1、2021 年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目 要求的）要求的） 1 （3 分）数轴上点 A 表示的数是2，将点 A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点 B，则点 B 表示的数 是（ ） A7 B7 C3 D3 2 （3 分）我市四月份某一周每天的最高气温（单位：）如下：20、21、22、22、24、25、27则这组数 据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ） A22
2、，24 B24，24 C22，22 D25，22 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ax3x4x12 B （2x3）24x6 C （ab）2a2b2 D 4 （3 分）在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积之比为（ ） A B C D 5 （3 分）为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24 小时运转，该条生产线计划加工 320 万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的 1.25 倍生产，结果比原计划提前 3 天 完成任务，设原计划每天生产 x 万支疫苗，则可列方程为（ ） A B C D 6 （3 分）清明节期间，小海自驾
3、去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程 y（千米）与汽车行驶时间 x（小 时）之间的函数图象汽车行驶 2 小时到达目的地，这时汽车行驶了（ ）千米 A120 B130 C140 D150 7 （3 分）正 n 边形的边长为 a，那么它的半径为（ ） A B C D 8 （3 分）已知二次函数 yx2+bx+c 的顶点为（1，5） ，那么关于 x 的一元二次方程x2+bx+c40 的 根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 9 （3 分）P 与 x 轴相交于 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴相切于点 C（0，2） ，则P 的半径是（ ）
4、A2.5 B3 C3.5 D5 10 （3 分）如图，函数 yax2+bx+c 经过点（3，0） ，对称轴为直线 x1，下列结论： b24ac0；abc0；9a3b+c0；5a+b+c0；若点 A（a+1，y1） 、B（a+2，y2） ，则 y1 y20其中结论的正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.） 11 （3 分）已知 x 为自然数，代数式有意义时，x 可取 （只需填满足条件的一个自然 数） 12 （3 分）点 C 在AOB 的平分线上，CMOB，OC13，OM5，则点
5、 C 到射线 OA 的距离为 13 （3 分）分解因式：x34xy2 14 （3 分）如图，已知坐标原点 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，顶点 A 的横坐标为 4，AD 平 行 x 轴，且 AD 长为 5若平行四边形面积为 10，则顶点 B 的坐标为 15 （3 分）将长为 20cm 的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为 y（cm2） ，扇形半径为 x（cm） ，且 0 x 10，则 y 与 x 的函数关系式为 16 （3 分）如图，A90，AB5，AC12，点 D 为动点，连接 BD、CD，BDC 始终保持为 90， 线段 AC、BD 相交于点 E，则的最大值为 三、解答题
6、（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （4 分）解方程组： 18 （4 分）如图，已知菱形 ABCD，点 E 和点 F 分别在 BC、CD 上，且 BEDF，连接 AE，AF求证： BAEDAF 19 （6 分）已知 T （1）化简 T； （2）若，求 T 的值 20 （6 分） 广州市各校学生都积极参加志愿者活动， 某校为了解九年级学生一学期参加志愿者活动时间 （单 位：h）的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分 布表 组别 志
7、愿时间（小时） 频数 频率 A 组 0t5 2 0.05 B 组 5t10 m 0.125 C 组 10t15 10 0.25 D 组 15t20 11 0.275 E 组 20t25 8 n F 组 t25 4 0.1 解答下列问题： （1）频数分布表中 m ；n ； （2）若该校九年级共有学生 400 人，试估计该校九年级学生一学期课外志愿时间不少于 20h 的人数 为 ； （3）在 F 组的学生中，只有 1 名是女同学，其余都是男同学，现从该组中任选 2 人代表学校参加“全 市中学生志愿者积极分子”分享活动，请用树状图或列表法求所选学生为 1 男 1 女的概率 21 （8 分）如图，花城
8、广场对岸有广州塔 AB，小明同学站在花城广场的 C 处看塔顶点 A 的仰角为 32， 向塔前进 360 米到达点 D，在 D 处看塔顶 A 的仰角为 45 （1）求广州塔 AB 的高度（sin320.530，cos320.848，tan320.625） ； （2）一架无人机从广州塔顶点 A 出发，沿水平方向 AF 飞行 300 米到 A处，求此时从 A处看点 D 的 俯角的正切值 22 （10 分）如图，在ABC 中，ACBC，AB18，tanA，点 E 在 AB 上且 BE8，直线 l 垂直于 AB，垂足为点 D （1）尺规作图：以 AC 为直径作O，与 AB 交于点 F（不写作法，保留作图
9、痕迹） ； （2）求证：CE 是O 的切线； （3）若O 与直线 l 相交于点 M、N（M 在 N 的上方） ，若 NA2，求 MF 的长 23 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l1：yx+b 与 y 轴交于点（0，2） ，且与双曲线（k0）有 交点 （1）求 b 的值和 k 的取值范围； （2）直线 l1绕点（1，1）顺时针旋转 90得到直线 l2，请直接写出直线 l2的解析式； （3）在（2）的条件下，直线 l2与双曲线的交点为点 P，且点 P 的横坐标为 1点 A、B 在直线 l2上， 点 A 的纵坐标为 2，B 的纵坐标为 m（m） ，过 A、B 两点分别作 x 轴的平行线交双曲
10、线于点 C、 D，连接 CO、DO，记BOD、AOC 的面积分别为 S1、S2，若，求 t 的取值范围 24 （12 分）如图，等边三角形ABE 和矩形 ABCD 有共同的外接圆O，且 AB30 （1）求证：CED120； （2）在劣弧上有动点 F，连接 DF、CF、BF，DF 分别交 AE、AB 于点 M、P，CF 交 BE 于点 N 设MNF 与CDF 的周长分别为 C1和 C2，试判断 C2C1的值是否发生变化，若不变则求出该值； 若变化请说明理由； 若 PN5，求 BF 的长 25 （12 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0） 、点 B（5，0） ，点 P 是抛物
11、线上 x 轴下方的一 个动点，连接 PA，过点 A 作 AQPA 交抛物线于点 Q，作直线 PQ （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 的坐标为（3，8） ，求点 Q 的坐标； （3）判断在点 P 运动过程中，直线 PQ 是否过定点？若存在定点，则求出定点坐标；若不存在，请说明 理由 2021 年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，有一项是符合
12、题目 要求的）要求的） 1 （3 分）数轴上点 A 表示的数是2，将点 A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点 B，则点 B 表示的数 是（ ） A7 B7 C3 D3 【分析】向右平移后表示的数变大，右移 5 个单位就比原来的点表示的数大 5 【解答】解：A 表示的数是2，将点 A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点 B， 点 B 表示的数是2+53， 故选：D 2 （3 分）我市四月份某一周每天的最高气温（单位：）如下：20、21、22、22、24、25、27则这组数 据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ） A22，24 B24，24 C22，22 D25，22 【分析】根据众数的定义即
13、众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即中位数是将一组数据 从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数，即可得出答案 【解答】解：22 出现了 2 次，出现的次数最多， 则众数是 22； 把这组数据从小到大排列 20、21、22、22、24、25、27，最中间的数是 22， 则中位数是 22； 故选：C 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ax3x4x12 B （2x3）24x6 C （ab）2a2b2 D 【分析】A 选项是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；B 选项是积的乘方，等于每一个因式分别乘 方的积；C 选项是完全平方公式；D 选项应该转化为乘法去算 【解答】解：Ax
14、3x4x7，不符合题意； B （2x3）2（2）2（x3）24x6，符合题意； C （ab）2a22ab+b2，不符合题意； Dx2yx2y2x2x3y，不符合题意 故选：B 4 （3 分）在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积之比为（ ） A B C D 【分析】容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似 比的平方 【解答】解：由题意得 DE 为ABC 的中位线，那么 DEBC，DE：BC1：2 ADEABC ADE 与ABC 的周长之比为 1：2， ADE 与ABC 的面积之比为 1：4，即 故选：B 5 （3
15、分）为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24 小时运转，该条生产线计划加工 320 万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的 1.25 倍生产，结果比原计划提前 3 天 完成任务，设原计划每天生产 x 万支疫苗，则可列方程为（ ） A B C D 【分析】由原计划每周生产的疫苗数结合五天后提高的速度，可得出五天后每天生产 1.25x 万支疫苗， 根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前 3 天完成任务 （前五天按原工作效率） ， 即可 得出关于 x 的分式方程，此题得解 【解答】解：原计划每天生产 x 万支疫苗，五天后以原来速度的 1.25 倍生产， 五天
16、后每天生产 1.25x 万支疫苗， 依题意，得： 故选：D 6 （3 分）清明节期间，小海自驾去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程 y（千米）与汽车行驶时间 x（小 时）之间的函数图象汽车行驶 2 小时到达目的地，这时汽车行驶了（ ）千米 A120 B130 C140 D150 【分析】根据待定系数法，可得一次函数解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值 【解答】解：如图所示： 设 AB 段的函数解析式是 ykx+b， ykx+b 的图象过 A（0.5，20） ，B（1.5，100） ， ，解得， AB 段函数的解析式是 y80 x20， 汽车行驶 2 小时到达目的地， y80220140（千
17、米） ， 即这时汽车行驶了 140 千米 故选：C 7 （3 分）正 n 边形的边长为 a，那么它的半径为（ ） A B C D 【分析】设 AB 是正多边形的一条边，过点 C 作 OCAB 于点 C，在直角AOC 中解直角三角形可得结 论 【解答】解：设 AB 是正多边形的一条边，过点 O 作 OCAB 于点 C 则AOC， 在直角AOC 中，sinAOC， ACOAsinAOCRsin， R， 故选：C 8 （3 分）已知二次函数 yx2+bx+c 的顶点为（1，5） ，那么关于 x 的一元二次方程x2+bx+c40 的 根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没
18、有实数根 D无法确定 【分析】求出抛物线的表达式 y（x1）2+5x2+2x+4，进而求解 【解答】解：设抛物线的表达式为 ya（xh）2+k， 则 y（x1）2+5x2+2x+4， 则x2+bx+c40 化为x2+2x0， 解得 x0 或 2， 故选：A 9 （3 分）P 与 x 轴相交于 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴相切于点 C（0，2） ，则P 的半径是（ ） A2.5 B3 C3.5 D5 【分析】 过点 P 作 PDAB 于 D， 连接 PA、 PC， 根据切线的性质得到 PCy 轴， 根据垂径定理求出 AD， 根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解：过点 P 作 PD
19、AB 于 D，连接 PA、PC， P 与 y 轴相切于点 C， PCy 轴， 四边形 CODP 为矩形， PDOC2， A（1，0） 、B（4，0） ， AB3， PDAB， ADAB， P 的半径2.5， 故选：A 10 （3 分）如图，函数 yax2+bx+c 经过点（3，0） ，对称轴为直线 x1，下列结论： b24ac0；abc0；9a3b+c0；5a+b+c0；若点 A（a+1，y1） 、B（a+2，y2） ，则 y1 y20其中结论的正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据图象与 x 轴有两个交点，0 即可判断； 根据图象的开口方向、对称轴、图象与 y
20、轴的交点即可判断； 根据图象可得对称轴为 x1，与 x 轴的一个交点为（3，0） ，则另一个交点为（1，0） ，再根据抛物 线增减性即可判断； 根据图象抛物线与 x 轴的一个交点为（3，0） ，可得 9a+3b+c0，对称轴为 x1，可得 b2a，将 2b4a 代入 9a+3b+c0，即可判断； 根据图象可得 a0，即可得出 1a+1a+2，再结合对称轴为 x1，运用二次函数增减性即可判断 【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点， 0， b24ac0， 正确； 抛物线开口向上， a0， 抛物线对称轴在 y 轴右侧， b 与 a 异号，即 b0， 抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方， c0， a
21、bc0， 正确； 抛物线对称轴为 x1，与 x 轴的一个交点为（3，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， 抛物线开口向上，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小， 当 x3 时，y0， 9a3b+c0， 错误； 抛物线与 x 轴的一个交点为（3，0） ， 9a+3b+c0， 抛物线对称轴为 x1， 1， b2a， 5a+b+c0， 正确； a0， 1a+1a+2， 抛物线对称轴为 x1，抛物线开口向上，在对称轴右侧 y 随 x 增大而增大， y1y2， y1y20， 正确； 综上所述，正确； 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3
22、分，共分，共 18 分分.） 11 （3 分）已知 x 为自然数，代数式有意义时，x 可取 2（答案不唯一） （只需填满足条件的一 个自然数） 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 4x0，再解即可 【解答】解：由题意得：4x0， 解得：x4， x 可取 2（答案不唯一） 故答案为：2（答案不唯一） 12 （3 分）点 C 在AOB 的平分线上，CMOB，OC13，OM5，则点 C 到射线 OA 的距离为 12 【分析】过 C 作 CFAO，根据勾股定理可得 CM 的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相 等可得 CFCM，进而可得答案 【解答】解：过 C 作 CFAO 于 F， OC
23、为AOB 的平分线，CMOB， CMCF， OC13，OM5， CM12， CF12， 故答案为：12 13 （3 分）分解因式：x34xy2 x（x+2y） （x2y） 【分析】原式提取 x，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式x（x24y2）x（x+2y） （x2y） ， 故答案为：x（x+2y） （x2y） 14 （3 分）如图，已知坐标原点 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，顶点 A 的横坐标为 4，AD 平 行 x 轴，且 AD 长为 5若平行四边形面积为 10，则顶点 B 的坐标为 （1，1） 【分析】由面积关系可求 OM1，可求点 D 坐标，由平行四边形的
24、性质可求解 【解答】解：如图，连接 BD，设 AD 与 y 轴交于点 M， 点 A 的横坐标为 4，AD 平行 x 轴，且 AD 长为 5 点 D 的横坐标为1， 平行四边形 ABCD 的面积为 10， ADOM10， OM1， 点 D（1，1） ， 四边形 ABCD 是平行四边形， BODO， 点 B（1，1） ， 故答案为： （1，1） 15 （3 分）将长为 20cm 的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为 y（cm2） ，扇形半径为 x（cm） ，且 0 x 10，则 y 与 x 的函数关系式为 yx2+10 x 【分析】根据扇形的面积lr，计算即可 【解答】解：由题意扇形的面积 yx （
25、202x）x2+10 x 故答案为：yx2+10 x 16 （3 分）如图，A90，AB5，AC12，点 D 为动点，连接 BD、CD，BDC 始终保持为 90， 线段 AC、BD 相交于点 E，则的最大值为 【分析】 运用勾股定理可得 BC13， 设 AEx， 则 CE12x， BE， 再证明CEDBEA， 运用相似三角形性质可得 DE，进而得出，令k，则（k+1）x212x+25k 0，利用根的判别式可得 25k2+25k360，令 25k2+25k360，解得 k1，k2，应用二次函 数的性质即可得出答案 【解答】解：A90，AB5，AC12， BC13， 设 AEx，则 CE12x，
26、BE， BDCA90，CEDBEA， CEDBEA， ，即， DE， ，令k， k（x2+25）x（12x） ， 整理，得： （k+1）x212x+25k0， （12）24（k+1）25k0， 25k2+25k360， 令 25k2+25k360， 解得：k1，k2， 根据二次函数 z25k2+25k36 的性质可知：当 z0 时，k， 的最大值为 另解：如图：BDC 始终保持为 90，线段 AC、BD 相交于点 E， 点 D 在以 BC 为直径的圆的劣弧上运动， 过点 D 作 DFAC 于 F， DFEBAC90， DEFBEA， DEFBEA， ， 当 DF 最大时，的值最大， 当 D 运
27、动到劣弧的中点 D处时，DF 最大，连接 OD交 AC 于 F，则 ODAC，且 F为 AC 的中点， OFAB， DFODOF4， ， 的最大值为 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （4 分）解方程组： 【分析】应用加减消元法给式两边同时乘以 3，再+消去 y，即可求出答案 【解答】解：， 给式两边同时乘以 3， 得 9x+3y33， +得， 10 x30， 解得 x3， 把 x3 代入式中， 得 9+y11， 解得 y2， 所以方程组得解为 18
28、 （4 分）如图，已知菱形 ABCD，点 E 和点 F 分别在 BC、CD 上，且 BEDF，连接 AE，AF求证： BAEDAF 【分析】由菱形的性质可得 ABAD，BD，由“SAS”可证ABEADF，可得结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， ABAD，BD， 在ABE 和ADF 中， ， ABEADF（SAS） ， BAEDAF 19 （6 分）已知 T （1）化简 T； （2）若，求 T 的值 【分析】 （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可； （2）将已知等式两边平方，再利用因式分解法求解得出 a 的值，结合分式有意义的条件确定最终符合条 件的 a 的值，代入计算即可
29、 【解答】解： （1）T（） ； （2）， a2+4a+416， a2+4a120， 解得 a2 或 a6， a0 且 a2， a6， 则原式 20 （6 分） 广州市各校学生都积极参加志愿者活动， 某校为了解九年级学生一学期参加志愿者活动时间 （单 位：h）的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分 布表 组别 志愿时间（小时） 频数 频率 A 组 0t5 2 0.05 B 组 5t10 m 0.125 C 组 10t15 10 0.25 D 组 15t20 11 0.275 E 组 20t25 8 n F 组 t25 4 0.1 解答下列问题： （
30、1）频数分布表中 m 5 ；n 0.2 ； （2）若该校九年级共有学生 400 人，试估计该校九年级学生一学期课外志愿时间不少于 20h 的人数为 120 人 ； （3）在 F 组的学生中，只有 1 名是女同学，其余都是男同学，现从该组中任选 2 人代表学校参加“全 市中学生志愿者积极分子”分享活动，请用树状图或列表法求所选学生为 1 男 1 女的概率 【分析】 （1）先由 A 组的频数及其频率求出被调查的总人数，再根据频率频数总人数求解即可得出 m、n 的值； （2）用总人数乘以样本中 E、F 组的频率之和即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可
31、 【解答】解： （1）被调查的总人数为 20.0540（人） ， m400.1255，n8400.2， 故答案为：5、0.2； （2）估计该校九年级学生一学期课外志愿时间不少于 20h 的人数为 400（0.2+0.1）120（人） ， 故答案为：120 人； （3）列表如下： 男 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） 由表知，共有 12 种等可能结果，其中所选学生为 1 男 1 女的有 6 种结果， 所以所选学生为 1 男 1 女的概率为 21 （8 分）如图
32、，花城广场对岸有广州塔 AB，小明同学站在花城广场的 C 处看塔顶点 A 的仰角为 32， 向塔前进 360 米到达点 D，在 D 处看塔顶 A 的仰角为 45 （1）求广州塔 AB 的高度（sin320.530，cos320.848，tan320.625） ； （2）一架无人机从广州塔顶点 A 出发，沿水平方向 AF 飞行 300 米到 A处，求此时从 A处看点 D 的 俯角的正切值 【分析】 （1）设水塔的高 AB 为 x 米，根据直角三角形的性质、正确的定义分别用含 x 的代数式表示出 BD、BC，根据题意列出方程，解方程即可； （2）过 D 作 DHAF 于 H，根据三角函数的定义即可
33、求得DAH 的正切值 【解答】解： （1）设广州塔 AB 的高度为 x 米， ADB45， DAB45， ADBDAB， BDABx， BC360+x， ACB32， tanACB， 0.625， 解得，x600（米） ， 答：广州塔 AB 的高度约为 600 米； （2）过 D 作 DHAF 于 H， 则四边形 ABDH 是正方形， AHHDAB600 米，AHD90， AA300， AHAHAA300， tanDAH2， 答：此时从 A处看点 D 的俯角的正切值为 2 22 （10 分）如图，在ABC 中，ACBC，AB18，tanA，点 E 在 AB 上且 BE8，直线 l 垂直于 AB
34、，垂足为点 D （1）尺规作图：以 AC 为直径作O，与 AB 交于点 F（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）求证：CE 是O 的切线； （3）若O 与直线 l 相交于点 M、N（M 在 N 的上方） ，若 NA2，求 MF 的长 【分析】 （1）分别以点 A，C 为圆心，大于AC 长为半径画弧交于两点，连接这两点交 AC 于点 O，以 O 为圆心，OA 为半径作圆交 AB 于点 F； （2）连接 CF，根据 AC 是O 的直径，可得AFC90，由 tanA，可得 CF3，再运用勾股 定理可得 AC3，从而可得，进而可证明CAFEAC，运用相似三角形性质即可证明 结论； （3）连接 CF，C
35、N，运用勾股定理可求得 CN，由 MNAB，可得 MNCF，进而可得FMN CFM，运用同圆中圆周角相等所对的弧相等，可得，即可得出，进而得出 MFCN 【解答】解： （1）如图 1 所示，O 即为所作的圆； （2）如图 2，连接 CF， AC 是O 的直径， AFC90， ACBC，AB18， AFBF9， tanA， ， CFAF93， AC3， ， BE8， AEABBE18810， ， ， CAFEAC， CAFEAC， ACEAFC90， CE 是O 的切线； （3）如图 3，连接 CF，CN， 由（2）知：AFC90，AC3， AC 是O 的直径， ANC90，NA2， CN， M
36、NAB， ADM90AFC， MNCF， FMNCFM， ， +，即， MFCN 23 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l1：yx+b 与 y 轴交于点（0，2） ，且与双曲线（k0）有 交点 （1）求 b 的值和 k 的取值范围； （2）直线 l1绕点（1，1）顺时针旋转 90得到直线 l2，请直接写出直线 l2的解析式； （3）在（2）的条件下，直线 l2与双曲线的交点为点 P，且点 P 的横坐标为 1点 A、B 在直线 l2上， 点 A 的纵坐标为 2，B 的纵坐标为 m（m） ，过 A、B 两点分别作 x 轴的平行线交双曲线于点 C、 D，连接 CO、DO，记BOD、AOC 的面
37、积分别为 S1、S2，若，求 t 的取值范围 【分析】 （1）当 k0 时，反比例函数在二、四象限，则两个函数必然相交；当 k0 时，由4+4k0， 解得 k1，故 0k1，即可求解； （2）由直线 l1的表达式知，点（1，1）在改直线上，并且该点为 l1在第一象限内线段的中点，而直线 l1和 x 轴负半轴的夹角为 45，直线 l1绕点（1，1）顺时针旋转 90得到直线 l2，则直线 l2为一、三象 限角平分线，即可求解； （3） 由 S1BDyB （m） m （1m2） ， 同理可得 S2， 则 （1m2） ， 进而求解 【解答】解： （1）将点（0，2）的坐标代入 yx+b 得：20+b，
38、 解得 b2， 故直线 l1的表达式为 yx+2， 当 k0 时，反比例函数在二、四象限，则两个函数必然相交； 当 k0 时，如下图， 联立两个函数表达式并整理得：x22x+k0， 44k0，解得 k1，故 0k1， 综上，k 的取值范围为 k0 或 0k1； （2）由直线 l1的表达式知，点（1，1）在改直线上，并且该点为 l1在第一象限内线段的中点， 而直线 l1和 x 轴负半轴的夹角为 45，直线 l1绕点（1，1）顺时针旋转 90得到直线 l2，则直线 l2为 一、三象限角平分线， 故 l2的表达式为 yx； （3）当 x1 时，yx1，故点 P 的坐标为（1，1） ， 将点 P 的坐
39、标代入反比例函数表达式得：k1， 故反比例函数表达式为 y， 点 A 的纵坐标为 2，B 的纵坐标为 m，这两点都在直线 l2上，故点 B（m，m） ，点 A（2，2） ， 则点 C、D 的坐标分别为（2，） 、 （，m） ， m，则点 B 在点 P 的下方， 则 S1BDyB（m）m（1m2） ， 同理可得 S2， （1m2） ， m， t 24 （12 分）如图，等边三角形ABE 和矩形 ABCD 有共同的外接圆O，且 AB30 （1）求证：CED120； （2）在劣弧上有动点 F，连接 DF、CF、BF，DF 分别交 AE、AB 于点 M、P，CF 交 BE 于点 N 设MNF 与CDF
40、 的周长分别为 C1和 C2，试判断 C2C1的值是否发生变化，若不变则求出该值； 若变化请说明理由； 若 PN5，求 BF 的长 【分析】 （1）连接 OD、OE、OC，证明DOE 和EOC 都是等边三角形，即可得到结果； （2）连接 AC、BD，OM、ON，利用CENOEN 证明 CNON，同理 DMOM，再证明 O、N、 M 共线，得到 MNCN+DM，从而可得 C2C1CD30； 由 N、P、F、B 共圆得PNB90，求出 BP、AP、AD，sinAPDsinBPF 即可得出答案 【解答】解： （1）证明：连接 OD、OE、OC，如图： 等边三角形ABE 和矩形 ABCD， DABCB
41、A90，EABEBA60， DAEDABEAB30，CBECBAEBA30， DOEEOC60， ODOEOC， DOE 和EOC 都是等边三角形， DEOCEO60， CEDDEO+CEO120； （2）C2C1的值为 30，不变，理由如下： 连接 AC、BD，OM、ON，如图： DABCBA90， BD 和 AC 是直径， DEC120，AEB60， DEA+CEB60， ADBC， DEACEB30， 而DEOCEO60，CBE30， DEAOEACEBOEB30，ECB180CEBCBE120， ACBECBECO60， DOE 和EOC 都是等边三角形， CEOEDE， 在CEN 和
42、OEN 中， ， CENOEN（SAS） ， CNON， CONOCN， 同理 DMOM，ODMDOM， ODMBCF， CON+DOMOCN+ODMOCN+BCFACB60， 而DOEEOC60， DOE+EOC+CON+DOM180， M、O、N 共线， CN+DMMN， C2C1（FC+CD+DF）（FN+MN+MF） （FN+CN+CD+DM+MF）（FN+MN+MF） CD， 矩形 ABCD，AB30， CDAB30， C2C130； 如图： DEC120， DFC60ABE， N、P、F、B 共圆， DFBDAB90， PNB90， PBN60，PN5， BP10， AB30， A
43、P20， DAEDEA30， ADDEODOA， ADO60， 在 RtABD 中，AB30， AD10， DP10， sinAPD， sinBPF， BD 为直径， BFP90， RtBPF 中，sinBPF， ， BF 25 （12 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0） 、点 B（5，0） ，点 P 是抛物线上 x 轴下方的一 个动点，连接 PA，过点 A 作 AQPA 交抛物线于点 Q，作直线 PQ （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 的坐标为（3，8） ，求点 Q 的坐标； （3）判断在点 P 运动过程中，直线 PQ 是否过定点？若存在定点，则求出定点坐标；
44、若不存在，请说明 理由 【分析】 （1）运用待定系数法将 A，B 的坐标分别代入，解方程组即可； （2）设 Q（m，m2+4m5） ，过点 P 作 PEAB 于点 E，过点 Q 作 QFAB 于点 F，可证明PAE AQF，运用相似三角形性质建立方程求解即可； （3）设直线 PQ 解析式为 ypx+q，P（xP，yP） ，Q（xQ，yQ） ，根据 P（xP，yP） ，Q（xQ，yQ）是直线 PQ 与抛物线 yx2+4x5 的交点， 可得 x2+ （4p） x5q0， 运用根与系数关系可得： xP+xQp4， xPxQ5q， 根据 （2） 可得PAEAQF， 运用相似三角形性质可得， 进而可得：
45、（p+q） （q5p1）0，由于 p+q0，可得 q5p+1，即可得到直线 PQ 的解析式为 ypx+5p+1，当 x5 时，y5p+5p+11，可得直线 PQ 恒过点（5，1） 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0） 、点 B（5，0） ， ， 解得：， 抛物线的解析式为：yx2+4x5； （2）如图，设 Q（m，m2+4m5） ，过点 P 作 PEAB 于点 E，过点 Q 作 QFAB 于点 F， AEPAFQ90，QFm2+4m5，AF1m， 点 P 的坐标为（3，8） ， PE8，AE4， AQPA， PAQ90， PAE+QAF90， QAF+AQF90，
46、PAEAQF， PAEAQF， ，即：， 解得：m11（舍去） ，m2， 当 m时，AF1（）， QF， Q（，） ； （3）点 P 运动过程中，直线 PQ 恒过定点（5，1） 设直线 PQ 解析式为 ypx+q，P（xP，yP） ，Q（xQ，yQ） ， P（xP，yP） ，Q（xQ，yQ）是直线 PQ 与抛物线 yx2+4x5 的交点， x2+4x5px+q，即 x2+（4p）x5q0， xP+xQp4，xPxQ5q， 如图，过点 P 作 PEAB 于点 E，过点 Q 作 QFAB 于点 F， 则 AE1xP，PEyP，AF1xQ，QFyQ， yPpxP+q，yQpxQ+q， PAEAQF， ，即：， （1xP） （1xQ）yPyQ，（pxP+q） （pxQ+q） ， 1（xP+xQ）+xPxQp2xPxQ+pq（xP+xQ）+q2， 1+（pq1） （xP+xQ）+（p2+1） （xPxQ）+q20， 1+（pq1） （p4）+（p2+1） （5q）+q20， （p+q） （q5p1）0， p+q0， q5p10， q5p+1， 直线 PQ 的解析式为 ypx+5p+1， 当 x5 时，y5p+5p+11， 直线 PQ 恒过点（5，1） ， 故点 P 运动过程中，直线 PQ 恒过定点（5，1）
