1、江苏省镇江市江苏省镇江市 2021 届高三名校届高三名校 10 月考数学试卷月考数学试卷 一、单项选择题一、单项选择题 1. 已知集合3 x Ay y，0,1,2,3B ，则AB ( ) A. 1,2,3 B. 0, C. 0,1,2 D. 0, 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数函数的值域求得集合0,A由此与B求交集即得. 【详解】解：指数函数3xy 的值域为0,，0,A， 又0,1,2,3B , 1,2,3AB， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及指数函数的值域，属基础题. 2. 复数12zii(i为虚数单位)，则 z 等于( ) A. 1 i B. 1i C. 1i
2、 D. 1i 【答案】C 【解析】 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】由(1)2zii，得 2 12 1 111 iii zi iii . 故选：C. 【点睛】本题考查复数的综合运算，掌握复数运算法则是解题基础 3. 若从甲、乙、丙、丁 4人中选出 3 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4 【答案】D 【解析】 【分析】 用列举法写出选取 3 名代表的所有基本事件，再对包含甲的事件计数后可求得概率 【详解】任选 3 名代表的所有基本事件为：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共 4个，基本含有甲
3、的事件 有 3个，所求概率为 3 4 P 故选：D 【点睛】本题考查古典概型，用列举法写出所有基本事件是解题的常用方法 4. 下列函数中，既是奇函数又在区间 1,1 上是增函数的是( ) A. 1 y x B. tanyx C. sinyx D. cosyx 【答案】B 【解析】 【分析】 先由函数定义域，排除 A；再由函数奇偶性排除 D，最后根据函数单调性，即可得出 B正确，C 错误. 【详解】A选项， 1 y x 的定义域为,00,，故 A不满足题意； D 选项，余弦函数 cosyx 是偶函数，故 D 不满足题意； B选项，正切函数 tanyx 是奇函数，且在 , 2 2 上单调递增，故在
4、区间 1,1 是增函数，即 B 正确； C选项，正弦函数 sinyx 是奇函数，且在 , 2 2 上单调递增，所以在区间 1,1 是增函数；因此 sinyx 是奇函数，且在 1,1 上单调递减，故 C 不满足题意. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型. 5. 若 sincos1 sincos3 ，则tan等于( ) A. 2 B. 3 4 C. 4 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据弦化切，将原式化为关于正切的方程，求解，即可得出结果. 【详解】因为 sincos1 sincos3 ，所以 tan11 tan13 ，
5、即3tan3tan1 ， 解得tan2= -. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由弦化切求三角函数值，属于基础题型. 6. 已知菱形ABCD的边长为 4，60ABC，E是BC的中点2DFAF ，则AE BF ( ) A. 24 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的基本定理,将AE BF 用基底,AB AD表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可. 【 详 解 】 由 已 知 得 1 3 AFAD, 1 2 BEBC, ADBC , 所 以 11 22 AEABBCABAD, 1 3 BFAFABADAB. 因为在菱形ABCD中,60ABC,所以120
6、BAD.又因为菱形ABCD的边长为 4,所以 1 | |cos120448 2 AB ADABAD ,所以 11 23 AE BFABADABAD 22 1111 |16( 8)1612 6666 ABAB ADAD . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想. 7. 周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为 一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元 作纪历”，某老年公寓住有 20 位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是奔
7、百之 龄(年龄介于 90 至 100)，其余 19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A. 94 B. 95 C. 96 D. 98 【答案】B 【解析】 分析】 设年纪最小者年龄为 n，年纪最大者为 m，m90，100，由题可得 n+(n+1)+(n+2)+(n+18)+m 19n+171+m1520，解出 n 的取值范围，根据年龄为整数可得 n的取值范围，再代入可得 m的值 【详解】 根据题意可知， 这20个老人年龄之和为1520， 设年纪最小者年龄为n， 年纪最大者为m， m90,100， 则有 n+(n+1)+(n+2)+(n+18)+m19n+171+m1520， 则有 1
8、9n+m1349，则 m134919n， 所以 90134919n100， 解得 145 6566 1919 n， 因为年龄为整数，所以 n66， 则 m134919 6695. 故选：B 【点晴】本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题 8. 已知函数 ln ,1 1 1,1 4 x x f x xx ， g xax， 若方程 g xf x恰有两个不同的实数根， 则实数a的 取值范围是( ) A. 1 0, e B. 1 1 , 4 e C. 1 0, 4 D. 1 1 , 4 e 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分段函数解析式得到函数图象，结合图象讨论 g xax与 f x
9、无交点或有一个交点、两个交点、三 个交点的情况下a的范围，即可知正确选项. 【详解】由题意，可得如下函数示意图： 1、当 g x ax过点 5 (1, ) 4 时，即 5 4 a 方程 g xf x有一个实数根； 2、当 g x ax与( )lnf xx在1x 上相切时， g xf x有一个实数根，即 1 ( )fxa x ， 1 x a ， 有切点为 1 (,1) a ，所以ln1a，得 1 a e ， 3、当 g x ax与( )1 4 x f x 平行时， 1 4 a 有 g xf x恰有两个不同的实数根， 4、当0a 时， g xf x有一个实数根， 综上结合函数图象，有0a 或 1
10、a e 或 5 4 a ， g xf x有一个实数根； 1 0 4 a， g xf x 恰有三个不同的实数根； 11 4 a e ， g xf x恰有两个不同的实数根； 15 4 a e ， g xf x无 实数根； 故选：B 【点睛】本题考查了函数，将方程的解转化为函数图象的交点情况，综合了函数图象、应用导数的几何意 义找到切点等知识求参数范围，属于难题. 二、多项选择题二、多项选择题 9. 设正实数a，b满足1ab，则( ) A. 11 ab 有最小值 4 B. ab有最小值 1 2 C. ab有最大值2 D. 22 ab有最小值 1 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据基本不等式
11、及其变形逐项分析，由此判断出正确的选项. 【详解】A 1111 2224 bab a ab abababa b ，取等号时 1 2 ab，故正确； B 1 = 22 ab ab ，取等号时 1 2 ab，所以 ab有最大值 1 2 ，故错误； C 2 21 22abababab ，所以2ab，取等号时 1 2 ab，故正确； D 2 22 11 =21212 42 abababab ，取等号时 1 2 ab，故正确， 故选：ACD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必
12、须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成 积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所 求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10. 将函数 cosyx 的图象向左平移 3 2 个单位，得到函数 yf x的函数图象，则下列说法正确的是 ( ) A. yf x是奇函数 B. yf x的周期是 C. yf x的图象关于直线 2 x 对称 D. yf x的图象关于,0 2 对称 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据图像平移和三角函数的诱导公式可得 sinf xx ，由此即可得到结果. 【详解】将函数
13、 cosyx 的图象向左平移 3 2 个单位，可得 3 cossin 2 xxyf x ， 所以 yf x是奇函数，且图象关于直线 2 x 对称. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换和诱导公式的应用，属于基础题. 11. 如图，正方体ABCDABCD 的棱长为 1，则下列四个命题正确的是( ) A. 若点M，N分别是线段A A ， AD 的中点，则/MN BC B. 点C到平面ABCD 的距离为2 C. 直线BC与平面ABCD 所成的角等于 4 D. 三棱柱AADBBC 的外接球的表面积为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据正方体的性质判断选项的正误即可. 【详解】A
14、 中，在正方体中有/AD BC ，/MNAD ，即/BCMN； B 中，C到平面ABCD 的距离为侧面对角线的一半即为 2 2 ； C中，直线BC与平面ABCD 所成的角的平面角为 45CBC； D 中，三棱柱AADBBC 的外接球即为正方体ABCDABCD 的外接球，则球的半径为 3 2 ，所以 2 43Sr； 故选：ACD 【点睛】本题考查了棱柱，应用正方体的性质，结合点面距、线面角、外接球等知识判断选项的正误，属 于基础题. 12. 关于函数( )e, x f xax xR，其中e为自然对数的底数，下列说法正确的是( ) A. 当1a 时， ( )f x在(,0) 上单调递增 B. 当0
15、a时， ( )lnx3f x 在(0,)x上恒成立 C. 对任意0a ， ( )f x在(,0) 上一定存在零点 D. 存在0a， ( )f x有唯一的极小值 【答案】CD 【解析】 【分析】 就a的不同取值，利用导数讨论各选项的函数性质或不等式在给定的范围上是否成立后可得正确的选项. 【详解】对于 A，当1a 时，( ) x f xex，( )1 x fxe， 当0 x时，( )0fx ，故 ( )f x在(,0) 上单调递减，故 A 不正确. 对于 B，当0a时，( ) x f xe，此时( )lnln x f xxex， 因为 1 (1)ln103fe，故 B错误. 对于 C，当0a 时
16、，( ) x f xeax，( )0 x fxea， 故 ( )f x在R上为单调递增函数，又 01f， 1 1 10 a fe a ， 故 ( )f x在(,0) 上一定存在零点，故 C正确. 对于 D，取2a，则( )2 x f xex，则 ( )2 x fxe ， 当ln2x时，( )0fx ，当ln2x 时，( )0fx ， 故 ( )f x有唯一的极小值点 ln2x ，故 D正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查函数的单调性、极值、零点，前两个函数性质都可以通过导数的符号来判断，而零点问 题必须利用单调性和零点存在定理来说明，本题属于中档题. 三、填空题三、填空题 13. 已知随机变
17、量X服从正态分布 2 (1,)N,且 (2)0.7P X ，则(01)PX_ 【答案】0.2 【解析】 【分析】 根据随机变量 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 P(0X1) 【详解】随机变量 服从正态分布 N(1，o2)， 正态曲线的对称轴是 x1 P(X2)0.7， P(1X2)0.7-0.5=0.2， P(0X1)P(1X2)0.2， 故答案为 0.2 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识， 属于基础题 14. 已知等比数列 n a的公比为 2,前 n项和为 n S,则 4 2 S a =_. 【答案】15 2
18、【解析】 由等比数列的定义，S4=a1a2a3a4= 2 a q a2a2qa2q2， 得 4 2 S a 1 q 1qq2=15 2 . 15. 小明想测量一棵树的高度，他发现谁的影子恰好落在地面和一斜坡上(如图 1)，此时测得地面上的影长 为 8米，坡面上的影长为 4 米，已知斜坡的坡角为 30 ，同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆 在地面上的影长为 2 米(如图 2)，则树的高度为_. 【答案】63米 【解析】 【分析】 延长 AC 交 BF 延长线于 D点，则 BD即为 AB 的影长,然后根据物长和影长的比值计算即可. 【详解】延长 AC 交 BF 延长线于 D 点， 则
19、CFE=30，作 CEBD于 E， 在 RtCFE中，CFE=30， CF =4m， 所以 CE=2 (米)，EF =4cos30=2 3 (米)， 在 RtCED中， 同一时刻，一根长为 1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，2CE 米，CE：DE=1：2， DE=4 (米)， BD= BF+EF+ ED=12+2 3 (米)， RtABD中， 11 122 336 22 ABBD（） (米) . 故答案为： ( 3+6)米. 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长 16. 已知实数，满足 3 ee ， 4 (ln1)
20、e，其中 e 是自然对数的底数，则_. 【答案】 4 e 【解析】 【分析】 把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系， 进而求出结论. 【详解】因为 3 ee ， 4 (ln1)e 所以ln3，lnln(ln1)4即ln30 ，ln1ln(ln1)30 所以，ln1均为方程ln30 xx 的根， 又因为方程ln30 xx 的根唯一， 所以 4 ln13lnln1lnln4e . 故答案为: 4 e 【点睛】本题考查数与方程的关系，解题的关健要把两个条件式子化为结构一致，然后构造出一个方程， 考查抽象概括能力，属于难题. 四、解答题四、解答题 17
21、. 已知平面向量2cos ,1a，1,3sinb. (1)若 /a b rr ，求sin2的值； (2)若ab，求tan 4 的值. 【答案】(1) 1 3 ；(2) 1 5 . 【解析】 【分析】 (1)由 / /ab，得(2cos ) (3sin ) 1 1 0 ，由此能求出sin2 (2)由a b ，得2cos3sin0a b，推导出cos0， 2 tan 3 ，由此能求出tan() 4 【详解】解：(1)平面向量 (2cos ,1)a ，(1,3sin )b， / /ab， (2cos )(3sin )1 10 ， 解得6sincos13sin210 ， 1 sin2 3 (2) ab
22、 ，2cos3sin0a b， 2cos3sin ， 若cos0，则 2 |sin|11cos，不满足上式，舍， cos0， 2 tan 3 ， 2 1 tan11 3 tan() 2 41tan5 1() 3 【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力， 属于基础题 18. 如图，正四棱锥SABCD中，4SA，2AB ，E为SC中点. (1)求证：/SA平面BDE； (2)求异面直线SA与BE所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 6 3 【解析】 【分析】 (1)连接AC，交BD于点O，连接OE，证出/OE SA，利用线面平行的判
23、定定理即可证出. (2)由(1)得出故BEO(或其补角)为异面直线SA与BE所成的角， 由SCBSCD， 得出OEBD， 在Rt OBE中即可求解. 【详解】证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接OE. 四棱锥SABCD为正四棱锥， 四边形ABCD为正方形， O为AC中点， E为SC中点， OE为SAC的中位线， /OE SA， OE 平面BDE，SA 平面BDE， /SA平面BDE. (2)由(1)知：/OE SA， 故BEO(或其补角)为异面直线SA与BE所成的角. 4SASBSCSD，2AB ， 2OE， 1 2 2 OBODBD. 由四棱锥SABCD为正四棱锥知：SCBSCD. E为
24、SC中点， EBED， OEBD，即90BOE. 22 6BEOEOB ， 26 cos 36 OE BEO BE ， 即异面直线SA与BE所成角的余弦值为 6 3 . 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、异面直线所成的角，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题. 19. 在 3252 56aaab，； 2343 23baab，； 3452 98Saab，这三个条件中任选一 个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列 n a的公差为1d d ，前 n项和为 n S，等比数列 n b的公比为 q，且 11 abdq， _ (1)求数列 n a， n b的通项公式 (2)记 n n n a c b
25、 ，求数列 n c，的前 n项和 n T注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】 三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，(2)数列 n c是一 个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。 【详解】方案一：选条件 (1) 325211 561aaababdqd， ， 1 11 25 256 ad ada d 解得 1 1 2 a d 或 1 25 6 5 12 a d (舍去) 1 1 2 b q 1 1 n nd 21n 11 1 2 nn n bbq - = (2) n n n a c
26、b 1 1 211 (21)( ) 22 n n n n cn 221 1111 135(23)(21) 2222 nn n Tnn 231 111111 35(23)(21) 222222 nn n Tnn 21 11111 12(21) 22222 nn n Tn 1 11 1 22 1 12(21) 1 2 1 2 n n n 1 3(23) 2 n n 1 1 6(23) 2 n n Tn 方案二：选条件 (1) 234311 2,3 ,1baab ab dq d 1 2 11 2 253 a d ada d 1 1 2 256 a d add 解得 1 1 2 a d 或 1 1 2
27、 a d (舍去) 1 1 2 b q 1 (1) = n aand =2n-1 11 1 2 nn n bbq - = (2) n n n a c b 1 1 211 (21)( ) 22 n n n n cn 221 1111 135(23)(21) 2222 nn n Tnn 231 111111 35(23)(21) 222222 nn n Tnn 21 11111 12(21) 22222 nn n Tn 1 11 1 22 1 12(21) 1 2 1 2 n n n 1 3(23) 2 n n 1 1 6(23) 2 n n Tn 方案三：选条件 345211 9,8 ,1Saa
28、b ab dq d 1 11 3 278 ad ada d 解得 1 1 2 a d 或 1 21 8 3 8 a d (舍去) 1 1 2 b q 1 (1) n aand 21n 1 1 n n bbq 1 2n (2) n n n a c b 1 1 211 (21) 22 n n n n cn 221 1111 135(23)(21) 2222 nn n Tnn 231 111111 35(23)(21) 222222 nn n Tnn 21 11111 12(21) 22222 nn n Tn 1 11 1 22 1 12(21) 1 2 1 2 m n n 1 3(23) 2 n
29、n 1 1 6(23) 2 n n Tn 【点睛】此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。 20. 华为手机的“麒麟 970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频 2.4GHz， 同时它的线程结构也做了很大的改 善， 整个性能及效率至少提升了 50%， 科研人员曾就是否需采用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较， 在一次实验中，工作人员对生产出的 50 片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的 30 片芯片有 28 片线程 结构有很大的改善，没有使用该工艺的 20片芯片中有 12 片线程结构有很大的改善. (1)用列联表判断：这次实验是否有 99.5%的把握认为
30、“麒麟 970”芯片的线程结构有很大的改善与使用西门 子制程这一工艺标准有关？ (2)在“麒麟 970”芯片的线程结构有很大的改善后， 接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属溅镀， 涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经 过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依 次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不 成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的 晶圆的过程中，前三个环节每个环节
31、生产正常的概率为 2 3 ，每个环节出错需要修复的费用均为 200 元，第 四环节生产正常的概率为 3 4 ，此环节出错需要修复的费用为 100 元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆 要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？(假设质检与检测过程不产生费用) 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，na b cd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0 k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有 99.5%的把握；(2)225 元
32、. 【解析】 【分析】 (1)根据表中数据，列出列联表，计算出观测值，再利用独立性检验的基本思想即可求解. (2)计算出 X的可能取值为，再根据二项分布求出概率，列出 X分布列，求出数学期望，即可. 【详解】(1)由题意列联表为： 使用工艺 不使用工艺 合计 合格 28 12 40 不合格 2 8 10 合计 30 20 50 故 2 2 50 28 82 1225 7.879 30 20 40 103 K ， 故有 99.5%的把握认为“麒麟 970”芯片的线性结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺技术有关. (2)设 i A表示检测到第 i个环节有问题(1i ，2，3，4)，X表示成为一
33、个合格的多晶的晶圆需消耗的费用， 则 X 的可能取值为：0，100，200，300，400，500，600，700， X0表明四个环节均正常 3 1234 2324 0() 34108 P XP A A A A ， 100X 表明第四环节有问题 3 1234 218 100 34108 P XP A A A A ， 200X 表明前三环节有一环节有问题 2 1 3 12336 200C 334108 P X ， 300X 表明前三环节有一环节及第四环节有问题 2 1 3 12112 300C 334108 P X ， 400X =表明前三环节有两环节有问题 2 2 3 12318 400C 3
34、34108 P X ， 500X 表明前三环节有两环节及第四环节有问题 2 2 3 1216 500C 334108 P X ， 600X 表明前三环节有问题 3 1234 133 600 34108 P XP A A A A 700X 表明四个环节均有问题 3 1234 111 700 34108 P XP A A A A . 费用 X分布列： X 0 100 200 300 400 500 600 700 P 24 108 8 108 36 108 12 108 18 108 6 108 3 108 1 108 故 0 24 100 8200 36300 12400 18500 6600
35、3700 1 108 E X 225(元)， 故大约需要耗费 225 元. 【点睛】本题考查了列联表、独立性检验的基本思想、数学期望，考查了考生的分析能力、计算能力，属 于基础题. 21. 已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点 1,2A为抛物线C上一点. (1)求C的方程； (2)若点1, 2B在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若 2 BPBQ kk ，求证:直线PQ过定点. 【答案】(1) 2 4yx或 2 1 2 xy； (2)证明见解析 【解析】 【详解】 试题分析： (1)当焦点在x轴时， 设C的方程为 2 2xpy， 当焦点在y轴时， 设C的方程为 2 2xpy， 分别代入点
36、1,2A，求得P的值，即可得到抛物线的方程；(2)因为点1, 2在C上，所以曲线 C的方程为 2 4yx，设点 1122 ,P x yQ x y，用直线与曲线方程联立，利用韦达定理整理得到 32bm，即可得到32xm y ，判定直线过定点. 试题解析：(1)当焦点在x轴时，设C的方程为 2 2xpy，代人点1,2A得2 4p ，即 2 4yx.当焦点 在y轴时，设C的方程为 2 2xpy，代人点1,2A得 1 2 2 p ，即 2 1 2 xy， 综上可知：C的方程为 2 4yx或 2 1 2 xy. (2)因为点1, 2B在C上，所以曲线C的方程为 2 4yx. 设点 1122 ,P x y
37、Q x y， 直线:PQ xmyb，显然m存在，联立方程有： 22 1212 440,16,4 ,4ymybmbyym y yb . 12 1212 2244 2,2,2 1122 BPBQ yy kk xxyy , 即 1212 2120,48120y yyybm即32bm. 直线:PQ即32 ,xm y 直线PQ过定点3,2. 考点：抛物线的标准方程；直线过定点问题的判定. 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线问题，其中解答中涉及到抛物线标准方程及其简单的几何 性质，直线与圆锥曲线的位置关系的应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能 力，以及推理与运算能力，此类问题
38、的解答中把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系， 及韦达定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 22. 已知函数 2 1 x f xexax ， lng xbxbx，其中e为自然对数的底数 (1)当0 x时，若不等式 0f x 恒成立，求实数a的取值范围； (2)若0 x，证明： 2 1 ln1 x exx 【答案】(1) 1 , 2 ；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)把不等式恒成立转换成最小值大于等于0的问题，再利用导数求出最小值，即可得到 a 的取值范围； (2)利用第一问的结论结合分析法进行证明即可 【详解】 (1)由条件得 1 2 x fxeax
39、， 令 1 2 x h xeax ， 则 2 x h xea，0,1 x xe 当21a 时， 20 x h xea恒成立， h x在0,上单调递增， 00h xh，即 0fx ， f x在0,上为增函数， 00f xf恒成立， 1 2 a 时满足条件 当21a 时，令 0h x ，解得ln2xa，在0,ln2a上， 0h x ， h x在0,ln2a上单调递减， 当0,ln2xa时，有 00h xh，即 0fx ， f x在0,ln2a上为减函数， 00f xf，不合题意 综上：实数a的取值范围为 1 , 2 (2)由(1)得，当 1 2 a ，0 x时， 2 1 2 x x xe 成立，即 22 2 2 1 2 x x e xx x 成立， 要证不等式： 2 1 ln1 x exx ，0,ln10 xx， 只需证： 2 1 ln1 x x e x ， 只需证： 22 2 2ln1 xxx x ， 只需证： 2 ln1 2 x x x 成立， 设 2 ln10 2 x F xxx x ，则 22 22 1 1 212 xx Fx x xxx ， 当0 x时， 0Fx 恒成立，故 F x在0,上单调递增， 又 00F， 0F x 恒成立，原不等式成立 【点睛】本题主要考察函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转换思想以及不等 式的证明，属于中档题
