1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 6.5 高考解答题热点题型高考解答题热点题型-数列的综合应用数列的综合应用 目录 一、题型全归纳 . 1 热点题型一 等差数列与等比数列的综合问题 . 1 热点题型二 数列求和 . 4 热点题型三 数列与不等式的综合问题. 8 热点题型四 数列与函数的综合问题. 12 一、题型全归纳一、题型全归纳 热点题型一热点题型一 等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题 【解题指导】【解题指导】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，确定最终解
2、决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出 通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序 (2)注意细节在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨 大的 【易错提醒】【易错提醒】 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论， 分类解决问题后要注意结论的整合 【例【例 1】设数列an的前 n 项和为 Sn，nN*.已知 a11，a23 2，a3 5 4，且当 n2 时，4Sn25Sn8Sn1 Sn1. (1)求 a4的值； (2)证明：
3、nn aa 2 1 1 为等比数列； (3)求数列an的通项公式 【解题思路】 (1)当 n2 时，4S45S28S3S1， 由此推出 a4与 a1，a2，a3的关系，求 a4. (2)用 anSnSn1(n2)及 4Sn25Sn8Sn1Sn1推出数列an的递推公式求证 an21 2an1 an11 2an 为常数，其中 nN*. (3)由(2)求出 an11 2an构造等差数列，并求通项公式求an的通项公式 【规范解答】 (1)当 n2 时，4S45S28S3S1，即 4(a1a2a3a4)5(a1a2)8(a1a2a3)a1，整 理得 a44a3a2 4 ，又 a23 2，a3 5 4，所
4、以 a4 7 8. (2)证明：当 n2 时，有 4Sn25Sn8Sn1Sn1， 即 4Sn24SnSn4Sn14Sn1Sn1， 所以 4(Sn2Sn1)4(Sn1Sn)(SnSn1)， 即 an2an11 4an(n2) 经检验，当 n1 时，上式成立 因为 an21 2an1 an11 2an an11 4an 1 2an1 an11 2an 1 2 an11 2an an11 2an 1 2为常数，且 a2 1 2a11， 所以数列 nn aa 2 1 1 是以 1 为首项，1 2为公比的等比数列 (3)由(2)知，an11 2an 1 2n 1(nN*)，等式两边同乘 2n，得 2na
5、n12n 1a n2(nN *) 又 20a11，所以数列2n 1a n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 2n 1a n2n1，即 an2n1 2n 1(nN*) 则数列an的通项公式为 an2n1 2n 1(nN*) 【训练【训练 1】(2020 吉林第一次调研测试吉林第一次调研测试)设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a23，an12an1. (1)证明：an1为等比数列； (2)求an的通项公式，并判断 n，an，Sn是否成等差数列？说明理由 【答案】见解析 【解析】 ：(1)证明：因为 a23，a22a11，所以 a11， 因为 an12an1，所以 an112(an
6、1)， 所以an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列 (2)由(1)知，an12n，所以 an2n1， 所以 Sn22 n1 12 n2n 1n2， 所以 nSn2ann2n 1n22(2n1)0， 所以 nSn2an，即 n，an，Sn成等差数列 【训练训练 2】已知公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，S11，S3，S4成等差数列，且 a1，a2，a5成等 比数列. (1)求数列an的通项公式； (2)若 S4，S6，Sn成等比数列，求 n 及此等比数列的公比. 【答案】见解析 【解析】 (1)设数列an的公差为 d 由题意可知 2S3S11S4， a22a1a5， d0，
7、 整理得 a11， d2a1， 即 a11， d2， an2n1. (2)由(1)知 an2n1，Snn2， S416，S636， 又 S4SnS26，n236 2 16 81， n9，公比 qS6 S4 9 4. 热点题型二热点题型二 数列求和数列求和 【解题指导】【解题指导】 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息. (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等. 【例【例 1】已知数列an的前 n 项和 Sn2n 12，记 b nanSn(nN *) (1)求数列an的通项公式； (2)求数列bn
8、的前 n 项和 Tn. 【解题思路】 (1)利用 an S1，n1， SnSn1，n2， 求 an. (2)先由 bnanSn，求 bn并整理，再依据 bn的结构形式选择求和方法 【规范解答】 (1)Sn2n 12， 当 n1 时，a1S121 122， 当 n2 时，anSnSn12n 12n2n， 又 a1221，an2n. (2)由(1)知，bnanSn2 4n2n 1， Tnb1b2bn2(41424n)(22232n 1)2414 n 14 412 n 12 2 3 4 n12n24 3. 【例例 2】(2019 河北邯郸一模河北邯郸一模)已知数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn
9、，Tn，bnan2n1，且 SnTn2n 1n22. (1)求 TnSn； (2)求数列 n n b 2 的前 n 项和 Rn. 【解题思路】 (1)TnSn转化为数列bnan的前 n 项和分组求和 (2)求 Sn求 an求 bn求bn 2n用错位相减法求和 【规范解答】 (1)依题意可得 b1a13，b2a25， bnan2n1， TnSn(b1b2bn)(a1a2an) (b1a1)(b2a2)(bnan)n(2222n)2n 1n2. (2)2SnSnTn(TnSn)n2n， Snn 2n 2 ，ann1. 又 bnan2n1，bn2nn，bn 2n1 n 2n， Rnn 1 2 2 2
10、2 n 2n ， 则1 2Rn 1 2n 1 22 2 23 n 2n 1， 1 2Rn 1 2n 1 2 1 22 1 2n n 2n 1， 故 Rnn2 1 2 1 2n 1 11 2 n 2nn2 n2 2n . 【训练【训练 1】已知数列an满足 an0，a11 3，anan12anan1，nN. (1)求证： n a 1 是等差数列，并求出数列an的通项公式； (2)若数列bn满足 bn2 n an，求数列bn的前 n 项和 Tn. 【解】 (1)由已知可得， 1 an1 1 an2， n a 1 是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 1 an32(n1)2n1， an 1 2n1
11、. (2)由(1)知 bn(2n1)2n， Tn3 25 227 23(2n1)2n 1(2n1)2n， 2Tn3 225 237 24(2n1)2n(2n1) 2n 1， 两式相减得，Tn62 222 232 2n(2n1)2n 1. 682 2 n 2 12 (2n1)2n 1 2(2n1)2n 1， Tn2(2n1)2n 1. 【训练【训练 2】已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且(t1)Sna2n3an2(tR). 求数列an的通项公式； 若数列bn满足 b11，bn1bnan1，求数列 nbn72 1 的前 n 项和 Tn. 【解】 因为 a11，且(t1)Sna2n3
12、an2， 所以(t1)S1a213a12， 所以 t5. 所以 6Sna2n3an2.() 当 n2 时，有 6Sn1a2n13an12，() ()()得 6ana2n3ana2n13an1， 所以(anan1)(anan13)0， 因为 an0，所以 anan13， 又因为 a11， 所以an是首项 a11，公差 d3 的等差数列， 所以 an3n2(nN). 因为 bn1bnan1，b11， 所以 bnbn1an(n2，nN)， 所以当 n2 时， bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1 anan1a2b13n 2n 2 . 又 b11 也适合上式， 所以 bn3n 2n 2
13、(nN). 所以 1 2bn7n 1 3n2n7n 1 3 2 1 nn 1 6 2 11 nn ， 所以 Tn1 6 11 3 1 2 1 4 1 n 1 n2 1 6 3 2 1 n1 1 n2 ， 2112 53 2 nn nn 热点题型三热点题型三 数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题 【解题指导】【解题指导】 数列与不等式的交汇问题 (1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不 等式特殊赋值得出数列中的不等式； (2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. 【例【例 1】(2020 山西大学附中模拟
14、山西大学附中模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2Snnan2an1. (1)求数列an的通项公式； (2)若数列 2 1 n a 的前 n 项和为 Tn，求证：Tn4. 【解题思路】 (1)先根据 2Snnan2an1 和 anSnSn1(n2)，推出数列an的递推公式，再求 an. (2)根据 2 1 n a 的通项公式的结构形式，联系裂项求和法进行适当放缩，再求和，证明 Tn4. 【规范解答】(1)解法一：当 n1 时，2S1a12a11， 所以 a11. 当 n2 时，2Snnan2an1， 2Sn1(n1)an12an11. ，得 2annan(n1)an12an2an1，
15、 所以 nan(n1)an1. 所以 an n1 an1 n . 所以 an n1 an1 n a1 11 1 2，即 an n1 2 . 当 n1 时，a11 也满足此式 故数列an的通项公式为 ann1 2 . 解法二：当 n1 时，2S1a12a11，所以 a11. 当 n2 时，2Snnan2an1， 2Sn1(n1)an12an11. ，得 2annan(n1)an12an2an1， 所以 nan(n1)an1. 所以 an an1 n1 n . 所以 ana1 a2 a1 a3 a2 an an11 3 2 4 3 n1 n n1 2 . 当 n1 时，a11 也满足此式 故数列a
16、n的通项公式为 ann1 2 . (2)证明：由(1)得 ann1 2 ，所以 1 a2n 4 n12 4 nn14 1 11 nn ， 所以 Tn 4 22 4 32 4 42 4 n12 4 1 2 4 2 3 4 3 4 4 nn1 4 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 4 1 1 n1 2nn2 对一切 nN*恒成立，求实数 的取值范围 【解题思路】 (1)求证 an1an为常数，其中 nN*. (2)累加法求 an分离变量把已知不等式变形为 f(n)的形式求 f(n)的最大值，得 的取值范围 【规范解答】 (1)因为 an1an2(bn1bn)，bn3n5，
17、 所以 an1an2(bn1bn)2(3n83n5)6， 所以an是等差数列，首项为 a11，公差为 6， 即 an6n5. (2)因为 bn2n，所以 an1an2(2n 12n)2n1. 当 n2 时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n 12262n12. 当 n1 时，a16，符合上式，所以 an2n 12， 由 an2nn2，得 2 nn 2n 11 2 n 2n 1. 又n1 2n 2 n 2n 11n 2n 20，所以，当 n1,2 时，2 nn 2n 1取得最大值3 4，故 的取值范围为 3 4， . 【训练【训练 1】已知数列an中，a11 2，其前 n
18、 项的和为 Sn，且满足 an 2S2n 2Sn1(n2). (1)求证：数列 n S 1 是等差数列； (2)证明：S11 2S2 1 3S3 1 nSn1. 【证明】 (1)当 n2 时，SnSn1 2S2n 2Sn1，整理得 Sn 1Sn2Sn Sn1(n2)， 1 Sn 1 Sn12，从而 n S 1 构成以 2 为首项，2 为公差的等差数列. (2)由(1)可知， 1 Sn 1 S1(n1) 22n，Sn 1 2n. 当 n1 时，1 nSn 1 21， 方法一 当 n2 时，1 nSn 1 2n2 1 2 1 1 nn 1 2 nn 1 1- 1 ， S11 2S2 1 3S3 1
19、 nSn 1 2 1 2 nn 1 1 1 3 1 - 2 1 2 1 -11 1 2n1. 原不等式得证. 方法二 当 n2 时， 1 2n2 12 1 2 n 1 4 1 1 1- 1 nn ， S11 2S2 1 3S3 1 nSn 1 2 1 4 1 1 1 11 2 1 5 1 - 3 1 4 1 - 2 1 3 1 -1 nnnn 1 2 1 4 1 11 2 1 1 nn ，1 2 1 4 2 1 17 81. 原命题得证. 【训练【训练 2】(2020 湖南省湘东六校联考湖南省湘东六校联考)已知数列an的前 n 项和 Sn满足 SnSn11(n2，nN)，且 a1 1. (1)
20、求数列an的通项公式 an； (2)记 bn 1 an an1，Tn 为bn的前 n 项和，求使 Tn2 n成立的 n 的最小值 【解】 ： (1)由已知有 Sn Sn11(n2， nN)， 所以数列 Sn为等差数列， 又 S1 a11， 所以 Snn， 即 Snn2. 当 n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1. 又 a11 也满足上式，所以 an2n1. (2)由(1)知，bn 1 （2n1）（2n1） 1 2 12 1 12 1 nn ， 所以 Tn1 2 12 1 12 1 5 1 - 3 1 3 1 -1 nn 1 2 12 1 1 n n 2n1. 由 Tn2 n得 n 24
21、n2，即(n2)26，所以 n5， 所以 n 的最小值为 5. 热点题型四热点题型四 数列与函数的综合问题数列与函数的综合问题 【解题指导】【解题指导】 数列与函数的交汇问题 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法. 【例【例 1】(2020 楚雄模拟楚雄模拟)已知函数 f(x)2019sin 4 x(xR)的所有正零点构成递增数列an (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn2n 4 3 n a ，求数列bn的前 n 项和 Tn. 【解题思路】 (1)解方
22、程 f(x)0，求出函数 f(x)的全部零点，并判断由所有正零点构造的递增数列an是否 为等差(或等比)数列，最后求出通项公式 (2)依据第(1)问的结论，化简 bn，选择适当的求和方法求 Tn. 【规范解答】 (1)由 f(x)2019sin 4 x0，得 x 4k(kZ)， 所以函数 f(x)的全部零点为 xk1 4(kZ) 因为函数 f(x)的全部正零点构成等差数列an， 所以其首项为1 4，公差为 1， 则数列an的通项公式为 ann3 4(nN *) (2)由(1)知 bn2n 4 3 n a n 2n， 则 Tn1 212 223 23(n1) 2n 1n 2n， 所以 2Tn1
23、222 233 24(n1) 2nn 2n 1. ，得Tn2122232nn 2n 1212 n 12 n 2n 1(1n) 2n12， 所以 Tn(n1) 2n 12. 【训练【训练 1】数列an的前 n 项和为 Sn，2Snan12n 11，nN ，且 a1，a25,19 成等差数列. (1)求 a1的值； (2)证明 1 2n n a 为等比数列，并求数列an的通项公式； (3)设 bnlog3(an2n)，若对任意的 nN，不等式 bn(1n)n(bn2)60 恒成立，试求实数 的取值范 围. 【解】 (1)在 2Snan12n 11，nN 中， 令 n1，得 2S1a2221，即 a
24、22a13， 又 2(a25)a119， 则由解得 a11. (2)当 n2 时，由 2Snan12n 11， 2Sn1an2n1， 得 2anan1an2n， 则an 1 2n 113 2 1 2n n a ， 又 a25，则a2 221 3 2 1 21 1 a . 数列 1 2n n a 是以3 2为首项， 3 2为公比的等比数列， an 2n1 3 2 1 2 3 n ，即 an3n2n. (3)由(2)可知，bnlog3(an2n)n. 当 bn(1n)n(bn2)60 恒成立时， 即(1)n2(12)n60(nN)恒成立. 设 f(n)(1)n2(12)n6(nN)， 当 1 时，
25、f(n)n60 恒成立，则 1 满足条件； 当 1 时，由于对称轴 n -12 2-1 -0， 则 f(n)在1，)上单调递减， f(n)f(1)341 满足条件， 综上所述，实数 的取值范围是1，). 【训练【训练 2】设等比数列 a1，a2，a3，a4的公比为 q，等差数列 b1，b2，b3，b4的公差为 d，且 q1，d0.记 ci aibi (i1,2,3,4). (1)求证：数列 c1，c2，c3不是等差数列； (2)设 a11，q2.若数列 c1，c2，c3是等比数列，求 b2关于 d 的函数关系式及其定义域； (3)数列 c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由. (1)
26、证明 假设数列 c1，c2，c3是等差数列， 则 2c2c1c3，即 2(a2b2)(a1b1)(a3b3). 因为 b1，b2，b3是等差数列，所以 2b2b1b3.从而 2a2a1a3. 又因为 a1，a2，a3是等比数列，所以 a22a1a3. 所以 a1a2a3，这与 q1 矛盾，从而假设不成立. 所以数列 c1，c2，c3不是等差数列. (2)解 因为 a11，q2，所以 an2n 1. 因为 c22c1c3，所以(2b2)2(1b2d)(4b2d)， 即 b2d23d， 由 c22b20，得 d23d20， 所以 d1 且 d2. 又 d0，所以 b2d23d，定义域为 | dR d1，d2，d0 . (3)解 设 c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为 q1， 则 a1b1c1， a1qb1dc1q1， a1q2b12dc1q21， a1q3b13dc1q31. 将2 得，a1(q1)2c1(q11)2， 将2 得，a1q(q1)2c1q1(q11)2， 因为 a10，q1，由得 c10，q11. 由得 qq1，从而 a1c1. 代入得 b10.再代入，得 d0，与 d0 矛盾. 所以 c1，c2，c3，c4不成等比数列.
