1、20202021 学年高三新高考学年高三新高考 10 月质量检测月质量检测 数学数学 一一 选择题选择题 1. 设集合 2 4Ax x，23Bxx，则AB ( ) A. 23xx B. 23xx C. 14xx D. 14xx 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合 A，直接根据并集运算即可. 【详解】 2 422Ax xxx ， 所以 222323ABxxxxxx . 故选：B 2. 命题“0,x ，2 1 x ”的否定是( ) A. 0,x ，2 1 x B. 0 0,x， 0 21 x C. 0,x ，2 1 x D. 0 0,x， 0 21 x 【答案】B 【解析】 【分析】 利用全
2、称命题的否定变换形式即可求解. 【详解】命题“(0)x ，2 1 x ”， 则命题的否定为： 0 (0)x， 0 2x 1 故选：B 【点睛】本题考查了全称命题的否定形式，需熟记含有一个量词的否定变换形式，属于基础题. 3. 我们知道， 人们对声音有不同的感觉， 这与声音的强度有关系.声音的强度常用I(单位： 瓦/米 2， 即 2 / mW ) 表示， 但在实际测量时， 声音的强度水平常用L(单位： 分贝)表示， 它们满足换算公式： 0 10lg I L I (0L， 其中 122 0 1 10/ mIW 是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降 低 10 分贝
3、，则声音的强度应变为原来的( ) A. 1 5 B. 1 100 C. 1 10 D. 1 20 【答案】C 【解析】 【分析】 设该小区内公共场所声音的强度水平为 1 L， 2 L，相应声音的强度为 1 I， 2 I，代入可得选项. 【详解】设该小区内公共场所声音的强度水平为 1 L， 2 L，相应声音的强度为 1 I， 2 I， 由题意，得 12 10LL，即 12 00 10lg10lg10 II II ， 解得 21 1 10 II. 故选：C. 【点睛】本题考查函数模型的应用，关键在于理解生活中的数据在数学应用中的表达，属于基础题. 4. 过点1, 3P与圆 22 4xy相切的直线方
4、程是( ) A. 340 xy B. 340 xy C. 340 xy D. 340 xy 【答案】A 【解析】 【分析】 先验证点 P与圆的关系，由圆的切线的性质可求得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得选项. 【详解】将点P代入圆的方程得 2 2 134 ，所以点 P在圆上，而3 OP k ， 所以过点P的切线斜率为 11 33 k ， 则所求切线方程为 1 31 3 xy ，即340 xy. 故选：A. 【点睛】本题考查圆的切线方程，关键在于由圆的切线的性质得出切线的斜率，属于基础题. 5. 已知函数 2 2 log,2 log4,2 x x f x xx ，若函数 yf xk有两个零点，
5、则k的取值范围是( ) A. ,2 B. ,1 C. 2, D. 1, 【答案】D 【解析】 【分析】 作出函数的图象，根据数形结合的思想可得选项 【详解】由函数 2 logyx与 2 log4yx的图象关于直线2x对称， 可得 f x的图象如图所示， 所以当1k 时，直线yk与函数 yf x的图象有两个交点. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点问题之求参数的范围，常采用数形结合的思想，属于中档题 6. 张衡(78年139 年)是中国东汉时期伟大的天文学家文学家数学家.他的数学著作有算罔论 ，他曾经 得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B
6、，若 线段AB的最小值为31，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为( ) A. 30 B. 10 10 C. 12 10 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 设正方体的棱长为a，正方体的内切球半径为 2 a r ，正方体的外接球半径 3 2 Ra，再已知条件和球的 表面积公式可得选项. 【详解】设正方体的棱长为a，正方体的内切球半径为 2 a r ， 正方体的外接球半径R满足： 2 2 2 2 22 a Ra ，则 3 2 Ra . 由题意知： 3 31 22 a Rra，则2a，3R ， 该正方体的外接球的表面积为12， 又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即 2 5 1
7、68 ，所以10， 所以外接球的表面积为12 10. 故选：C. 【点睛】本题考查正方体的外接球，内切球的相关计算，以及数学文化，属于中档题. 7. 已知双曲线 2 2 2 :10 y C xb b 的左右焦点分别为 1 F， 2 F， 过 2 F的直线分别交双曲线C的两条渐近 线于点M，N两点.若点M是线段 2 F N的中点，且 12 NFNF ，则b( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件判断出双曲线渐近线的倾斜角为60，由此求得b的值. 【详解】因为OM是 12 NFF的中位线，所以 1 /OM NF， 又由 12 NFNF ，得 2
8、OMNF，从而 2 ONF是等腰三角形， 而 21 MOFNOF， 所以 21 60MOFMONNOF， 即渐近线ybx的倾斜角为60，因此tan603b . 故选：D 8. 已知定义在R上的函数 f x，都有 1f xfx，且函数1f x是奇函数，若 11 42 f ， 则 2019 4 f 的值为( ) A. 1 B. 1 C. 1 2 D. 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利 用 函 数1f x是 奇 函 数 和 1fxfx可 得 函 数 f x的 周 期 为2 ， 然 后 可 得 2019331 504 4444 ffff ，然后再结合条件可得出结果. 【详解】因为函数1f x
9、是奇函数，所以11fxf x ， 又 1f xfx，所以 1f xf x， 所以 21 f xf xf x， 所以函数 f x的周期为 2，所以 2019331 504 4444 ffff . 因为 1551 11 4444 ffff ， 所以 111 442 ff ，所以 2 2019 4 1 f . 故选：D 二二 多选题多选题 9. 已知0ab，0cd ，则下列不等式成立的是( ) A. acbd B. ab dc C. cd abab D. a ba b cd 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据不等式的基本性质，可判定 A、B 正确，根据指数函数和幂函数的单调性，可判定 C 错误
10、，D正确. 【详解】由0ab，0cd，根据不等式的性质，可得acbd ，所以 A 是正确的； 由0ab，0cd，可得0,cdacbd， 则0 abacbd dccd ，可得 ab dc ，所以 B 正确； 取 1 4 a ， 1 2 b ，则 3 0,1 4 ab，从而 33 44 cd ，所以 C错误； 由幂函数 a b yx ，在0,上是增函数， 则由0cd，即得 a ba b cd ，则 D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟记不等式的基本 性质，以及合理应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
11、10. 已知函数 sin 2 6 f xx ，则下列结论正确的是( ) A. f x的最小正周期为 B. f x的图象关于直线 7 6 x 对称 C. f x在 , 4 6 单调递增 D. 4 yf xfx 的最小值为 2 【答案】ABD 【解析】 分析】 由正弦函数的周期公式可判断 A；代入得函数 f x有最小值，可判断 B；由 , 4 6 x 得 2 2, 636 x ，可判断 C；根据三角恒等变换可判断 D. 【详解】 f x的周期为 2 2 ，故 A正确； 7 6 x 时， 5 2 62 x ，此时 f x有最小值， f x图象关于 7 6 x 对称，B正确； , 4 6 x 时， 2
12、 2, 636 x ， f x在 , 4 6 上不单调，C错误； sin 2cos 22sin 2 46612 yf xfxxxx ，故 D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查正弦函数的周期性、单调性、对称性、以及最值，属于基础题. 11. 朱世杰是元代著名数学家，他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.算学 启蒙中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有 100 根相同的圆形铅笔， 小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于 2，且从最下面一层开 始，每一层比上一层多 1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数
13、可以是( ) A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】BD 【解析】 【分析】 依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为 1 a，公差即每一层比上一层多的根数为 1d ，设一共放2n n层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为 1 a，公差为1d ，设一共放 2n n层，则总得根数为： 11 11 100 22 n n ndn n Snana 整理得 1 200 21an n ， 因为 1 a N，所以n为 200的因数， 200 12n n 且为偶数， 验证可知5,8n 满足题意. 故选：BD. 【
14、点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列， 考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 12. 在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G分别为BC， 1 CC， 1 BB的中点，则( ) A. 1 DDAF B. 1 /AG平面AEF C. 异面直线 1 AG与EF所成角的余弦值为 10 10 D. 点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的 2 倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由 11 /DD A A， 1 A A与AF不垂直， 由此可判断 A； 取 11 BC的中点Q， 连接GQ， 1 AQ， 由条件可知：
15、/GQ EF， 1 /AQ AE，根据线面平行的判定和面面平行的判定和性质可判断 B；异面直线 1 AG与EF所成的角为 1 AGQ或其补角， 求解三角形可判断 C； 连接GC， 与FE交于O(也是GC与平面AEF的交点)， 连接GF， 设点G与点C到平面AEF的距离分别为 1 h， 2 h，由平面几何的性质可判断 D. 【详解】由于 11 /DD A A，而 1 A A与AF不垂直，因此异面直线 1 DD与AF不能垂直，则 A错误； 取 11 BC的中点Q，连接GQ， 1 AQ， 由条件可知：/GQ EF， 1 /AQ AE，所以/GQ平面AEF， 1 /AQ平面AEF， 又 1 GQAQQ
16、，EFAEE，所以平面 1 /AGQ平面AEF， 又因为 1 AG 平面 1 AGQ，所以 1 /AG平面AEF，则 B 正确； 异面直线 1 AG与EF所成的角为 1 AGQ或其补角， 设正方体的棱长为 2，则 11 5AGAQ，2QG ， 由余弦定理知 1 10 cos 10 AGQ，则 C正确； 对于 D，连接GC，与FE交于O(也是GC与平面AEF的交点)， 连接GF，设点G与点C到平面AEF的距离分别为 1 h， 2 h， 则 1 2 2 hGOGF hOCEC ， 所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的 2倍，则 D正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查空间中的线线垂
17、直的判断，线面平行，面面平行的判定和性质，以及异面直线所成的角， 点到面的距离，属于中档题 三三 填空题填空题 13. 在ABC中， 0,2AB ， 3,1CB ，则BAC的大小为_. 【答案】 3 【解析】 【分析】 先求得AC，然后判断三角形ABC是等边三角形，由此求得BAC. 【详解】由题意，得 0,23,13,1ACABBCABCB . 因为2ACABBC， 所以ABC为正三角形，从而 3 BAC. 【点睛】本小题主要考查向量坐标、模的运算，属于基础题. 14. 已知0 x， 0y ，且420 xxyy，则4xy的最小值为_. 【答案】8 【解析】 【分析】 由已知条件得出 21 1
18、2yx ，再将代数式4xy与 21 2yx 相乘，展开后利用基本不等式可求得4xy的 最小值. 【详解】由420 xxyy，得 421 1 22 xy xyyx ， 则 2188 4428 2 44 22 xyxy yxyxy xy x xy ，当且仅当1x ，4y 时等号成立. 因此，4xy的最小值为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查利用1的应用求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 15. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施， 稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥 上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m，到
19、 达最高点时，距离地面的高度为120m，能看到方圆40km以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上， 单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有 48 个座 舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到mint后距离地面的高度为mH，则转到10min后距离地面的高度为 _m，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为_. 【答案】 (1). 185 2 (2). 55cos65 15 Ht ，030t . 【解析】 分析】 借助三角函数模型，设sinHAtk，以
20、轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直角坐 标系，由直径求出A，初始位置求出，角速度求出，直径和最高点离地高度求出k，即可求解 【详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直 角坐标系. 设0mint 时，游客甲位于点0, 55P，以OP为终边的角为 2 ； 根据摩天轮转一周大约需要30min， 可知座舱转动的角速度约为 min 15 rad， 由题意可得 55sin6555cos65 15215 Htt ，030t . 当10t 时， 185 55cos1065 152 H . 故答案： 185 2 ； 55cos65 15 Ht ，030
21、t 【点睛】本题考查三角函数模型在实际生活生的应用，属于中档题 16. 已知经过点1,0的直线l与抛物线 2 4yx相交于A，B两点， 点1, 1C ， 且C A C B， 则ABC 的面积为_. 【答案】 5 5 2 【解析】 【分析】 设直线:1l xmy，联立 2 4 1 yx xmy ，由 0CA CB ，利用韦达定理求得m，然后再求得点C到l的距 离及弦长AB求解. 【详解】设直线:1l xmy， 设点 11 ,A x y， 22 ,B x y，联立 2 4 1 yx xmy ，得 2 440ymy， 则 12 4yym， 12 4y y ， 则 2 12 42xxm， 12 1x
22、x. 由题意知 0CA CB ， 所以 1212 11110 xxyy， 展开并代入化简得 2 4410mm ， 所以 1 2 m ， 所以l的方程为220 xy， 点C到l的距离为 2 1 2 5 5 ， 2 2 1212 5 144 165 4 ABmyyy y， 所以 115 5 55 222 ABC SdAB . 故答案为： 5 5 2 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系研究三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中 档题. 四四 解答题解答题 17. 在2 coscoscosaAcB bC， 2 2 sinsinsinsinsinBCABC，2 cos2aBcb这 三个条
23、件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若10b ，6c ，_，求ABC的面积S. 【答案】条件选择见解析，面积为15 3 【解析】 分析】 选择条件： 由正弦定理可得2sincossincossincosAACBBC， 结合三角恒等变换可得 1 cos 2 A， 再由三角形面积公式即可得解； 选择条件： 由正弦定理得 222 bcabc ， 再由余弦定理可得 2 3 A， 结合三角形面积公式即可得解； 选择条件：由正弦定理结合三角恒等变换可得2cossinsin0ABB，进而可得 2 3 A，再由三角形 面积公式即可得解. 【详解】选择条
24、件： 因为2 coscoscosaAcB bC，所以2sincossincossincosAACBBC， 所以2sincossinsinAABCA， 因为0,A，所以sin0A，所以 1 cos 2 A， 3 A， 所以 11 sin10 6sin15 3 223 SbcA； 选择条件： 因为 2 2 sinsinsinsinsinBCABC， 所以 222 sinsin2sinsinsinsinsinBCBCABC， 即 222 sinsinsinsinsinBCABC ， 所以 222 bcabc ， 222 1 cos 22 bca A bc ， 因为0,A，所以 2 3 A， 所以 1
25、12 sin10 6sin15 3 223 SbcA； 选择条件： 因为2 cos2aBcb， 由正弦定理可得2sincos2sinsinABCB， 所以2sincos2sinsinABABB， 即2sincos2sincos2cossinsinABABABB， 所以2cossinsin0ABB， 因为0,B，所以sin0B， 所以2cos10A ，即 1 cos 2 A ， 因为0,A，所以 2 3 A， 所以 112 sin10 6sin15 3 223 SbcA. 【点睛】解决本题的关键是利用正弦定理、余弦定理对条件进行转化，求得角度后再由三角形面积公式即 可得解. 18. 已知等比数列
26、 n a的公比大于 1，且满足 35 90aa， 4 27a . (1)求 n a的通项公式； (2)记 3 log nn ba，求数列 1 nn ab 的前n项和 n T. 【答案】(1) 1 3 n n a；(2) 11 21 3 44 n n Tn. 【解析】 【分析】 (1)设 n a的公比为1q q ，依题意得到方程组，解得即可； (2)由(1)知 1 3 n n a，所以 3 log1 nn ban，从而 1 13n nn abn ，再利用错位相减法求和即可； 【详解】解：(1)设 n a的公比为1q q ，因为 35 90aa， 4 27a 所以 24 11 3 1 90 27
27、a qa q a q ， 两式相除，得 2 110 3 q q ，整理得 2 31030qq， 结合1q ，解得3q ， 所以 1 33 2727 1 3 a q ，所以 1 3 n n a. (2)由(1)知 1 3 n n a，所以 3 log1 nn ban， 从而 1 13n nn abn ， 所以 0121 1 32 33 33n n Tn L， 两边同乘以 3，得 123 31 32 33 33n n Tn L， 由-，得 0121 1 311 23333333 1 322 n nnnn n Tnnn L， 所以 11 21 3 44 n n Tn. 【点睛】本题考查等比数列基本量
28、的计算，错位相减法求和，属于中档题. 19. 已知函数 sin0 2 f xaxxbx 在 3 x 处有极值. (1)求a的值，并判断 3 x 是 f x的极大值点还是极小值点？ (2)若不等式 sincosf xxx对于任意的 0, 2 x 恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1)2a， 3 x 是 f x的极大值点；(2) 1b. 【解析】 分析】 (1)由 0 3 f 可得2a，然后 1 2cos12 cos 2 fxxx ，可判断出答案； (2)条件转化为cossinbxxx对于一切 0, 2 x 恒成立，记 cossing xxxx，然后利用导数 求出 g x的最大值即可. 【详解】
29、(1)由 sinf xaxxb ，得 cos1fxax ， 由题意，得 0 3 f ，即 cos10 3 a ，解得2a. 当2a时， 1 2cos12 cos 2 fxxx ， 由 0fx ，得 1 cos 2 x ，结合 0 2 x，解得 3 x . 当 0 3 x时， 0fx；当 32 x时， 0fx， 3 x 是 f x的极大值点. (2)本题等价于cossinbxxx对于一切 0, 2 x 恒成立. 记 cossing xxxx，则 maxbg x， 1 sincos12sin 4 gxxxx . 由 0 2 x，得 3 444 x，所以 2 sin1 24 x ， 即 12sin2
30、 4 x ， 0g x. 从而 g x在 0, 2 上是减函数， max 01g xg， 故1b 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： (1)若 af x恒成立，则 maxaf x； (2)若 af x恒成立，则 minaf x. 20. 如图， 在梯形ABCD中，/AB DC，60ABC，FC 平面ABCD， 四边形ACFE为矩形， 点M 为线段EF的中点，且1ADCDBC， 3 2 CF . (1)求证：平面BCM 平面AMC； (2)求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 5 5 . 【解析】 【分析】 (1)依题意可
31、得ACBC、FCBC，即可得到BC平面ACFE，即BC平面AMC，再根面面垂直 的判定定理即可得证； (2)以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量 法求出二面角的余弦值； 【详解】(1)证明：在梯形ABCD中，/ ABDC，60ABC，ADBC， 所以60DAB，ACDCAB ， 又ADCD，所以DACACD， 所以30DACCAB， 所以90ACB，所以ACBC. 又FC 平面ABCD，BC平面ABCD，所以FCBC， 因为ACFCC，AC，FC平面ACFE， 所以BC平面ACFE，即BC平面AMC. 又BC平面BCM，则平面BCM 平面AM
32、C. (2)解：由(1)知CA，CB，CF两两垂直， 所以以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系， 因为1BC ，60ABC， 3 2 CF ， 所以3AC ，所以3,0,0A，0,1,0B， 33 ,0, 22 M ， 所以3,1,0AB uu u r ， 33 ,0, 22 AM . 设 1 , ,nx y z为平面MAB的一个法向量， 由 1 1 0 0 nAB nAM ，得 30 33 0 22 xy xz ， 解得 3yx zx ，取1x ，则 1 1, 3,1n . 因为 2 1,0,0n 是平面FCB的一个法向量， 设平面MAB与平面FCB所成
33、锐二面角为， 所以 12 12 15 cos 55 n n n n . 【点睛】本题考查面面垂直的证明，空间向量在立体几何中的应用，考查空间想象能力及计算能力，属于 中档题. 21. 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，且 12 4 2FF ，设A是C上一点， 且 1 17 3 b AF ， 2 3 b AF . (1)求椭圆C的方程； (2)若不与y轴垂直的直线l过点10B ,，交椭圆C于E，F两点，试判断在x轴的负半轴上是否存在一 点T，使得直线TE与TF斜率之积为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 2 2
34、 1 9 x y；(2)存在，定点3,0T . 【解析】 【分析】 (1)由 12 4 2FF ，求得 2 2c ，根据椭圆的定义求得3ab，结合 222 cab，求得3a ，1b， 即可得到椭圆的方程； (2)设l的方程为1xmy，联立方程组，求得 1212 22 28 , 99 m yyy y mm ，结合斜率公式化简 2 22 8 991 TETF kk tmt ，得到当3t 时， TETF kk为定值. 【详解】(1)设椭圆C的焦距为2c，则 12 24 2FFc，可得 2 2c ， 由椭圆的定义，得 12 2AFAFa，可得 12 17 6 33 bb AFAFb， 所以26ab，即
35、3ab， 又由 222 8cab和3ab，解得3a ，1b， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 9 x y. (2)由已知直线l过点10B ,，设l的方程为1xmy， 联立方程组 2 2 1 1 9 xmy x y ，消去x并整理得 22 9280mymy ， 设 1122 ,E x yF x y，,00T tt ，则 12 2 12 2 2 9 8 9 m yy m y y m ， 所以 2 1212 22 218 22 99 m xxm yy mm ， 2 2 12121212 2 99 111 9 m x xmymym y ym yy m . 又直线TE与TF斜率分别为 1 1 TE y
36、k xt ， 2 2 TF y k xt ， 则 1212 22 22 121212 8 991 TETF y yy y kk xtxtx xt xxt tmt . 因为0t ，所以当3t 时，mR ， 1 18 TETF kk . 所以在x负半轴上存在定点3,0T ，使得直线TE与TF斜率之积为定值. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常 联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变 形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等 22. 已
37、知函数 1 x e f x x . (1)求函数 f x的单调区间； (2)在平面直角坐标系xOy中， 直线2ykx与曲线 x ye交于P，Q两点， 设点P的横坐标为0a a ， OPQ的面积为S. (i)求证： 12 Sa a ee Sae ； (ii)当S取得最小值时，求k的值. 【答案】(1) f x的增区间为,0和0,；(2)(i)证明见解析；(ii)2. 【解析】 【分析】 (1)求导 2 11 x ex fx x ，令 11 x g xex，再利用导数法研究其正负即可. (2)(i)设, a P a e， , b Q b e(其中 0ab)， 则O P Q的面积 1 2 2 Sba
38、ba， 即S b a ， 由2 a eka， 得到 2 a e k a ，然后再由 , a P a e及 , b Q b e，利用斜率公式得到 ba ee k ba 求解；(ii) 由(1)得到 1 0 S e f SS S 为增函数，则S最小 f S最小 2 0 a a e a ae 最小，令 2 0 a a e h aa ae ，再利用导数法求解. 【详解】(1)函数 f x的定义域为,00,，. 2 11 x ex fx x ， 令 11 x g xex，则 x g xxe. 因为 00g xx ； 00g xx ， 所以 g x在,0上为减函数，在0,上为增函数. 当0 x时， 00g
39、 xg，即 2 0 g x fx x ， 当0 x时， 00g xg，即 2 0 g x fx x . 所以当 ,00,x 时， 0fx ， 所以 f x在区间,0和0,上都是增函数. 因此 f x的增区间为,0和0,，没有减区间. (2)(i)证明：, a P a e，设 , b Q b e(其中 0ab)， 由题意，得OPQ的面积 1 2 2 Sbaba，即Sba . 由2 a eka，得 2 a e k a ， 由, a P a e及 , b Q b e，得 ba ee k ba ， 所以 11112 Sb ababaa aaaa eeeeeee k Sbaba ebaeeae ， 故
40、12 Sa a ee Sae 成立. (ii)由(1)，得 1 0 S e f SS S 为增函数， 于是S最小 f S最小 2 0 a a e a ae 最小. 令 2 0 a a e h aa ae ，则 2 22 a a ae h a a e ， 再令 220 a aaea ， 则 200 a aea， 所以当0a 时， a单调递增. 又 1 10e ， 1 2 1 10 2 e ， 所以存在唯一的 0 1 1, 2 a ，使得 0 0a，即 0 0 220 a ae. 当 0 aa时， 0a，即 2 0 a a h a a e ； 当 0 0aa时， 0a，即 2 0 a a h a a e ， 所以 0 aa是 h a的极小值点，也 h a的最小值点， 所以当 0 aa时， f S取得最小值，等价于S最小，此时 0 0 220 a ae， 所以 0 0 2 2 a e k a . 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的 能力，属于较难题.
