABCD 的边 AD 上的一点，且 AEED=32，CE 交 BD 于点 F，则BFFD 为(D).A.35 B.53 C.25 D.52（第 3 题） （第 4 题） （第 5题）4.网球单打比赛场地的宽度为 8m，长度在球网的两侧各为 12m，球网高度为 0.9m（即图中 AB 的高度）.网球比赛中，
2、某运动员退出场地在距球网 14m 的 D 点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上 C 处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为(B).A.1.65m B.1.75m C.1.85m D.1.95m5.如图所示，PQR 在由边长为 1 个单位的小正方形组成的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点 A，B，C，D 也是小正方形的顶点，那么与PQR 相似的是(B).A.以点 P，Q，A 为顶点的三角形B.以点 P，Q， B 为顶点的三角形C.以点 P，Q， C 为顶点的三角形D.以点 P，Q，D 为顶点的三角形6.如图所示，在正方形 ABC
3、D 中，E 是 BC 的中点，DEF 的面积等于 2，则正方形ABCD 的面积等于(B).A.6 B.12 C.16 D.20（第 6 题） （第 7 题） （第 8 题） （第 9题）7.如图所示，在ABC 中，AB=AC=3 ，BC=2，点 D 在腰 AC 上，且 BD=BC，那么下列结论中正确的是(C).8.如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=4，BC=6，ABBC，BCCD，E 为 AD 的中点，F 为线段BE 上的点，且 FE= BE，则点 F 到边 CD 的距离是(C).31A.3 B. C.4 D. 3103149.如图所示，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=5，AF 平分
4、DAE，EFAE，则 CF 等于(C).A. B.1 C. D.23223（第 10 题）10.如图所示，矩形 ABCD 的边长 AD=3，AB=2，E 为 AB 的中点，F 在边 BC 上，且BF=2FC，AF 分别与 DE，DB 相交于点 M，N，则 MN 的长为(B).二、填空题（每题 4 分，共 24 分）11.在比例尺为 150000 的地图上，某地区的图上面积为 20cm2，则实际面积为 5 km 212.如图所示，在ABC 与ADE 中, = ,要使ABC 与ADE 相似，还需要添加一BCAED个条件，这个条件是 B=E （第 12 题） （第 13 题） （第 15 题） （第
5、 15 题答图）13.如图所示，测量小玻璃管管径的量具 ABC，AB 的长为 5mm，AC 被分为 50 等份.如果玻璃管的管径 DE 正好对着量具上 30 等份处（DEAB） ，那么小玻璃管的管径 DE= 3 mm14.在ABC 中，AB=6cm，AC=5cm，点 D，E 分别在 AB，AC 上.若ADE 与ABC 相似，且SADE S 四边形 BCED=18，则 AD= 2 或 cm.3515.如图所示，在 RtACB 中，ACB=90，AC=BC=3，CD=1，CHBD 于点 H，点 O 是 AB 的中点，连结 OH，则 OH= .5【解析】如答图所示，在 BD 上截取 BE=CH，连结
6、 CO，OE.在 RtBCD 中，CD=1,BC=3,BD=10.ACB=90，CHBD，易证CDHBDC. ，解得CH=，DH= .ACB 是等腰直角三角形，O 是 AB 中点，103AO=OB=OC，A=ACO=BCO=ABC=45.OCH+DCH=45，ABD+DBC=45.DCH=CBD，OCH=ABD.在CHO 与BEO 中， ,CHOBEO.OE=OH，BOE=HOC.OCBO，EOH=90，即HOE 是等腰直角三角形.EH=BD-DH-CH= - - = ，OH=EH = .10103525316.设ABC 的面积为 1，如图 1 所示，将边 BC，AC 分别二等分，BE 1，A
7、D 1相交于点 O，AOB 的面积记为 S1；如图 2 所示，将边 BC，AC 分别三等分，BE 1，AD 1相交于点 O，AOB的面积记为 S2依此类推，则 S2= ，S n可表示为 .（用含 n 的代数式表示，52n其中 n 为正整数）图 1 图 2 图 3（第 16 题）三、解答题（共 66 分）17.（6 分）已知线段 a，b，c，且 = = 34b5c（1）求 的值（2）若线段 a，b，c 满足 a+b+c=60，求 a，b，c 的值(2)a+b+c=60,3k+4k+5k=60，解得 k=5.a=3k=15,b=4k=20,c=5k=25.18.（8 分）如图所示，在梯形 ABCD
8、 中，ADBC，M 是 AD 的中点，连结 BM 交 AC 于点N，BM 的延长线交 CD 的延长线于点 E（第 18 题）（1）求证： = EBMCA（2）若 MN=1cm，BN=3cm，求线段 EM 的长【答案】(1)ADBC，MEDBEC. = .M 是 AD 的中点，AM=MD.EBMCD= .(2)ADBC, .EB=ME+MB，MB=BN+NM=4(cm)， =ME4.EM=2(cm).3119.（8 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是边 AD，CD 上的点,AE=ED,DF= DC,41连结 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G，连结 BE（第 19 题）（1
9、）求证：ABEDEF（2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长【答案】(1)四边形 ABCD 为正方形，AD=AB=DC=BC，A=D=90.AE=ED，.，ABEDEF.(2)四边形 ABCD 为正方形，EDBG. = .DF= DC，正方形的边长为CGEDF414，ED=2，CG=6.BG=BC+CG=10.20.（10 分）如图所示，为测量学校围墙外直立电线杆 AB 的高度，小亮在操场上点 C 处直立高 3m 的竹竿 CD，然后退到点 E 处，此时恰好看到竹竿顶端 D 与电线杆顶端 B 重合；小亮又在点 C1处直立高 3m 的竹竿 C1D1，然后退到点 E1处，此时恰好看到竹竿顶端 D1
10、与电线杆顶端 B 重合.小亮的眼睛离地面高度 EF=1.5m，量得 CE=2m，EC 1=6m，C 1E1=3m（第 20 题）（1）FDM FBG ，F 1D1N F 1BG （2）求电线杆 AB 的高度【答案】(1)FBG F 1BG(2)F 1D1NF 1BG, .FDMFBG， = .D 1N=DM，BGDMF，即 .GM=16(m). .BG=13.5(m).AB=BG+GA=15（m）.电线杆 AB 的高度为 15m.（第 21 题）21.(10 分)如图所示，在ABC 中，AB=BC=10，以 AB 为直径作O 分别交 AC，BC 于点D，E，连结 DE 和 DB，过点 E 作
11、EFAB，垂足为点 F，交 BD 于点 P.（1）求证：AD=DE.（2）若 CE=2，求线段 CD 的长.（3）在（2）的条件下，求DPE 的面积.【答案】(1)AB 是O 的直径，ADB=90.AB=BC，D 是 AC 的中点，ABD=CBD.AD=DE.(2)四边形 ABED 内接于O，CED=CAB.C=C，CEDCAB. = .CAEBDAB=BC=10，CE=2，D 是 AC 的中点，CD= .10（第 21 题答图）(3)如答图所示，延长 EF 交O 于点 M.BE=BC-CE=10-2=8，在 RtABD 中，AD=CD= ，AB=10，BD=3 .EMAB，AB 是O 的直径
12、，1010 = .BEP=EDB.BPEBED. BPE= .BP= .DP=BD-BP= .S DPE S BPE =DPBP=1332.S BCD = BED1532153 213 =15，S BDE S BCD =BEBC=45，S BDE =12.S DPE = .0 152（第 22 题）22.（12 分）如图所示，在矩形 ABCD 中，AD=4，AB=m（m4） ，P 是 AB 边上的任意一点（不与点 A，B 重合） ，连结 PD，过点 P 作 PQPD 交直线 BC 于点 Q（1）当 m=10 时，是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合？若存在，求出此时 AP 的长；若不存在
13、，说明理由.（2）连结 AC，若 PQAC，求线段 BQ 的长（用含 m 的代数式表示） （3）若PQD 为等腰三角形，求以点 P，Q，C，D 为顶点的四边形的面积 S 关于 m 的函数表达式，并写出 m 的取值范围【答案】(1)存在点 P.假设存在一点 P，使点 Q 与点 C 重合，如答图 1 所示，设 AP 的长为x，则 BP=10-x.在 RtAPD 中，DP 2=AD2+AP2=42+x2.在 RtPBC 中，PC 2=BC2+PB2=42+（10-x） 2.在 RtPCD 中，CD 2=DP2+PC2，即 102=42+x2+42+（10-x） 2，解得 x=2 或 8.故当 m=1
14、0 时，存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合，此时 AP=2 或 8.(2)连结 AC，设 BP=y，则 AP=m-y.PQAC，PBQABC. = ，即BCQAP= .DPPQ，APD+BPQ=90.BPQ+BQP=90，APD=BQP.4BmyAPDBQP. = ，即 = .BQ= .PBADQy4Bm264(3)当点 Q 在 BC 上时，如答图 3 所示，连结 DQ.PQPD，只有当 DP=PQ 时，PQD 为等腰三角形.APDBQP,BQPAPD.PB=DA=4，AP=BQ=m-4.以点 P，Q，C，D为顶点的四边形的面积 S=S 矩形 ABCD-SDAP -SQBP =4m- 4（
15、m-4）- 4（m-4）=16(m8).2121当点 Q 在 BC 延长线上时，如答图 4 所示，连结 DQ，PC.DP=PQ,DAPPBQ.PB=AD=4,AB=BQ=m-4.S=S 四边形 ABQD-SDAP -SPBC = (4+m-4)m- 4(m-4)- 44= m2-2m(m8).S= .图 1 图 2 图 3 图 4（第 22 题答图）23.(12 分)如图 1 所示，在ABC 中，点 O 是 AC 上一点，过点 O 的直线与 AB 及 BC 的延长线分别相交于点 M，N.【问题引入】（1）若点 O 是 AC 的中点， = ，求 的值.温馨提示：过点 A 作 MN 的平行线交 BNBA31NC的延长线于点 G.【探索研究】（2）若点 O 是 AC 上任意一点（不与点 A，C 重合） ，求证： =1.MBNCO【拓展应用】（3）如图 2 所示，点 P 是ABC 内任意一点，射线 AP，BP，CP 分别交 BC，AC，AB 于点D，E，F，若 = ， = ，求 的值.BA31D2E图 1 图 2（第 23 题） （第 23 题答图）
