1、2021 年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目 要求的）要求的） 1 （3 分）数轴上点 A 表示的数是2，将点 A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点 B，则点 B 表示的数 是（ ） A7 B7 C3 D3 2 （3 分）我市四月份某一周每天的最高气温（单位：）如下：20、21、22、22、24、25、27则这组数 据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ） A22
2、，24 B24，24 C22，22 D25，22 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ax3x4x12 B （2x3）24x6 C （ab）2a2b2 D 4 （3 分）在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积之比为（ ） A B C D 5 （3 分）为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24 小时运转，该条生产线计划加工 320 万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的 1.25 倍生产，结果比原计划提前 3 天 完成任务，设原计划每天生产 x 万支疫苗，则可列方程为（ ） A B C D 6 （3 分）清明节期间，小海自驾
3、去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程 y（千米）与汽车行驶时间 x（小 时）之间的函数图象汽车行驶 2 小时到达目的地，这时汽车行驶了（ ）千米 A120 B130 C140 D150 7 （3 分）正 n 边形的边长为 a，那么它的半径为（ ） A B C D 8 （3 分）已知二次函数 yx2+bx+c 的顶点为（1，5） ，那么关于 x 的一元二次方程x2+bx+c40 的 根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 9 （3 分）P 与 x 轴相交于 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴相切于点 C（0，2） ，则P 的半径是（ ）
4、A2.5 B3 C3.5 D5 10 （3 分）如图，函数 yax2+bx+c 经过点（3，0） ，对称轴为直线 x1，下列结论： b24ac0；abc0；9a3b+c0；5a+b+c0；若点 A（a+1，y1） 、B（a+2，y2）在抛物线 上，则 y1y20其中结论的正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.） 11 （3 分）已知 x 为自然数，代数式有意义时，x 可取 （只需填满足条件的一个自然 数） 12 （3 分）点 C 在AOB 的平分线上，CMOB，OC13，OM
5、5，则点 C 到射线 OA 的距离为 13 （3 分）分解因式：x34xy2 14 （3 分）如图，已知坐标原点 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，顶点 A 的横坐标为 4，AD 平 行 x 轴，且 AD 长为 5若平行四边形面积为 10，则顶点 B 的坐标为 15 （3 分）将长为 20cm 的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为 y（cm2） ，扇形半径为 x（cm） ，且 0 x 10，则 y 与 x 的函数关系式为 16 （3 分）如图，A90，AB5，AC12，点 D 为动点，连接 BD、CD，BDC 始终保持为 90， 线段 AC、BD 相交于点 E，则的最大值为 三
6、、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （4 分）解方程组： 18 （4 分）如图，已知菱形 ABCD，点 E 和点 F 分别在 BC、CD 上，且 BEDF，连接 AE，AF求证： BAEDAF 19 （6 分）已知 T （1）化简 T； （2）若，求 T 的值 20 （6 分） 广州市各校学生都积极参加志愿者活动， 某校为了解九年级学生一学期参加志愿者活动时间 （单 位：h）的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分 布表
7、组别 志愿时间（小时） 频数 频率 A 组 0t5 2 0.05 B 组 5t10 m 0.125 C 组 10t15 10 0.25 D 组 15t20 11 0.275 E 组 20t25 8 n F 组 t25 4 0.1 解答下列问题： （1）频数分布表中 m ；n ； （2）若该校九年级共有学生 400 人，试估计该校九年级学生一学期课外志愿时间不少于 20h 的人数 为 ； （3）在 F 组的学生中，只有 1 名是女同学，其余都是男同学，现从该组中任选 2 人代表学校参加“全 市中学生志愿者积极分子”分享活动，请用树状图或列表法求所选学生为 1 男 1 女的概率 21 （8 分）如
8、图，花城广场对岸有广州塔 AB，小明同学站在花城广场的 C 处看塔顶点 A 的仰角为 32， 向塔前进 360 米到达点 D，在 D 处看塔顶 A 的仰角为 45 （1）求广州塔 AB 的高度（sin320.530，cos320.848，tan320.625） ； （2）一架无人机从广州塔顶点 A 出发，沿水平方向 AF 飞行 300 米到 A处，求此时从 A处看点 D 的 俯角的正切值 22 （10 分）如图，在ABC 中，ACBC，AB18，tanA，点 E 在 AB 上且 BE8，直线 l 垂直于 AB，垂足为点 D （1）尺规作图：以 AC 为直径作O，与 AB 交于点 F（不写作法，
9、保留作图痕迹） ； （2）求证：CE 是O 的切线； （3）若O 与直线 l 相交于点 M、N（M 在 N 的上方） ，若 NA2，求 MF 的长 23 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l1：yx+b 与 y 轴交于点（0，2） ，且与双曲线（k0）有 交点 （1）求 b 的值和 k 的取值范围； （2）直线 l1绕点（1，1）顺时针旋转 90得到直线 l2，请直接写出直线 l2的解析式； （3）在（2）的条件下，直线 l2与双曲线的交点为点 P，且点 P 的横坐标为 1点 A、B 在直线 l2上， 点 A 的纵坐标为 2，B 的纵坐标为 m（m） ，过 A、B 两点分别作 x 轴的平行
10、线交双曲线于点 C、 D，连接 CO、DO，记BOD、AOC 的面积分别为 S1、S2，若，求 t 的取值范围 24 （12 分）如图，等边三角形ABE 和矩形 ABCD 有共同的外接圆O，且 AB30 （1）求证：CED120； （2）在劣弧上有动点 F，连接 DF、CF、BF，DF 分别交 AE、AB 于点 M、P，CF 交 BE 于点 N 设MNF 与CDF 的周长分别为 C1和 C2，试判断 C2C1的值是否发生变化，若不变则求出该值； 若变化请说明理由； 若 PN5，求 BF 的长 25 （12 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0） 、点 B（5，0） ，点 P
11、 是抛物线上 x 轴下方的一 个动点，连接 PA，过点 A 作 AQPA 交抛物线于点 Q，作直线 PQ （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 的坐标为（3，8） ，求点 Q 的坐标； （3）判断在点 P 运动过程中，直线 PQ 是否过定点？若存在定点，则求出定点坐标；若不存在，请说明 理由 2021 年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，有一
12、项是符合题目 要求的）要求的） 1 （3 分）数轴上点 A 表示的数是2，将点 A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点 B，则点 B 表示的数 是（ ） A7 B7 C3 D3 【解答】解：A 表示的数是2，将点 A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点 B， 点 B 表示的数是2+53， 故选：D 2 （3 分）我市四月份某一周每天的最高气温（单位：）如下：20、21、22、22、24、25、27则这组数 据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ） A22，24 B24，24 C22，22 D25，22 【解答】解：22 出现了 2 次，出现的次数最多， 则众数是 22； 把这组数据从小到大排列
13、 20、21、22、22、24、25、27，最中间的数是 22， 则中位数是 22； 故选：C 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ax3x4x12 B （2x3）24x6 C （ab）2a2b2 D 【解答】解：Ax3x4x7，不符合题意； B （2x3）2（2）2（x3）24x6，符合题意； C （ab）2a22ab+b2，不符合题意； Dx2yx2y2x2x3y，不符合题意 故选：B 4 （3 分）在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积之比为（ ） A B C D 【解答】解：由题意得 DE 为ABC 的中位线，那么 DEBC，DE：BC1：2 A
14、DEABC ADE 与ABC 的周长之比为 1：2， ADE 与ABC 的面积之比为 1：4，即 故选：B 5 （3 分）为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24 小时运转，该条生产线计划加工 320 万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的 1.25 倍生产，结果比原计划提前 3 天 完成任务，设原计划每天生产 x 万支疫苗，则可列方程为（ ） A B C D 【解答】解：原计划每天生产 x 万支疫苗，五天后以原来速度的 1.25 倍生产， 五天后每天生产 1.25x 万支疫苗， 依题意，得： 故选：D 6 （3 分）清明节期间，小海自驾去某地祭祖，如图是他们汽
15、车行驶的路程 y（千米）与汽车行驶时间 x（小 时）之间的函数图象汽车行驶 2 小时到达目的地，这时汽车行驶了（ ）千米 A120 B130 C140 D150 【解答】解：如图所示： 设 AB 段的函数解析式是 ykx+b， ykx+b 的图象过 A（0.5，20） ，B（1.5，100） ， ，解得， AB 段函数的解析式是 y80 x20， 汽车行驶 2 小时到达目的地， y80220140（千米） ， 即这时汽车行驶了 140 千米 故选：C 7 （3 分）正 n 边形的边长为 a，那么它的半径为（ ） A B C D 【解答】解：设 AB 是正多边形的一条边，过点 O 作 OCAB
16、于点 C 则AOC， 在直角AOC 中，sinAOC， ACOAsinAOCRsin， R， 故选：C 8 （3 分）已知二次函数 yx2+bx+c 的顶点为（1，5） ，那么关于 x 的一元二次方程x2+bx+c40 的 根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 【解答】解：设抛物线的表达式为 ya（xh）2+k， 则 y（x1）2+5x2+2x+4， 则x2+bx+c40 化为x2+2x0， 解得 x0 或 2， 故选：A 9 （3 分）P 与 x 轴相交于 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴相切于点 C（0，2） ，则P 的半径是（
17、 ） A2.5 B3 C3.5 D5 【解答】解：过点 P 作 PDAB 于 D，连接 PA、PC， P 与 y 轴相切于点 C， PCy 轴， 四边形 CODP 为矩形， PDOC2， A（1，0） 、B（4，0） ， AB3， PDAB， ADAB， P 的半径2.5， 故选：A 10 （3 分）如图，函数 yax2+bx+c 经过点（3，0） ，对称轴为直线 x1，下列结论： b24ac0；abc0；9a3b+c0；5a+b+c0；若点 A（a+1，y1） 、B（a+2，y2）在抛物线 上，则 y1y20其中结论的正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：抛物线
18、与 x 轴有两个交点， 0， b24ac0， 正确； 抛物线开口向上， a0， 抛物线对称轴在 y 轴右侧， b 与 a 异号，即 b0， 抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方， c0， abc0， 正确； 抛物线对称轴为 x1，与 x 轴的一个交点为（3，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， 抛物线开口向上，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小， 当 x3 时，y0， 9a3b+c0， 错误； 抛物线与 x 轴的一个交点为（3，0） ， 9a+3b+c0， 抛物线对称轴为 x1， 1， b2a， 5a+b+c0， 正确； a0， 1a+1a+2， 抛物线对称轴为 x1，抛物线
19、开口向上，在对称轴右侧 y 随 x 增大而增大， y1y2， y1y20， 正确； 综上所述，正确； 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.） 11 （3 分）已知 x 为自然数，代数式有意义时，x 可取 2（答案不唯一） （只需填满足条件的一 个自然数） 【解答】解：由题意得：4x0， 解得：x4， x 可取 2（答案不唯一） 故答案为：2（答案不唯一） 12 （3 分）点 C 在AOB 的平分线上，CMOB，OC13，OM5，则点 C 到射线 OA 的距离为 12 【解答】解：过 C 作 CFAO 于 F， OC 为
20、AOB 的平分线，CMOB， CMCF， OC13，OM5， CM12， CF12， 故答案为：12 13 （3 分）分解因式：x34xy2 x（x+2y） （x2y） 【解答】解：原式x（x24y2）x（x+2y） （x2y） ， 故答案为：x（x+2y） （x2y） 14 （3 分）如图，已知坐标原点 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，顶点 A 的横坐标为 4，AD 平 行 x 轴，且 AD 长为 5若平行四边形面积为 10，则顶点 B 的坐标为 （1，1） 【解答】解：如图，连接 BD，设 AD 与 y 轴交于点 M， 点 A 的横坐标为 4，AD 平行 x 轴，且 A
21、D 长为 5 点 D 的横坐标为1， 平行四边形 ABCD 的面积为 10， ADOM10， OM1， 点 D（1，1） ， 四边形 ABCD 是平行四边形， BODO， 点 B（1，1） ， 故答案为： （1，1） 15 （3 分）将长为 20cm 的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为 y（cm2） ，扇形半径为 x（cm） ，且 0 x 10，则 y 与 x 的函数关系式为 yx2+10 x 【解答】解：由题意扇形的面积 yx （202x）x2+10 x 故答案为：yx2+10 x 16 （3 分）如图，A90，AB5，AC12，点 D 为动点，连接 BD、CD，BDC 始终保持为 90，
22、线段 AC、BD 相交于点 E，则的最大值为 【解答】解：A90，AB5，AC12， BC13， 设 AEx，则 CE12x， BE， BDCA90，CEDBEA， CEDBEA， ，即， DE， ，令k， k（x2+25）x（12x） ， 整理，得： （k+1）x212x+25k0， （12）24（k+1）25k0， 25k2+25k360， 令 25k2+25k360， 解得：k1，k2， 根据二次函数 z25k2+25k36 的性质可知：当 z0 时，k， 的最大值为 另解：如图：BDC 始终保持为 90，线段 AC、BD 相交于点 E， 点 D 在以 BC 为直径的圆的劣弧上运动， 过
23、点 D 作 DFAC 于 F， DFEBAC90， DEFBEA， DEFBEA， ， 当 DF 最大时，的值最大， 当 D 运动到劣弧的中点 D处时，DF 最大，连接 OD交 AC 于 F，则 ODAC，且 F为 AC 的中点， OFAB， DFODOF4， ， 的最大值为 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （4 分）解方程组： 【解答】解：， 给式两边同时乘以 3， 得 9x+3y33， +得， 10 x30， 解得 x3， 把 x3 代入式中，
24、 得 9+y11， 解得 y2， 所以方程组得解为 18 （4 分）如图，已知菱形 ABCD，点 E 和点 F 分别在 BC、CD 上，且 BEDF，连接 AE，AF求证： BAEDAF 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， ABAD，BD， 在ABE 和ADF 中， ， ABEADF（SAS） ， BAEDAF 19 （6 分）已知 T （1）化简 T； （2）若，求 T 的值 【解答】解： （1）T（） ； （2）， a2+4a+416， a2+4a120， 解得 a2 或 a6， a0 且 a2， a6， 则原式 20 （6 分） 广州市各校学生都积极参加志愿者活动， 某校为了解九年
25、级学生一学期参加志愿者活动时间 （单 位：h）的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分 布表 组别 志愿时间（小时） 频数 频率 A 组 0t5 2 0.05 B 组 5t10 m 0.125 C 组 10t15 10 0.25 D 组 15t20 11 0.275 E 组 20t25 8 n F 组 t25 4 0.1 解答下列问题： （1）频数分布表中 m 5 ；n 0.2 ； （2）若该校九年级共有学生 400 人，试估计该校九年级学生一学期课外志愿时间不少于 20h 的人数为 120 人 ； （3）在 F 组的学生中，只有 1 名是女同学，其
26、余都是男同学，现从该组中任选 2 人代表学校参加“全 市中学生志愿者积极分子”分享活动，请用树状图或列表法求所选学生为 1 男 1 女的概率 【解答】解： （1）被调查的总人数为 20.0540（人） ， m400.1255，n8400.2， 故答案为：5、0.2； （2）估计该校九年级学生一学期课外志愿时间不少于 20h 的人数为 400（0.2+0.1）120（人） ， 故答案为：120 人； （3）列表如下： 男 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） 由表
27、知，共有 12 种等可能结果，其中所选学生为 1 男 1 女的有 6 种结果， 所以所选学生为 1 男 1 女的概率为 21 （8 分）如图，花城广场对岸有广州塔 AB，小明同学站在花城广场的 C 处看塔顶点 A 的仰角为 32， 向塔前进 360 米到达点 D，在 D 处看塔顶 A 的仰角为 45 （1）求广州塔 AB 的高度（sin320.530，cos320.848，tan320.625） ； （2）一架无人机从广州塔顶点 A 出发，沿水平方向 AF 飞行 300 米到 A处，求此时从 A处看点 D 的 俯角的正切值 【解答】解： （1）设广州塔 AB 的高度为 x 米， ADB45，
28、DAB45， ADBDAB， BDABx， BC360+x， ACB32， tanACB， 0.625， 解得，x600（米） ， 答：广州塔 AB 的高度约为 600 米； （2）过 D 作 DHAF 于 H， 则四边形 ABDH 是正方形， AHHDAB600 米，AHD90， AA300， AHAHAA300， tanDAH2， 答：此时从 A处看点 D 的俯角的正切值为 2 22 （10 分）如图，在ABC 中，ACBC，AB18，tanA，点 E 在 AB 上且 BE8，直线 l 垂直于 AB，垂足为点 D （1）尺规作图：以 AC 为直径作O，与 AB 交于点 F（不写作法，保留作
29、图痕迹） ； （2）求证：CE 是O 的切线； （3）若O 与直线 l 相交于点 M、N（M 在 N 的上方） ，若 NA2，求 MF 的长 【解答】解： （1）如图 1 所示，O 即为所作的圆； （2）如图 2，连接 CF， AC 是O 的直径， AFC90， ACBC，AB18， AFBF9， tanA， ， CFAF93， AC3， ， BE8， AEABBE18810， ， ， CAFEAC， CAFEAC， ACEAFC90， CE 是O 的切线； （3）如图 3，连接 CF，CN， 由（2）知：AFC90，AC3， AC 是O 的直径， ANC90，NA2， CN， MNAB， A
30、DM90AFC， MNCF， FMNCFM， ， +，即， MFCN 23 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l1：yx+b 与 y 轴交于点（0，2） ，且与双曲线（k0）有 交点 （1）求 b 的值和 k 的取值范围； （2）直线 l1绕点（1，1）顺时针旋转 90得到直线 l2，请直接写出直线 l2的解析式； （3）在（2）的条件下，直线 l2与双曲线的交点为点 P，且点 P 的横坐标为 1点 A、B 在直线 l2上， 点 A 的纵坐标为 2，B 的纵坐标为 m（m） ，过 A、B 两点分别作 x 轴的平行线交双曲线于点 C、 D，连接 CO、DO，记BOD、AOC 的面积分别为 S
31、1、S2，若，求 t 的取值范围 【解答】解： （1）将点（0，2）的坐标代入 yx+b 得：20+b， 解得 b2， 故直线 l1的表达式为 yx+2， 当 k0 时，反比例函数在二、四象限，则两个函数必然相交； 当 k0 时，如下图， 联立两个函数表达式并整理得：x22x+k0， 44k0，解得 k1，故 0k1， 综上，k 的取值范围为 k0 或 0k1； （2）由直线 l1的表达式知，点（1，1）在改直线上，并且该点为 l1在第一象限内线段的中点， 而直线 l1和 x 轴负半轴的夹角为 45，直线 l1绕点（1，1）顺时针旋转 90得到直线 l2，则直线 l2为 一、三象限角平分线，
32、故 l2的表达式为 yx； （3）当 x1 时，yx1，故点 P 的坐标为（1，1） ， 将点 P 的坐标代入反比例函数表达式得：k1， 故反比例函数表达式为 y， 点 A 的纵坐标为 2，B 的纵坐标为 m，这两点都在直线 l2上，故点 B（m，m） ，点 A（2，2） ， 则点 C、D 的坐标分别为（2，） 、 （，m） ， m，则点 B 在点 P 的下方， 则 S1BDyB（m）m（1m2） ， 同理可得 S2， （1m2） ， m， t 24 （12 分）如图，等边三角形ABE 和矩形 ABCD 有共同的外接圆O，且 AB30 （1）求证：CED120； （2）在劣弧上有动点 F，连接
33、 DF、CF、BF，DF 分别交 AE、AB 于点 M、P，CF 交 BE 于点 N 设MNF 与CDF 的周长分别为 C1和 C2，试判断 C2C1的值是否发生变化，若不变则求出该值； 若变化请说明理由； 若 PN5，求 BF 的长 【解答】解： （1）证明：连接 OD、OE、OC，如图： 等边三角形ABE 和矩形 ABCD， DABCBA90，EABEBA60， DAEDABEAB30，CBECBAEBA30， DOEEOC60， ODOEOC， DOE 和EOC 都是等边三角形， DEOCEO60， CEDDEO+CEO120； （2）C2C1的值为 30，不变，理由如下： 连接 AC、
34、BD，OM、ON，如图： DABCBA90， BD 和 AC 是直径， DEC120，AEB60， DEA+CEB60， ADBC， DEACEB30， 而DEOCEO60，CBE30， DEAOEACEBOEB30，ECB180CEBCBE120， ACBECBECO60， DOE 和EOC 都是等边三角形， CEOEDE， 在CEN 和OEN 中， ， CENOEN（SAS） ， CNON， CONOCN， 同理 DMOM，ODMDOM， ODMBCF， CON+DOMOCN+ODMOCN+BCFACB60， 而DOEEOC60， DOE+EOC+CON+DOM180， M、O、N 共线，
35、 CN+DMMN， C2C1（FC+CD+DF）（FN+MN+MF） （FN+CN+CD+DM+MF）（FN+MN+MF） CD， 矩形 ABCD，AB30， CDAB30， C2C130； 如图： DEC120， DFC60ABE， N、P、F、B 共圆， DFBDAB90， PNB90， PBN60，PN5， BP10， AB30， AP20， DAEDEA30， ADDEODOA， ADO60， 在 RtABD 中，AB30， AD10， DP10， sinAPD， sinBPF， BD 为直径， BFP90， RtBPF 中，sinBPF， ， BF 25 （12 分）如图，已知抛物线
36、 yx2+bx+c 过点 A（1，0） 、点 B（5，0） ，点 P 是抛物线上 x 轴下方的一 个动点，连接 PA，过点 A 作 AQPA 交抛物线于点 Q，作直线 PQ （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 的坐标为（3，8） ，求点 Q 的坐标； （3）判断在点 P 运动过程中，直线 PQ 是否过定点？若存在定点，则求出定点坐标；若不存在，请说明 理由 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0） 、点 B（5，0） ， ， 解得：， 抛物线的解析式为：yx2+4x5； （2）如图，设 Q（m，m2+4m5） ，过点 P 作 PEAB 于点 E，过点 Q 作 QF
37、AB 于点 F， AEPAFQ90，QFm2+4m5，AF1m， 点 P 的坐标为（3，8） ， PE8，AE4， AQPA， PAQ90， PAE+QAF90， QAF+AQF90， PAEAQF， PAEAQF， ，即：， 解得：m11（舍去） ，m2， 当 m时，AF1（）， QF， Q（，） ； （3）点 P 运动过程中，直线 PQ 恒过定点（5，1） 设直线 PQ 解析式为 ypx+q，P（xP，yP） ，Q（xQ，yQ） ， P（xP，yP） ，Q（xQ，yQ）是直线 PQ 与抛物线 yx2+4x5 的交点， x2+4x5px+q，即 x2+（4p）x5q0， xP+xQp4，xP
38、xQ5q， 如图，过点 P 作 PEAB 于点 E，过点 Q 作 QFAB 于点 F， 则 AE1xP，PEyP，AF1xQ，QFyQ， yPpxP+q，yQpxQ+q， PAEAQF， ，即：， （1xP） （1xQ）yPyQ，（pxP+q） （pxQ+q） ， 1（xP+xQ）+xPxQp2xPxQ+pq（xP+xQ）+q2， 1+（pq1） （xP+xQ）+（p2+1） （xPxQ）+q20， 1+（pq1） （p4）+（p2+1） （5q）+q20， （p+q） （q5p1）0， p+q0， q5p10， q5p+1， 直线 PQ 的解析式为 ypx+5p+1， 当 x5 时，y5p+5p+11， 直线 PQ 恒过点（5，1） ， 故点 P 运动过程中，直线 PQ 恒过定点（5，1）
