1、广东省广州市白云区广东省广州市白云区 2021 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷(解析版解析版) 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 13 的相反数是（ ） A B3 C D3 2在平面直角坐标系中，把点 A（0，1）向左平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 的坐标为（ ） A （0，1） B （0，3） C （2，1） D （2，1） 3下列运算正确的是（ ） Ax8x2x4（x0） B （m+n）2m2+
2、n2 C3a+2b5ab D （y3）2y6 4如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（ ） A180 B360 C540 D720 5如图，在 RtABC 中，C90，AB10，AC8，D 是 AC 上一点，AD5，DEAB，垂足为 E， 则 AE（ ） A2 B3 C4 D5 6在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位 数为（ ） A160 B165 C170 D175 7如图摆放一副三角尺，BEDF90，点 E 在 AC 上，点 D 在 BC 的延长线上，EFBC，A 30，F45，则CED（ ） A15 B20 C25 D30 8关于
3、 x 的方程 x22x+a0（a 为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 9菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DEAC，CEDB，则四边形 OCED 是（ ） A梯形 B矩形 C菱形 D正方形 10设函数 y1，y2（k0） ，当 2x3 时，函数的 y1最大值是 a，函数 y2的最小值是 a4，则 ak（ ） A4 B6 C8 D10 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 12分解因式：ax2a 13方程组的解是 14如图，把一张长方形的纸
4、片对折两次，量出 OA1，OB2，然后沿 AB 剪下一个AOB，展开后得到 一个四边形，则这个四边形的周长为 15如图，从一块直径为 6 的圆形铁皮上裁出一个圆心角为 90的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这 个圆锥的底面半径是 16如图，在平面直角坐标系中，有一个 RtOAB，ABO90，AOB30，直角边 OB 在 y 轴正半 轴上，点 A 在第一象限，且 OA1，将 RtOBA 绕原点 O 逆时针旋转 30，同时把各边长扩大为原来 的 2 倍（即 OA12OA） ，得到 RtOA1B1，同理，将 RtOA1B1绕原点 O 逆时针旋转 30，同时把各 边长扩大为原来的 2 倍，得到 RtO
5、A2B2，依此规律，得到 RtOA2021B2021，则点 B2021的纵坐标 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， ）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， ） 17 （4 分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来 18 （4 分）如图，已知 BD 平分ABC，AC 求证：ABDCBD 19 （6 分）已知 M（x+3） （x2）+（x+1）2+5 （1）化简 M； （2）x 是面积为 5 的正方形边长，求 M 的值 20 （6 分）某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种
6、票价对应的电影票分 别为 A 票和 B 票 已知每张 A 票的票价比 B 票的票价少 9 元， 且用 312 元购买 A 票的张数与用 420 元购 买 B 票的张数相等求每张 A 票和 B 票的票价各是多少元？ 21 （8 分） 为落实白云区 “数学提升工程” ， 提升学生数学核心素养， 某校开展数学活动周， 包括以下项目： 数学知识竞赛；数学谜语；数学手抄报；数学计算接力赛；数独游戏为了解学生最喜爱的 项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图： （1）本次随机抽查的学生人数为 人，补全图（） ； （2）该校共有 800 名学生，可估计出该校学生最喜爱“数学
7、知识竞赛”的人数为 人，图（） 中扇形的圆心角度数为 度； （3）该校计划在“，”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的 方法，求恰好选中“，”这两项活动的概率 22 （10 分）一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象都经过点（2，1） （1）求 b 的值； （2）点（2a，y1） ， （a，y2） ， （3a，y3） ，a0，都在反比例函数图象上，根据图象比较 y1，y2，y3的大 小 23 （10 分）如图，O 是四边形 ABCD 的外接圆，AC 是O 的直径，BEDC，交 DC 的延长线于点 E， CB 平分ACE （1）求证：BE 是O 的切线 （2）若2，C
8、E1，求点 B 到 AD 的距离 24 （12 分）抛物线 G：yx22axa+3（a 为常数）的顶点为 A （1）用 a 表示点 A 的坐标； （2）经过探究发现，随着 a 的变化，点 A 始终在某一抛物线 H 上，若将抛物线 G 向右平移 t（t0）个 单位后，所得抛物线顶点 B 仍在抛物线 H 上； 平移距离 t 是 a 的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出 a 的取值范围；如果不是，请说明理由； 若 yx22axa+3 在 x4 时，都有 y 随 x 的增大而增大，设抛物线 H 的顶点为 C，借助图象，求 直线 AC 与 x 轴交点的横坐标的最小值 25 （12 分）不在射线 DA
9、 上的点 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 外一点，且满足APB45，以 AP，AD 为邻边作APQD （1）如图，若点 P 在射线 CB 上，请用尺规补全图形； （2）若点 P 不在射线 CB 上，求PAQ 的度数； （3）设 AQ 与 PD 交点为 O，当APO 的面积最大时，求 tanADO 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 13 的相反数是（ ） A B3 C
10、 D3 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案 【解答】解：3 的相反数是 3， 故选：D 2在平面直角坐标系中，把点 A（0，1）向左平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 的坐标为（ ） A （0，1） B （0，3） C （2，1） D （2，1） 【分析】根据向左平移横坐标减，可得结论 【解答】解：将点 A（0，1）向左平移 2 个单位长度，得到点 B， 点 B 的横坐标为 0，纵坐标为123， B 的坐标为（0，3） 故选：B 3下列运算正确的是（ ） Ax8x2x4（x0） B （m+n）2m2+n2 C3a+2b5ab D （y3）2y6 【分析】根据同底数幂的除
11、法法则对 A 进行判断；根据完全平方公式对 B 进行判断；根据合并同类项对 C 进行判断；根据幂的乘方对 D 进行判断 【解答】解：A、原式x6，所以 A 选项不符合题意； B、原式m2+2mn+n2，所以 B 选项不符合题意； C、3a 与 2b 不能合并，所以 C 选项不符合题意； D、原式x6，所以 D 选项符合题意 故选：D 4如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（ ） A180 B360 C540 D720 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】解：从正三棱柱的上面看：可以得到一个正三角形，故其俯视图的内角和为 180 故选：A 5如图，
12、在 RtABC 中，C90，AB10，AC8，D 是 AC 上一点，AD5，DEAB，垂足为 E， 则 AE（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】通过证明ADEABC，可得结论 【解答】解：AA，AEDC90， ADEABC， ， ， AE4， 故选：C 6在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位 数为（ ） A160 B165 C170 D175 【分析】根据中位数的定义直接解答即可 【解答】解：把这些数从小到大排列，中位数是第 8 个数， 则这些运动员成绩的中位数为 165cm 故选：B 7如图摆放一副三角尺，BEDF90，点 E 在
13、 AC 上，点 D 在 BC 的延长线上，EFBC，A 30，F45，则CED（ ） A15 B20 C25 D30 【分析】由三角形内角和定理可知，DEF45，ACB60，再由平行线的性质可得，CEF 60，最后可得结论 【解答】解：如图， EDF90，F45， DEF45， B90，A30， ACB60， EFBC， CEFACB60， CDECEFDEF15 故选：A 8关于 x 的方程 x22x+a0（a 为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】关于 x 的方程 x22x+a0 无实数根，即判别式b24ac0即可得到关于 a
14、 的不等式，从 而求得 a 的范围，进而得到结论 【解答】解：a1，b2，ca， b24ac（2）241a44a0， 解得：a1， 点（a，a+1）在第一象限， 故选：A 9菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DEAC，CEDB，则四边形 OCED 是（ ） A梯形 B矩形 C菱形 D正方形 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形 OCED 是平行四边形，根据菱形的性质得出 ACBD， 根据矩形的判定定理证明即可 【解答】解：DEAC，CEDB， 四边形 OCED 是平行四边形， 四边形 ABCD 为菱形， ACBD， COD90， 四边形 OCED 是矩形， 故选：B
15、 10设函数 y1，y2（k0） ，当 2x3 时，函数的 y1最大值是 a，函数 y2的最小值是 a4，则 ak（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】首先根据 k 与 x 的取值分析函数 y1，y2 增减性，根据增减性确定最值，进而求解 【解答】解：k0，2x3， y1 随 x 的增大而减小，y2 随 x 的增大而增大， 当 x2 时，y1 取最大值，最大值为a； 当 x2 时，y2 取最小值，最小值为a4； 由得 a2，k4， ak8， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 2 【分析】将 12 分
16、解为 43，进而开平方得出即可 【解答】解：2 12分解因式：ax2a a（x+1） （x1） 【分析】应先提取公因式 a，再利用平方差公式进行二次分解 【解答】解：ax2a， a（x21） ， a（x+1） （x1） 13方程组的解是 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， +得：2x4，即 x2， 得：2y2，即 y1， 则方程组的解为 故答案为： 14如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出 OA1，OB2，然后沿 AB 剪下一个AOB，展开后得到 一个四边形，则这个四边形的周长为 4 【分析】直接利用折叠方法可得出展开的四边形是菱形，利用勾股定理求出 AB 即可 【解答】
17、解：由题意，四边形是菱形， AOB90，OA1，OB2， AB， 四边形的周长为 4， 故答案为：4 15如图，从一块直径为 6 的圆形铁皮上裁出一个圆心角为 90的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这 个圆锥的底面半径是 【分析】连接 BC，根据圆周角定理得到 BC 为圆的直径，求出 AC，根据弧长公式求出的长，根据圆 锥的侧面展开图计算 【解答】解：连接 BC， CAB90， BC 为圆的直径， ACAB3， 的长， 设圆锥的底面圆的半径为 r， 由题意得，2r， 解得，r， 即圆锥的底面圆的半径为， 故答案为： 16如图，在平面直角坐标系中，有一个 RtOAB，ABO90，AOB30，直角
18、边 OB 在 y 轴正半 轴上，点 A 在第一象限，且 OA1，将 RtOBA 绕原点 O 逆时针旋转 30，同时把各边长扩大为原来 的 2 倍（即 OA12OA） ，得到 RtOA1B1，同理，将 RtOA1B1绕原点 O 逆时针旋转 30，同时把各 边长扩大为原来的 2 倍，得到 RtOA2B2，依此规律，得到 RtOA2021B2021，则点 B2021的纵坐标 为 322019 【分析】根据余弦的定义求出 OB，根据题意求出 OBn，根据题意找出规律，根据规律解答即可 【解答】解：在 RtAOB 中，AOB30，OA1， OBOAcosAOB， 由题意得，OB12OB2， OB22OB
19、122， OBn2OB12n2n 1， 2021121685， 点 B2021的纵坐标为：22020cos6022020322019， 故答案为：322019 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， ）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， ） 17 （4 分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 x20，得：x2， 解不等式 3x+21，得：x1， 则不等式组的解集
20、为1x2， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 18 （4 分）如图，已知 BD 平分ABC，AC 求证：ABDCBD 【分析】根据 AAS 证明ABD 与CBD 全等 【解答】证明：BD 平分ABC， ABDCBD， 在ABD 与CBD 中， ， ABDCBD（AAS） 19 （6 分）已知 M（x+3） （x2）+（x+1）2+5 （1）化简 M； （2）x 是面积为 5 的正方形边长，求 M 的值 【分析】 （1）先利用乘法公式展开，然后合并即可； （2）根据正方形的面积公式得到 x，然后把 x 的值代入（1）中化简的式子里计算即可 【解答】解： （1）Mx2+x6+x2+2x+1+5
21、2x2+3x； （2）x 是面积为 5 的正方形边长， x， M2（）2+3 10+3 20 （6 分）某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分 别为 A 票和 B 票 已知每张 A 票的票价比 B 票的票价少 9 元， 且用 312 元购买 A 票的张数与用 420 元购 买 B 票的张数相等求每张 A 票和 B 票的票价各是多少元？ 【分析】设每张 A 票的票价是 x 元，则每张 B 票的票价为（x+9）元，根据“用 312 元购买 A 票的张数 与用 420 元购买 B 票的张数相等”列出方程并解答 【解答】解：设每张 A 票的票价是 x 元，则
22、每张 B 票的票价为（x+9）元， 根据题意，得 解得 x26 经检验 x26 是所列方程的解，且符合题意， 所以 x+935 答：每张 A 票的票价是 26 元，则每张 B 票的票价为 35 元 21 （8 分） 为落实白云区 “数学提升工程” ， 提升学生数学核心素养， 某校开展数学活动周， 包括以下项目： 数学知识竞赛；数学谜语；数学手抄报；数学计算接力赛；数独游戏为了解学生最喜爱的 项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图： （1）本次随机抽查的学生人数为 60 人，补全图（） ； （2）该校共有 800 名学生，可估计出该校学生最喜爱“数学知识竞赛”
23、的人数为 200 人，图（） 中扇形的圆心角度数为 ，90 度； （3）该校计划在“，”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的 方法，求恰好选中“，”这两项活动的概率 【分析】 （1）由的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题； （2）由该校人数乘以最喜爱“数学知识竞赛”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“数学知识竞 赛”的人数，再 1 由 369乘以最喜爱“数学知识竞赛”的人数所占的比例即可； （3）画树状图，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）本次随机抽查的学生人数为：1830%60（人） ， 则喜爱数独游戏的人数为：6015189612（人） ， 故
24、答案为：60， 补全图（）如下： （2）估计该校学生最喜爱“数学知识竞赛”的人数为：800200（人） ， 图（）中扇形的圆心角度数为：36090， 故答案为：200，90； （3）画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，恰好选中“，”这两项活动的结果有 2 个， 恰好选中“，”这两项活动的概率为 22 （10 分）一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象都经过点（2，1） （1）求 b 的值； （2）点（2a，y1） ， （a，y2） ， （3a，y3） ，a0，都在反比例函数图象上，根据图象比较 y1，y2，y3的大 小 【分析】 （1）将点（2，1）代入解析式可求解； （2）分两
25、种情况讨论，由反比例函数的性质可求解 【解答】解： （1）一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象都经过点（2，1） ， k2（1）2，12k+b， b3； （2）k2， y的图象在第二、四象限，y 随 x 的增大而增大， 当 a0 时， 3a2aa， y3y1y2， 当 a0 时， 3a2aa， y3y1y2 23 （10 分）如图，O 是四边形 ABCD 的外接圆，AC 是O 的直径，BEDC，交 DC 的延长线于点 E， CB 平分ACE （1）求证：BE 是O 的切线 （2）若2，CE1，求点 B 到 AD 的距离 【分析】 （1）连接 OB，求出 OBDE，推出 EBOB，根据切
26、线的判定得出即可； （2）证明OBC 是等边三角形，即可解决问题 【解答】 （1）证明：如图，连接 OB， CB 平分ACE ACBECB， BCABDA， BCABAD， OBOC， BCOCBO， BCECBO， OBED BEED， EBBO BE 是O 的切线； （2）解：如图，连接 BD， AC 是O 的直径， ABCADC90， OBEE90， 点 B 到 AD 的距离即为 DE 的长， 2， AOB2COB， BOC60， OBOC， OBC 是等边三角形， OBCOCB60， BE 是切线， OBEB， EBO90， EBC30，BCE60， BC2EC2，AC2BC4， AC
27、D60， AC 是直径， ADE90， CAD30， CDAC2， DE3 答：点 B 到 AD 的距离为 3 24 （12 分）抛物线 G：yx22axa+3（a 为常数）的顶点为 A （1）用 a 表示点 A 的坐标； （2）经过探究发现，随着 a 的变化，点 A 始终在某一抛物线 H 上，若将抛物线 G 向右平移 t（t0）个 单位后，所得抛物线顶点 B 仍在抛物线 H 上； 平移距离 t 是 a 的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出 a 的取值范围；如果不是，请说明理由； 若 yx22axa+3 在 x4 时，都有 y 随 x 的增大而增大，设抛物线 H 的顶点为 C，借助图象，求
28、 直线 AC 与 x 轴交点的横坐标的最小值 【分析】 （1）把抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）根据抛物线的平移可得出平移后的抛物线，并求出抛物线的顶点 B，由抛物线的对称性可得出 a 和 t 之间的函数关系； 有题意可得抛物线 G 的对称轴 xa4，并求出抛物线 H 的顶点 C，联立，求出直线解析式，表达 出直线 AC 与 x 轴的交点的横坐标，再求出它的最小值 【解答】解： （1）yx22axa+3（xa）2a2a+3， 顶点 A（a，a2a+3） ； （2）由点 A 的坐标可知，抛物线 H：yx2x+3， 抛物线 G 向右平移 t 个单位后，抛物线为：y（xat）2a2a+3， 此
29、时的定点 B（a+t，a2a+3） ， 抛物线顶点 B 仍在抛物线 H 上， y（a+t）2（a+t）+3a2a+3， 整理得 t2a1， t0， 2a10，即 a， t 是 a 的函数，t2a1（a） ； yx22axa+3 在 x4 时，都有 y 随 x 的增大而增大， 对称轴，xa4， 抛物线 H：y（x+）2+， C（，） ， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b，代入点 A，点 C 的坐标得， ，解得， y（a）xa+3， 当 y0 时，x+， 又 a4， 当 a4 时，x 有最小值， 直线 AC 与 x 轴交点的横坐标的最小值 25 （12 分）不在射线 DA 上的点 P 是边长为
30、 2 的正方形 ABCD 外一点，且满足APB45，以 AP，AD 为邻边作APQD （1）如图，若点 P 在射线 CB 上，请用尺规补全图形； （2）若点 P 不在射线 CB 上，求PAQ 的度数； （3）设 AQ 与 PD 交点为 O，当APO 的面积最大时，求 tanADO 的值 【分析】 （1）以 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交射线 CB 于点 P； （2）如图 2，连接 QA，QC，QB，BD，由“SAS”可证PABQDC，可得APBDQC45， 通过证明点 B，点 D，点 A，点 Q 四点共圆，可得AQDABD45，即可求解； （3）由平行四边形的面积公式可得当点 P 到 AD
31、 的距离最大时，APQD 的面积最大，此时，APO 的 面积取最大值，利用圆的有关知识和等腰直角三角形的性质可求解 【解答】解： （1）如图 1，以 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交射线 CB 于点 P； （2）如图 2，连接 QA，QC，QB，BD， 四边形 APQD 是平行四边形， APDQ，PQAD，APQD， PAD+ADQ180， PAB90ADQ， PAB90ADQQDC， 又APQD，ABCD， PABQDC（SAS） ， APBDQC45， 四边形 ABCD 是正方形， ABDDBC45， CQDCBD45， 点 B，点 C，点 D，点 Q 四点共圆， BCDBQD90， B
32、QDBAD90， 点 B，点 D，点 A，点 Q 四点共圆， AQDABD45， APQD， PAQAQD45； （3）四边形 APQD 是平行四边形， SAPOSAPQD， 当APQD 的面积最大时，APO 的面积取最大值， SAPQDAD点 P 到 AD 的距离， 当点 P 到 AD 的距离最大时，APQD 的面积最大， 如图 3，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABE，以 E 为圆心，AE 为半径作ABP 的外接圆，延长 CB 交 E 于 H，过点 E 作 FEBH，交E 于 P，交 DA 的延长线于 F，此时点 P 到 AD 的距离最大， EAEB，AEB90，AB2， EAB45，AE， EAF45， EFAF， EAFFEA45， AFEF1， PF1+， SAPQD最大ADPF2（1+） ， SAPO最大SAPQD， tanADO
