1、20212021 届天府名校届天府名校 5 5 月高三诊断性考试数月高三诊断性考试数学试卷（文）学试卷（文） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. . 1.已知集合320Ax xx，20Bx x ，则AB （ ） A32xx B3x x C4x x D23xx 2.设i为虚数单位，则 2 1 1 i （ ） A 2 i B 2 i C 2 1 1 i D 1 12
2、i 3.已知 3 sin 5 ，则cos2的值等于 （ ） A 7 25 B 7 25 C 16 25 D 16 25 4. 阅读下面的程序，则程序表示的函数为 （ ） A 10 00 10 xx yx xx B 10 00 10 xx yx xx C 10 00 10 xx yx xx D 10 00 10 xx yx xx 5.已知直线0 xaya和圆 22 0 xyx的交点为 A,B，且1AB ，则实数 a 的值为 （ ） A2 B 1 C 1 2 D1 6.已知函数 4sin 5 f xx 的图象为 C， 为了得到函数 4sin 2 5 f xx 的图象， 只要把 C 上所 有点（ ）
3、 A横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B纵坐标缩短到原来的 1 2 倍，横坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 D横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 7.已知函数 2 2,6 1 f xx x ，则 （ ） A f x是单调递增函数 B f x是奇函数 C函数 f x的最大值为 2f D 345fff 8.与双曲线 22 44xy有共同的渐近线，且经过点 2, 5的双曲线方程为 （ ） A 22 1 416 xy B 22 1 416 yx C 22 1 164 xy D 22 1 164 yx 9.掷骰子两次，设 a 和 b 分别是第一次和第二次出现的点数，且满足
4、方程组 3 22 axby xy ，则 x，y 均为正 值的概率为 （ ） A 5 36 B 9 36 C 13 36 D 15 36 10.函数 logaf xx b及 g xbxa，则 yf x及 yg x的图象可能为 （ ） A B C D 11.在ABC中，内角 A,B,C 的对边分别为 a， b，c，若coscos16c aB bA，8ab，60C， 则 c 的值等于 （ ） A19 B3 2 C17 D4 12. 一块边长为 10cm 的正方形铁片如图所示的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成 一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积为（ ） A 289
5、4 B 289 16 C 289 48 D 289 64 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.设向量,1an，4, 2b ，且/ab，则实数 n 的值是 14. 某地区有高中学生 2400 人，初中学生 10900 人，小学生 11000 人，此地教育局为了了解本地区中小学生的近视情 况及其形成原因，要从本地区抽取 0 0 1的学生进行调查，则按分层抽样的方法抽取高中学生，初中学生和小学生的人 数分别是 15.若 x，y 满足不等式组 30 30 1 xy xy y
6、，则3xy的最大值为 16.已知AB,CD是过抛物线 2 8yx,焦点F且互相垂直的两弦， 则 11 AFBFCFDF 的值为 三、三、解答题：共解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 17. 已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且21 nn Sa. （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）若127 n S ，求 n.
7、18. 成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设 置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计 1000 吨生 活垃圾，数据统计如表所示（单位：吨)： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 500 50 50 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1）试估计厨余垃圾投放正确的概率： (2）试估计生活垃圾投放错误的概率； (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为 a，b，c，其中0a， 450a b c .当数据 a，b，c
8、 的方差 2 s最大时，写出 a，b，c 的值(结论不要求证明） ，并求此时 2 s的值. 注： 222 2 12 1 . n sxxxxxx n ，其中x为数据 1 x， 2 x，, n x的平均数. 19. 如图， 在三棱锥PABC中，ABC为直角三角形，90ACB，PAC是边长为 4 的等边三角形， 2 3BC ，AC,AB 的中点分别是 D,E，60PDE. （1）请你判断平面 PAB 垂直于平面 ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求三棱锥PABC的体积. 20. 已知函数 xx f xxee. （1）求函数 f x的单调区间和极值； （2）画出函数 f x的大
9、致图象，并说明理由； （3）求函数 g xf xa aR的零点的个数. 21.已知中心在原点，焦点为 1 F2,0， 2 F2,0的椭圆经过点 53 , 22 . （1）求椭圆方程； （2）若 M 是椭圆上任意一点， 1 MF交椭圆于点 A， 2 MF交椭圆于点 B，求 12 12 MFMF F AF B 的值. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中， 点为坐标原点， 直线l的直角坐标方程为 33 33 yx， 直线l与 x 轴交于点 M，xOyO 抛物线 C 的参数方程为 2 2 0, 2 xpt pt ypt 为参数. （1）以点 O 为极点，以轴正半轴为极轴，求直线l的极
10、坐标方程及点 M 的极坐标； （2）设直线l与抛物线 C 相交于 E,F 两点，若 2 0EFMFME，求抛物线 C 的准线方程, 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 23f xx， 14h xf xf x. （1）若不等式 1h xm对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）若不等式 550, ,a h xabab aa bR恒成立，求实数 x 的取值范围. 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 1-5: DBADC 6-10: DCBCB 11、12：AA 二、填空题二、填空题 13. 2 14. 24人 109人 110人 15. 11 16. 1 16 三、解答题
11、三、解答题 17.（1）当1n 时， 1 1a ； 当2n， 11 2121 nnnnn aSSaa 1 22 nn aa ， 于是 1nn aa ， 即 n a是首项为-1，公比为 2 的等比数列， 所以 1 2n n a . （2） 1 1 1 n n aq S q 1 2 1 2 n x 21 n ， 由127 n S ，得21127 n ， 解得7n. 18.（1）厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 厨余垃圾总量 500 = 500+50+50 5 = 6 . （2）设生活垃圾投放你错误为事件 A，则事件A表示生活垃圾投放正确. 事件A得概率约为“厨余垃圾”箱里厨余
12、垃圾量、 “可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃 圾量总和除以生活垃圾总量， 即 500+240+60 =0.8 1000 P A， 所以 1 0.80.2P A . （3）当450a，0bc时，取 2 s取得最大值. 因为 1 150 3 xabc， 所以 222 2 1 450 1500 1500 15045000 3 s . 19.（1）PABABC平面平面 理由如下： 如图，因为 AC,AB 的中点分别是 D,E， 则/DEBC. 因为90ACB，2 3BC . 所以DEAC，3DE . 因为PAC是边长为 4 的等边三角形， 所以PDAC，2 3PD . 因为60PDE，
13、 在PDE中，由余弦定理，得3PE ， 所以 222 =PDPEED， 所以PEED. 因为EDAC，PDAC，EDPDD， 所以ACPED 平面， 所以ACPE. 又ACEDD， 所以PE 平面ABC 因为PE 平面ABC. 所以PABABC平面平面. （2）由（1）知PE 平面ABC， 所以 PE 是三棱锥PABC得高. 又因为ABC为直角三角形，90ACB，2 3BC ，且4AC ， 所以 11 4 2 34 3 22 ABC SAC BC ， 所以三棱锥PABC得体积 1 3 ABC VSPE 1 4 3 34 3 3 20.（1）函数 f x得定义域为 R. 1 +112 xxxxx
14、 fxxexeexexe， 令 0fx ，解得2x. fx， f x得变化情况如表所示： x , 2 2 2, fx 0 f x 单调递减 2 1 e 单调递增 所以 f x得单调递减区间是, 2 ，单调递增区间是2,. 当2x， f x有极小值 2 1 2f e ，无极大值. （2）令 0f x ，解得1x. 当1x时， 0f x ； 当x-1时， 0f x . 所以 f x得图象经过特殊点 2 1 2,A e ，1,0B ，0,1C. 当x，与一次函数相比，指数函数 x ye呈爆炸性增长，从而 1 0 x x fx e ； 当x 时， f x ， fx ， 根据以上信息，画出大致图象： （
15、3）函数 g xf xa aR得零点的个数为函数 yf x的图象与直线ya的交点个数. 由（1）及（2）的图象可得，当2x时， f x有极小值 2 1 2f e . 所以关于函数 g xf xa aR的零点个数有如下结论： 当 2 1 a e 时，零点的个数为 0 个； 当 2 1 0aa e 或，零点的个数为 1 个； 当 2 1 0a e 时，零点的个数为 2 个. 21. （1）设椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab . 由椭圆定义知 2222 5353 2222 10 2222 a ， 所以10a . 又因为2c ， 所以 222 6bac. 因此，所求椭圆方程为 22 1
16、106 xy . （ 2 ） 法 一 ： 以 左 焦 点 为 极 点 ， 射 线 1 F 2 F为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 则 椭 圆 的 极 坐 标 2 1cos epa epc ec 为离心率，. 设 1, M ， 2, A ， 则 11 1cos ep MF e ， 1 1cos ep F A e . 所以 1 1 1cos2 1 1cos1cos MFe F Aee . 所以 11 1 2 1 MFMF F Aep . 根据这个结论，有 22 2 2 1 MFMF F Bep . 所以 2 12 1212 2 12 222 44 1014 +11222 63 MFMFMFM
17、FMFMF a F AF Bepepepb . 法二：如图， 设 M,A, 1 F在左准线 2 a x c 上的射影分别为 1 M， 1 A，Q， 则由椭圆的定义可知 1 1 MF MM e ， 22 1 ab FQc cc ， 1 1 AF AA e ， 则由相似形及和分比定理得 11 11 AMAFFM AFAF 11 111 222 1 1 2 MFAF MFAFMF ee AFbbb eAFe ccce ， 所以 11 2 1 2 1 MFMF bAF e c ， 同理可得 22 2 2 2 1 MFMF bBF e c ， 所以 2 12 122 2 12 244014 222 63
18、 MFMFa MFMF bAFBFb e c . 22.（1）由l得直角坐标方程 33 33 yx， 得 33 sincos 33 ， 所以3 sin3 cos3， 所以 31 2 3sincos3 22 ， 所以 1 sin 62 . 令0y ，得点 M 得直角坐标为1,0， 所以点 M 的极坐标为1,. （2）把 2 2 0, 2 xpt pt ypt 为参数化为普通方程，得 2 2ypx， 由（1）知，l的倾斜角为 6 ，参数方程为 3 1, 2 1 2 x t yt 为参数， 代入 2 2ypx，得 2 4 380tptp， 设 E，F 对应得参数分别为 1 t， 2 t， 所以 12
19、 4 3ttp， 1 2 8t tp， 因为 2 0EFMFME， 所以 2 121 2 0ttt t， 所以 2 121 2 50ttt t， 所以 2 4 35 80pp ， 所以 5 6 p 所以抛物线 C 得准线方程为 5 12 x . 23.因为 23f xx， 所以 2125h xxx . （1） 5 44 2 51 21256 22 1 44 2 xx h xxxx xx 作出函数 yh x得大致图象如图： 由图可知，函数 yh x得最小值是 6， 故16m ，解得57m ， 所以实数 m 得取值范围是5,7. （2）由题意得 55abab h x a ， 因为 5555 10 abababab aa ， 所以 10h x ，即解不等式212510 xx ， 得 73 22 x， 所以实数 x 得取值范围是 7 3 , 2 2 .
