1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 7.3 基本不等式基本不等式 目录 一、考点全归纳 . 1 题型 一 利用基本不等式求最值 . 2 类型二 通过常数代换利用基本不等式求最值 . 3 类型四 多次利用基本不等式求最值. 5 类型一 与其他知识的交汇问题 . 6 题型三 基本不等式在实际问题中的应用 . 8 三、高效训练突破 . 10 一、考点全归纳一、考点全归纳 1基本不等式 abab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0 (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号 2几个重要的不等式 (1)a2b2
2、2ab(a，bR) (2)b a a b2(a，b 同号) (3)ab ab 2 2 (a，bR) (4)a 2b2 2 ab 2 2 (a，bR) 以上不等式等号成立的条件均为 ab. 3算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 平均数不小于它们的几何平均数 常用结论 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是p 2 4 .(简记：和定积最大)
3、二、题型全归纳二、题型全归纳 题型题型 一一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 【题型要点】【题型要点】(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式 (2)常数代换法， 主要解决形如“已知 xyt(t 为常数)， 求a x b y的最值”的问题， 先将 a x b y转化为 a x b y xy t ， 再用基本不等式求最值 (3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或 “积为常数”，最后利用基本不等式求最值 (4)当连续多次使用基本不等式时， 一定要注意每次是否能保证等号成立， 并且注意取等号的条件的一致性
4、， 因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误 的一种方法 类型一类型一 通过配凑法利用基本不等式求最值通过配凑法利用基本不等式求最值 【例【例 1】(1)已知 0x1)的最小值为_ 【答案】 (1)2 3 (2)2 32 【解析】 (1)x(43x)1 3 (3x)(43x) 1 3 3x（43x） 2 2 4 3， 当且仅当 3x43x，即 x2 3时，取等号(2)y x22 x1 （x 22x1）（2x2）3 x1 （x1） 22（x1）3 x1 (x1) 3 x122 32. 当且仅当(x1) 3 （x1），即 x 31 时，等号成立
5、类型二类型二 通过常数代换利用基本不等式求最值通过常数代换利用基本不等式求最值 【例【例 2】若 a0，b0，lg alg blg(ab)，则 ab 的最小值为( ) A8 B6 C4 D2 【答案】 C 【解析】 由 lg alg blg(ab)，得 lg(ab)lg(ab)，即 abab，则有1 a 1 b1，所以 ab ba 11 (ab)2b a a b22 b a a b4，当且仅当 ab2 时等号成立，所以 ab 的最小值为 4，故选 C. 【例【例 3】(2020 北京师大附中模拟北京师大附中模拟)已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项 am，an，使得 aman
6、16a21，则1 m 9 n的最小值为( ) A.3 2 B.8 3 C.11 4 D不存在 【答案】C 【解析】设正项等比数列an的公比为 q，且 q0， 由 a7a62a5得 a6qa62a6 q ， 化简得，q2q20，解得 q2 或 q1(舍去)， 因为 aman16a21，所以(a1qm 1)(a 1q n1)16a2 1， 则 qm n216，解得 mn6， 所以1 m 9 n 1 6 1 m 9 n (mn)1 6 10n m 9m n 1 6 102 n m 9m n 8 3. 当且仅当n m 9m n 时取等号，此时 n m 9m n ， mn6， 解得 m3 2， n9 2
7、， 因为 m，n 取正整数，所以均值不等式等号条件取不到， 则1 m 9 n 8 3， 验证可得，当 m2，n4 时，1 m 9 n取得最小值为 11 4 . 类型三类型三 通过消元法利用基本不等式求最值通过消元法利用基本不等式求最值 【例【例 4】已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_ 【答案】6来源:学科网 ZXXK 【解析】 法一：由已知得 x3y9xy， 又因为 x0，y0，所以 x3y2 3xy， 所以 3xy x3y 2 2 ， 当且仅当 x3y 时，即 x3，y1 时取等号， (x3y)212(x3y)1080. 令 x3yt，则 t0 且 t212t1080，
8、 得 t6 即 x3y6. 法二：由 x3yxy9， 得 x93y 1y ， 所以 x3y93y 1y 3y93y3y（1y） 1y 93y 2 1y 3（1y） 26（1y）12 1y 3(1y) 12 1y62 3（1y）12 1y61266. 当且仅当 3(1y) 12 1y，即 y1 时等号成立所以 x3y 的最小值为 6. 类型四类型四 多次利用基本不等式求最值多次利用基本不等式求最值 【例【例 5】若 a，bR，ab0，则a 44b41 ab 的最小值为_ 【答案】 4 【解析】 因为 ab0，所以a 44b41 ab 2 4a 4b41 ab 4a 2b21 ab 4ab 1 a
9、b2 4ab 1 ab4，当且仅当 a 22b2， ab1 2 时取等号，故a 44b41 ab 的最小值是 4. 题型二题型二 基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用 【题型要点】【题型要点】基本不等式的综合运用常见题型及求解策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解 (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 类型一类型一 与其他知识的交汇问题与其他知识的交汇问题 【例【例1】 (1)已知直线axbyc10(b， c0
10、)经过圆x2y22y50的圆心， 则4 b 1 c的最小值是_ (2)设等差数列an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1d1，则Sn8 an 的最小值是_ 【答案】 (1)9 (2)9 2 【解析】 (1)圆 x2y22y50 化成标准方程，来源:学科网 ZXXK 得 x2(y1)26， 所以圆心为 C(0，1) 因为直线 axbyc10 经过圆心 C， 所以 a 0b 1c10， 即 bc1. 因此4 b 1 c(bc) 4 b 1 c 4c b b c5. 因为 b，c0， 所以4c b b c2 4c b b c4. 当且仅当 b2c，且 bc1，来源:Zxxk.Com 即 b
11、2 3，c 1 3时， 4 b 1 c取得最小值 9. (2)ana1(n1)dn，Snn（1n） 2 ， 所以Sn8 an n（1n） 2 8 n 1 2(n 16 n 1)1 2 2n 16 n 1 9 2， 当且仅当 n4 时取等号 所以Sn8 an 的最小值是9 2. 【例【例 2】 】 (2020 昆明模拟昆明模拟)如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB4，AD3，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且 EAF45 .设BAE，当四边形 AECF 的面积取得最大值时，则 tan_. 【答案】3 2 4 1 【解析】在直角三角形 ABE 中，可得 BE4tan(0tan1)，在直角三角
12、形 ADF 中，DF3tan(45 )，可 得四边形 AECF 的面积 S121 2 4 4tan 1 2 3 3tan(45 )128tan 9 2 1tan 1tan208(1tan) 9 2 1 2 1tan 49 2 8(1tan) 9 1tan 49 2 281tan 9 1tan 49 2 12 2，当且仅当 8(1tan) 9 1tan，即 tan 3 2 4 1，且满足 0tan0)， 当且仅当 y ax 时取等号， 所以(xy) 1 x a y 的最小值为( a1)2， 所以( a1)29 恒成立 所以 a4. 【例【例 4】(2020 河南平顶山一模河南平顶山一模)若对任意
13、 x0， x x23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是( ) Aa1 5 Ba1 5 Ca1 5 Da1 5 【答案】A 【解析】因为对任意 x0， x x23x1a 恒成立， 所以对 x(0，)，a x x23x1 max， 而对 x(0，)， x x23x1 1 x1 x3 1 2x 1 x3 1 5， 当且仅当 x1 时等号成立，所以 a1 5.故选 A. 题型三题型三 基本不等式在实际问题中的应用基本不等式在实际问题中的应用 【题型要点】【题型要点】利用基本不等式求解实际问题的注意事项 (1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值 (2)设变量时一般要把求
14、最大值或最小值的变量定义为函数 (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围 (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解 【例【例 1】(2020 湖北七市湖北七市(州州)教科研协作体联考教科研协作体联考)如图，将 1 张长为 2 m，宽为 1 m 的长方形纸板按图中方式 剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最 大值为_ m3. 【答案】 4 27 【解析】设长方体底面边长为 x m，宽为 y m，高为 z m，如图所示，则 2x2y2， zy1， 解得 x1y，z1 y.所以该长方体的体积为 x
15、yzy(1y)(1y)1 2 2y(1y)(1y) 1 2 2y1y1y 3 34 27，当且仅当 2y 1y，即 y1 3时，等号成立故此长方体体积的最大值为 4 27 m 3. 【例【例 2】(2020 成都诊断成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正 比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储 费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元 【答案】2 20 【解析】 设工厂和仓库之间的距离为 x 千米， 运费为 y1万元， 仓储费为 y2万元， 则
16、 y1k1x(k10)， y2k2 x (k20)， 工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元， k15，k220， 运费与仓储费之和为 5x20 x 万元， 5x20 x 25x 20 x 20，当且仅当 5x20 x ，即 x2 时，运费与仓储费之和最小，为 20 万元 题型四题型四 利用均值定理连续放缩求最值利用均值定理连续放缩求最值 【题型要点】【题型要点】利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次 使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用 基本不等式处理问题时
17、， 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤， 也是检验转换是否有误的一种方法 【例【例 1】已知 ab0，那么 a2 1 b（ab）的最小值为_ 【答案】4 【解析】 因为 ab0，所以 ab0，所以 b(ab) bab 2 2 a 2 4 ，所以 a2 1 b（ab）a 24 a22 a2 4 a2 4，当且仅当 bab 且 a2 4 a2，即 a 2且 b 2 2 时取等号，所以 a2 1 b（ab）的最小值为 4. 【例【例 2】设 ab0，则 a2 1 ab 1 a（ab）的最小值是_ 【答案】4 【解析】 因为 ab0，所以 ab0，所以 a2 1 ab 1 a（ab）(a 2ab)
18、 1 （a2ab） 1 ab ab2（a2ab） 1 （a2ab）2 1 ab ab4(当且仅当 a 2ab 1 a2ab且 1 abab，即 a 2，b 2 2 时取 等号) 三、高效训练突破三、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 广西钦州期末广西钦州期末)已知 a，bR，a2b215ab，则 ab 的最大值是( ) A15 B12 C5 D3 【答案】C. 【解析】 ：因为 a2b215ab2ab，所以 3ab15，即 ab5，当且仅当 ab 5时等号成立所以 ab 的 最大值为 5.故选 C. 2(2020 揭阳模拟揭阳模拟)设非零实数 a，b，则“a2b22ab”是“a
19、b b a2”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为 a，bR 时，都有 a2b22ab(ab)20，即 a2b22ab，而a b b a2 成立的条件是 ab0， 所以“a2b22ab”是“a b b a2”成立的必要不充分条件 3已知 a0，b0，a，b 的等比中项是 1，且 mb1 a，na 1 b，则 mn 的最小值是( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【解析】由题意知 ab1，mb1 a2b，na 1 b2a，mn2(ab)4 ab4，当且仅当 ab1 时取等号，故 mn 的最小值为 4. 4(2020
20、郑州外国语学校月考郑州外国语学校月考)若 ab1，P lg a lg b，Q1 2(lg alg b)，Rlg ab 2 ，则( ) ARPQ BQPR来源:学科网ZXXK CPQR DPRQ 【答案】C 【解析】因为 ab1，所以 lg a0，lg b0，且 lg alg b，所以 lg a lg b1 2(lg alg b)，由 ab ab 2 ， 得 lg ablg ab 2 .所以1 2(lg alg b)lg ab 2 ，综上知 PQR. 5若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是( ) A.4 3 B.5 3 C2 D.5 4 【答案】C 【解析】由 x0
21、，y0，得 4x29y23xy2(2x) (3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立)，12xy3xy30， 即 xy2，xy 的最大值为 2. 6若实数 a，b 满足1 a 2 b ab，则 ab 的最小值为( ) A. 2 B2 C2 2 D4 【答案】C. 【解析】 ：因为1 a 2 b ab，所以 a0，b0，由 ab 1 a 2 b2 1 a 2 b2 2 ab， 所以 ab2 2(当且仅当 b2a 时取等号)，所以 ab 的最小值为 2 2. 7(2020 湖南衡阳期末湖南衡阳期末)已知 P 是面积为 1 的 ABC 内的一点(不含边界)，若 PAB， PAC 和 PBC 的面
22、 积分别为 x，y，z，则yz x 1 yz的最小值是( ) A.2 31 3 B 32 3 C.1 3 D3 【答案】D. 【解析】 ：因为 xyz1，0x1，0y1，0z0，b0，tan a，tan b 2，因为 2，所以 tan tan 2， 所以 a 2 b 2 1 b 2 2 4b 4b2，所以 1 ab 4b2 4b b1 b 3b 4 2 1 b 3b 4 3，当且仅当1 b 3b 4 ，即 b2 3 3 时，取 等号故1 ab 的最小值为 3. 10几何原本 第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据， 通过这一原理，很多代数的公理或定理都
23、能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示的图 形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在半径 OB 上，且 OFAB，设 ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证 明为( ) A.ab 2 ab(a0，b0) Ba2b22ab(a0，b0) C. 2ab ab ab(a0，b0) D. ab 2 a2b2 2 (a0，b0) 【答案】 D 【解析】由图可知 OF1 2AB ab 2 ，OCab 2 . 在 Rt OCF 中，由勾股定理可得 CF OF2OC2 ab 2 2 ab 2 2 a2b2 2 .CFOF， a2b2 2 ab 2 (a0，b0)故选 D.来源:学科网 ZXXK 1
24、1(2020 江淮十校模拟江淮十校模拟)已知函数 f(x)|ln (x1)|，若 f(a)f(b)，则 a2b 的取值范围为( ) A(4，) B32 2，) C6，) D(4,32 2 【答案】B 【解析】 函数 f(x)|ln (x1)|， f(a)f(b)， 且 x1， 不妨设 ab， 则 1a20 恒成立，则 k 的取值范围是_ 【答案】 ：(，2 21) 【解析】 ：由 32x(k1)3x20，解得 k10 恒成立， 所以当 xR 时，k1 3x 2 3xmin， 即 k12 2，即 k0，y0，且1 x 2 y1，则 xyxy 的最小值为_ 【答案】 ：74 3 【解析】 ：因为1
25、 x 2 y1，所以 xyy2x，xyxy3x2y(3x2y) 1 x 2 y 72y x 6x y 74 3(当且仅 当 y 3x，即 x12 3 3 ，y2 3时取等号) 所以 xyxy 的最小值为 74 3. 6.(2020 陕西榆林摸底陕西榆林摸底)已知正数 x，y 满足 x2y21，则当 x_时，1 x 1 y取得最小值，最小值为 _ 【答案】 2 2 2 2 【解析】由基本不等式可得 x2y22xy，当且仅当 xy 时等号成立正数 x，y 满足 x2y21，xy1 2， 当且仅当 xy 2 2 时等号成立1 x 1 y2 1 xy2 2，当且仅当 xy 2 2 时等号成立，1 x
26、1 y的最小值为 2 2. 7当 0m1 2时，若 1 m 2 12mk 22k 恒成立，则实数 k 的取值范围为_ 【答案】2,4 【解析】因为 0m1 2，所以 1 2 2m (12m) 1 2 2m12m 2 21 8，当且仅当 2m12m，即 m 1 4时取等 号，所以1 m 2 12m 1 m12m8，又 1 m 2 12mk 22k 恒成立，所以 k22k80，所以2k4.所以实数 k 的取值范围是2,4 8(2020 天津一中高考模拟天津一中高考模拟)已知关于 x 的不等式 x25ax2a20)的解集为(x1，x2)，则 x1x2 a x1x2的 最小值是_ 【答案】 10 【解
27、析】由于 a0，故一元二次方程 x25ax2a20 的判别式 25a24 2a217a20， 由根与系数的关系，得 x1x25a， x1x22a2， 则 x1x2 a x1x25a a 2a25a 1 2a2 5a1 2a 10， 当且仅当 5a 1 2a，a 10 10 时等号成立综上可得 x1x2 a x1x2的最小值是 10. 三三 解答题解答题 1.已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求 (1)xy 的最小值； (2)xy 的最小值 【答案】见解析 【解析】 ：(1)由 2x8yxy0，得8 x 2 y1， 又 x0，y0， 则 18 x 2 y2 8 x 2 y 8 xy. 得 x
28、y64， 当且仅当 x16，y4 时，等号成立 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x8yxy0，得8 x 2 y1， 则 xy 8 x 2 y (xy)102x y 8y x 102 2x y 8y x 18. 当且仅当 x12，y6 时等号成立， 所以 xy 的最小值为 18. 2.已知 x0，y0，且 2x5y20. 求：(1)ulg xlg y 的最大值； (2)1 x 1 y的最小值 【答案】见解析 【解析】 ：(1)因为 x0，y0， 所以由基本不等式，得 2x5y2 10 xy. 因为 2x5y20， 所以 2 10 xy20，xy10， 当且仅当 2x5y 时，等号成立
29、 因此有 2x5y20， 2x5y， 解得 x5， y2， 此时 xy 有最大值 10. 所以 ulg xlg ylg(xy)lg 101. 所以当 x5，y2 时，ulg xlg y 有最大值 1. (2)因为 x0，y0， 所以1 x 1 y 1 x 1 y 2x5y 20 1 20 75y x 2x y 1 20 72 5y x 2x y 72 10 20 . 当且仅当5y x 2x y 时，等号成立 由 2x5y20， 5y x 2x y ， 解得 x10 1020 3 ， y204 10 3 . 所以1 x 1 y的最小值为 72 10 20 . 3某厂家拟定在 2020 年举行促销
30、活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费 用 m(m0)万元满足 x3 k m1(k 为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件已知 2020 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售 价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (1)将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； (2)该厂家 2020 年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 【答案】见解析 【解析】 ：(1)由题意知，当 m0 时，x1(万件)， 所以 13kk2，所以 x3 2 m1(m0)， 每件产品的销售价格为 1.5 816x x (元)， 所以 2020 年的利润 y1.5x 816x x 816xm 16 m1（m1） 29(m0) (2)因为 m0 时， 16 m1(m1)2 168， 所以 y82921，当且仅当 16 m1m1m3(万元)时，ymax21(万元) 故该厂家 2020 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元
