1、2021 年陕西西安市雁塔区中考数学四模试卷年陕西西安市雁塔区中考数学四模试卷 一一.选择题（共选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，i 计计 30 分，每小题只有分，每小题只有-个选项是符合题意的）个选项是符合题意的） 1 （3 分）9 的平方根是（ ） A3 B3 C D 2 （3 分） 成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.00000046 克， 将数据 0.00000046 用科学记数法表示为 （ ） A4.610 6 B4.610 7 C0.4610 6 D4610 6 3（3 分） 如图， 已知直线 ab 直角三角板 ABC 的直角顶点 C 在直线 b 上， 若1
2、50， 则2 （ ） A40 B60 C55 D50 4 （3 分）已知函数 y（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则 m 的值是（ ） A2 B2 C2 D 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa3a4a12 B （2a2）38a6 C （a+3） （a3）a26a9 D （a+b）2a2+b2 6 （3 分）如图，在ABC 中，DE 垂直平分 BC，垂足为 E，AD 平分BAC，MDAB 于点 M，NDAC 的延长线于点 N，已知 MB4，则 CN（ ） A5 B2 C4 D4 7 （3 分）已知点 A 的坐标为（1，0） ，直线 yx1 关于 y 轴对称的直线为 l，点
3、B 在直线 l 上运动，当线 段 AB 最短时，点 B 的坐标为（ ） A （1，1） B （1，2） C （2，2） D （0，1） 8 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，AD2点 P 为对角线 AC 上的一个动点，过 P 作 EF AC 交 CD 于点 E，交 AB 于点 F，将AEF 沿 EF 折叠，点 A 的对应点恰好落在对角线 AC 上的点 G 处，若CBG 是等腰三角形时，则 AP 的长为（ ） A3或 B3或 2 C62或 4 D62或 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，ABC67.5，连接 BD若ADB90 BDC，O 的半径为 4，则 BC
4、 的长为（ ） A B8 C8 D7 10 （3 分）已知抛物线 yx2+bx+c 过 A（m，n） ，B（m4，n） ，且它与 x 轴只有一个公共点，则 n 的值是 （ ） A4 B4 C6 D16 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 12 分）分） 11 （3 分）比较大小： 4 12 （3 分） 如图， A， B， C， D 为一个正多边形的相邻四个顶点， 点 O 为正多边形的中心， 若ADB18， 则从该正多边形的一个顶点出发共有 条对角线 13 （3 分）在平面直角坐标系中，若函数 y（a 为常数）的图象经过 A（2，3） ，B（1，6） ，C
5、（4，m）其中的两点，则 m 14 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC120，AB，BC4，点 E，F 分别是 AD，CD 的三 等分点，连接 BE，BF，EF，若四边形 ABCD 的面积 9，则BEF 的面积是 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，共小题，共 78 分，解答应写出过程）分，解答应写出过程） 15 （5 分）计算：|23|（1）0+（） 1+ 16 （5 分）先化简，再求值： （a+1），其中 a 从3，2，1 中取一个你认为合适的 数代入求值 17 （5 分）已知菱形 ABCD 及其外一点 P，点 O 为菱形的中心，请你用尺规在菱形 ABCD 的边 AB 上
6、找一 点 M，使得 OMPM （保留作图痕迹，不写作法） 18 （5 分）如图，在ABC 中，点 E 为边 BC 的中点，连接 AE，点 D 为线段 AE 上的一点（不与 A，E 重 合） ，连接 BD、CD，若 BDCD，求证：ADBADC 19 （7 分）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试， 根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题： （1）请补全条形统计图； （2）所调查学生测试成绩的平均数为 ，中位数为 众数为 ； （3）若该校九年级学生共有 1500 人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于 8
7、 分的学生约有 多少人？ 20 （7 分） 如图， 海上有一灯塔 P， 位于小岛 A 南偏西 68方向上， 一艘轮船从小岛 A 出发， 沿北偏西 67 方向航行 120 海里到达 B 处，这时测得灯塔 P 在南偏东 7方向上，求此时轮船与灯塔 P 的距离（结果 保留根号） 21 （7 分）儿童用药剂量常常按他们的体重来计算某种药品用药剂量计算方法为：体重小于等于 5kg 时， 用药量为 amg，体重在 550kg（含 50kg）范围内每增加 1kg，药量增加 3mg，体重大于 50kg 时药量不 再增加，设体重为 m（kg）的儿童用药量为 n（mg） （1）写出体重在 50kg 以内的 n 与
8、 m 之间的函数表达式； （2）上周小宇生病，按照说明书要求服用该药物 140mg，他的体重为 45kg；现在小明生病也需服用该 药物，已知小明的体重为 52kg，请你帮他计算用药量 22 （7 分）甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的 4 张卡片上分别 标上数字 2、3、4、5，将这 4 张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片， 记录数字，然后将卡片放回搅匀 （1）甲随机抽取卡片 16 次，其中 6 次抽取标有数字 3 的卡片，求这 16 次中抽取标有数字 3 的卡片的频 率； （2）甲，乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之
9、和为 3 的倍数，则甲胜；若取出的两张 卡片数字之和不为 3 的倍数，则乙胜，请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平 23 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，点 O 在 AB 上，BCCD，过 C 作 AD 的垂线，分别交 AB， AD 的延长线于点 E，F （1）求证：EF 为O 的切线 （2）若点 G 为O 上一点且位于 AB 下方，且 cosBGD，BE1，求 AD 的长 24 （10 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx2 的对称轴为直线 x1.5，与 x 轴交于点 A（ 1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）
10、点 P 为线段 AB 上一点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q请问是否存在这样的点 P、Q 使得 PQB 与CAB 相似若存在，请求出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 25 （12 分）问题提出： （1）如图，AOB 与OCD 均为等边三角形，点 C 在 OA 上，点 D 在 OB 上，固定AOB 不动，让 OCD 绕点 O 逆时针旋转，当 OCAB 时，则旋转角 问题探究： （2）如图，已知点 A 是直线 l 外一点，点 B、C 均在直线 l 上，ADl 垂足为 D 且 AD6，BAC 60求ABC 面积的最小值 问题解决： （3）如图，是某市“城市花卉公园”的设
11、计示意图，已知四边形 ABCD 为矩形，AD 边上的点 E 为公 园入口，AE4千米，AB 边上的点 F 为休息区，BF8 千米，AF4千米公园设计师拟在园内 修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉其中 GC 为消防通道，FG 和 FH 为两条 观光小路（小路宽度不计， G 在 CE 边上， H 在 BC 边上） ，根据实际需要GFH75，CED45， 点 B 为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口 E 经观光路线 EGGFFHHB 到花卉超市 B 购买不同 品种花卉为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线 EG+GF+FH+HB 的值最小，请问设计师的想法能 否实现？如能，请求出
12、 EG+GF+FH+HB 的最小值；若不能，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（共选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，i 计计 30 分，每小题只有分，每小题只有-个选项是符合题意的）个选项是符合题意的） 1 （3 分）9 的平方根是（ ） A3 B3 C D 【解答】解：9 的平方根是： 3 故选：B 2 （3 分） 成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.00000046 克， 将数据 0.00000046 用科学记数法表示为 （ ） A4.610 6 B4.610 7 C0.4610 6 D4610 6 【解答】解：0.000000464.6
13、10 7 故选：B 3（3 分） 如图， 已知直线 ab 直角三角板 ABC 的直角顶点 C 在直线 b 上， 若150， 则2 （ ） A40 B60 C55 D50 【解答】解：直线 ab，150， 350， ACB90， 2ACB3905040 故选：A 4 （3 分）已知函数 y（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则 m 的值是（ ） A2 B2 C2 D 【解答】解：函数 y（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内， m231，m+10， 解得：m2， 则 m 的值是2 故选：B 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa3a4a12 B （2a2）38a6 C （
14、a+3） （a3）a26a9 D （a+b）2a2+b2 【解答】解：A、a3a4a7，故此选项错误； B、 （2a2）38a6，故此选项正确； C、 （a+3） （a3）a29，故此选项错误； D、 （a+b）2a2+2ab+b2，故此选项错误； 故选：B 6 （3 分）如图，在ABC 中，DE 垂直平分 BC，垂足为 E，AD 平分BAC，MDAB 于点 M，NDAC 的延长线于点 N，已知 MB4，则 CN（ ） A5 B2 C4 D4 【解答】解：连接 BD，如图： DE 所在直线是 BC 的垂直平分线， BDCD， AD 平分BAC，过点 D 作 DMAB 于点 M，DNAC 交 A
15、C 的延长线于点 N， DMDN， 在 RtBMD 与 RtCDN 中， ， RtBMDRtCDN（HL） ， BMCN4， 故选：C 7 （3 分）已知点 A 的坐标为（1，0） ，直线 yx1 关于 y 轴对称的直线为 l，点 B 在直线 l 上运动，当线 段 AB 最短时，点 B 的坐标为（ ） A （1，1） B （1，2） C （2，2） D （0，1） 【解答】解：由直线 yx1 可知直线与 x 轴的交点 C（1，0） ，与 y 轴的交点为 D（0，1） ， 直线 l 与 x 轴的交点为 E（1，0） ， OCODOE， DCOCDO45EDODEO， EDC90， 点 A 的坐标
16、为（1，0） ， C 点即为 A 点， 当 AB 与直线 yx1 垂直时，AB 最短 当 B 与 D 重合时，AB 最短， 故 B 点坐标为（0，1） 故选：D 8 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，AD2点 P 为对角线 AC 上的一个动点，过 P 作 EF AC 交 CD 于点 E，交 AB 于点 F，将AEF 沿 EF 折叠，点 A 的对应点恰好落在对角线 AC 上的点 G 处，若CBG 是等腰三角形时，则 AP 的长为（ ） A3或 B3或 2 C62或 4 D62或 【解答】解：在菱形 ABCD 中，A60，AD2， AC6， 当 CGBC2时，AGACCG62， APP
17、G3 当 GCGB 时，易知 GC2，AG4， APAG2， 故选：B 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，ABC67.5，连接 BD若ADB90 BDC，O 的半径为 4，则 BC 的长为（ ） A B8 C8 D7 【解答】解：作BDC 的平分线交于 E，连接 AE，如图， BDEBDC，ADB90BDC， ADB+BDE90，即ADE90， AE 为O 的直径， 连接 OB、OC， BDECDE， ， ， ABCACB67.5， BAC45， AOC2BAC90， OBOC， OBC 为等腰直角三角形， BCOB48 故选：C 10 （3 分）已知抛物线 yx2+b
18、x+c 过 A（m，n） ，B（m4，n） ，且它与 x 轴只有一个公共点，则 n 的值是 （ ） A4 B4 C6 D16 【解答】解：抛物线 yx2+bx+c 过点 A（m，n） 、B（m4，n） ， 对称轴是 xm2 又抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴只有一个交点， 顶点为（m2，0） ， 设抛物线解析式为 y（xm+2）2 把 A（m，n）代入，得 n（mm+2）24， 即 n4 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 12 分）分） 11 （3 分）比较大小： 4 【解答】解：4， 4 故答案为 12 （3 分） 如图， A， B， C
19、， D 为一个正多边形的相邻四个顶点， 点 O 为正多边形的中心， 若ADB18， 则从该正多边形的一个顶点出发共有 7 条对角线 【解答】解：连接 OA，OB，如图， A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心， 点 A、B、C、D 在以点 O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上， ADB18， AOB2ADB36， 这个正多边形的边数10， 从正十边形一个顶点出发共有 7 条对角线 故答案为：7 13 （3 分）在平面直角坐标系中，若函数 y（a 为常数）的图象经过 A（2，3） ，B（1，6） ，C （4，m）其中的两点，则 m 【解答】解：函数 y（a 为常数）中，a21
20、0， 函数图象在二、四象限， 点 A（2，3）在第二象限，B（1，6）在第一象限， 点 C（4，m）在第二象限， 函数 y（a 为常数）的图象经过 A（2，3） ，C（4，m） ， 234m， m， 故答案为： 14 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC120，AB，BC4，点 E，F 分别是 AD，CD 的三 等分点，连接 BE，BF，EF，若四边形 ABCD 的面积 9，则BEF 的面积是 【解答】解：过点 A 作 AGBC 交 BC 延长线于点 G，连接 BD、AC，如图 ABC120， ABG60 AGsin60AB SABC3 SACDS四边形ABCDSABC936 ，AD
21、CADC， DEFDAF ， SDEF 又， ，同理可得：， SABE+SBFC（SABD+SBDC）S四边形ABCD3， SBEFS四边形ABCDSDEF（SABE+SBFC） 93 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，共小题，共 78 分，解答应写出过程）分，解答应写出过程） 15 （5 分）计算：|23|（1）0+（） 1+ 【解答】解：原式321+4+3 6+ 16 （5 分）先化简，再求值： （a+1），其中 a 从3，2，1 中取一个你认为合适的 数代入求值 【解答】解： （a+1）， （a+1） a1， （a+2） （a2）0，a+10， a2，a1， a3，
22、当 a3 时，原式（3）1312 17 （5 分）已知菱形 ABCD 及其外一点 P，点 O 为菱形的中心，请你用尺规在菱形 ABCD 的边 AB 上找一 点 M，使得 OMPM （保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：如图，点 M 为所作 18 （5 分）如图，在ABC 中，点 E 为边 BC 的中点，连接 AE，点 D 为线段 AE 上的一点（不与 A，E 重 合） ，连接 BD、CD，若 BDCD，求证：ADBADC 【解答】证明：点 E 为边 BC 的中点， BECE， 在BDE 和CDE 中， ， BDECDE（SSS） ， BDECDE， BDE+ADBCDE+ADC180， AD
23、BADC 19 （7 分）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试， 根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题： （1）请补全条形统计图； （2）所调查学生测试成绩的平均数为 8.56 ，中位数为 9 众数为 10 ； （3）若该校九年级学生共有 1500 人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于 8 分的学生约有 多少人？ 【解答】解： （1）抽样学生中成绩为 8 分的有 10 人，占抽样学生数的 20%， 所以本次抽样人数为：1020%50（人） ， 因为成绩 9 分的人数占抽样人数的 24%， 所以抽样学
24、生中成绩为 9 分的有：5024%12（人） 补全条形统计图如下： （2）所调查学生测试成绩的平均数为： 8.56； 把该组数据按从小到大的顺序排列后，第 24、25 个数都是 9，所以该组数据的中位数为：9； 该组数据中，10 分出现的次数最多，所以众数为：10 故答案为：8.56，9，10 （3）由扇形图知，抽样学生中成绩不少于 8 分的占：20%+24%+32%76%， 所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于 8 分的学生约有：150076%1140（人） 答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于 8 分的学生约有 1140 人 20 （7 分） 如图， 海上有一灯塔 P， 位于小岛
25、A 南偏西 68方向上， 一艘轮船从小岛 A 出发， 沿北偏西 67 方向航行 120 海里到达 B 处，这时测得灯塔 P 在南偏东 7方向上，求此时轮船与灯塔 P 的距离（结果 保留根号） 【解答】解：过 P 作 PFAB 于 F，如图所示： 由题意得：AB120 海里，PAE68，BAD67，PBC7，BCDE， PAB180686745，ABCBAD67， ABPABCPBC67760， PFAB， PFAPFB90， APF 是等腰直角三角形，BPF906030， PFAF，BP2BF，BFPF， 设 PFAFx 海里，则 BFx 海里，BPx 海里， AF+BFAB， x+x120，
26、 解得：x60（3） ， x120120， 即 BP（120120）海里， 答：此时轮船与灯塔 P 的距离为（120120）海里 21 （7 分）儿童用药剂量常常按他们的体重来计算某种药品用药剂量计算方法为：体重小于等于 5kg 时， 用药量为 amg，体重在 550kg（含 50kg）范围内每增加 1kg，药量增加 3mg，体重大于 50kg 时药量不 再增加，设体重为 m（kg）的儿童用药量为 n（mg） （1）写出体重在 50kg 以内的 n 与 m 之间的函数表达式； （2）上周小宇生病，按照说明书要求服用该药物 140mg，他的体重为 45kg；现在小明生病也需服用该 药物，已知小明
27、的体重为 52kg，请你帮他计算用药量 【解答】解： （1）m5 时，na， 5m50 时，na+3（m5）a+3m15， 体重在 50kg 以内的 n 与 m 之间的函数表达式为； （2）m45，n140 时， 140a+34515，解得：a20， m50 时，n20+35015155（mg） 体重大于 50kg 时药量不再增加， 小明的体重为 52kg，用药量为 155mg 22 （7 分）甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的 4 张卡片上分别 标上数字 2、3、4、5，将这 4 张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片， 记录数字，然
28、后将卡片放回搅匀 （1）甲随机抽取卡片 16 次，其中 6 次抽取标有数字 3 的卡片，求这 16 次中抽取标有数字 3 的卡片的频 率； （2）甲，乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为 3 的倍数，则甲胜；若取出的两张 卡片数字之和不为 3 的倍数，则乙胜，请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平 【解答】解： （1）共有 4 张卡片，分别标由数字 2、3、4、5， 这 16 次中抽取标有数字 3 的卡片的频率是； （2）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中取出的两张卡片数字之和为 3 的倍数的有 5 种， 取出的两张卡片数字之 和不为 3 的倍数的
29、有 11 种， 则取出的两张卡片数字之和为3的倍数的概率是， 取出的两张卡片数字之和不为3的倍数的概率是， ， 这个游戏规则对双方是不公平 23 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，点 O 在 AB 上，BCCD，过 C 作 AD 的垂线，分别交 AB， AD 的延长线于点 E，F （1）求证：EF 为O 的切线 （2）若点 G 为O 上一点且位于 AB 下方，且 cosBGD，BE1，求 AD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC，AC，如图， BCCD， ， DACBAC， OAOC， OACOCA， DACOCA， OCAF， AFEF， OCEF， EF 为O 的切线； （2
30、）解：如图，连接 BD，OC， OCAF， COEDAB， DABBGD， 在 RtOCE 中，设 OCr， cosCOEcosDAB，即，解得 r2， AB 为直径， ADB90， 在 RtADB 中，cosDAB， AD4 24 （10 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx2 的对称轴为直线 x1.5，与 x 轴交于点 A（ 1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）点 P 为线段 AB 上一点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q请问是否存在这样的点 P、Q 使得 PQB 与CAB 相似若存在，请求出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存
31、在，请说明理由 【解答】解： （1）抛物线的对称轴是 x1.5 且 A（1，0） ， B（4，0） ， ， 解得， y0.5x21.5x2； （2）如图， 设 P（x，0） ， 则 Q（x，0.5x21.5x2） ， 由题得 AC， BC2， AB5， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形， 由PQB 与CAB 相似可得， AC：PQBC：PB， 则 0.5x， 得 x0 或 x4， 经检验，x0 与 x4 均为根，但 x4 不合题意， Q（0，2） ； AC：PBBC：PQ， 则， 得 x3 或 x4， 经检验，x3 与 x4 均为根，但 x4 不合题意， Q（3，2） ， 综上，存
32、在 P，Q， Q 为（0，2）或（3，2） 25 （12 分）问题提出： （1）如图，AOB 与OCD 均为等边三角形，点 C 在 OA 上，点 D 在 OB 上，固定AOB 不动，让 OCD 绕点 O 逆时针旋转，当 OCAB 时，则旋转角 60或 240 问题探究： （2）如图，已知点 A 是直线 l 外一点，点 B、C 均在直线 l 上，ADl 垂足为 D 且 AD6，BAC 60求ABC 面积的最小值 问题解决： （3）如图，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形 ABCD 为矩形，AD 边上的点 E 为公 园入口，AE4千米，AB 边上的点 F 为休息区，BF8 千米，AF4
33、千米公园设计师拟在园内 修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉其中 GC 为消防通道，FG 和 FH 为两条 观光小路（小路宽度不计， G 在 CE 边上， H 在 BC 边上） ，根据实际需要GFH75，CED45， 点 B 为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口 E 经观光路线 EGGFFHHB 到花卉超市 B 购买不同 品种花卉为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线 EG+GF+FH+HB 的值最小，请问设计师的想法能 否实现？如能，请求出 EG+GF+FH+HB 的最小值；若不能，请说明理由 【解答】解： （1）如图， 当OCD 旋转到图示位置时，满足题设要求，此时的旋转
34、角为 60， 在此基础上继续旋转 180（即旋转角为 240）也满足题设要求， 故答案为 60或 240； （2）作ABC 的外接圆 O，故点 O 作 OEBC 于点 E， BAC60， BCO1202BOE，则BOE60， 设圆的半径为 r， 在 RtBOE 中，OEr，BEr，则 BC2BEr， 当 A、O、E 三点共线时，ABC 面积的最小，此时 AEAD6， 即 r+r6，解得 r4， 则ABC 面积ADBC6r3412； （3）连接 EF、CF， AEAF4，则AEF45 CED45， CEF90， BF8，则 CD8+4CE， BCADDE+AE8+4+48+8， 则 EFCD8BF， 即 EFBF，CECB， 而 CFCF， CEFCBF（SSS） ， FCEFCB， CF 平分ECB，EFCBFC， 故当 GFFH 时，EG+GF+FH+HB2（FH+BH）最小， 此时，EFGBFH（1807545）30， 在 RtBFH 中，BHFBtan30，则 FH， 故 EG+GF+FH+HB 最小值为2（FH+BH）16
