1、2021 年吉林省长春市中考数学评价与检测试卷（四）年吉林省长春市中考数学评价与检测试卷（四） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1若运算“1（2） ”的结果为正数，则内的运算符号为（ ） A+ B C D 2在长春市 2016 年地铁建设中，某工程队挖掘土方为 632000 立方米，632000 这个数用科学记数法表示为 （ ） A63.2104 B6.32105 C0.632106 D6.32106 3下列几何体都是由 4 个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ） A B C D 4不等式组的解集为（ ） Ax2 B2x3 Cx3 D
2、2x3 5泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量同一时 刻标杆的影长， 标杆的高度， 金字塔的影长， 推算出金字塔的高度， 这种测量原理， 就是我们所学的 （ ） A图形的平移 B图形的旋转 C图形的轴对称 D图形的相似 6如图，直线 ab，175，240，则3 的度数为（ ） A75 B50 C35 D30 7已知，如图，在菱形 ABCD 中 （1）分别以 C，D 为圆心，大于CD 长为半径作弧，两弧分别交于点 E，F； （2）作直线 EF，且直线 EF 恰好经过点 A，且与边 CD 交于点 M； （3）连接 BM 根据以上作图过程及所作图形，判断
3、下列结论中错误的是（ ） AABC60 B如果 AB2，那么 BM4 CBC2CM DSABM2SADM 8如图，在平面直角坐标系中，函数 y（x0）的图象经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 D，且与边 AB 相交于点 E，则四边形 ODBE 的面积为（ ） A B2 C3 D4 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9比较大小： 1（填“” 、 “”或“” ） 10如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点 的 坐 标 为 （0 ， 4 ） ， 表 示 伪 皇宫 的 点的坐 标 为 （ 4， 2 ） ， 则表 示 胜
4、 利 公园 的 点的坐 标 是 11二次函数 y2x2+3x2 的图象与 x 轴有 个交点 12港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难 度以及顶尖的建造技术而闻名世界其主体工程青州航道桥是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔 及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高 AB 为 163 米，大桥主跨 BD 的中点为 E，记斜拉索与大桥主梁所夹 锐角为 ，那么用塔高和 的三角函数表示主跨 BD 的长为 米 13如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的正方形和正八边形组成，其中正方形涂有阴影，依此规 律，第 n 个图案中有 个涂有阴影的正方形 （用含 n 的
5、代数式表示） 14为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物 线的一部分已知铅球出手处 A 距离地面的高度是 1.68 米，当铅球运行的水平距离为 2 米时，达到最大 高度 2 米的 B 处，则小丁此次投掷的成绩是 米 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15先化简，再求值（x） ，其中 x 16某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动 （1）甲同学随机选择两天，请用画树状图（或列表）的方法求其中有一天是星期二的概率？ （2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 17寒梅中学为
6、了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用若购买 3 副 围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需用 158 元； （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过 550 元，那么寒梅中学最多可以购买多 少副围棋？ 18在下面的正方形网格中按要求作图 （1）在图中将ABC 平移，使点 A 与点 C 重合，得到CPQ； （2）在图中将ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，得到MNC； （3）在图中作FGH，使其与ABC 关于线段 DE 对称 19如图，在O 中，AB 是O 的直径，
7、F 是弦 AD 的中点，连接 OF 并延长 OF 交O 于点 E，连接 BE 交 AD 于点 G，延长 AD 至点 C，使得 GCBC，连接 BC （1）求证：BC 是O 的切线 （2）O 的半径为 10，sinA，求 EG 的长 20下面的两个统计图是中国互联网信息中心发布的第 43 次中国互联网络发展状况统计报告的内容， 图为网民规模和互联网普及率，图为手机网民规模及其占网民比例 根据统计图提供信息，回答下列问题： （1）20082018 年，互联网普及率增加了 个百分点，手机网民占网民比例增加了 个百 分点，相比其他年份， 年手机网民占整体网民的增长比例最大 （2）2008 年手机上网人
8、数约占全体国民的 % （精确到个位） （3）估计 2019 年网民规模是否会超过 64%，请简要说明理由 21儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算某种药品，体重 10kg 的儿童，每次正常服用量为 110mg； 体重 15kg 的儿童每次正常服用量为 160mg；体重在 550kg 范围内时，每次正常服用量 y（mg）是儿童 体重 x（kg）的一次函数，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过 正常服用量的 1.2 倍，否则会对儿童的身体造成较大损害 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若该药品的一种包装规格为 300mg/袋
9、，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？ 22 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第 69 页的部分内容 例 4： 如图 1， 在ABC 中， D 是边 BC 的中点， 过点 C 画直线 CE， 使 CEAB， 交 AD 的延长线于点 E 求 证：ADED 证明：CEAB（已知） ， ABDECD，BADCED（两直线平行，内错角相等） 请你将上面的证明过程补充完整 【深入探究】如图 2，在上面例题的图中，过点 D 作 DFAB 于点 F若 AB9，BC10，BF3，则 线段 AE 的长为 【拓展提升】已知一个顶角为 120、腰长为 20cm 的等腰三角形纸板，把它剪开成两个
10、部分，再重新拼 接成一个新的三角形纸板（不重叠） ，则这个新的三角形纸板周长的最大值为 cm 23如图，在ABC 中，AC4，BC3，ACB90点 P 是线段 AC 上不与点 A 重合的动点，过点 P 作 PQAC 交 AB 边于点 Q将APQ 绕点 P 顺时针旋转 90得到APQ，设线段 AP 的长为 4t （1）直接用含 t 的代数式表示线段 PQ 的长 （2）当点 B 落在线段 AQ上时，求 t 的值 （3）设APQ与ABC 重叠部分的面积为 S，当重叠部分为四边形时，求 S 与 t 的函数关系式 （4）若点 M 是 AB 边的中点，N 是 AQ的中点，当直线 MN 与ABC 一直角边所
11、在直线夹角恰好等于 A 时，直接写出 t 的值 24已知：二次函数 C1：y1ax2+2ax+a1（a0） （1）把二次函数 C1的表达式化成 ya（xh）2+b（a0）的形式，并写出顶点坐标； （2）已知二次函数 C1的图象经过点 A（3，1） 求 a 的值； 点 B 在二次函数 C1的图象上，点 A，B 关于对称轴对称，连接 AB二次函数 C2：y2kx2+kx（k0） 的图象，与线段 AB 只有一个交点，求 k 的取值范围 2021 年吉林省长春市中考数学评价与检测试卷（四）年吉林省长春市中考数学评价与检测试卷（四） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小
12、题）小题） 1若运算“1（2） ”的结果为正数，则内的运算符号为（ ） A+ B C D 【分析】根据有理数的减法解答即可 【解答】解：若运算“1（2） ”的结果为正数，则内的运算符号为“” ， 故选：B 2在长春市 2016 年地铁建设中，某工程队挖掘土方为 632000 立方米，632000 这个数用科学记数法表示为 （ ） A63.2104 B6.32105 C0.632106 D6.32106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时
13、，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 632000 用科学记数法表示为：6.32105 故选：B 3下列几何体都是由 4 个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ） A B C D 【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形分别分析四种几何体的主视图与 左视图，即可求解 【解答】解：A主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方 形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意； B主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意； C主视图底层是三个小正方形，上层中间
14、是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不 合题意； D主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不 合题意； 故选：B 4不等式组的解集为（ ） Ax2 B2x3 Cx3 D2x3 【分析】分别求出两不等式的解集，进而得出它们的公共解集 【解答】解：， 解得：x3， 解得：x2， 所以不等式组的解集为：x3 故选：C 5泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量同一时 刻标杆的影长， 标杆的高度， 金字塔的影长， 推算出金字塔的高度， 这种测量原理， 就是我们所学的 （ ） A图形的平移 B图形的旋转
15、 C图形的轴对称 D图形的相似 【分析】根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可 【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高 度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似， 故选：D 6如图，直线 ab，175，240，则3 的度数为（ ） A75 B50 C35 D30 【分析】直接利用平行线的性质得出1475，进而利用三角形外角的性质得出答案 【解答】解：ab， 1475， 2+34， 175，240， 3754035 故选：C 7已知，如图，在菱形 ABCD 中 （1）分别以 C，D 为圆心，大于CD 长为半径作弧，两弧分别交于点
16、E，F； （2）作直线 EF，且直线 EF 恰好经过点 A，且与边 CD 交于点 M； （3）连接 BM 根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ） AABC60 B如果 AB2，那么 BM4 CBC2CM DSABM2SADM 【分析】由作图知，AF 是 CD 的垂直平分线，连接 AC，证明ACD 为等边三角形，便可判断 A；由勾 股定理在 RtADM 中，求出 AM，再在 RtABM 中求得 BM，便可判断 B；由 BCCD2CM，便可判 断 C；由三角形的面积公式和 AB 与 DM 的关系，便可判断 D 【解答】解：A连接 AC，由作图知，AF 是 CD 的垂直平分线，则
17、ACAD， 四边形 ABCD 是菱形， ADCDABBC，ABCADC， ACADCD， ADC60， ABC60， 故 A 选项正确； BAB2， AD2， AM 垂直平分 CD， DMCD1，AMD90， AM， ABCD， BAMAMD90， BM， 故 B 选项错误； CBCCD，CD2CM， BC2CM， 故 C 选项正确； D， ABAM， SABM2SADM， 故 D 选项正确 故选：B 8如图，在平面直角坐标系中，函数 y（x0）的图象经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 D，且与边 AB 相交于点 E，则四边形 ODBE 的面积为（ ） A B2 C3 D4 【分析】由矩形
18、的性质求出 SOABSOBC，反比例函数系数 k 的几何意义OAE 和OCD 的面积各为 1，根据等底同高，面积和差求出四边形 OEBD 的面积为 2 【解答】解：连接 OB，如图所示： OB 是矩形 OABC 的对角线， SOABSOBC 又点 D、E 在反比例函数 y（x0）的图象上， ， 又CDBD，OC 是OCD 和OBD 的高， SOCDSOAB1， 又SOBCSOCD+SOBD， SOABSOBC2 又SOBESOABSOAE， SOBE211， 又S四边形OEBDSODE+SOBE， S四边形OEBD1+12， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 9比较大小：
19、1（填“” 、 “”或“” ） 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据 此判断即可 【解答】解：|1.4，|1|1， 1.41， 1 故答案为： 10如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点 的坐标为（0，4） ，表示伪皇宫的点的坐标为（4，2） ，则表示胜利公园的点的坐标是 （0， 0） 【分析】直接利用解放大路的点的坐标为（0，4） ，表示伪皇宫的点的坐标为（4，2） ，进而建立平面 直角坐标系得出原点位置即可 【解答】解：如图所示：胜利公园的点的坐标是： （0，0） 故答案为： （0
20、，0） 11二次函数 y2x2+3x2 的图象与 x 轴有 2 个交点 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断抛物线与 x 轴的交点个数 【解答】解：3242（2）250， 二次函数 y2x2+3x2 的图象与 x 轴有 2 个交点 故答案为 2 12港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难 度以及顶尖的建造技术而闻名世界其主体工程青州航道桥是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔 及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高 AB 为 163 米，大桥主跨 BD 的中点为 E，记斜拉索与大桥主梁所夹 锐角为 ，那么用塔高和 的三角函数表示主跨 B
21、D 的长为 米 【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题 【解答】解：由题意可得， BD， 故答案为： 13如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的正方形和正八边形组成，其中正方形涂有阴影，依此规 律，第 n 个图案中有 （3n+2） 个涂有阴影的正方形 （用含 n 的代数式表示） 【分析】根据题目中的图形可以发现正方形个数的变化规律，可以求得第 n 个图案中正方形的个数 【解答】解：第 1 个图案中有 5 个涂有阴影的正方形， 第 2 个图案中有 832+2 个涂有阴影的正方形， 第 3 个图案中有 1133+2 个涂有阴影的正方形， 第 n 个图案中有 （3n+2）个涂有阴影的正方形
22、， 故答案为： （3n+2） 14为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物 线的一部分已知铅球出手处 A 距离地面的高度是 1.68 米，当铅球运行的水平距离为 2 米时，达到最大 高度 2 米的 B 处，则小丁此次投掷的成绩是 7 米 【分析】建立坐标系，设抛物线的解析式为 ya（x2）2+2，由待定系数法求得抛物线的解析式，令 y 0，得关于 x 的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可 【解答】解：建立坐标系，如图所示： 由题意得：A（0，1.68） ，B（2，2） ，点 B 为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为 ya（
23、x2）2+2， 把 A（0，1.68）代入得： 4a+21.68， 解得 a0.08， y0.08（x2）2+2， 令 y0，得0.08（x2）2+20， 解得 x17，x23（舍） ， 小丁此次投掷的成绩是 7 米 故答案为：7 三解答题三解答题 15先化简，再求值（x） ，其中 x 【分析】 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子， 然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解：（x） ， 当 x，原式 16某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动 （1）甲同学随机选择两天，请用画树状图（或列表）的方法求其中有一天是星期二的概率？ （
24、2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 【分析】 （1）由树状图得出共有 12 个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有 6 个，由概率公式即 可得出结果； （2）乙同学随机选择连续的两天，共有 3 个等可能的结果，即（星期一，星期二） ， （星期二，星期三） ， （星期三，星期四） ；其中有一天是星期二的结果有 2 个，由概率公式即可得出结果 【解答】解： （1）把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：1、2、3、4， 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有 12 个等可能的结果，甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的结果有 6 个， 甲同学随机选择两天，其中有一天是
25、星期二的概率为； （2）乙同学随机选择连续的两天，共有 3 个等可能的结果，即（星期一，星期二） ， （星期二，星期三） ， （星期三，星期四） ； 其中有一天是星期二的结果有 2 个，即（星期一，星期二） ， （星期二，星期三） ， 乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是， 故答案为： 17寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用若购买 3 副 围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需用 158 元； （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过
26、550 元，那么寒梅中学最多可以购买多 少副围棋？ 【分析】 （1）设每副围棋 x 元，每副中国象棋 y 元，根据题意得：，求解即可； （2）设购买围棋 z 副，则购买象棋（40z）副，根据题意得：16z+10（40z）550，即可求解； 【解答】解： （1）设每副围棋 x 元，每副中国象棋 y 元， 根据题意得：， ， 每副围棋 16 元，每副中国象棋 10 元； （2）设购买围棋 z 副，则购买象棋（40z）副， 根据题意得：16z+10（40z）550， z25， 最多可以购买 25 副围棋； 18在下面的正方形网格中按要求作图 （1）在图中将ABC 平移，使点 A 与点 C 重合，得到
27、CPQ； （2）在图中将ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，得到MNC； （3）在图中作FGH，使其与ABC 关于线段 DE 对称 【分析】 （1）利用 A 点和 C 点的位置确定平移的方向与距离，然后画出 B、C 的对应点 P、Q 即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B 的对应点 M、N 即可； （3）利用网格特点，画出 A、B、C 关于直线 DE 的对称点 F、G、H 即可 【解答】解： （1）如图，CPQ 为所作； （2）如图，MNC 为所作； （3）如图，FGH 为所作 19如图，在O 中，AB 是O 的直径，F 是弦 AD 的中点，连接 OF 并延长 OF 交O 于点 E
28、，连接 BE 交 AD 于点 G，延长 AD 至点 C，使得 GCBC，连接 BC （1）求证：BC 是O 的切线 （2）O 的半径为 10，sinA，求 EG 的长 【分析】 （1）连接 OD，求出ABE+GBC90，根据切线的判定得出即可； （2）解直角三角形求出 AF、OF，求出 EF、FG，根据勾股定理可得 EG2 【解答】 （1）证明：连接 OD， OAOD，F 是弦 AD 的中点， OFAD， EFG90， E+FGE90， BCGC， BGCGBC， FGEBGC， GBCFGE， OEOB， ABEE， ABE+GBC90， ABC90， BC 是O 的切线； （2）解：sin
29、A，OA10， AF8，OF6，BCGC15，AC25， AG10，EF4， FG2， 由勾股定理，得 EG2 20下面的两个统计图是中国互联网信息中心发布的第 43 次中国互联网络发展状况统计报告的内容， 图为网民规模和互联网普及率，图为手机网民规模及其占网民比例 根据统计图提供信息，回答下列问题： （1）20082018 年，互联网普及率增加了 37 个百分点，手机网民占网民比例增加了 59.1 个百分 点，相比其他年份， 2009 年手机网民占整体网民的增长比例最大 （2）2008 年手机上网人数约占全体国民的 9 % （精确到个位） （3）估计 2019 年网民规模是否会超过 64%，
30、请简要说明理由 【分析】（1） 根据 “20082018 年， 互联网普及率由 22.6%增长到 59.6%” 、“手机网民占网民比例由 39.5% 增长到 98.6%”及图折线变化趋势逐一求解可得； （2）2008 年手机上网人数约占全体国民的 39.5%22.6%，计算、取近似值即可得； （3）根据“2018 年网名规模为 59.6%，近几年涨幅约为 2%4%”估计可得 【解答】解： （1）20082018 年，互联网普及率由 22.6%增长到 59.6%，增长了 37 个百分点； 手机网民占网民比例由 39.5%增长到 98.6%，增长了 59.1 个百分点， 由图知，相比其他年份，20
31、09 年手机网民占整体网民的增长比例最大， 故答案为：37、59.1、2009； （2）2008 年手机上网人数约占全体国民的 39.5%22.6%9%， 故答案为：9； （3）估计 2019 年网民规模是不会超过 64%， 2018 年网名规模为 59.6%，近几年涨幅约为 2%4%， 估计 2019 年网民规模不会超过 64% 21儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算某种药品，体重 10kg 的儿童，每次正常服用量为 110mg； 体重 15kg 的儿童每次正常服用量为 160mg；体重在 550kg 范围内时，每次正常服用量 y（mg）是儿童 体重 x（kg）的一次函数，现实中，该药品每
32、次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过 正常服用量的 1.2 倍，否则会对儿童的身体造成较大损害 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若该药品的一种包装规格为 300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？ 【分析】（1） 根据体重10kg的儿童， 每次正常服用量为110mg； 体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg； 体重在 550kg 范围内时，每次正常服用量 y（mg）是儿童体重 x（kg）的一次函数，可以求得 y 与 x 的 函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以求得
33、儿童的最大和最小体重，从而可以得到体重在什么范 围的儿童生病时可以一次服下一袋药 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b（k0） ， ， 解得， 即 y 与 x 之间的函数关系式是 y10 x+10（5x50） ； （2）当 y300 时，30010 x+10，得 x29， 当 y250 时，25010 x+10，得 x24， 故 24x29， 即体重在 24x29 范围的儿童生病时可以一次服下一袋药 22 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第 69 页的部分内容 例 4： 如图 1， 在ABC 中， D 是边 BC 的中点， 过点 C 画直线 CE， 使
34、CEAB， 交 AD 的延长线于点 E 求 证：ADED 证明：CEAB（已知） ， ABDECD，BADCED（两直线平行，内错角相等） 请你将上面的证明过程补充完整 【深入探究】如图 2，在上面例题的图中，过点 D 作 DFAB 于点 F若 AB9，BC10，BF3，则 线段 AE 的长为 4 【拓展提升】已知一个顶角为 120、腰长为 20cm 的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼 接成一个新的三角形纸板 （不重叠） ， 则这个新的三角形纸板周长的最大值为 （20+20+20） cm 【分析】 【教材呈现】证明ADBEDC（AAS） ，可得结论 【深入探究】如图，想办法求出 D
35、F，AF，再利用勾股定理求解即可 【拓展提升】取 AC 的中点 R，连接 BR，过点 A 作 ATBC 交 BR 的延长线于 T，则ARTCRB，此 时ABT 的周长最大 【解答】解： 【教材呈现】如图 13.2.13 中， CEAB， BDCE，BADE， D 是 BC 的中点， BDCD， 在ADB 和EDC 中， ， ADBEDC（AAS） ， ADED 【深入探究】 DFAB， DFB90， BD5，BF3，AB9， AFABBF936，DF4， AD2， AE2AD4 故答案为：4 【拓展提升】取 AC 的中点 R，连接 BR过点 A 作 ATBC 交 BR 的延长线于 T，过点 T
36、 作 THBA 交 BA 的延长线于 H则ARTCRB，此时ABT 的周长最大 ABAC20cm，BAC120， ABCC30， ATBC2ABcos3020（cm） ， ATBC， HATABC30， HTAT10（cm） ，AHTH30（cm） ， BHAB+AH50（cm） ， BT20（cm） ， ABT 的周长为（20+20+20）cm 故答案为： （20+20+20） 23如图，在ABC 中，AC4，BC3，ACB90点 P 是线段 AC 上不与点 A 重合的动点，过点 P 作 PQAC 交 AB 边于点 Q将APQ 绕点 P 顺时针旋转 90得到APQ，设线段 AP 的长为 4t
37、 （1）直接用含 t 的代数式表示线段 PQ 的长 （2）当点 B 落在线段 AQ上时，求 t 的值 （3）设APQ与ABC 重叠部分的面积为 S，当重叠部分为四边形时，求 S 与 t 的函数关系式 （4）若点 M 是 AB 边的中点，N 是 AQ的中点，当直线 MN 与ABC 一直角边所在直线夹角恰好等于 A 时，直接写出 t 的值 【分析】 （1）由已知可得 PQBC，证明APQACB，由相似三角形的性质即可求解； （2）根据相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分三种情况画出图形，用含 t 的式子表示出三角形的直角边，根据三角形面积的关系即可求解； （4）根据线段中点的定义及相似三角形
38、的判定和性质即可求解 【解答】解： （1）PQAC，ACB90， APQACB90， PQBC， APQACB， ， ， AC4，BC3，AP 的长为 4t， ， PQ3t， 线段 PQ 的长为 3t； （2）如图 1， 由题意得：APAP4t，PQPQ3t，AC4，BC3， CQAP+PQAC+3t47t4， PQAC，ACB90， PQBC， BCQAPQ， ，即， 解得：t， t 的值是； （3）当点 Q与点 C 重合时，如图 2， PCPQACAP，即 3t44t， 解得：t， 当 0t时，如图 5， PQBC， ， AP4t，PQ3t， AQ7t，AQ5t， AGt，GQt， Stt
39、4t3tt26t2t2； 当t时，如图 3，重叠部分不是四边形； 当t1 时，如图 4， AP4t，PQ3t，AC4，BC3， S344t3t66t2； S 与 t 的函数关系式为：当 0t时，St2；当t1 时，S66t2； （4）当 MN 在 AQ上时，MN 与 BC 的夹角为A，如图 6， AP4t，PQ3t， QAAPPQ4t3tt， QMt，AQ5t， ACB90，AC4，BC3， AB5， 点 M 是 AB 边的中点， AM， AQ+QMAM， 5t+t， t 24已知：二次函数 C1：y1ax2+2ax+a1（a0） （1）把二次函数 C1的表达式化成 ya（xh）2+b（a0）
40、的形式，并写出顶点坐标； （2）已知二次函数 C1的图象经过点 A（3，1） 求 a 的值； 点 B 在二次函数 C1的图象上，点 A，B 关于对称轴对称，连接 AB二次函数 C2：y2kx2+kx（k0） 的图象，与线段 AB 只有一个交点，求 k 的取值范围 【分析】 （1）化成顶点式即可求得； （2）把点 A（3，1）代入二次函数 C1：y1ax2+2ax+a1 即可求得 a 的值； 根据对称的性质得出 B 的坐标，然后分两种情况讨论即可求得； 【解答】解： （1）y1ax2+2ax+a1a（x+1）21， 顶点为（1，1） ； （2）二次函数 C1的图象经过点 A（3，1） a（3+1）211， a； A（3，1） ，对称轴为直线 x1， B（1，1） ， 当 k0 时， 二次函数 C2：y2kx2+kx（k0）的图象经过 A（3，1）时，19k3k，解得 k， 二次函数 C2：y2kx2+kx（k0）的图象经过 B（1，1）时，1k+k，解得 k， k， 当 k0 时，二次函数 C2：y2kx2+kxk（x+）2k， k1， k4， 综上，二次函数 C2：y2kx2+kx（k0）的图象，与线段 AB 只有一个交点，k 的取值范围是k或 k4
