1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 4.3 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 三角函数的定义域和值域 . 1 题型二 三角函数的单调性 . 3 类型一 求三角函数的单调区间 . 3 类型二 根据单调性求参数 . 4 题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 . 7 类型一 三角函数的周期性 . 7 类型二 三角函数的奇偶性 . 8 类型三 三角函数的对称性 . 9 题型四 三角函数中 值的求法 . 11 类型一、利用三角函数的单调性求解. 11 类型二、利用三角函数的
2、对称性求解. 11 类型三、利用三角函数的最值求解. 12 二、高效训练突破 . 13 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 三角函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域 【题型要点】【题型要点】1三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)c 的形式，再求值域(最值) (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值) (3)形如
3、yasin3xbsin2xcsin xd，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值 【例【例 1】函数 y sin xcos x的定义域为_ 【答案】 ：x|2k 4x2k 5 4 ，kZ 【解析】 ：法一：要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示 在0，2内，满足 sin xcos x 的 x 为 4， 5 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为 x|2k 4x2k 5 4 ，kZ 法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示) 所以定义域为x|2k 4x2k
4、 5 4 ，kZ 法三：sin xcos x 2sin(x 4)0， 将 x 4视为一个整体，由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx 42k(kZ)， 解得 2k 4x2k 5 4 (kZ) 所以定义域为x|2k 4x2k 5 4 ，kZ 【例【例 2】 】 (2020 长沙质检长沙质检)函数 ysinxcosxsinxcosx 的值域为_ 【答案】 1 ,2 2 1 【解析】令 tsinxcosx，则 t 2sin 4 x 2， 2由(sinxcosx)212sinxcosx 得 sinxcosx 1 2(1t 2)， 所以 yt1 2(1t 2)，t 2， 2的值域即为所求 因
5、为 yt1 2(1t 2)1 2(t1) 21， 当 t 2时，ymin1 2 2， 当 t1 时，ymax1， 所以原函数的值域为 1 ,2 2 1 题型二题型二 三角函数的单调性三角函数的单调性 类型一类型一 求三角函数的单调区间求三角函数的单调区间 【题型要点】【题型要点】三角函数单调性的求法 (1)形如 yAsin(x)的函数的单调性问题，一般是将 x 看成一个整体，再结合图象利用 ysin x 的 单调性求解； (2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性 【例【例 1】(2019 全国卷全国卷)下列函数中，以 2为周期且在区间 2 , 4
6、上单调递增的是( ) Af(x)|cos2x| Bf(x)|sin2x| Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x| 【答案】A 【解析】作出函数 f(x)|cos2x|的图象，如图 由图象可知 f(x)|cos2x|的周期为 2，在区间 2 , 4 上单调递增同理可得 f(x)|sin2x|的周期为 2，在区间 2 , 4 上单调递减，f(x)cos|x|的周期为 2.f(x)sin|x|不是周期函数，排除 B，C，D.故选 A. 【例 2】 已知 3为函数 f(x)sin(2x) 2 0 的零点，则函数 f(x)的单调递增区间是( ) A.Zkkk 12 2 , 12 5 2 B.Zk
7、kk 12 7 2 , 12 2 C.Zkkk 12 , 12 5 D.Zkkk 12 7 , 12 【答案】C 【解析】由于 3为函数 f(x)sin(2x) 2 0 的零点，则 3 f0，所以 sin 3 2 0， 解得 3，故 f(x)sin 3 2 x，令 22k2x 32k 2(kZ)， 解得 k5 12xk 12(kZ)，故函数 f(x)的单调递增区间为 Zkkk 12 , 12 5 类型二类型二 根据单调性求参数根据单调性求参数 【题型要点】已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
8、 (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列 不等式(组)求解； (3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过1 4周期列不等式(组)求解 【易错提醒】 要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时 的符号， 若 0)在区间 2， 2 3 上是增函数，则 的取值范围是_ 【答案】(0，3 4 【解析】法一：因为 x 2， 2 3 (0)， 所以 x 2 ，2 3 ， 因为 f(x)2sin x 在 2， 2 3 上是增函数， 所以 2 2， 2 3 2， 0， 故 00)的图象如图所示 要使 f(x)在 2， 2 3 上是增
9、函数，需 2 2， 2 3 2 (0)，即 00)， 从而有 2 2， 2 2 3 ， 即 00，函数 f(x)sin(x 4)在( 2，)上单调递减，则 的取值范围是_ 【答案】 ：1 2， 5 4 【解析】 ： 法一： 由 2x0， 得 2 4x 40，kZ，得 k0，所以 1 2， 5 4 法二：由已知T 2 2，所以 02，又 2x，得 4x 40， 2 的图象的相邻两条对称轴间的 距离为 2，则 8 3 f( ) A. 2 2 B 2 C 3 D. 2 【答案】B 【解析】因为 f(x)是偶函数，所以 6k 2(kZ)，即 k 2 3 (kZ)又由题知 20)在区间 2 , 3 上单
10、调递减，则 的取值范围是 _ 【答案】 3 , 2 3 【解析】令 22kx 3 22k(kZ)，得 2 2k x 3 2 2k ，因为 f(x)在 2 , 3 上单调递减，所以 2 2k 3， 2 3 2 2k ， 得 6k3 24k3.又 0，所以 k0，又 6k 3 24k3，得 0k0)的一条对称轴为 x 3， 一个对称中心为点 0 , 12 ， 则 有( ) A最小值 2 B最大值 2 C最小值 1 D最大值 1 【答案】A 【解析】 因为函数的中心到对称轴的最短距离是T 4，两条对称轴间的最短距离是 T 2，所以中心 0 , 12 到对 称轴 x 3间的距离用周期可表示为 3 12
11、 T 4 kT 2 (kN，T 为周期)，解得(2k1)T，又 T2 ，所以(2k 1) 2 ，则 2(2k1)，当 k0 时，2 最小故选 A. 【例 3】若函数 ycos 6 x(N*)图象的一个对称中心是 0 , 6 ，则 的最小值为_ 【答案】2 【解析】依题意得 cos 66 0，则 6 6 2k(kZ)6k2(kZ)，又 N *，所以 的最小 值为2. 类型三、利用三角函数的最值求解类型三、利用三角函数的最值求解 【例 4】已知函数 f(x)2sin x 在区间 4 , 3 上的最小值为2，则 的取值范围是_ 【答案】 (1)(，2 , 2 3 【解析】 (1)显然 0. 若 0，
12、当 x 4 , 3 时， 3x 4，因为函数 f(x)2sin x 在区间 4 , 3 上的最小值为2， 所以 3 2，解得 3 2. 若 0)， 6 f 3 f，且 f(x)在区间 3 , 6 内有最小值无最大值，则 _ 【答案】14 3 【解析】 因为 6 f 3 f， 而1 2 36 4， 所以 f(x)的图象关于直线 x 4对称， 又 f(x)在区间 3 , 6 内有最小值无最大值，所以 f(x)min 4 fsin 34 1，所以 4 3k 3 2 ，kZ，解得 4k14 3 .再由 f(x)在区间 3 , 6 内有最小值无最大值，得2 T 3 6，解得 12，所以 k0， 14 3
13、 . 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1函数 y|cos x|的一个单调增区间是( ) A 2， 2 B0， C，3 2 D3 2 ，2 【答案】D. 【解析】 ：将 ycos x 的图象位于 x 轴下方的图象关于 x 轴对称翻折到 x 轴上方，x 轴上方(或 x 轴上)的图象 不变，即得 y|cos x|的图象(如图)故选 D. 2设函数 f(x)cos 3 x，则下列结论错误的是( ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线 x8 3 对称 Cf(x)的一个零点为 x 6 Df(x)在 , 2 上单调递减 【答案】D. 【解析】 ： 函数 f(x)co
14、s 3 x的图象可由 ycos x 的图象向左平移 3个单位得到， 如图可知， f(x)在 , 2 上先递减后递增，D 选项错误 3(2020 河北衡水第十三中学质检河北衡水第十三中学质检(四四)同时满足 f(x)f(x)与 xf 4 xf 4 的函数 f(x)的解析 式可以是( ) Af(x)cos 2x Bf(x)tan x Cf(x)sin x Df(x)sin 2x 【答案】D. 【解析】 ：由题意得所求函数的周期为 ，且图象关于 x 4对称 Af(x)cos 2x 的周期为 ，而 4 f0 不是函数的最值 所以其图象不关于 x 4对称 Bf(x)tan x 的周期为 ，但图象不关于
15、x 4对称 Cf(x)sin x 的周期为 2，不合题意 Df(x)sin 2x 的周期为 ，且 4 f1 为函数最大值， 所以 D 满足条件，故选 D. 4 (2020 河南六市联考河南六市联考)已知函数 f(x)2sin 6 x(0)的图象与函数 g(x)cos(2x) 2 的图象 的对称中心完全相同，则 为( ) A. 6 B 6 C. 3 D 3 【答案】D. 【解析】 ： 因为函数 f(x)2sin 6 x(0)的图象与函数 g(x)cos(2x) 2 的图象的对称中心完 全相同， 所以 2， 6 22k(kZ)， 即 32k(kZ)， 因为|0)在同一周期内，当 x 6时取最大值，
16、当 x 3时取最小值，则 的值可能为( ) A. 12 B 3 C.13 6 D7 6 【答案】C. 【解析】 ：T2 2 36 ，故 2，又 2 62k 2，kZ，所以 2k 6，kZ，所以 的值可能为13 6 .故答案为 C. 6.已知函数 f(x)tan2x，则下列说法不正确的是( ) Ayf(x)的最小正周期是 Byf(x)在 4 , 4 上单调递增 Cyf(x)是奇函数 Dyf(x)的对称中心是 0 , 4 k (kZ) 【答案】A 【解析】函数 yf(x)的最小正周期是 2，故 A 错误当 x 4 , 4 时，2x 2 , 2 ，此时函数 f(x) tan2x 为增函数， 故 B
17、正确 因为 f(x)tan2(x)tan2xf(x)， 所以 f(x)tan2x 是奇函数， 故 C 正确 由 2xk 2 ，kZ，得 xk 4 ，kZ，所以 f(x)tan2x 的对称中心是 0 , 4 k ，kZ，故 D 正确 7(2020 福建六校联考福建六校联考)若函数 f(x)2sin(x)对任意 x 都有 xf 3 f(x)，则 6 f( ) A2 或 0 B0 C2 或 0 D2 或 2 【答案】D 【解析】因为 xf 3 f(x)对任意 xR 都成立，所以函数 f(x)的图象的一个对称轴是直线 x 6，所以 6 f 2. 8已知函数 f(x)cos(x) 2 0 ， xf 4
18、是奇函数，则( ) Af(x)在 , 4 上单调递减 Bf(x)在 4 , 0 上单调递减 Cf(x)在 , 4 上单调递增 Df(x)在 4 , 0 上单调递增 【答案】B 【解析】因为 f(x)cos(x)，所以 xf 4 cos x 4 ，又因为 xf 4 是奇函数，所以 4 k 2，kZ，所以 k 4，kZ，又 0|0)，已知 f(x)在0，2有且仅有 5 个零点下述四个结 论： f(x)在(0，2)有且仅有 3 个极大值点 f(x)在(0，2)有且仅有 2 个极小值点 f(x)在 10 , 0 单调递增 的取值范围是 10 29 , 5 12 其中所有正确结论的编号是( ) A B
19、C D 【答案】D. 【解析】 ：如图 根据题意知，xA2xB，根据图象可知函数 f(x)在(0，2)有且仅有 3 个极大值点，所以正确；但可能会有 3 个极小值点，所以错误；根据 xA2xB，有24 52 29 5，得 12 5 29 10，所以正确；当 x(0， 10)时， 5x 5 10 5，因为 12 5 29 10，所以 10 5 49 100 2，所以函数 f(x)在(0， 10)单调递增，所以正确 12.(2019 高考全国卷高考全国卷)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论： f(x)是偶函数； f(x)在区间 , 2 单调递增； f(x)在，有 4 个零点；
20、 f(x)的最大值为 2. 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 【答案】C. 【解析】 ： 通解：通解： f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)， 所以 f(x)为偶函数， 故正确； 当 2x 时， f(x)sin xsin x2sin x，所以 f(x)在 , 2 单调递减，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图 可知函数 f(x)在，只有 3 个零点，故不正确；因为 ysin|x|与 y|sin x|的最大值都为 1 且可以同时 取到， 所以 f(x)可以取到最大值 2，故正确综上，正确结论的编号是.故选 C. 优解：优解：因为 f(x)sin|
21、x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，所以 f(x)为偶函数，故正确，排除 B；当 2x0)，f( 6)f( 2)0，且 f(x)在区间( 6， 2)上递减，则 _. 【答案】 ：2 【解析】 ：因为 f(x)sin x 3cos x2sin(x 3)， 由 22kx 3 3 2 2k，kZ， 得 6 2k x7 6 2k ， 因为 f(x)在区间( 6， 2)上递减， 所以( 6， 2) 6 2k ， 7 6 2k ， 从而有 6 6 2k 2 7 6 2k ， 解得 12k1712k 3 ，kZ， 所以 17 3，因为 f( 6)f( 2)0， 所以 x 6 2 2 3为 f
22、(x)2sin(x 3)的一个对称中心的横坐标， 所以 3 3k(kZ)，3k1，kZ， 又 17 3，所以 2. 5(2020 江赣十四校第二次联考江赣十四校第二次联考)如果圆 x2(y1)2m2至少覆盖函数 f(x)2sin2 12 5 x m 3 cos 3 2 x m (m0)的一个最大值点和一个最小值点，则 m 的取值范围是_ 【答案】 ： , 8 158 【解析】 ：化简 f(x)2sin2 12 5 x m 3cos 3 2 x m 得 f(x)2sin2x m 1，所以，函数 f(x)的图象靠近 圆心(0，1)的最大值点为 3 , 4 m ，最小值点为 1, 4 m ， 所以只
23、需 m 4 2 （31）2m2， m 4 2 （11）2m2， 解得 m8 15 15 . 6.(2020 赣州摸底赣州摸底)已知函数 f(x)sin 6 x1 2， 0， xR， 且 f() 1 2， f() 1 2.若|的最小值为 3 4 ， 则 4 3 f_，函数 f(x)的单调递增区间为_ 【答案】 31 2 Zkkk 3,3 2 【解析】函数 f(x)sin 6 x1 2，0，xR， 由 f()1 2，f() 1 2，且|的最小值为 3 4 ， 得T 4 3 4 ，即 T32 ，所以 2 3. 所以 f(x)sin 63 2 x1 2. 则 4 3 fsin 3 1 2 31 2 .
24、 由 22k 2 3x 6 22k，kZ， 得 23kx3k，kZ， 即函数 f(x)的单调递增区间为Zkkk 3,3 2 . 三、解答题三、解答题 1.已知函数 f(x)(sin xcos x)22cos2x2. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)当 x 4 3 , 4 时，求函数 f(x)的最大值和最小值 【答案】(1)Zkkk 8 , 8 3 ；(2)函数 f(x)的最大值为 1，最小值为 2. 【解析】 ：f(x)sin 2xcos 2x 2sin 4 2 x. (1)令 2k 22x 42k 2，kZ， 则 k3 8 xk 8，kZ. 故 f(x)的单调递增区间为Zkkk 8
25、 , 8 3 . (2)因为 x 4 3 , 4 ， 所以3 4 2x 4 7 4 ， 所以1sin 4 2 x 2 2 ， 所以 2f(x)1，所以当 x 4 3 , 4 时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为 2. 2已知函数 f(x)4sin(x 3)cos x 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数 g(x)f(x)m 在0， 2上有两个不同的零点 x1， x2， 求实数 m 的取值范围， 并计算 tan(x1x2)的值 【答案】(1)k 12，k 5 12(kZ) ；(2) 3 3 【解析】 ：(1)f(x)4sin(x 3)cos x 34( 1
26、 2sin x 3 2 cos x)cos x 32sin xcos x2 3cos2x 3sin 2x 3cos 2x2sin(2x 3) 所以函数 f(x)的最小正周期为 T. 由 2k 22x 32k 2(kZ)，得 k 12xk 5 12(kZ) 所以函数 f(x)的单调递增区间为k 12，k 5 12(kZ) (2)函数 g(x)f(x)m 在0， 2上有两个不同的零点 x1，x2，即函数 yf(x)与 ym 在0， 2上的图象有两个 不同的交点，在直角坐标系中画出函数 yf(x)2sin(2x 3)在0， 2上的图象，如图所示， 由图象可知，当且仅当 m 3，2)时，方程 f(x)
27、m 有两个不同的解 x1，x2，且 x1x22 5 12 5 6 ， 故 tan(x1x2)tan5 6 tan 6 3 3 . 3.已知函数 f(x) 2sin 4 x(0)的最小正周期为 . (1)求函数 yf(x)图象的对称轴方程； (2)讨论函数 f(x)在 2 , 0 上的单调性 【答案】(1)xk 2 3 8 (kZ)(2)见解析 【解析】(1)f(x) 2sin 4 x的最小正周期为 ， 2，f(x) 2sin 4 2 x. 令 2x 4k 2(kZ)，得 x k 2 3 8 (kZ)， 即函数 f(x)图象的对称轴方程为 xk 2 3 8 (kZ) (2)令2k 22x 42k
28、 2(kZ)， 得函数f(x)的单调递增区间为 k 8，k 3 8 (kZ) 注意到x 2 , 0 ， 所以令 k0，得函数 f(x)在 2 , 0 上的单调递增区间为 8 3 , 0 ；令 22k2x 4 3 2 2k(kZ)，得函数 f(x)的单调递减区间为 k3 8 ，k7 8 (kZ)，令 k0，得 f(x)在 2 , 0 上的单调递减区间为 2 , 8 3 4已知函数 f(x)2sin2 x 4 3cos2x1，xR. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 h(x)f(xt)的图象关于点 0 , 6 对称，且 t(0，)，求 t 的值； (3)当 x 2 , 4 时，不等式|f(x)m|3 恒成立，求实数 m 的取值范围 【解析】(1)因为 f(x)cos x2 2 3cos2xsin2x3cos2x2 xx2cos 2 3 2sin 2 1 2sin 3 2 x，故 f(x)的最小正周期为 . (2)由(1)知 h(x)2sin 3 22 tx. 令 2 6 2t 3k(kZ)， 得 tk 2 3(kZ)， 又 t(0，)，故 t 3或 5 6 . (3)当 x 2 , 4 时，2x 3 3 2 , 6 ， 所以 f(x)1,2 又|f(x)m|3，即 f(x)3mf(x)3， 所以 23m13，即1m4. 故实数 m 的取值范围是(1,4)
