1、2021 年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（ ） Aa Bb Cc Dd 2 某自动控制器的芯片， 可植入 2020000000 粒晶体管， 这个数字 2020000000 用科学记数法可表示为 （ ） A0.2021010 B2.02109 C20.2108 D2.02108 3如图，下列立体图形的左视图是圆的是（ ） A B C D 4不等式x+30 的解集为（
2、） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 5如图，在平面直角坐标系中，直线 y2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把AOB 绕点 B 逆时针 旋转 90后得到A1O1B，则点 A1的坐标是（ ） A（2，4） B（4，2） C（2，4） D（4，2） 6如图，已知锐角AOB，在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心、OC 长为半径作，交射线 OB 于点 D，连接 CD；分别以点 C、D 为圆心、CD 长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 CP、DP；作射线 OP若 AOP20，则ODP 的度数是（ ） A110 B120 C130 D140 7我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”
3、，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确 定圆周率，刘徽计算出圆周率 3.14刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内 接正十二边形，内接正二十四边形割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆设圆的半径为 R，圆内 接正六边形的周长 p66R，计算下面计算圆内接正十二边形的周长正确的是（ ） Ap1224Rsin30 Bp1224Rcos30 Cp1224Rsin15 Dp1224Rcos15 8如图，在平面直角坐标系中，函数的图象和ABC 都在第一象限，BC x 轴，且 BC4，点 A 的坐标为（3，5）若将ABC 向下平移 m（m0）个单位，A、C 两点的对 应点同时
4、落在函数的图象上，则 k 的值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9分解因式：2a24a+2 10若关于 x 的一元二次方程 x24xk0 有两个不相等的实数根，则 k 的值可以为 （写 出一个即可） 11判断命题“代数式 2m21 的值一定大于代数式 m21 的值”是假命题，只需举出一个反例，反例中 m 的值为 12如图，在ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，ADEC，四边形 DBCE 的面积是ADE 面积 的 3 倍若 DE1.5，则 BC 的长为 13如图，AB 是O 的直
5、径，BC 切O 于点 B，AC 交O 于点 D若O 的半径为 3，C40，则 的长为 （结果保留 ） 14如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端 A 处恰好弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看 成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点 A 所在 y 轴的水平距离为 2.5 米时 身体离地面最高若人梯到起跳点 A 的水平距离为 4 米，则人梯 BC 的高为 米 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15当时，求代数式（3x+1）（3x1）+（x+1） 2x 的值 16甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数
6、字 1、2、3，这些小球 除数字不同外其余均相同甲先从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后乙再从口袋中随机 摸出一个小球若两次摸出的小球上数字之和是偶数则甲获胜；若两次摸出的小球上数字之和是奇数， 则乙获胜用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平 17为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书已知七、八年级同学捐书总数相等都是 900 本， 八年级捐书人数比七年级多 30 人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的 1.2 倍求八年级人均 捐书的数量 18图、图均是 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1 ABC 的顶点均在格点上要求
7、只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图 （1）在图中画ABC 的中线 BD （2）在图中画ABC 的高线 BE，并直接写出 BE 的长（保留确定点 E 的画图痕迹） 19如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AEBC 于 E，AFCD 于 F，且 BEDF （1）求证：四边形 ABCD 是菱形 （2）连接 EF，若CEF30，AE，直接写出四边形 ABCD 的周长 20自从开展“创建全国文明城区”工作以来，某城区便掀起了“争做热心人”志愿服务的热潮，区教育 局也号召各校学生积极参与志愿服务为了解甲、乙两所学校的学生一周志愿服务的情况，从这两所学 校中各随机抽取 40 名学生，分别对他们一周的志愿
8、服务时长（单位：min）数据进行收集、整理、描述 和分析，部分信息如下： a甲校 40 名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图： b甲校 40 名学生一周志愿服务时长在 60 x80 这一组数据的是：60，60，62，63，65，68，70，72， 73，75，75，77，79，79 c甲、乙两校各抽取的 40 名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下： 学校 平均数 中位数 众数 甲校 75 m 90 乙校 75 76 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中 m 的值为 （2） 根据上面的统计结果， 从志愿服务时长的角度看， 你认为学生志愿服务工作做得较好的是 （填 “甲校
9、”或“乙校”），理由是 （写出一条即可） （3）甲校共有学生 500 人，该校要求学生一周志愿服务的时长不少于 60min，请估计该校学生中一周志 愿服务时长符合要求的人数 21甲、乙两地的路程为 290 千米，一辆汽车早上 8：00 从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时 间后，继续按原速前进，当离甲地路程为 240 千米时接到通知，要求中午 12：00 准时到达乙地设汽车 离甲地的路程为 y（千米），汽车出发时间为 x（时），图中折线 OCDE 表示接到通知前 y 与 x 之间的函 数图象 （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/时 （2）求线段 DE 所表示的 y 与 x
10、之间的函数关系式 （3）汽车要想 12：00 准时到达乙地，求汽车接到通知后需匀速行驶的速度 22问题呈现：如图，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片 ABCD，点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上， 小华同学将这张矩形纸片沿 EF 翻折得到四边形 CDEF，CF 交 AD 于点 H，小华认为EFH 是等腰三 角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由 问题拓展：如图，在“问题呈现”的条件下，当点 C 的对应点 C落在 AD 上时，已知 DEa，CDb， CFc，写出 a、b、c 满足的数量关系，并证明你的结论 问题应用：如图，在ABCD 中，AB3，AD4将ABCD 沿对角线 AC 翻折
11、得到ACE，AE 交 BC 于点F若点F为BC的中点，则ABCD的面积 为 23如图，在 RtABC 中，C90，AC6，AB10点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 2 个单位的速度 向点 A 运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；在点 P 出发的同时，点 Q 从点 A 出发沿 AB 以 每秒 2 个单位的速度向终点 B 运动当点 Q 到达终点时，点 P 也停止运动以 PQ 为斜边作等腰直角三 角形 PQM，使点 M 与点 C 在 PQ 的同侧设 P、Q 两点的运动时间为 t 秒（t0） （1）用含 t 的代数式表示线段 BQ 的长 （2）当四边形 APMQ 为轴对称图形时，
12、求 t 的值 （3）当AQM 为锐角时，求 t 的取值范围 （4）当点 M 与ABC 一个顶点的连线垂直平分 PQ 时，直接写出 t 的值 24在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+2mxm2+3m+1（m 为常数） （1）当抛物线的顶点在第二象限时，求 m 的取值范围 （2）当2x1 时，y 先随 x 的增大而增大，后随 x 的增大而减小，且当 x1 时 y 有最小值，求整数 m 的值 （3）当 m1 时，点 A 是直线 y2 上一点，过点 A 作 y 轴的平行线交抛物线于点 B，以线段 AB 为边作 正方形 ABCD，使 CD 与 y 轴在的 AB 的同侧若点 C 落在抛物线上，求点 A
13、 的横坐标 （4）已知EFG 三个顶点的坐标分别为 E（0，1），F（0，1），G（2，1）当抛物线与EFG 的 边有两个公共点时，直接写出 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（ ） Aa Bb Cc Dd 解：由数轴可得，离原点最近的点的是点 c， 绝对值最小的是点 c， 故选：C 2 某自动控制器的芯片， 可植入 2020000000 粒晶体管， 这个数字 2020000000 用科学记数法可表示为 （
14、） A0.2021010 B2.02109 C20.2108 D2.02108 解：20200000002.02109， 故选：B 3如图，下列立体图形的左视图是圆的是（ ） A B C D 解：A、立方体的左视图是正方形，故此选项不合题意； B、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意； C、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意； D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意； 故选：D 4不等式x+30 的解集为（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 解：移项，得x3， 系数化为 1 得 x3 故选：A 5如图，在平面直角坐标系中，直线 y2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把
15、AOB 绕点 B 逆时针 旋转 90后得到A1O1B，则点 A1的坐标是（ ） A（2，4） B（4，2） C（2，4） D（4，2） 解：由函数图像的 B 点的坐标为（0，4）， 将 y0 代入 y2x+4，可得 x2， 故 A 点的坐标为（2，0）， OA2，OB4， BO1OB4， 故 A1的横坐标为 4， 又A1O1OA2， 故 A1的纵坐标为 2， 点 A1的坐标是（4，2） 故选：B 6如图，已知锐角AOB，在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心、OC 长为半径作，交射线 OB 于点 D，连接 CD；分别以点 C、D 为圆心、CD 长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 CP、D
16、P；作射线 OP若 AOP20，则ODP 的度数是（ ） A110 B120 C130 D140 解：由题意得 OP 为AOB 的角平分线，CDP 为等边三角形， OCOD，CPDP，OPOP， COPDOP， OCPODP， COD2AOP40， CPD60， OCP+ODP2ODP360CODCPD260， ODP2602130 故选：C 7我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确 定圆周率，刘徽计算出圆周率 3.14刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内 接正十二边形，内接正二十四边形割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆
17、设圆的半径为 R，圆内 接正六边形的周长 p66R，计算下面计算圆内接正十二边形的周长正确的是（ ） Ap1224Rsin30 Bp1224Rcos30 Cp1224Rsin15 Dp1224Rcos15 解：十二边形 A1A2A12是正十二边形， A6OA730 OMA1A2于 M，又 OA6OA7， A6OM15， 正 n 边形的周长n2Rsin， 圆内接正十二边形的周长 P1224Rsin15， 故选：C 8如图，在平面直角坐标系中，函数的图象和ABC 都在第一象限，BC x 轴，且 BC4，点 A 的坐标为（3，5）若将ABC 向下平移 m（m0）个单位，A、C 两点的对 应点同时落在
18、函数的图象上，则 k 的值为（ ） A B C D 解：ABAC，BC4，点 A（3，5） B（1，），C（5，）， 将ABC 向下平移 m 个单位长度， A（3，5m），C（5，m）， A，C 两点同时落在反比例函数图象上， 3（5m）5（m）， m； A（3，） k3 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9分解因式：2a24a+2 2（a1）2 解：原式2（a22a+1） 2（a1）2 故答案为：2（a1）2 10 若关于 x 的一元二次方程 x24xk0 有两个不相等的实数根， 则 k 的值可以为 3 （答案
19、不唯一） （写 出一个即可） 解：关于 x 的一元二次方程 x24xk0 有两个不相等的实数根， （4）241（k）16+4k0， 解得 k4， 取 k3， 故答案为：3（答案不唯一） 11判断命题“代数式 2m21 的值一定大于代数式 m21 的值”是假命题，只需举出一个反例，反例中 m 的值为 0 解：当 m0 时，2m210，m210， 则代数式 2m21 的值等于代数式 m21 的值， 命题“代数式 2m21 的值一定大于代数式 m21 的值”是假命题， 故答案为：0 12如图，在ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，ADEC，四边形 DBCE 的面积是ADE 面积
20、的 3 倍若 DE1.5，则 BC 的长为 3 解：ADEC，AA， ADEACB， 四边形 DBCE 的面积是ADE 面积的 3 倍， SABCSADE+3SADE4SADE， ， ， BC2DE3 故答案为：3 13如图，AB 是O 的直径，BC 切O 于点 B，AC 交O 于点 D若O 的半径为 3，C40，则 的长为 （结果保留 ） 解：连接 OD，如图， BC 切O 于点 B， ABBC， ABC90， A90C904050， BOD2A100， 的长 故答案为 14如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端 A 处恰好弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看 成一点）的路线是抛物
21、线的一部分，跳起的演员距点 A 所在 y 轴的水平距离为 2.5 米时 身体离地面最高若人梯到起跳点 A 的水平距离为 4 米，则人梯 BC 的高为 3.4 米 解：跳起的演员距点 A 所在 y 轴的水平距离为 2.5 米时身体离地面最高 抛物线的对称轴为 x2.5， x2.5，解得：b3， 抛物线为 yx2+3x+1， 人梯到起跳点 A 的水平距离是 4， 点 B 的横坐标为 4， 则 yB 42+34+13.4，即 BC3.4 米 故答案为：3.4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15当时，求代数式（3x+1）（3x1）+（x+1） 2x
22、的值 解：（3x+1）（3x1）+（x+1）2x （9x21+x2+2x+1）x （10 x2+2x）x 10 x+2， 当 x时，原式10（）+21+21 16甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字 1、2、3，这些小球 除数字不同外其余均相同甲先从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后乙再从口袋中随机 摸出一个小球若两次摸出的小球上数字之和是偶数则甲获胜；若两次摸出的小球上数字之和是奇数， 则乙获胜用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平 解：画树状图如下： 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中和为偶数的有 5 种结果，和为奇数的有 4
23、种结果， P（甲获胜），P（乙获胜） ， 这个游戏对双方不公平 17为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书已知七、八年级同学捐书总数相等都是 900 本， 八年级捐书人数比七年级多 30 人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的 1.2 倍求八年级人均 捐书的数量 解：设八年级人均捐书 x 本，则七年级人均捐书 1.2x 本， 依题意得：30， 解得：x5， 经检验，x5 是原方程的解，且符合题意 答：八年级人均捐书 5 本 18图、图均是 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1 ABC 的顶点均在格点上要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图
24、（1）在图中画ABC 的中线 BD （2）在图中画ABC 的高线 BE，并直接写出 BE 的长（保留确定点 E 的画图痕迹） 解：（1）如图，线段 BD 即为所求作 （2）如图，线段 BE 即为所求作 SABCACBE， BE 19如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AEBC 于 E，AFCD 于 F，且 BEDF （1）求证：四边形 ABCD 是菱形 （2）连接 EF，若CEF30，AE，直接写出四边形 ABCD 的周长 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BADF， AEBC，AFCD， AEBAFD90， 在AEB 和AFD 中， ， AEBAFD（ASA）， ABA
25、D， 四边形 ABCD 是菱形； （2）解：CEF30，AEBC， AEF60， 由（1）知，AEBAFD， AEAF，BAEDAF， AEF 是等边三角形， EAF60， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DAEAEB90， DAFDAEEAF30， BAE30， BEAB， AB2BE， AB2BE2+AE2，AE2 ， （2BE）2BE2+（2）， BE2， AB4， 由（1）知，四边形 ABCD 是菱形， 四边形 ABCD 的周长4AB16 20自从开展“创建全国文明城区”工作以来，某城区便掀起了“争做热心人”志愿服务的热潮，区教育 局也号召各校学生积极参与志愿服务为了解甲
26、、乙两所学校的学生一周志愿服务的情况，从这两所学 校中各随机抽取 40 名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：min）数据进行收集、整理、描述 和分析，部分信息如下： a甲校 40 名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图： b甲校 40 名学生一周志愿服务时长在 60 x80 这一组数据的是：60，60，62，63，65，68，70，72， 73，75，75，77，79，79 c甲、乙两校各抽取的 40 名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下： 学校 平均数 中位数 众数 甲校 75 m 90 乙校 75 76 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中 m 的值为 78
27、 （2）根据上面的统计结果，从志愿服务时长的角度看，你认为学生志愿服务工作做得较好的是 甲校 （填“甲校”或“乙校”），理由是 甲校学生一周志愿服务时长的中位数是 78min，大于乙校的中位 数 76min （写出一条即可） （3）甲校共有学生 500 人，该校要求学生一周志愿服务的时长不少于 60min，请估计该校学生中一周志 愿服务时长符合要求的人数 解：（1）甲校 A、B、C 三组的人数为 40（5%+15%+35%）22（人）， 甲班同学一周志愿服务时长从小到大排列后，处在第 20、21 位两个数的平均数为 78（分）， 因此 m78， 故答案为：78； （2）甲校所在的学校学生志愿服
28、务工作做得好， 因为甲校学生一周志愿服务时长的中位数是 78min，大于乙校的中位数 76min 故答案为：甲校学生一周志愿服务时长的中位数是 78min，大于乙校的中位数 76min （3）因为 500（15%15%）400（人）， 所以甲校学生中一周志愿服务时长不少于 60min 的人数约为 400 人 21甲、乙两地的路程为 290 千米，一辆汽车早上 8：00 从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时 间后，继续按原速前进，当离甲地路程为 240 千米时接到通知，要求中午 12：00 准时到达乙地设汽车 离甲地的路程为 y（千米），汽车出发时间为 x（时），图中折线 OCDE 表示接
29、到通知前 y 与 x 之间的函 数图象 （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 80 千米/时 （2）求线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式 （3）汽车要想 12：00 准时到达乙地，求汽车接到通知后需匀速行驶的速度 解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为 80 千米/小时； 故答案为：80； （2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（24080）802（小时）， 点 E 的坐标为（3.5，240）， 设线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 ykx+b，则： 得， 线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为：y80 x40（1.5x3.5）；
30、（3）接到通知后，汽车距离乙地还有 29024050（千米）， 此时距离 12 点还有 1283.50.5（小时）， 汽车要想按时到达速度为：100（千米/小时）， 答：汽车接到通知后的速度为 100 千米/小时 22问题呈现：如图，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片 ABCD，点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上， 小华同学将这张矩形纸片沿 EF 翻折得到四边形 CDEF，CF 交 AD 于点 H，小华认为EFH 是等腰三 角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由 问题拓展：如图，在“问题呈现”的条件下，当点 C 的对应点 C落在 AD 上时，已知 DEa，CDb， CFc，写出 a
31、、b、c 满足的数量关系，并证明你的结论 问题应用：如图，在ABCD 中，AB3，AD4将ABCD 沿对角线 AC 翻折得到ACE，AE 交 BC 于点F若点F为BC的中点，则ABCD的面积为 3 解：问题呈现：小华的判断是正确的 在矩形 ABCD 中，ADBC， HEFEFC 由折叠，得HFEEFC， HFEHEF HEHF EFH 是等腰三角形 问题拓展：a2+b2c2 在矩形 ABCD 中，D90， 由折叠，得DD90，DEDEa，CDCDb，CFCFc 由问题呈现，得 CECFc 在 RtCDE 中，DE2+CD2CE2， a2+b2c2； 问题应用： 四边形 ABCD 为平行四边形，
32、AB3，AD4， CD3，BC4，BD， 由折叠性质可知， ECCD，AEAD4，ED， ECAB，BE， 点 F 为 BC 的中点， BFCF， AFBEFC， AFBEFC（AAS）， AFFEAE2 BFAF2， 如图，过点 F 作 FHAB 于 H， 则 AHBHAB， 在 RtBHF 中，HF， SABF ， SABCD4SABF4 3 故答案为 3 23如图，在 RtABC 中，C90，AC6，AB10点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 2 个单位的速度 向点 A 运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；在点 P 出发的同时，点 Q 从点 A 出发沿 AB 以 每秒
33、 2 个单位的速度向终点 B 运动当点 Q 到达终点时，点 P 也停止运动以 PQ 为斜边作等腰直角三 角形 PQM，使点 M 与点 C 在 PQ 的同侧设 P、Q 两点的运动时间为 t 秒（t0） （1）用含 t 的代数式表示线段 BQ 的长 （2）当四边形 APMQ 为轴对称图形时，求 t 的值 （3）当AQM 为锐角时，求 t 的取值范围 （4）当点 M 与ABC 一个顶点的连线垂直平分 PQ 时，直接写出 t 的值 解：（1）由题意，得 AQ2t， AB10， BQABAQ102t（0t5） （2）当四边形 APMQ 为轴对称图形时，PQ 的垂直平分线过 A 点， RtPMQ 为轴对称
34、图形， PAAQ， APACCP，AC6，CP2t， AP62t，即 62t2t， t （3）当AQM 为直角时，AQM90， PQM 为等腰直角三角形， PQM45， AQPAQMPQM904545， 如图，作 PDAQ 交 AQ 于点 D， PDDQ， APsinAAQAPcosA，即（62t）+（62t）2t， t， 当 t时，AQM90， 当 t时，AQM90， （4）分三种情况，使得 PQ 的中垂线分别经过 A、B、C 过 A 点，与（2）情况相同，PAAQ， 62t2t， t ； 过 B 点，此时 PQQB， PB ，QB102t， ， t； 过 C 点，此时 CPCQ，CQ5，C
35、P2t，即 2t5， t； 当 3t5 时，CP 的表示方法为 122t，故 CQ122t，t 综上，t 的值为或或或 24在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+2mxm2+3m+1（m 为常数） （1）当抛物线的顶点在第二象限时，求 m 的取值范围 （2）当2x1 时，y 先随 x 的增大而增大，后随 x 的增大而减小，且当 x1 时 y 有最小值，求整数 m 的值 （3）当 m1 时，点 A 是直线 y2 上一点，过点 A 作 y 轴的平行线交抛物线于点 B，以线段 AB 为边作 正方形 ABCD，使 CD 与 y 轴在的 AB 的同侧若点 C 落在抛物线上，求点 A 的横坐标 （4）已
36、知EFG 三个顶点的坐标分别为 E（0，1），F（0，1），G（2，1）当抛物线与EFG 的 边有两个公共点时，直接写出 m 的取值范围 解：（1）yx2+2mxm2+3m+1（xm）2+3m+1， 抛物线 yx2+2mxm2+3m+1 的顶点为（m，3m+1）， 抛物线的顶点在第二象限， ， 解得m0； （2）当2x1 时，y 先随 x 的增大而增大，后随 x 的增大而减小，且抛物线对称轴 xm， 2m1， 当 x2 时，ym2m3， 当 m1 时，ym2+5m， 当 x1 时 y 有最小值， m2+5mm2m3， 解得 m， 2m， m 为整数， m1 （3）设点 A 坐标为（a，2），则
37、点 B 的坐标为（a，a2+2a+3）， ABa2+2a+32a2+2a+1 或 AB2（a2+2a+3）a22a1 BC2a2 或 BC22a， a2+2a+12a2 或 a22a12a2， 解得 a或 a2+或 a2（舍） 点 A 的横坐标为或或 2+ （4）抛物线 yx2+2mxm2+3m+1（xm）2+3m+1， 抛物线顶点坐标为（m，3m+1），顶点运动轨迹为直线 y3x+1， 抛物线与 y 轴交点坐标为（0，m2+3m+1）， 如图，当抛物线经过点 F（0，1）时，m2+3m+11， 解得 m（舍）或 m， m 增大，当抛物线经过点 G（2，1）时，122+4mm2+3m+1， 解得 m或 m（舍）， m满足题意 m 继续增大，抛物线与三角形无交点，当抛物线经过点 E（0，1）时，m2+3m+11， 解得 m0（舍）或 m3， m 增大，当抛物线经过点 G 时，m（舍）或 m， 3m 综上所述，m或 3m
