1、六校六校 10 月联考月联考 高三数学试题高三数学试题 命题学校：鄂南高中命题学校：鄂南高中 命题教师：高三数学组命题教师：高三数学组 审题学校：新洲一中邾城校区审题学校：新洲一中邾城校区 考试时间：考试时间：2020 年年 10 月月 15 日日 上午上午 800-1000 试卷满分：试卷满分：150分分 第第卷卷( (共共 60 分分) ) 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 6分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. 设U R，集合 0 1 x Ax x ，
2、11Bxx ，则 UA B ( ) A. 0,1 B. 0,1 C. 0,1 D. 0,1 【答案】B 【解析】 【分析】 由0 =|0 1 x Axxx x 或1x ，则=|01 UA xx，代入即可得解 【详解】由0 =|0 1 x Axxx x 或1x ， 则=|01 UA xx， 所以|0 x1 UA Bx， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的运算，考查了分式不等式，计算量不大，属于基础题. 2. 函数 1 31 ln 2 f xx x 的定义域为( ) A. 1 ,11, 3 B. 1 ,2 3 C. 1 ,11,2 3 D. 0,2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数成立的
3、条件即可求函数的定义域 【详解】要使函数 1 31 ln 2 f xx x 有意义，则 310 20 21 x x x 1 3 2 1 x x x ，故函数的定义域为 1 ,11,2 3 . 故选：C 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题 3. ABC中，已知45A，30B， 2c ，则a( ) A. 62 B. 62 C. 31 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题中条件，先得到105C ，再由正弦定理，即可得出结果. 【详解】因为在ABC中，45A，30B， 所以1804530105C ， 又 2c ， 由正弦定理可得， sinsi
4、n ac AC ， 即 2 2 sin4 2 62 sin6262 4 cA a C . 故选：B. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题. 4. 若1,2x ，使得不等式 2 20 xxa成立，则实数a的取值范围为( ) A. 3a B. 0a C. 1a D. 3a 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可转化为1,2x ，使 2+2 axx 成立，求 2+2 xx的最大值即可. 【详解】因为1,2x ，使得不等式 2 20 xxa成立， 所以1,2x ，使得不等式 2+2 axx 成立， 令 2 ( )2f xxx ，1,2x ， 因为对称轴为1x ，1,2x 所以 max
5、( )(1)1f xf， 所以1a ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了存在性命题的应用，考查了函数最值的求法，转化思想，属于中档题. 5. “开车不喝酒，喝酒不开车”近日，公安部交通管理局下发关于 2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的 指导意见 ， 对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定， 根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准， 车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表经过反复试验，一般情况下，某人喝一 瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型 0.5 40sin13,02 ( )3 9014,2 x xx f x ex ，则该人喝一瓶啤
6、酒后至少经过( )小时才可以驾车？(参考数据： ln152.71,ln303.40 ) 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别 阈值(mg/100mL) 饮酒后驾车 20,80 醉酒后驾车 80 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据散点图可得该人喝一瓶啤酒后的 2 个小时内， 其酒精含量阈值大于 20， 故根据 0.5 901420 2 x e x 的 解可得正确的选项. 【详解】由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的 2 个小时内，其酒精含量阈值大于 20， 令 0.5 901420 2 x e x ，故 0.5 1 15 2 x e x ， 所以2ln
7、152 2.71 5.42x ， 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数在实际中的应用，注意根据散点图选择合适的函数解析式来进行计算，本题属 于基础题. 6. 已知函数 32 f xxpxqx的图像与x轴切于点(1,0)，则( )f x的极值为( ) A. 极大值为 4 27 ，极小值为 0 B. 极大值为 0，极小值为 4 27 C. 极小值为 5 27 ，极大值为 0 D. 极小值为 0，极大值为 5 27 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，求得2,1pq ，得到 32 2f xxxx，再利用导数求得函数的单调性，利用极值的定 义，即可求解函数的极大值和极小值，得到答案 【详解】由题
8、意，函数 32 f xxpxqx，则 2 32fxxpxq， 因为函数 f x的图像与x轴切于点(1,0)， 则 13 20fpq ，且 110fpq ， 联立方程组 320 10 pq pq ，解得2,1pq ，即 32 2f xxxx， 则 2 341(31)(1)fxxxxx ， 当 1 (, ) 3 x 时，( )0fx ，函数 f x单调递增， 当 1 ( ,1) 3 x时，( )0fx ，函数 f x单调递减， 当(1,)x时，( )0fx ，函数 f x单调递增， 所以函数 f x的极大值为 14 ( ) 327 f，极小值为(1)0f， 故选 A 【点睛】本题主要考查了利用导数
9、研究函数的单调性与极值问题，其中解答中准确利用导数求得函数的单 调性，再利用函数极值的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 7. 如图，在ABC中，4BC ，4BA BC ，点P为边BC上的一动点，则PA PC 的最小值为( ) A. 0 B. 2 C. 9 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 作辅助线AOBC，利用向量数量积公式，可求得1BO ，3CO ，再利用向量的三角形法则，将求 PA PC 的最小值，转化为求PO PC 得最小值，然后分类讨论P与 O的位置关系，可知P在 O 右侧时， PA PC 最小，再利用基本不等式求最值. 【详解】如图所示，作AOB
10、C 4BA BC ，4BC ，cos4BA BCB uuruuu r ， 可得cos1BAB uur ，即1BO ，3CO 利用向量的三角形法则，可知 PAPOOAPCPO PCPC uur uuu ruuu ruuruuu ruuu r uuu r 若P与 O重合，则 0PCPA uur uuu r 若P在 O左侧，即P在OB上时, PAPOPCPC uur uuu ruuu ruuu r 若P在 O右侧，即P在OC上时，PAPOPCPC uur uuu ruuu ruuu r ，显然此时PA PC 最小，利用基本不等式 2 9 24 POPC POPC uuu ruuu r uuu ruu
11、u r (当且仅当POPC uuu ruuu r ，即P为OC中点时取等号) 故选：C. 【点睛】本题考查向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能 力，数形结合思想，属于中档题. 8. 已知函数 sincos0 6 f xxx 在0,内有且仅有3个零点， 则的取值范围是( ) A. 8 11 , 3 3 B. 8 11 , 3 3 C. 10 13 , 33 D. 10 13 , 33 【答案】A 【解析】 【分析】 利 用 两 角 和 正 弦 公 式 和 辅 助 角 公 式 将 函 数 整 理 为( )3 sin 3 fxx ， 由0,x， 得 , 333
12、 x ，结合正弦函数的图像求得 3 的范围，从而求得的范围. 【详解】 sincossincoscossincos 666 f xxxxxx 33 sincos3sin 223 xxx 当0,x时，, 333 x f x0,有且仅有 3 个零点，结合正弦函数图像可知， 34 3 解得： 811 33 故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为 sinyAx形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题. 二、多选题二、多选题( (本大题本大题 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，每题有两个或
13、以上的选项正确，全选对分，每题有两个或以上的选项正确，全选对 得得 5 分，少选但没有错选得分，少选但没有错选得 3 分，有错选成全不选得分，有错选成全不选得 0 分分) ) 9. 若函数1 x yab(0a，且1a )的图像不经过第二象限，则需同时满足( ) A. 1a B. 01a C. 0b D. 0b 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据指数型函数的图像分布，列式可解得. 【详解】因为函数1 x yab (0a,且1a )的图像不经过第二象限，即可知图像过第 一、三、四象 限，或过第一，三象限及原点，所以其大致图像如图所示： 由图像可知函数为增函数，所以1a ， 当0 x时，110y
14、bb ， 故选：AD. 【点睛】本题考查了指数函数的图像，考查数形结合思想，属于基础题. 10. 下列函数中，最小值是 4的函数有( ) A. 2 2 4 f xx x B. 4 cos0 cos2 f xxx x C. 2 2 5 1 x f x x D. 4 3 3 x x fx 【答案】ACD 【解析】 分析】 根据基本不等式，对各项逐个分析判断，经过计算即可得解. 【详解】对 A， 2 0 x ，可得 2 2 4 2 4=4f xx x ，当 2 2x 时取等，故 A正确， 对 B，0cos1x， 4 cos5 cos f xx x ，故 B错误， 对 C， 2 11x ， 2 2 2
15、2 54 =14 11 x f xx xx ， 当 2 12x 取等，故 C 正确， 对 D，30 x ， 4 32 4=4 3 x x f x ，当3 2 x 时取等，故 D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了基本不等式，在利用基本不等式求最值时，注意变量的取值范围，关键是考查能否取 等号，属于基础题. 11. 已知函数 2 1,0 log,0 kxx f x x x ，下列是关于函数 1yffx 的零点个数的判断，其中正确的是 ( ) A. 当0k 时，有 3 个零点 B. 当k0时，有 2个零点 C. 当0k 时，有 4个零点 D. 当k0时，有 1 个零点 【答案】CD 【解析】
16、 【分析】 令 y0 得 1ff x ，利用换元法将函数分解为 f(x)t 和 f(t)1，作出函数 f(x)的图象，利用数 形结合即可得到结论 【详解】令 10yffx ，得 1ff x ，设 f(x)t，则方程 1ff x 等价为 f(t) 1， 若 k0，作出函数 f(x)的图象如图：f(t)1， 此时方程 f(t)1有两个根其中 t20，0t11，由 f(x)t20，此时 x有两解， 由 f(x)t1(0，1)知此时 x 有两解，此时共有 4个解， 即函数 yff(x)+1有 4 个零点 若 k0，作出函数 f(x)的图象如图：f(t)1，此时方程 f(t)1 有一个根 t1，其中 0
17、t11， 由 f(x)t1(0，1)，此时 x 只有 1个解，即函数 yff(x)+1有 1 个零点 故选：CD 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的 关键，属于难题 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从 第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 n a称为“斐波那契数列”， 记 n S为数列 n a的前n项和，则下列结论正确的是( ) A. 6 8a B. 9 54S C. 13520192020 aaaaa D. 222 122019 2020
18、2019 aaa a a 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由题意可得数列 n a满足递推关系 1221 1,1,(3) nnn aaaaan ，依次判断四个选项，即可得正确 答案. 【详解】对于 A，写出数列的前 6项为1,1,2,3,5,8，故 A 正确； 对于 B， 9 1 1 23 5 8 13+21+3488S ，故 B错误； 对于 C，由 12 aa， 342 aaa， 564 aaa， 201920202018 aaa，可得： 13520192426486202020182020 aaaaaaaaaaaaaaL，故 C正确. 对于 D，斐波那契数列总有 21nnn aaa ，则
19、 2 121 aa a， 2 2231232 1 aaaaa aa a， 2 33423423 aaaaa aa a， 2 20182018201920172018201920172018 aaaaaaaa， 2 20192019202020192018 aaaaa，可得 222 122019 2020 2019 20192020 2019 aaa a aa aa L ，故 D 正确； 故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考 查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 第第卷卷( (共共 9
20、0 分分) ) 三、填空题三、填空题( (每题每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上) ) 13. 已知向量a与b的夹角为60， 2a ，3b r ，则32ab_ 【答案】6 3 【解析】 【分析】 先计算a b ，再将 2 32ab展开，将已知条件代入即得结果. 【详解】依题意， 1 cos602 33 2 aba b ， 故 222 3294129 44 9 12 3108ababa b ，即326 3ab. 故答案为：6 3. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算和向量的模的求法，属于基础题. 14. 公元前 6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正
21、五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 0.618，这一数值也可以表示为2sin18m，若 2 4mn，则 2 1 2cos 153 m n _ 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 由已知利用同角三角函数的平方关系可求 2 4cos 18n ，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函 数公式化简即可 【详解】根据题意，且2sin18m， 2 4mn， 化简 22 2 1 2cos 1531 2cos 27cos54 2sin182cos18 2sin1844sin 18 m n sin361 2sin362 . 故答案是： 1 2 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的平方关系，降幂公
22、式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角 函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 15. 等差数列 n a中， n S为其前n项和，若 5 2015S ， 2015 5S，则 2020 S_ 【答案】2020 【解析】 【分析】 先利用等差数列 n a的求和公式证得 n S n 是等差数列，并由已知条件计算该数列的公差，进而利用等差 数列的推广的通项公式() nm aanm d求解. 【详解】等差数列 n a中，记首项为 1 a，公差为d，利用等差数列求和公式 1 (1) 2 n n n Snad ，可得 11 1 222 n Sndd adna n ， 又 1 11 (1)() 1
23、22222 nn SSddddd nana nn 所以 n S n 是首项为 1 a，公差为 2 d 等差数列， 由 5 2015S ， 2015 5S，得 5 2015 55 S ， 2015 20115 5 20 5 S 所以 n S n 的公差为 20155 52015 2015520155 2015520155 SS 所以 20205 52015 20155 (20205)1 2020520155 SS 所以 2020 2020S 故答案为：2020 【点睛】本题考查等差数列的证明，及等差数列通项公式的求法，解题的关键是要证得 n S n 是等差数列， 考查学生的逻辑推理能力与运算求解
24、能力，属于难题. 16. 若存在两个正实数x，y使等式lnln 0 xm yxyx成立，(其中2.71828e)则实数m的 取值范围是_ 【答案】,0 【解析】 【分析】 由条件转化为 1 1ln yy mxx ，换元0 y t x ，令 1lng ttt，由导数确定函数的值域即可求解. 【详解】 lnln x m xyyx ， lnln1 1ln xyyxyy mxxx 设0 y t x 且1t ， 设 1lng ttt， 那么 11 ln1ln1g tttt tt ， 22 111 0 t gt ttt 恒成立， 所以 g t 是单调递减函数， 当1t 时， 10 g ，当0,1t时， 0
25、g t，函数单调递增， 当1,t， 0g t ，函数单调递减， 所以 g t在1t 时，取得最大值， 10g，即 1 0 m ， 解得：0m， 故答案为：,0 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了变形运算能力，属于中档题. 四、解答题四、解答题( (本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ) 17. 在sinsin sinBCA C 3 tantan cos c AB aB 2 coscos cosaAbCcB这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出bc
26、的最大值；若问题中的三角形不 存在，请说明理由(若选择多个，则按第一个条件评分) 问题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a，_，求bc的最大值 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 选择条件，利用两角和与差的正弦化简，可求得 3 A ，再利用余弦定理，结合基本不等式求bc的最 大值；选择条件，利用正弦定理化简，可求得 3 A ，与一样可求bc的最大值；选择条件，利用 正弦定理化简，可求得 3 A ，与一样可求bc的最大值； 【详解】若选择条件，sinsinsinBCAC，三角形存在. sinsinsinA CCA C， 化简可得：2cossinsinACC sin0C
27、 ， 1 cos 2 A， 3 A 由余弦定理可知， 222 2cosbcbcAa 22 4bcbc， 2 34bcbc 利用基本不等式 2 2 433 2 bc bcbc ，当且仅当bc时等号成立， 2 4 4 bc ，04bc 综上max4bc. 若选择条件， 3 tantan cos c AB aB ，三角形存在. 由正弦定理可得 3sinsinsin sincoscoscos CAB ABAB 化简可得 sin3sinsin sincoscoscoscoscos ABCC ABABAB sin0C ， 31 ,tan3 sincos A AA ， 3 A ， 同理条件可得max4bc
28、若选择条件，2 coscoscosaAbCcB，三角形存在. 由正弦定理得：2sincossincossincosAABCCB 化简得：2sincossinsinAABCA sin0A， 1 cos 2 A， 3 A 同理条件可得max4bc 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力与运算能力，属于 中档题. 18. 数列 n a中， n S为其前n项和，且 1 1 n aSn (1)求 n S， n a； (2)若2 n S nn ba，求数列 n b的其前n项和 n T 【答案】(1) 2 n Sn；21 n an；(2) 1 23 26 n n Tn
29、. 【解析】 【分析】 (1)由1n ，得 1 1a ，进而得 2 n Sn，再由 1nnn aSS 即可得解； (2)由21 2n n bn，利用错位相减法即可求和. 【详解】(1)当1n 时， 11 2aa，则 1 1a ， 则 2 n Sn，当2n时， 1 21 nnn aSSn 当1n 时， 1 1a 适合上式，则21 n an， (2)由(1)可知，21 2n n bn 则 2 1 2 3 221 2n n Tn 231 21 23 221 2n n Tn 两式相减得 21 22 2221 2 nn n Tn 1 11 4(1 2) =22(32 )6 1 2 21 22 nn n
30、nn ， 1 23 26 n n Tn . 【点睛】本题主要考查了利用 1nnn aSS 求数列通项公式，涉及错位相减法求和，属于基础题. 19. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA 平面ABCD，E为PD的中点 ()证明：/PB平面AEC； ()设1,60PAABC，三棱锥EACD的体积为 3 8 ，求二面角DAEC的余弦值 【答案】()证明见解析；() 13 13 . 【解析】 【分析】 () )连接BD交AC于点O，连接OE，根据中位线定理可得/ /PBOE，由线面平行的判定定理即可证 明/PB平面AEC； ()以点A为原点，以AM方向为x轴，以AD方向为y轴，以AP方向
31、为z轴，建立空间直角坐标系， 分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 【详解】()连接BD交AC于点O，连接OE，则O为BD中点， E为PD的中点，所以/ /PBOE， OE 平面,ACE PB 平面ACE， 所以/PB平面AEC； ()设菱形ABCD的边长为a， 3 24 2 P ABCDP ACDE ACD VVV ， 2 1133 21 3342 P ABCDABCD VSPAa ，则3a . 取BC中点M，连接AM. 以点A为原点，以AM方向为x轴，以AD方向为y轴， 以AP方向为z轴，建立如图所示坐标系. 0, 3,0D，0,0,0A，
32、3 1 0, 22 E ， 33 ,0 22 C 3 1 0, 22 AE ， 33 ,0 22 AC ， 设平面ACE的法向量为 1 ( , , )nx y z， 由 11 ,nAE nAC， 得 31 0 22 33 0 22 yz xy ，令1x ，则3,3yz 1 1,3,3n ， 平面ADE的一个法向量为 2 1,0,0n 12 12 12 113 cos 13139 n n n n nn ， 即二面角DAEC的余弦值为 13 13 . 【点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题题.空间向量解答立体 几何问题的一般步骤是：(1)观察图形，建立恰当的空间
33、直角坐标系；(2)写出相应点的坐标，求出相应直 线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；(4)将空 间位置关系转化为向量关系；(5)根据定理结论求出相应的角和距离. 20. 已知函数 4 log41 x fxmx 是偶函数，函数 4 2 x x n g x 是奇函数 (1)求mn的值； (2)设 1 2 h xf xx， 若 4 l o g 21g h xha 对任意4 log 3x 恒成立， 求实数a的取值范围 【答案】(1) 1 2 mn ；(2) 1 ,3 2 . 【解析】 【分析】 (1)根据偶函数的定义，求m的值，根据奇函数若在原点有意
34、义，则必满足 00g，求n的值，从而求 得mn； (2)求参数的恒成立问题转化为求最值问题，本题形如 f xa恒成立，转化为 minf xa恒成立，即转 化为求 minf x，从而求得a的取值范围. 【详解】(1)由 f x是偶函数，得 fxf x 即 444 log41log411log41 xxx fxmxmxmx 化简得：1mxmx，故 1 2 m 由 g x为奇函数，且定义域为R，所以 00g， 即 0 0 4 01 2 n n ，经检验，1n符合题意； 综上，可得 1 2 mn (2) 4 1 log41 2 x h xf xx， 44 log21log22haa 又 4 log21
35、g h xha 对 4 log 3x 恒成立， 即 4 min log22g h xa 对 4 log 3x 恒成立，下面求 min g h x ， 又 4 log41 x h x ，在区间 4 log 3,上是增函数 4 log 31h xh 又 41 22 2 x xx x g x 在区间 1,上是增函数， 4 min 3 glog 31 2 g h xhg 由题意，得 3 2 224 1 2203 2 210 a aa a 所以实数a的取值范围是： 1 ,3 2 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数，及函数恒成立求参数问题，在解函数恒成立问题时，往往转化 为最值问题求解，考查学生的转化与
36、化归思想与计算能力，属于中档题. 21. 已知直线 1 l与圆 22 :9O xy相切，动点M到2,0E 与2,0F两点的距离之和等于E、F两点 到直线 1 l的距离之和 (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)过点F的直线 2 l交轨迹C于不同两点A、B，交y轴于点N，已知 1 NAAF uuruuu r ， 2 NBBF uuu ruuu r ，试问 12 是否等于定值，并说明理由 【答案】(1) 22 :1 95 xy C；(2)是定值，为 18 5 ，理由详见解析. 【解析】 【分析】 (1)由64MEMF得动点M的轨迹是以E、F为焦点，长轴长为 6 的椭圆可得答案； (2)直线斜率存在
37、取特殊情况可证明，不存时直线与椭圆联立，利用韦达定理结合向量可得答案. 【详解】是定值，为 18 5 ，理由如下： (1)设E、O、F三点到直线 1 l的距离分别为 1 d、d、 2 d，O为EF的中点， 直线 1 l与圆 22 :9O xy相切，3d 12 264MEMFddd 动点M轨迹是以E、F为焦点，长轴长为 6的椭圆 2ab，3a ，2c ， 222 5bac=-= 所以动点M的轨迹 22 :1 95 xy C. (2)当 2 l斜率为 0时，0,0N，2,0F，不妨取30A ,，3,0B， 3,0NA ，5,0AF ，则 1 3 5 ， 3,0NB ，1,0BF ，则 2 3 ，
38、12 18 5 当 2 l斜率不为 0 时， 设 2: 20ltyxt， 11 ,A x y、 22 ,B x y，则 2 0,N t 则 1111111 1 22 ,2,1NAABFx yxy tty 由 2 NBBF uuu ruuu r ，同理可得 2 2 2 1 ty 由 22 2 1 95 xty xy ，得 22 5920250tyty ， 12 2 20 59 t yy t ， 12 2 25 59 y y t ， 12 12 1212 2222 2018 222 255 yyt tytyty yt ， 综上， 12 18 5 为定值 【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，求动
39、点轨迹的问题及椭圆与向量的结合求定值的问题. 22. 已知函数 ln1f xaxx ()若1a ，求函数 f x的最小值； ()若函数 0f x 对任意的0,x恒成立，求正实数 a的最值范围； ()求证：nN ， 1 ! n n e n (e为自然对数的底数) 【答案】()0；()1a ；()证明见解析. 【解析】 【分析】 ()根据题意，先得函数定义域，再对函数求导，根据函数单调性，即可求出函数最值； ()对函数求导，得到 1 1 fxa x ，分别讨论1a ，01a两种情况，根据导数的方法研究函数 单调性，以及函数的大致范围，即可得出结果； ()先由()知，1a 时，ln 1xx，0,x，
40、取 1 x k =，kN，得 11 ln 1 kk ，kN， 推出 1 k k e k ，kN，进而可证明结论成立. 【详解】()当1a 时，由题意可得，函数 f x的定义域为 1,x ， 1 100 11 x fxx xx 随x变化， f x， fx 的变化情况如下： x 1,0 0 0, fx 0 f x 极小值 所以当0 x时， min 00f xf； ()由 1 1 fxa x 当1a 时， 1 0,1 1x ， 1 0 1 fxa x 恒成立，即 f x在0,上单调递增，所以 00f xf恒成立，符合题意； 当01a时， 11 11 axaaa fxx xxa ， 若 1 0, a x a ，则 0fx ，即 f x在 1 0, a x a 上单调递减，此时 00f xf，不符合 题意； 综上：1a ； ()由()知，1a 时，ln 1xx，0,x 取 1 x k =，kN，则 11 ln 1 kk ， 1k ，2，n 即 1 111 11 kk k k eee kkk ，1k ，2，n 上式n个式子相乘得： 123 2341 123 n n n e n ， 即 1 ! n n n e n ， 所以 1 ! n n e n . 【点睛】本题主要考查导数的方法求函数的最值，考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，考查导数 的方法证明不等式，属于常考题型.
